大學(xué)課程初等數(shù)學(xué)研究教案

1、教 案2014-2015學(xué)年第一 學(xué)期 課 程 名 稱(chēng)： 初等數(shù)學(xué)應(yīng)用 ： 初等教育2013級(jí) 任 課 教 師： 王劍 初等數(shù)學(xué)研究教案-課程簡(jiǎn)介初等數(shù)學(xué)研究是初等教育專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)課。它是在學(xué)生掌握了一定的高等數(shù)學(xué)理論知識(shí)的基礎(chǔ)上，繼教育學(xué)、心理學(xué)之后而開(kāi)設(shè)的。本課程從中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的需要出發(fā)，以基本問(wèn)題分成若干專(zhuān)題進(jìn)行研究，在內(nèi)容上適當(dāng)加深和拓廣，在理論、觀點(diǎn)、思想、方法上予以總結(jié)提高，并著重解決理論方面的問(wèn)題。本課程的重點(diǎn)是培養(yǎng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師嚴(yán)謹(jǐn)、系統(tǒng)的初等數(shù)學(xué)理論和基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的技巧。初等數(shù)學(xué)研究包括初等代數(shù)研究和初等幾何研究?jī)刹糠?，是初等教育?zhuān)業(yè)開(kāi)設(shè)的一門(mén)綜合性的選修課程。

2、根據(jù)高等師范學(xué)校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)，通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解初等數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程，初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，思想方法等。理解初等數(shù)學(xué)理論知識(shí)，提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)水平。學(xué)習(xí)本課程，要求學(xué)生更好地掌握并處理中學(xué)數(shù)學(xué)的教材，還必須使學(xué)生理解中學(xué)數(shù)學(xué)中用描述的方法引進(jìn)的一些數(shù)學(xué)概念怎樣給出精確的定義，未作證明的或證明不完整的數(shù)學(xué)命題怎樣做出嚴(yán)格的證明，以及一些廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)方法的理論依據(jù)。本課程擺脫了中學(xué)數(shù)學(xué)里已有的基礎(chǔ)，以及高等數(shù)學(xué)里已作詳盡討論的知識(shí)，按照自己的邏輯系統(tǒng)來(lái)闡述初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，并進(jìn)行研究，將避免造成與中學(xué)數(shù)學(xué)或高等數(shù)學(xué)不必要的重復(fù)。對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)中已經(jīng)解決的問(wèn)題，將不在展開(kāi)討論，已有的知識(shí)與

3、技能將作為工具來(lái)應(yīng)用，在高等數(shù)學(xué)里已討論過(guò)的有關(guān)理論，可以直接指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的，將直接應(yīng)用，不再討論。初等數(shù)學(xué)研究教案-教學(xué)大綱一、課程目標(biāo)和教學(xué)要求1、基本課程目標(biāo)本課程的教學(xué)要求分為了解、理解、掌握、運(yùn)用四個(gè)層次。這四個(gè)層次的一般涵義表述如下：了解是指對(duì)本課程中的基本概念和原理的認(rèn)知。理解是指對(duì)本課程涉及到的概念、定理、法則等的意義的解釋。掌握是指運(yùn)用已理解的概念、定理、法則等去解決新的數(shù)學(xué)問(wèn)題。運(yùn)用是指會(huì)用重要的思想和方法去研究、分析、解決初等數(shù)學(xué)中的問(wèn)題，形成較強(qiáng)的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。2、基本內(nèi)容和教學(xué)要求第一部分初等代數(shù)（一） 數(shù)系教學(xué)內(nèi)容：集合的相關(guān)概念、數(shù)的概念的擴(kuò)展、自然數(shù)

4、集、整數(shù)環(huán)、有理數(shù)域、近似計(jì)算、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域教學(xué)要求：了解各個(gè)數(shù)系的構(gòu)成與擴(kuò)展，數(shù)的運(yùn)算和數(shù)的性質(zhì)，以及近似計(jì)算方法（二） 解析式教學(xué)內(nèi)容：解析式概念及其分類(lèi)、多項(xiàng)式、分式、根式、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式、三角式與反三角式教學(xué)要求：理解解析式、多項(xiàng)式、分式、根式、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式、三角式與反三角式的概念及性質(zhì)；熟練地掌握解析式的運(yùn)算和恒等變形（三） 初等函數(shù)教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)概念、用初等方法討論函數(shù)、基本初等函數(shù)教學(xué)要求：理解函數(shù)的定義方法；掌握求函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)關(guān)系的方法；掌握函數(shù)的四個(gè)性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性）；掌握常見(jiàn)基本初等函數(shù)的圖形特征 （四） 方程和不等式教學(xué)內(nèi)容：方程與方程

5、的同解性、幾種特殊類(lèi)型的代數(shù)方程的解法、初等超越方程、方程組；不等式及其性質(zhì)、證明不等式的常用方法、幾個(gè)著名的不等式、解不等式(組)、不等式的應(yīng)用教學(xué)要求：理解方程（組）的同解性理論；掌握一些特殊方程的解法。理解不等式的概念及有關(guān)性質(zhì)；掌握證明不等式的常用方法；會(huì)解不等式（組）（五） 排列與組合教學(xué)內(nèi)容：加法原理與乘法原理、排列、組合教學(xué)要求：理解加法原理與乘法原理，會(huì)求排列數(shù)和組合數(shù) 第二部分初等幾何（一）公理化方法與圖形的演繹推理教學(xué)內(nèi)容：公理化方法的發(fā)展、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)證明的方法及其作用教學(xué)要求：理解數(shù)學(xué)中的公理化方法，透徹把握歐幾里的公理體系，希爾伯特公理體及其區(qū)別掌握數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)證

6、明的方法（二）幾何變換教學(xué)內(nèi)容：變換、變換群以及幾何變換的概念，在變換群概念的基礎(chǔ)上，分別討論幾種變換及相應(yīng)的幾何學(xué) 教學(xué)要求：掌握變換群的概念，能利用變換解決幾何問(wèn)題，了解應(yīng)用幾何變換的觀點(diǎn)、思想與方法處理中學(xué)幾何是當(dāng)今數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)思路。（三）幾何的向量結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)法 教學(xué)內(nèi)容：平面與空間向量的三種運(yùn)算，并討論向量與坐標(biāo)系的關(guān)系，向量方法在數(shù)學(xué)中的各種運(yùn)用。 教學(xué)要求：掌握向量的概念、運(yùn)算及其基本定理，并能在解題中靈活的加以運(yùn)用，對(duì)處理數(shù)學(xué)課程改革提供一種思路二、課程實(shí)施（一）課時(shí)安排初等數(shù)學(xué)研究是專(zhuān)業(yè)選修課，系主干課程。一般情況下第八學(xué)期開(kāi)設(shè)，安排3/周，有條件時(shí)可安排18周,共72課

7、時(shí)。具體安排如下： 內(nèi) 容 課 時(shí) 建 議 （一） 數(shù) 系 14學(xué)時(shí) （二） 解析式 8學(xué)時(shí)（三） 初等函數(shù) 8學(xué)時(shí) （四） 方程、不等式 10學(xué)時(shí)（五） 公理化方法與演繹推理 8學(xué)時(shí)（六） 幾何變換 8學(xué)時(shí)（七） 幾何的向量結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)法 8學(xué)時(shí)（八） 排列、組合 8學(xué)時(shí)（二）教學(xué)組織形式與教學(xué)方法要求本課程以教師課堂講授為主，并根據(jù)具體內(nèi)容適當(dāng)采取多媒體、自學(xué)和課堂討論等形式組織教學(xué)。重點(diǎn)突出中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容在現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論中的地位，解決學(xué)生不會(huì)主動(dòng)地、有意識(shí)地從較高觀點(diǎn)研究中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)。提倡和鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行專(zhuān)題研究。1. 教學(xué)班是主要的教學(xué)組織，班級(jí)授課制是目前教學(xué)的主要組織形式。2. 注意教學(xué)

