大學課程初等數(shù)學研究教案

1、教 案2014-2015學年第一 學期 課 程 名 稱： 初等數(shù)學應(yīng)用 ： 初等教育2013級 任 課 教 師： 王劍 初等數(shù)學研究教案-課程簡介初等數(shù)學研究是初等教育專業(yè)的專業(yè)課。它是在學生掌握了一定的高等數(shù)學理論知識的基礎(chǔ)上，繼教育學、心理學之后而開設(shè)的。本課程從中學數(shù)學教學的需要出發(fā)，以基本問題分成若干專題進行研究，在內(nèi)容上適當加深和拓廣，在理論、觀點、思想、方法上予以總結(jié)提高，并著重解決理論方面的問題。本課程的重點是培養(yǎng)中小學數(shù)學教師嚴謹、系統(tǒng)的初等數(shù)學理論和基礎(chǔ)知識，訓練中小學數(shù)學教師的技巧。初等數(shù)學研究包括初等代數(shù)研究和初等幾何研究兩部分，是初等教育專業(yè)開設(shè)的一門綜合性的選修課程。

2、根據(jù)高等師范學校數(shù)學專業(yè)的培養(yǎng)目標，通過該課程的學習，使學生了解初等數(shù)學的發(fā)展過程，初等數(shù)學的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，思想方法等。理解初等數(shù)學理論知識，提高中學數(shù)學教學水平。學習本課程，要求學生更好地掌握并處理中學數(shù)學的教材，還必須使學生理解中學數(shù)學中用描述的方法引進的一些數(shù)學概念怎樣給出精確的定義，未作證明的或證明不完整的數(shù)學命題怎樣做出嚴格的證明，以及一些廣泛應(yīng)用的數(shù)學方法的理論依據(jù)。本課程擺脫了中學數(shù)學里已有的基礎(chǔ)，以及高等數(shù)學里已作詳盡討論的知識，按照自己的邏輯系統(tǒng)來闡述初等數(shù)學的內(nèi)容，并進行研究，將避免造成與中學數(shù)學或高等數(shù)學不必要的重復。對于中學數(shù)學中已經(jīng)解決的問題，將不在展開討論，已有的知識與

3、技能將作為工具來應(yīng)用，在高等數(shù)學里已討論過的有關(guān)理論，可以直接指導中學數(shù)學的，將直接應(yīng)用，不再討論。初等數(shù)學研究教案-教學大綱一、課程目標和教學要求1、基本課程目標本課程的教學要求分為了解、理解、掌握、運用四個層次。這四個層次的一般涵義表述如下：了解是指對本課程中的基本概念和原理的認知。理解是指對本課程涉及到的概念、定理、法則等的意義的解釋。掌握是指運用已理解的概念、定理、法則等去解決新的數(shù)學問題。運用是指會用重要的思想和方法去研究、分析、解決初等數(shù)學中的問題，形成較強的分析問題和解決問題的能力。2、基本內(nèi)容和教學要求第一部分初等代數(shù)（一） 數(shù)系教學內(nèi)容：集合的相關(guān)概念、數(shù)的概念的擴展、自然數(shù)

4、集、整數(shù)環(huán)、有理數(shù)域、近似計算、實數(shù)域、復數(shù)域教學要求：了解各個數(shù)系的構(gòu)成與擴展，數(shù)的運算和數(shù)的性質(zhì)，以及近似計算方法（二） 解析式教學內(nèi)容：解析式概念及其分類、多項式、分式、根式、指數(shù)式與對數(shù)式、三角式與反三角式教學要求：理解解析式、多項式、分式、根式、指數(shù)式與對數(shù)式、三角式與反三角式的概念及性質(zhì)；熟練地掌握解析式的運算和恒等變形（三） 初等函數(shù)教學內(nèi)容：函數(shù)概念、用初等方法討論函數(shù)、基本初等函數(shù)教學要求：理解函數(shù)的定義方法；掌握求函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)關(guān)系的方法；掌握函數(shù)的四個性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性）；掌握常見基本初等函數(shù)的圖形特征 （四） 方程和不等式教學內(nèi)容：方程與方程