8、方法的靈活性，組織學(xué)生課前閱讀、課堂表述自己的理解和看法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和探究意識(shí)。3.充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，可適當(dāng)安排一些討論課。4.評(píng)價(jià)教學(xué)方法要以實(shí)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的教學(xué)目標(biāo)為依據(jù)，好的教學(xué)方法應(yīng)有助于學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解，并能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。三、教材選用與教學(xué)評(píng)價(jià)在課程標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一要求下，實(shí)行多樣化，可選用高等教育出版社（普通高校重點(diǎn)教材）的相應(yīng)教材，也可選用地方特色的教材，還可自編教材。評(píng)價(jià)依據(jù)是本課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的課程目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容和要求。該門(mén)課程采用期末集中考試的形式進(jìn)行，具體考試說(shuō)明如下：1)考試時(shí)間：120分鐘。2)考試方式、分制與分?jǐn)?shù)解釋采用閉卷、筆

9、試的方式，以百分制評(píng)分，60分為及格，滿分為100分。如果有可能的話，把形成性評(píng)價(jià)與終結(jié)性評(píng)價(jià)結(jié)合起來(lái)。3)題型及比例填空題20%；分析解答題40%；證明題40%；4）樣題與目標(biāo)定位示例： A填空題：（著重考查學(xué)生對(duì)基本理論的理解掌握程度）例：自然數(shù)的序數(shù)理論是以_為基本概念建立起來(lái)的，它著重反映_問(wèn)題。實(shí)數(shù)集的主要性質(zhì)有_ 。B. 分析解答題（著重考查學(xué)生運(yùn)用基本理論解決問(wèn)題的能力） 例：兩個(gè)整數(shù)的和等于118，且其中一數(shù)為11的倍數(shù)，另一數(shù)為17的倍數(shù)。求這兩個(gè)整數(shù)。 C .證明題（著重考查學(xué)生的論證能力）例：在ABC中，B900,BC邊的中垂線交AB于D,ABC的外接圓在A、C的切線交于

10、E,求證：DE/BC.初等數(shù)學(xué)研究教案 授課時(shí)間 2007.3.6 第 1 次課 授課章節(jié)第1章第1節(jié)任課教師及職稱(chēng)王劍 講師教學(xué)方法與手段講授法、探究式課時(shí)安排2學(xué)時(shí)季素月等編初等數(shù)學(xué)研究教程 李長(zhǎng)明等編初等數(shù)學(xué)研究余元希等編初等代數(shù)研究 朱德祥編初等幾何研究 教學(xué)目的與要求：引導(dǎo)學(xué)生深化對(duì)集合概念的理解和運(yùn)用教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：重點(diǎn)：集合的概念、集合的運(yùn)算難點(diǎn)：笛卡兒積教學(xué)內(nèi)容： 1.1 集 合本節(jié)介紹集合的相關(guān)概念。根據(jù)康托的描述，任給一集合A，對(duì)于一事物，它或者是A中的元素，或者不是A中的元素，即“A”與“ A”，兩者必居其一且僅居其一，沒(méi)有第三種可能. 集合的表示法1.列舉法運(yùn)用列舉法表

11、示集合必須注意下面兩點(diǎn)：（1）元素的無(wú)序性.即所列舉的元素的次序是無(wú)關(guān)緊要的.（2）元素的互異性.即所列舉的元素應(yīng)互不相同.2.描述法用確定的條件表示某種事物是否屬于這個(gè)集合的方法，叫做描述法.一般地，如果用表示變?cè)哂械哪撤N性質(zhì)，那么，由具有性質(zhì)的所有元素組成的集合，可表示為|.為了能直觀形象地反映出集合與元集、集合與集合的關(guān)系，可用圓、矩形或封閉曲線表示一個(gè)集合，區(qū)域內(nèi)部的點(diǎn)表示此集合的元素.如圖1-1所示，A=，b，c，B=b，c，e，f.這種形象直觀的表示集合的圖形叫做維恩（Venn）（或譯為文氏）圖或歐拉（Eular）圖.初等數(shù)學(xué)研究教案給定兩集合A、B，如果集合A中每一元素都是集

12、合B的元素，那么，稱(chēng)集合A為集合B的子集，這時(shí)也稱(chēng)A被B包含或者B包含A，記為AB或BA.如果AB，但AB，則稱(chēng)A是B的真子集，記為AB或BA.由兩個(gè)集合相等的定義可得到一個(gè)簡(jiǎn)單而有用的結(jié)論：假定A、B是集合，那么A=B當(dāng)且僅當(dāng)AB且BA.因此，證明兩個(gè)集合A、B相等的常用方法是證明A、B互相包含，即（1）任取A，證得B，即有AB；（2）任取B，證得A，即有BA.例1 求證：拋物線y2=4各組相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡為拋物線的準(zhǔn)線= -1.證明 設(shè)A、B分別為準(zhǔn)線=-1上點(diǎn)集和y2=4各組相互垂直的切線的交點(diǎn)集合，設(shè)法證明A=B.設(shè)PB，則P為y2=4的任兩垂直切線的交點(diǎn)，這兩條切線的切點(diǎn)為

13、（t12，2t1）、（t2 2，2t2），則切線方程分別是t1y=+t1，t2y=+t2.可求得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)=t1t2，由于t1t2=-1，所以PA，即BA.設(shè)點(diǎn)Q（-1，m）是集合A內(nèi)任一點(diǎn)，由不復(fù)雜的計(jì)算可得，當(dāng)k0時(shí)，過(guò)Q點(diǎn)的直線y=k（+1）+m與拋物線相切的充要條件是存在實(shí)數(shù)k滿足方程k2+mk-1=0.由于m2+40，所以方程有兩個(gè)相異實(shí)根k1，k2，且 k1k2=-1，于是過(guò)Q點(diǎn)的分別以k1、k2為斜率的兩切線垂直，即QB，從而AB.綜合上述證明知，A=B.易證集合的包含關(guān)系有如下重要性質(zhì)：（1）AA；（2）若AB，BC，則AC.我們規(guī)定：空集是任意集合的子集.這一規(guī)定是合理的.

14、事實(shí)上，若A是B的子集，則A中任一元素都屬于B，也即A中不存在不屬于B的元素.空集 是沒(méi)有元素的集合，所以在空集中不存在不屬于任意集合A的元素，即空集是任意集合的子集， A.由集合相等的判別方法可以證明空集是唯一存在的.集合的運(yùn)算1. 交集（1）AB=BA（交換律）；（2）（AB）C=A（BC）；（結(jié)合律）（3）AB當(dāng)且僅當(dāng)AB=A；（4）AA=A（等冪律）；（5）A = ，AI=A.2. 并集（1）AB=BA（交換律）；（2）（AB）C=A（BC）（結(jié)合律）；（3）AB當(dāng)且僅當(dāng)AB=B；（4）AA=A（等冪律）；（5）A =A；AI=I.（6） A（BC）=（AB）（AC），A（AC）=（A

15、B）（AC）.（7） A（AB）=A，A（AB）=A.初等數(shù)學(xué)研究教案令A(yù)（n）表示n的所有質(zhì)因數(shù)的集合，即A（n）=a|a是質(zhì)數(shù)且a整除n.試證關(guān)于A（n）有下列結(jié)論成立：（1）若q整除n，則A（q）A（n）；（2）若q、r分別是m、n的公因數(shù)和公倍數(shù)，則A（q）A（m）A（n），A（m）A（n）A（r）；（3）若q是m、n的最大公因數(shù)，則A（q）=A（m）A（n）；（4）若r是m、n的最小公倍數(shù)，則A（r）=A（m）A（n）.證明 （1）、（2）顯然，下面證明（3）、（4）成立.設(shè)質(zhì)數(shù)pA（m）A（n），則p整除m，p整數(shù)n，從而p整除它們的最大公因數(shù)q，于是pA（q）.所以，A（m）A（

16、n）A（q），再由（2）的結(jié)論知，（3）成立.要證明（4）成立，需利用質(zhì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：如果質(zhì)數(shù)p整除ab，則p整除a或整除b.設(shè)r是m、n的最小公倍數(shù)，且質(zhì)數(shù)pA（r），則r=ms,r=nt，s、t互質(zhì).倘若p不整除m，由p整除ms知，p整除s.由于s、t互質(zhì)，p 不整除t，但p整除nt，所以p整除n，即pA（m）A（n），A（r）A（m）A（n），由（2）的結(jié)論知（4）成立.設(shè)A、B是全集I中的子集，則關(guān)于集合的補(bǔ)集，有下列等式成立：（1）CI =I，CII= ；（2）CI（CIA）=A；（3）若AB，則CIBCIA；（4）CI（AB）=CIACIB，（AB）=CIACIB.證明從略.等式（

17、4）就是關(guān)于集合的德摩根（D. Morgan）定律.一般地，兩個(gè)具有固定次序的事物x、y組成的序列叫做序偶（或序?qū)Γ?，記為（x，y）顯然，在一般情況下，（x，y）（y，x）.集合A、B的笛卡兒積AB是全體序偶（a，b）的集合，其中aA，bB.笛卡兒積可以表述為AB=（a，b）|aA，bB若A=B，則AA習(xí)慣記為A2.例3 在平面上建立直角坐標(biāo)系以后，平面就可以看成是實(shí)數(shù)集R的笛卡兒積RR=R2.如果A、B分別是x軸、y軸上的兩個(gè)閉區(qū)間，那么AB就是一個(gè)矩形區(qū)域（見(jiàn)圖1-1）.在三維空間中，如果S=x，y| x，yR，x2+y2=1是個(gè)單位圓，I=z|zR，1z2是個(gè)區(qū)間，那么SI就是一個(gè)圓柱面

18、（見(jiàn)圖1-2）.z Y B AB I SI X A S (X,Y) 圖1-1 圖1-2笛卡兒積是個(gè)集合，它的運(yùn)算具有下列性質(zhì)：（1）A（BC）=（AB）（AC）；（2）A（BC）=（AB）（AC）；（3）A = ； （4）（AB）（CD）=（AC）（BD）.初等數(shù)學(xué)研究教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：1、 若A=蘋(píng)果，桔子，香蕉，B=刀，叉，求笛卡兒積AB。2、 證明：A（BC）=（AB）（AC），A（AC）=（AB）（AC）.下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)考察中學(xué)數(shù)學(xué)的集合基礎(chǔ)實(shí)施情況及教學(xué)效果分析課堂中能很好地完成教學(xué)任務(wù)，師生互動(dòng)效果較好，例題的選取從難度和廣度可以稍微擴(kuò)展。學(xué)生能更深刻地理解中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的

19、思想和方法，更好地理解數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。學(xué)生能更系統(tǒng)地在現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下掌握中學(xué)數(shù)學(xué)的理論體系。學(xué)生能在高觀點(diǎn)下去處理中學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)問(wèn)題特別是競(jìng)賽數(shù)學(xué)題。學(xué)院審核意見(jiàn) 學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日初等數(shù)學(xué)研究教案授課時(shí)間 2007.3.8 第 2 次課 授課章節(jié)第 1章 第 2節(jié)任課教師及職稱(chēng)王劍 講師教學(xué)方法與手段講授法、探究式課時(shí)安排2學(xué)時(shí)季素月等編初等數(shù)學(xué)研究教程李長(zhǎng)明等編初等數(shù)學(xué)研究余元希等編著初等代數(shù)研究 朱德祥編著初等幾何研究 教學(xué)目的與要求：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解集合與中學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)系主要體現(xiàn)在集合思想的滲透和集合語(yǔ)言的使用上。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)：重點(diǎn)：集合語(yǔ)言在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用難點(diǎn)：運(yùn)用集

20、合語(yǔ)言解決問(wèn)題教學(xué)內(nèi)容：2 集合與中學(xué)數(shù)學(xué)本節(jié)研究集合在中學(xué)數(shù)學(xué)體系中的基礎(chǔ)作用。（一）概念與集合中學(xué)數(shù)學(xué)中許多概念的形成，要通過(guò)集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算來(lái)進(jìn)行.例如，有理數(shù)集Q=負(fù)有理數(shù)0正有理數(shù)；實(shí)數(shù)集=有理數(shù)無(wú)理數(shù)；虛數(shù)集=CR；正方形=菱形矩形，等等.從邏輯角度而言，我們常用的“屬加種差”的概念定義方式，實(shí)質(zhì)上是從屬概念的外延集合A中區(qū)分出具有“種差”性質(zhì)的子集B，于是B=x|xA且，其中是“種差性質(zhì)”. 例如，矩形=x|x有一直角并且x平行四邊形.但是，有時(shí)候會(huì)出現(xiàn)這樣的情形：用不同的特征性質(zhì)去定義同一個(gè)概念，這時(shí)就需要證明兩個(gè)性質(zhì)的等價(jià)性.換句話說(shuō)，即要證明滿足這兩個(gè)性質(zhì)的元素所構(gòu)成的

21、集合相等.比如，在平行四邊形范圍中要證明矩形“有一直角”的性質(zhì)等價(jià)于“具有相等的對(duì)角線”的性質(zhì)，只須證明x|x有一直角且x平行四邊形=x|x平行四邊形且x的對(duì)角線相等.（二） 集合與方程、不等式方程和不等式的有關(guān)內(nèi)容在中學(xué)代數(shù)中占較大比例，用集合語(yǔ)言來(lái)解釋、描述方程（或不等式）的某些概念，既揭示本質(zhì)又簡(jiǎn)單明了.例 解不等式4.解 x|4x|x316且x3x|x19x|x3x|3x19.初等數(shù)學(xué)研究教案例如：解方程（或方程組）、解不等式（或不等式組），與集合的運(yùn)算有關(guān)，在解形如f1（x）f2（x）fn（x）=0的方程時(shí)，若記Mi為fi（x）=0的解集（1in），A為f1（x）f2（x）fn（x）

22、的允許值集合，則原方程的解集T=A（M1M2Mn）若已知兩個(gè)變量的方程f（x，y）=0、g（x，y）=0的解集分別是M1、M2,則方程組的解集T=M1M2，在坐標(biāo)平面上表現(xiàn)為兩曲線f（x，y）=0，g（x，y）=0的交點(diǎn)的集合，如果方程中，F(xiàn)（x，y）=0、G（x，y）=0的解集M1、M2不等于M1、M2，但M1M2=M1M2，那么，這兩個(gè)方程組同解.例如，方程組 與 同解，盡管方程xy6與x2+y213表示不同的曲線.（三） 運(yùn)用集合語(yǔ)言解決問(wèn)題例題 某數(shù)學(xué)競(jìng)賽只出了A、B、C三道題，有25個(gè)學(xué)生參加，每人至少能解出一道解.在沒(méi)有解出A題的學(xué)生中，解出B題的學(xué)生人數(shù)是解出C題的人數(shù)的兩倍；只