5、的同解性、幾種特殊類型的代數(shù)方程的解法、初等超越方程、方程組；不等式及其性質(zhì)、證明不等式的常用方法、幾個著名的不等式、解不等式(組)、不等式的應(yīng)用教學要求：理解方程（組）的同解性理論；掌握一些特殊方程的解法。理解不等式的概念及有關(guān)性質(zhì)；掌握證明不等式的常用方法；會解不等式（組）（五） 排列與組合教學內(nèi)容：加法原理與乘法原理、排列、組合教學要求：理解加法原理與乘法原理，會求排列數(shù)和組合數(shù) 第二部分初等幾何（一）公理化方法與圖形的演繹推理教學內(nèi)容：公理化方法的發(fā)展、數(shù)學推理和數(shù)學證明的方法及其作用教學要求：理解數(shù)學中的公理化方法，透徹把握歐幾里的公理體系，希爾伯特公理體及其區(qū)別掌握數(shù)學推理和數(shù)學證

6、明的方法（二）幾何變換教學內(nèi)容：變換、變換群以及幾何變換的概念，在變換群概念的基礎(chǔ)上，分別討論幾種變換及相應(yīng)的幾何學 教學要求：掌握變換群的概念，能利用變換解決幾何問題，了解應(yīng)用幾何變換的觀點、思想與方法處理中學幾何是當今數(shù)學課程改革的一個思路。（三）幾何的向量結(jié)構(gòu)及坐標法 教學內(nèi)容：平面與空間向量的三種運算，并討論向量與坐標系的關(guān)系，向量方法在數(shù)學中的各種運用。 教學要求：掌握向量的概念、運算及其基本定理，并能在解題中靈活的加以運用，對處理數(shù)學課程改革提供一種思路二、課程實施（一）課時安排初等數(shù)學研究是專業(yè)選修課，系主干課程。一般情況下第八學期開設(shè)，安排3/周，有條件時可安排18周,共72課

7、時。具體安排如下： 內(nèi) 容 課 時 建 議 （一） 數(shù) 系 14學時 （二） 解析式 8學時（三） 初等函數(shù) 8學時 （四） 方程、不等式 10學時（五） 公理化方法與演繹推理 8學時（六） 幾何變換 8學時（七） 幾何的向量結(jié)構(gòu)及坐標法 8學時（八） 排列、組合 8學時（二）教學組織形式與教學方法要求本課程以教師課堂講授為主，并根據(jù)具體內(nèi)容適當采取多媒體、自學和課堂討論等形式組織教學。重點突出中學數(shù)學內(nèi)容在現(xiàn)代數(shù)學理論中的地位，解決學生不會主動地、有意識地從較高觀點研究中學數(shù)學的難點。提倡和鼓勵學生進行專題研究。1. 教學班是主要的教學組織，班級授課制是目前教學的主要組織形式。2. 注意教學

8、方法的靈活性，組織學生課前閱讀、課堂表述自己的理解和看法，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力和探究意識。3.充分發(fā)揮學生的主動性，可適當安排一些討論課。4.評價教學方法要以實現(xiàn)課程標準規(guī)定的教學目標為依據(jù)，好的教學方法應(yīng)有助于學生對教學內(nèi)容的理解，并能激發(fā)學生的學習熱情。三、教材選用與教學評價在課程標準的統(tǒng)一要求下，實行多樣化，可選用高等教育出版社（普通高校重點教材）的相應(yīng)教材，也可選用地方特色的教材，還可自編教材。評價依據(jù)是本課程標準規(guī)定的課程目標、教學內(nèi)容和要求。該門課程采用期末集中考試的形式進行，具體考試說明如下：1)考試時間：120分鐘。2)考試方式、分制與分數(shù)解釋采用閉卷、筆