23、能解出A題的人數(shù)比其余解出A題的人數(shù)多1；在只能解出一題的學(xué)生中，有一半不能解出A題.試求只能解出B題的學(xué)生數(shù).解 如圖1-8所示. 設(shè)X、Y、Z分別為只解出A、B、C題的人數(shù)；V、U、W分別為只解出A、B，B、C，A、C兩題的人數(shù)，T為同時(shí)解出三題的人數(shù).由條件知， 圖1-8所以，25=X+Y+Z+W+V+T+U =X+X+X-1+U即3X+U=26.因?yàn)閄=Y+Z，Y=2Z+U，所以9Z+4U=26，9Z26，Z2.當(dāng)Z=1時(shí)，4U=17不可能.當(dāng)Z=2時(shí)，U=2，Y=6，X=8，代入原題合乎題意，所以，只解出B題的學(xué)生有6人.初等數(shù)學(xué)研究教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：運(yùn)用集合語(yǔ)言解決： 一個(gè)船

24、夫（F）要把一只狼（W）、一頭羊（G）和一籃白菜（C）從河的左岸運(yùn)到右岸，由于船小，除船夫外，每次只能運(yùn)一樣?xùn)|西.當(dāng)然，狼和羊、羊和白菜不能在無(wú)人監(jiān)視的情況下放在一起，問(wèn)船夫怎樣才能達(dá)到目的？下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)命題及其演算實(shí)施情況及教學(xué)效果分析課堂中能很好地完成教學(xué)任務(wù)，師生互動(dòng)效果較好，例題的選取從難度和廣度可以稍微擴(kuò)展。學(xué)生能更深刻地理解中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的思想和方法，更好地理解數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。學(xué)生能更系統(tǒng)地在現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下掌握中學(xué)數(shù)學(xué)的理論體系。學(xué)生能在高觀點(diǎn)下去處理中學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)問(wèn)題特別是競(jìng)賽數(shù)學(xué)題。學(xué)院審核意見(jiàn) 學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日初等數(shù)學(xué)研究教案授課時(shí)間 2007.3.13 第

25、 3 次課 授課章節(jié)第 1章 第 3 節(jié)任課教師及職稱(chēng)王劍 講師教學(xué)方法與手段講授法、探究式課時(shí)安排2學(xué)時(shí)季素月等編初等數(shù)學(xué)研究教程李長(zhǎng)明等編初等數(shù)學(xué)研究 余元希等編著初等代數(shù)研究 朱德祥編著初等幾何研究教學(xué)目的與要求：幫助學(xué)生理解命題的概念、分類(lèi)及表示方法，熟練掌握命題的演算規(guī)則。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)：重點(diǎn)：命題的演算。難點(diǎn)：符合命題的四種形式，及他們的真假定義。教學(xué)內(nèi)容： 3 命題及其演算 本節(jié)介紹數(shù)理邏輯的基本知識(shí)。定義1 給定命題p，用聯(lián)結(jié)詞“非”構(gòu)成的復(fù)合命題“非p”叫做命題p的否定式（或稱(chēng)為非命題），記為p.其真值定義如下：p p1 00 1例1 p：我是個(gè)工人.p：并非“我是個(gè)工人”=

26、我不是一個(gè)工人.p：2+2=4.p：2+24.p：我每天寫(xiě)大字.p：我并沒(méi)有每天寫(xiě)大字.定義2 給定兩個(gè)命題p、q，用聯(lián)結(jié)詞“且”構(gòu)成的復(fù)合命題“p且q”叫做p、q的合取式（或稱(chēng)做聯(lián)言命題），記為pq.其真值定義如下：p q pq1 1 11 0 00 1 00 0 0初等數(shù)學(xué)研究教案p：28是7的倍數(shù).q：28是4的倍數(shù).pq：28是7和4的倍數(shù).由兩個(gè)命題“39”、“912”組成的合取式“39且912”的真命題，通常把它簡(jiǎn)單地記作“3912定義3 給定兩個(gè)命題p、q，用聯(lián)結(jié)詞“或”構(gòu)成的復(fù)合命題“p或q”叫做p、q的析取式（或稱(chēng)為選言命題），記做“pq”，其真值定義如下：p q pq1 1

27、 11 0 10 1 10 0 0定義4 給定兩個(gè)命題p、q，用聯(lián)結(jié)詞“若則”構(gòu)成的復(fù)合命題“若p則q”叫做p、q的蘊(yùn)涵式（或稱(chēng)假言命題），記為“pq”.其中p稱(chēng)為前件，q稱(chēng)為后件，蘊(yùn)涵式的真值定義如下：p q pq1 1 11 0 00 1 10 0 1例3 小紅的爸爸對(duì)小紅作了一個(gè)許諾：如果小紅數(shù)學(xué)得滿分（p）；那么他替她買(mǎi)一條連衣裙（q），于是，就有四種可能發(fā)生.（1）小紅數(shù)學(xué)得滿分，爸爸買(mǎi)了一條連衣裙（p真q真）.（2）小紅數(shù)學(xué)得滿分，但爸爸沒(méi)有買(mǎi)連衣裙（p真q假）.（3）小紅數(shù)學(xué)沒(méi)有得滿分，爸爸仍然買(mǎi)了條連衣裙（p假q真）.（4）小紅數(shù)學(xué)沒(méi)有得滿分，爸爸沒(méi)有買(mǎi)連衣裙（p假q假）.毫無(wú)

28、疑問(wèn)，情況（1）說(shuō)明爸爸遵守了諾言，所以，“pq”真，在（3）、（4）情況下，由于小紅沒(méi)有得5分，所以不管爸爸有沒(méi)有買(mǎi)連衣裙，都不能說(shuō)爸爸違背了諾言，“pq”仍然真.只有情況（2）說(shuō)明爸爸沒(méi)有信守諾言，“pq”假.實(shí)際上，“pq”是真命題意味著兩點(diǎn)：前件p假，則后件q可能真也可能假；倘若前件p真，則后件一定真.復(fù)合命題的4種基本形式，分別用4個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞由命題p或q組成.在這基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步運(yùn)用真值聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成新的更復(fù)雜的命題.任何一個(gè)復(fù)合命題都有相應(yīng)的真值，其真值可以通過(guò)真值表加以計(jì)算.例4求出下列公式的值：（1）（pq）pq;（2）(ppq)解 公式的真值表如下：初等數(shù)學(xué)研究教案 （1）p

29、 q pq （pq）p （pq）pq 1 1 1 1 11 0 0 0 10 1 1 0 10 0 1 0 1（2）p q pq ppq (ppq) 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0同一律 在同一思維過(guò)程中，對(duì)于同一對(duì)象的每一思想（概念或判斷）都必須保持其同一性和確定性，用公式表示為pp.矛盾律 在同一思維過(guò)程中，一個(gè)命題不能既真又假，或者說(shuō)，兩個(gè)相互矛盾的命題不能同時(shí)為真，用公式表示為（pp）.排中律 在同一思維過(guò)程中，一個(gè)命題或者真或者假，兩者必居其一，或者說(shuō)，兩個(gè)相互矛盾的命題一真一假、一假一真，用公式表示為pp.一些基本的等價(jià)命題（利用真值

30、表不難驗(yàn)證其正確性）.（1）（交換律）pq=qp，pq=qp.（2）（結(jié)合律）（pq）r=p（qr），（pq）r=p（qr）.（3）（分配律）p（qr）=pqpr，pqr=（pq）（pr）.（4）（雙重否定律）p=p.（5）（德摩根律）（pq）= pq，（pq）= pq.（6）pq= pq，（pq）=pq.例5 寫(xiě)出下列命題的否定式（1）28能被4整除，又能被7整除；（2）10或者-10；（3）若63，則107.解 （1）令p表示命題“28被4整除”，q表示命題“28被7整除”.那么原命題為“pq”，其否定為 （pq）= pq.這表示28不能被4整除或者28不能被7整除.（2）原命題改寫(xiě)為（1

31、0）（-10），其否定為（10（-10）=（10）（-10）.即10并且-10.（3）令p表示命題“63”，q表示命題“107，原命題是蘊(yùn)含式“pq”，其否定為（pq）pq.即63，但是107.初等數(shù)學(xué)研究教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：1、求證：（1）pqr（pr）（qr）；（2）p（qr）=（pq）（pr）. 2、證明：若x3+y3=2，則x+y2. 3、證明：如果a2能被2整除，則a能被2整除.4、當(dāng)n、a是正整數(shù)時(shí)，證明或者是正整數(shù)，或者是無(wú)理數(shù).下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)簡(jiǎn)要了解數(shù)學(xué)擴(kuò)充的歷史實(shí)施情況及教學(xué)效果分析課堂中能很好地完成教學(xué)任務(wù)，師生互動(dòng)效果較好，例題的選取從難度和廣度可以稍微擴(kuò)展。學(xué)生能更

32、深刻地理解中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的思想和方法，更好地理解數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。學(xué)生能更系統(tǒng)地在現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下掌握中學(xué)數(shù)學(xué)的理論體系。學(xué)生能在高觀點(diǎn)下去處理中學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)問(wèn)題特別是競(jìng)賽數(shù)學(xué)題。學(xué)院審核意見(jiàn) 學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日初等數(shù)學(xué)研究教案授課時(shí)間 2007.3.15 第 4 次課 授課章節(jié)第 1章 第 4 節(jié)任課教師及職稱(chēng)王劍 講師教學(xué)方法與手段講授法、探究式課時(shí)安排2學(xué)時(shí)季素月等編初等數(shù)學(xué)研究教程李長(zhǎng)明等編初等數(shù)學(xué)研究余元希等編著初等代數(shù)研究 朱德祥編著初等幾何研究 教學(xué)目的與要求：引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)系擴(kuò)充的必要性及數(shù)系擴(kuò)充的必須遵循的四個(gè)原則。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)：重點(diǎn)：數(shù)系擴(kuò)充的方法難點(diǎn)：數(shù)系擴(kuò)充

33、必須遵循的原則教學(xué)內(nèi)容： 4 數(shù)系擴(kuò)充概述本節(jié)研究數(shù)系發(fā)展的原則和方法。若從數(shù)學(xué)學(xué)科本身發(fā)展的需要來(lái)看，擴(kuò)充的必要性常從兩方面來(lái)說(shuō)明：（1）某一運(yùn)算的逆運(yùn)算在原有數(shù)集中不能完全實(shí)施；（2）某一方程在原有數(shù)集中無(wú)解. 數(shù)的擴(kuò)充方法一般有兩種.一種是在已建立的數(shù)系A(chǔ)中添加一類(lèi)新數(shù)的集合，構(gòu)成擴(kuò)集B，例如，在非負(fù)有理數(shù)集Q+0基礎(chǔ)上添加負(fù)有理數(shù)集Q，構(gòu)成有理數(shù)集Q=Q+0Q-.另一種方法是先用舊數(shù)集A中的數(shù)為材料構(gòu)成一個(gè)新數(shù)集B，然后指出新數(shù)集B中某一真子集與A相等（嚴(yán)格講，是B的某個(gè)真子集與A同構(gòu)），復(fù)數(shù)系的建立就是采用這一種方法.從數(shù)集A擴(kuò)充為數(shù)集B，不論采用哪一種方法，都必須遵循下列原則：（1

34、）A B，即集A集B的真子集；（2）集A中已定義的元素之間的基本關(guān)系和運(yùn)算，在集B中也有相應(yīng)的定義，并且集B中的定義，對(duì)于B的子集A中的元素來(lái)說(shuō)，與原來(lái)A中的定義一致；（3）在A中無(wú)解的某類(lèi)方程，在集B中有解；（4）B是滿足上述三個(gè)原則的A的所有擴(kuò)充中的最小擴(kuò)充。由于“某一運(yùn)算的逆運(yùn)算在原由數(shù)集中不能完全實(shí)施”，“某一方程在原有數(shù)集中無(wú)解”，使得數(shù)集擴(kuò)充有著必要性。數(shù)集的過(guò)沖有 “添加新元素法”和 “構(gòu)造法” 兩種。從數(shù)集A擴(kuò)充到數(shù)集B，不論采用哪一種方法都必須遵循四個(gè)原則。初等數(shù)學(xué)研究教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：自由選擇一本數(shù)學(xué)史教材，理解數(shù)對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)理論的重要性，寫(xiě)出一篇簡(jiǎn)短的論文。下次課預(yù)

35、習(xí)要點(diǎn)自然數(shù)學(xué)的基本理論實(shí)施情況及教學(xué)效果分析課堂中能很好地完成教學(xué)任務(wù)，師生互動(dòng)效果較好，例題的選取從難度和廣度可以稍微擴(kuò)展。學(xué)生能更深刻地理解中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的思想和方法，更好地理解數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。學(xué)生能更系統(tǒng)地在現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下掌握中學(xué)數(shù)學(xué)的理論體系。學(xué)生能在高觀點(diǎn)下去處理中學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)問(wèn)題特別是競(jìng)賽數(shù)學(xué)題。學(xué)院審核意見(jiàn) 學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日初等數(shù)學(xué)研究教案授課時(shí)間 2007.3.20 第 5 次課 授課章節(jié)第1 章 第 5 節(jié)任課教師及職稱(chēng)王劍 講師教學(xué)方法與手段講授法、探究式課時(shí)安排2學(xué)時(shí)季素月等編初等數(shù)學(xué)研究教程李長(zhǎng)明等編初等數(shù)學(xué)研究余元希等編著初等代數(shù)研究 朱德祥編著初等

36、幾何研究教學(xué)目的與要求：使學(xué)生理解和掌握自然數(shù)的序數(shù)理論，并能掌握和靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)：重點(diǎn)：自然數(shù)的序數(shù)理論。難點(diǎn)：自然數(shù)的公理系統(tǒng)。教學(xué)內(nèi)容：5 自然數(shù)本節(jié)研究自然數(shù)的序數(shù)理論。定義1 非空集合N中的元素叫做自然數(shù),如果N的元素之間有一個(gè)基本關(guān)系“后繼”(b后繼于a,記為b=a)，并滿足下列公理：（1）1N，1不是N中任何元素的后繼元素；（2）對(duì)N中任何元素a，有唯一的aN；（3）對(duì)N中任何元a，如果a1，則a必后繼于N中某一元素b；（4）（歸納公理）如果MN，且1M；若aM，則aM.那么，M= N.這個(gè)系統(tǒng)稱(chēng)為皮亞諾公理系統(tǒng).定理1 自然數(shù)的加法滿足結(jié)合律與交換律.

37、即對(duì)任何a、b、cN，有（1）a+（b+c）=（a+b）+c；（2）a+b=b+a.證明 （1）設(shè)a、b是給定的兩個(gè)自然數(shù)，令集合M=c|a+（b+c）=（a+b）+c.由于（a+b）+1=（a+b）=a+b=a+（b+1），所以1M.若cM，即（a+b）+c=a+（b+c），則a+（b+c）=a+（b+c）=（a+（b+c）=（a+b）+c）=（a+b）+c.于是，cM.初等數(shù)學(xué)研究教案根據(jù)歸納公理，M=N.再由a、b的任意性知a+（b+c）=（a+b）+c成立.（2）先證對(duì)任意的aN，1+a=a+1成立.設(shè)集合M=a|a+1=1+a.因1+1=1+1，所以1M.若aM，即有a+1=1+a，

38、于是a+1=（a+1）+1=（1+a）+1=1+（a+1）=1+a.這表明aM.由歸納公理，M=N，即對(duì)所有自然數(shù)a，1+a=a+1成立.再證a+b=b+a成立.令集合M=b|a+b=b+a.由上述證明知1M.若bM，則a+b=a+（b+1）=（a+b）+1=（b+a）+1 =1+（b+a）=（1+b）+a=（b+1）+a=b+a.即bM，于是M= N，則a+b=b+a成立.定義3 自然數(shù)的乘法是指這樣的對(duì)應(yīng)：對(duì)于每一對(duì)自然數(shù)a、b，有且僅有一個(gè)自然數(shù)（記為ab）與之對(duì)應(yīng)，且具有下述性質(zhì)：（1）a1=a；（2）ab=ab+a.這里a、b稱(chēng)為乘數(shù)，ab稱(chēng)為a、b的積.定理2 自然數(shù)的乘法滿足右分

39、配律，即對(duì)N中任何a、b、c，有（a+b）c=ac+bc.證明 令集合M=c|（a+b）c=ac+bc.因?yàn)椋╝+b）1=a+b=a1+b1，所以1M.假定cM，就有（a+b）c=ac+bc，于是（a+b）c=（a+b）c+（a+b）=（ac+bc）+（a+b） =（ac+a）+（bc+b）=ac+bc，這說(shuō)明cM，按歸納公理得M= N.定理3 自然數(shù)的乘法滿足右分配律.定理4 自然數(shù)的乘法滿足結(jié)合律，即對(duì)任意的自然數(shù)a、b、c，有a（bc）=（ab）c仿照定理1的（2）的證明可證得.根據(jù)定理1-4，代數(shù)結(jié)構(gòu)（N，+），（N，）都是半群.定義4 設(shè)a、bN，如果存在xN，使b+x=a，則稱(chēng)x為

40、a減去b的差，記作a-b，a叫做被減數(shù)，b叫做減數(shù)，求兩數(shù)差的運(yùn)算叫做減法.減法是加法的逆運(yùn)算，在自然數(shù)集中，由于方程b+x=a不總是有解，所以減法也不是總能實(shí)施的.定義5 設(shè)a、bN，如果存在xN，使bx=a，則稱(chēng)x是a除以b的商，記作a/b.這里a叫做被除數(shù)，b叫做除數(shù)，求兩數(shù)商的運(yùn)算叫做除法.初等數(shù)學(xué)研究教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：1、證明：自然數(shù)的乘法滿足右分配律.2、證明：自然數(shù)的乘法滿足結(jié)合律，即對(duì)任意的自然數(shù)a、b、c，有a（bc）=（ab）c.下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)自然數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步研究實(shí)施情況及教學(xué)效果分析課堂中能很好地完成教學(xué)任務(wù)，師生互動(dòng)效果較好，例題的選取從難度和廣度可以稍微擴(kuò)展。

41、學(xué)生能更深刻地理解中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的思想和方法，更好地理解數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。學(xué)生能更系統(tǒng)地在現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下掌握中學(xué)數(shù)學(xué)的理論體系。學(xué)生能在高觀點(diǎn)下去處理中學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)問(wèn)題特別是競(jìng)賽數(shù)學(xué)題。學(xué)院審核意見(jiàn) 學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日初等數(shù)學(xué)研究教案授課時(shí)間 2007.3.22 第 6 次課 授課章節(jié)第1 章 第 5 節(jié)任課教師及職稱(chēng)王劍 講師教學(xué)方法與手段講授法、探究式課時(shí)安排2學(xué)時(shí)季素月等編初等數(shù)學(xué)研究教程李長(zhǎng)明等編初等數(shù)學(xué)研究余元希等編著初等代數(shù)研究 朱德祥編著初等幾何研究 教學(xué)目的與要求：掌握自然數(shù)的性質(zhì)和數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)：重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的原理難點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決問(wèn)

42、題教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)繼續(xù)研究自然數(shù)的序數(shù)理論。定義6 設(shè)a、bN，如果存在一個(gè)自然數(shù)k，使a=b+k，就說(shuō)a大于b，記為ab；或說(shuō)b小于a，記為ba.定理5 自然數(shù)集中的關(guān)系“”滿足下列性質(zhì)：（1）（反自反性）aa， aN.（2）（傳遞性）若ab，bc，則ac.（3）（全序性）對(duì)于N中任兩個(gè)數(shù)a、b，下列情況有且僅有一種成立；ab，a=b，ba.反自反性，傳遞性證明從略.現(xiàn)證明全序性.證明 先證明三種可能中至多有一個(gè)成立.假設(shè)ab，a=b同時(shí)成立，就有kN，使a=b+k，由a=b得b=b+k，矛盾.同理ba與ab不能同時(shí)成立，ba與a=b也不能同時(shí)成立.再證ab，a=b，ba中至少有一個(gè)成立.取定

43、a，對(duì)b運(yùn)用歸納.當(dāng)b=1時(shí)，若a=1，則a=b；若a1，則存在cN，使a=c=c+1，于是a1=b，即ab成立.假設(shè)ab，a=b，ba中總有一個(gè)成立，考慮a與b的順序關(guān)系.當(dāng)ba時(shí)，存lN，使b=a+l，b=（a+l）=a+l，ba；當(dāng)a=b時(shí)，b=b+1=a+1，ba；當(dāng)ab時(shí)，存在kN，使a=b+k.若k=1，則a=b；若k1，則存在sN，使k=1+s，于是a=b+k=b+（1+s）=（b+1）+s=b+s，ab.定理6 自然數(shù)集中的順序關(guān)系“”滿足加法和乘法的保序性.即（1）若ab，則a+cb+c；初等數(shù)學(xué)研究教案（2）若ab，則acbc.定理7 在自然數(shù)集中，消去律成立.即（1）若a

44、+c=b+c，則a=b；（2）若ac=bc，則a=b.自然數(shù)的順序關(guān)系“”還具有其他性質(zhì)；定理8 在自然數(shù)集N中，1是最小數(shù)，即對(duì)于任何自然數(shù)a，a1.仿照定理5 的證明，請(qǐng)同學(xué)寫(xiě)出定理6、7、8的證明。定理9 （自然數(shù)的離散性）任兩個(gè)相鄰的自然數(shù)a與a之間，不存在自然數(shù)b，使得aba.證明 若ba，則存在kN，使b=a+k.因k1，所以a+ka+1，即ba，矛盾，故ab不可能成立.定理10 （阿基米德性質(zhì)）對(duì)任意自然數(shù)a、b，必有自然數(shù)n，使nab.提示： 取nb即可.定理11 （最小數(shù)原理）N的任何一個(gè)非空子集必有最小數(shù).證明 用反證法.設(shè)非空集合AN，但A沒(méi)有最小數(shù).令所有小于A中任何一

45、個(gè)數(shù)的自然數(shù)組成的集合為M.因?yàn)?是自然數(shù)集N的最小數(shù)，而A沒(méi)有最小數(shù)，所以1A，這說(shuō)明1M.假設(shè)mM，現(xiàn)在設(shè)法證明mM.事實(shí)上，如果m M，則存在a1A，使a1m.又因A中沒(méi)有最小數(shù)，故存在a2A，使a2a1m，于是a2m，與mM矛盾.所以M= N.因?yàn)锳非空，A中至少有一數(shù)t，且tN=M，由集M的定義知tt，矛盾，所以集A有最小數(shù).歸納公理與最小數(shù)原理是等價(jià)的.數(shù)學(xué)歸納法的兩種基本形式的依據(jù)就是歸納公理與最小數(shù)原理.定理12 （數(shù)學(xué)歸納法第一基本形式）設(shè)f（n）是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果（1）f（l）成立；（2）若f（k）成立，則f（k）成立.那么，f（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立.證明

46、令M=n|f（n）是真命題，nN，由歸納公理以及條件（1）、（2）知M= N.定理13 （數(shù)學(xué)歸納法第二基本形式）設(shè)f（n）是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果（1）f（1）成立；（2）假設(shè)f（m）對(duì)所有小于k（k1）的自然數(shù)m都成立，f（k）也成立.那么，f（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立.證明 假設(shè)符合上述條件（1）、（2）的f（n）對(duì)某些自然數(shù)并不成立，則M=n|f（n）不是真命題是非空集合，因而M有最小數(shù)n0，n01.因?yàn)閚0是f（n）不成立的最小數(shù)，對(duì)于小于n0的一切數(shù)f（n）都成立，由（2）知f（n0）也成立，即n0M，矛盾.利用集合論的知識(shí)來(lái)定義自然數(shù)的加法、乘法和順序關(guān)系。1. 若集合A、

47、B之間能建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱(chēng)A、B等價(jià)，一切等價(jià)集合的共同特征叫做基數(shù).不能與其任一真子集等價(jià)的集合叫做有限集，有限集的基數(shù)叫做自然數(shù).2. 設(shè)有限集合A、B的基數(shù)分別是a、b.（1）如果A與B等價(jià)，則稱(chēng)a等于b，記為a=b；（2）如果A與B的一個(gè)真子集等價(jià)，則稱(chēng)a小于b，記為ab；（3）如果A的一個(gè)真子集與B等價(jià)，則稱(chēng)b小于a，記為ba.3. 設(shè)兩個(gè)有限集A、B的基數(shù)分別為a、b，且AB=，如果C=AB，則稱(chēng)C的基數(shù)c是a、b的和，記為c=a+b，求兩數(shù)和的運(yùn)算叫做加法.設(shè)b個(gè)等價(jià)集合A1、A2、Ab的基數(shù)都是a，且AiAj（1ijb，如果C=A1A2Ab.則稱(chēng)C的基數(shù)c是a、b的積，

48、記為ab.求兩數(shù)積的運(yùn)算叫做乘法.容易證明，自然數(shù)的加法、乘法運(yùn)算律都成立.初等數(shù)學(xué)研究教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：1、用最小自然數(shù)原理證明歸納公理。2、用歸納公理證明最小自然數(shù)原理。下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)整數(shù)和有理數(shù)的理論體系的構(gòu)建實(shí)施情況及教學(xué)效果分析課堂中能很好地完成教學(xué)任務(wù)，師生互動(dòng)效果較好，例題的選取從難度和廣度可以稍微擴(kuò)展。學(xué)生能更深刻地理解中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的思想和方法，更好地理解數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。學(xué)生能更系統(tǒng)地在現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下掌握中學(xué)數(shù)學(xué)的理論體系。學(xué)生能在高觀點(diǎn)下去處理中學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)問(wèn)題特別是競(jìng)賽數(shù)學(xué)題。學(xué)院審核意見(jiàn) 學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日初等數(shù)學(xué)研究教案授課時(shí)間 2007.3.27

49、 第 7 次課 授課章節(jié)第1 章 第 6 節(jié)任課教師及職稱(chēng)王劍 講師教學(xué)方法與手段講授法、探究式課時(shí)安排2學(xué)時(shí)季素月等編初等數(shù)學(xué)研究教程李長(zhǎng)明等編初等數(shù)學(xué)研究余元希等編著初等代數(shù)研究 朱德祥編著初等幾何研究教學(xué)目的與要求：理解并熟練掌握整數(shù)的構(gòu)造理論。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)：重點(diǎn)：整數(shù)的定義及運(yùn)算。難點(diǎn)：整數(shù)的運(yùn)算。教學(xué)內(nèi)容：6 整數(shù)和有理數(shù)本節(jié)研究整數(shù)的構(gòu)造及其性質(zhì)。6.1.1 整數(shù)的定義及運(yùn)算定義1 兩序偶(a,b)、（c,d）相等,當(dāng)且僅當(dāng)a=c、b=d.定義2 設(shè)(a,b),(c,d)NN,如果a+d=b+c,則稱(chēng)(a,b)等價(jià)于(c,d),記為(a,b)(c,d).定理1 NN中關(guān)系“”是個(gè)

50、等價(jià)關(guān)系,即關(guān)系“”滿足（1）（反身性）（a，b）（a，b）；（2）（對(duì)稱(chēng)性）若（a，b）（c，d），則（c，d）（a，b）；（3）（傳遞性）若（a，b）（c，d），（c，d）（e，f），則（a，b）（e，f）.這里只證（3），（1）、（2）留給學(xué)生完成.證明 （a，b）（c，d），（c，d）（e，f），a+d=b+c，c+f=d+e.于是，a+d+f=b+c+f=b+d+e，由消去律，得a+f=b+e，（a，b）（e，f），（3）得證.NN中與（a，b）等價(jià)的一切序偶組成的集合叫做（a，b）的等價(jià)類(lèi)，記為a，b. 定義3 NN中序偶的等價(jià)類(lèi)叫做整數(shù).一切整數(shù)的集合叫做整數(shù)集，記為Z.由定義2

51、、定義3可知，兩整數(shù)a，b、c、d相等，當(dāng)且僅當(dāng)a+d=b+c.特別地，有a+m，b+m=a，b，mN.定義4 Z中加法、乘法規(guī)定如下：a，b+c，d=a+c，b+d.a，bc，d= 例1 設(shè)a，b=a，b，c，d= c，d，求證：（1）a，b+ c，d= a，b+ c，d，ac+bd，ad+bc.（2）a，bc，d = a，b c，d.初等數(shù)學(xué)研究教案證明（2）a，b =a，b，c，d= c，d.a+ b= b+ a，c+ d= d +c.于是，ac+bc=bc+ac，ad+bd=bd+ad，兩式相加，得ac+bc+bd+ad=bc+ac+ad+bd，所以 ac+bd，bc+ad=ac+bd

52、，bc+ad，即 a，bc，d=a，bc，d.同理可證 a，bc，d= a，bc，d，所以 a，bc，d= a，bc，d.定理2 整數(shù)集Z中的加法、乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律、交換律和分配律.此定理可利用自然數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和定義4得到證明，具體過(guò)程從略.定義5 整數(shù)1，1叫做整數(shù)集Z的零元（或者叫做數(shù)零）；對(duì)任意整數(shù)a，b（a b），b，a叫做a，b的負(fù)元（或者叫做相反數(shù)）記為-a，b.例2 已知a，b，c，dZ，求證方程c，d+x=a，b在Z中有且僅有一解.證明 在方程兩邊同加上c，d的負(fù)元d，c，得c，d+x+d，c= a，b+ d，c.由交換律，結(jié)合律得（c，d+d，c）+x=a+d，b+c，即

53、x=a+d，b+c.反之，a+d，b+c也適合方程，所以方程有唯一解a+d，b+c.a+d,b+c叫做a、b減去c、d的差，記為a，b-c，d.又因?yàn)閍+d，b+c=a，b+d，c=a，b+（-c，d），定理3 正整數(shù)集合Z+與自然數(shù)集N關(guān)于加法和乘法運(yùn)算是同構(gòu)的.證明 設(shè)集Z+到集N的映射f為f：1+m，1m，顯然f是一一映射，并且對(duì)任意的m，nN，f（1+m，1+1+n，1）=f（1+m）+（1+n），1+1）=f（1+m+n，1）=m+n=f（1+m，1）+f（1+n，1）.f（1+m，11+n，1）=f（1+m）（1+n）+1，1+m+1+n）=f（mn-1，1）=mn=f（1+m，1

54、）f（1+n，1）.所以Z+與N同構(gòu).6.1.2 整數(shù)的順序關(guān)系定義6 設(shè)、Z，若-Z+，則稱(chēng)大于，記為，或稱(chēng)小于，記.定理4 設(shè)a、bN，那么（1）1+a，1+1+b，1=a+b；（2）1，1+a+1，1+b=-（a+b）；（3）1+a，1+1，1+b=（4）1+a，11+b，1=ab；（5）1，1+a1，1+b=ab；（6）1+a，11，1+b=-ab.定理5 設(shè)，是兩個(gè)整數(shù)，則=0的充要條件是=0或=0.證明 若=0=1，1，=a，b，則=1，1a，b=a+b，a+b=1，1=0；如果0，0，由定理4中（4），（5），（6），知0.定理6 Z中的順序關(guān)系“”滿足反自反性，傳遞性，全序性.

55、定理7 Z中的順序關(guān)系“”滿足加法和乘法的保序性.即：（1）若ab，則a+cb+c，a，b，cZ；（2）若ab，c0，則acbc，a，b，cZ.定理的證明留給學(xué)生.定理8在整數(shù)集中，消去律成立，即（1）若a+c=b+c，則a=b；（2）若c0，ac=bc，則a=b.證明 （1）在a+c=b+c兩邊同加上c的負(fù)元，便得a=b.（2）由ac=bc得ac-bc=0，即（a-b）c=0，因c0，由定理5知a-b=0，即a=b.特別要注意，這里的加法、乘法法則是由定義4推導(dǎo)出來(lái)的，而在中學(xué)教材中的加法、乘法運(yùn)算法則就是加法、乘法運(yùn)算的定義，是不能證明的.初等數(shù)學(xué)研究教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：1、證明：Z中

56、的順序關(guān)系“”滿足反自反性，傳遞性，全序性.2、證明：Z中的順序關(guān)系“”滿足加法和乘法的保序性. 下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)有理數(shù)的理論構(gòu)建實(shí)施情況及教學(xué)效果分析課堂中能很好地完成教學(xué)任務(wù)，師生互動(dòng)效果較好，例題的選取從難度和廣度可以稍微擴(kuò)展。學(xué)生能更深刻地理解中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的思想和方法，更好地理解數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。學(xué)生能更系統(tǒng)地在現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下掌握中學(xué)數(shù)學(xué)的理論體系。學(xué)生能在高觀點(diǎn)下去處理中學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)問(wèn)題特別是競(jìng)賽數(shù)學(xué)題。學(xué)院審核意見(jiàn) 學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日初等數(shù)學(xué)研究教案授課時(shí)間 2007.3.29 第 8次課 授課章節(jié)第1章 第 6節(jié)任課教師及職稱(chēng)王劍 講師教學(xué)方法與手段講授法、探究式課時(shí)

57、安排2學(xué)時(shí)季素月等編初等數(shù)學(xué)研究教程李長(zhǎng)明等編初等數(shù)學(xué)研究余元希等編著初等代數(shù)研究 朱德祥編著初等幾何研究 教學(xué)目的與要求：理解并熟練掌有理數(shù)的構(gòu)造理論。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)：重點(diǎn)：有理數(shù)的定義及運(yùn)算。難點(diǎn)：有理數(shù)的運(yùn)算。教學(xué)內(nèi)容：6.2.1 有理數(shù)的定義及運(yùn)算 本節(jié)研究有理數(shù)的定義及其運(yùn)算。定義7 若（a，b），（c，d）ZZ0，且ad=bc，則稱(chēng)（a，b）等價(jià)于（c，d），記為（a，b）（c，d），其中Z0為非零整數(shù)集，ZZ0=（a，b）|aZ，bZ0.ZZ0中與（a，b）等價(jià)的一切序偶組成的集合叫做（a，b）的等價(jià)類(lèi)，記為a，b.定義8 ZZ0中序偶的等價(jià)類(lèi)叫做有理數(shù)，一切有理數(shù)的集合叫做有理

58、數(shù)集，記為Q.定義9 設(shè)a，b，c，dQ，則Q中加法、乘法規(guī)定為：a，b+c，d=ad+bc，bd；a，bc，d=ac，bd.定理9 有理數(shù)的加法、乘法滿足結(jié)合律、交換律和分配律.證明作為作業(yè)題。定義10 有理數(shù)0，1，1，1分別叫做Q的零元（或數(shù)“零”），單位元（或數(shù)“1”）.對(duì)任意的有理數(shù)a，b，-a，b叫做a，b的負(fù)元（或相反數(shù)），記為-a，b；如果a，b0，1，則b，a叫做a，b的逆元（或倒數(shù)），記為a，b-1或. 例3 證明：在有理數(shù)集中，方程c，d+x=a，b有且僅有一解.證明 在方程兩邊同加上c，d的負(fù)元-c，d，則有c，d+x+-c，d=a，b+-c，d，于是 x=a，b+-c

59、，d，即 x=ad-bc，bd.反之，ad-bc，bd適合方程.所以方程有且僅有一解ad-bc，bd.ad-bc，bd叫做a，b減去c，d的差，記為a，b- c，d ，即a，b- c，d= ad-bc，bd。由于ad-bc，bd= a，b+-c，d，于是得到減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).例4 證明：在有理數(shù)集中，當(dāng)c，d0，1時(shí)，方程c，dx=a，b有且僅有一解.初等數(shù)學(xué)研究教案證明 在方程兩邊同乘以c，d的逆元d,c,得c,d xd,c=a,bd,c,即 x=ad,bc.反之,ad,bc也適合方程,所以方程有且僅有一解ad,bc.我們把a(bǔ)d,bc叫做a,b除c,d的商,記為a,

60、bc,d,或.于是ad,bc =a,bc,d= a，bc，d-1.6.2.2 有理數(shù)的順序關(guān)系定義11 若,是有理數(shù)，且-Q+，則稱(chēng)大于或者小于，記為或.定理10 Q中的順序關(guān)系“”具有反自反性、傳遞性、全序性以及加法和乘法的保序性.證明 略.定理11 （阿基米德性質(zhì)）設(shè)，Q+，則存在nN，使n.證明 不訪設(shè)a、b、c、dN，對(duì)于正整數(shù)ad、bc，總存在nN，使nadbc，即n.和自然數(shù)一樣，整數(shù)集也具有離散性.然而，在有理數(shù)集中，這一性質(zhì)被稠密性所代替.定理12 （稠密性）若，Q，且，則存在Q，使.證明 取，于是-=- =0，所以，同理，.注記1 從自然數(shù)擴(kuò)充為有理數(shù)集一般有兩種途徑：（1）