9、試的方式，以百分制評分，60分為及格，滿分為100分。如果有可能的話，把形成性評價與終結(jié)性評價結(jié)合起來。3)題型及比例填空題20%；分析解答題40%；證明題40%；4）樣題與目標定位示例： A填空題：（著重考查學生對基本理論的理解掌握程度）例：自然數(shù)的序數(shù)理論是以_為基本概念建立起來的，它著重反映_問題。實數(shù)集的主要性質(zhì)有_ 。B. 分析解答題（著重考查學生運用基本理論解決問題的能力） 例：兩個整數(shù)的和等于118，且其中一數(shù)為11的倍數(shù)，另一數(shù)為17的倍數(shù)。求這兩個整數(shù)。 C .證明題（著重考查學生的論證能力）例：在ABC中，B900,BC邊的中垂線交AB于D,ABC的外接圓在A、C的切線交于

10、E,求證：DE/BC.初等數(shù)學研究教案 授課時間 2007.3.6 第 1 次課 授課章節(jié)第1章第1節(jié)任課教師及職稱王劍 講師教學方法與手段講授法、探究式課時安排2學時季素月等編初等數(shù)學研究教程 李長明等編初等數(shù)學研究余元希等編初等代數(shù)研究 朱德祥編初等幾何研究 教學目的與要求：引導學生深化對集合概念的理解和運用教學重點，難點：重點：集合的概念、集合的運算難點：笛卡兒積教學內(nèi)容： 1.1 集 合本節(jié)介紹集合的相關(guān)概念。根據(jù)康托的描述，任給一集合A，對于一事物，它或者是A中的元素，或者不是A中的元素，即“A”與“ A”，兩者必居其一且僅居其一，沒有第三種可能. 集合的表示法1.列舉法運用列舉法表

11、示集合必須注意下面兩點：（1）元素的無序性.即所列舉的元素的次序是無關(guān)緊要的.（2）元素的互異性.即所列舉的元素應(yīng)互不相同.2.描述法用確定的條件表示某種事物是否屬于這個集合的方法，叫做描述法.一般地，如果用表示變元所具有的某種性質(zhì)，那么，由具有性質(zhì)的所有元素組成的集合，可表示為|.為了能直觀形象地反映出集合與元集、集合與集合的關(guān)系，可用圓、矩形或封閉曲線表示一個集合，區(qū)域內(nèi)部的點表示此集合的元素.如圖1-1所示，A=，b，c，B=b，c，e，f.這種形象直觀的表示集合的圖形叫做維恩（Venn）（或譯為文氏）圖或歐拉（Eular）圖.初等數(shù)學研究教案給定兩集合A、B，如果集合A中每一元素都是集

12、合B的元素，那么，稱集合A為集合B的子集，這時也稱A被B包含或者B包含A，記為AB或BA.如果AB，但AB，則稱A是B的真子集，記為AB或BA.由兩個集合相等的定義可得到一個簡單而有用的結(jié)論：假定A、B是集合，那么A=B當且僅當AB且BA.因此，證明兩個集合A、B相等的常用方法是證明A、B互相包含，即（1）任取A，證得B，即有AB；（2）任取B，證得A，即有BA.例1 求證：拋物線y2=4各組相互垂直的切線的交點的軌跡為拋物線的準線= -1.證明 設(shè)A、B分別為準線=-1上點集和y2=4各組相互垂直的切線的交點集合，設(shè)法證明A=B.設(shè)PB，則P為y2=4的任兩垂直切線的交點，這兩條切線的切點為

13、（t12，2t1）、（t2 2，2t2），則切線方程分別是t1y=+t1，t2y=+t2.可求得P點的橫坐標=t1t2，由于t1t2=-1，所以PA，即BA.設(shè)點Q（-1，m）是集合A內(nèi)任一點，由不復雜的計算可得，當k0時，過Q點的直線y=k（+1）+m與拋物線相切的充要條件是存在實數(shù)k滿足方程k2+mk-1=0.由于m2+40，所以方程有兩個相異實根k1，k2，且 k1k2=-1，于是過Q點的分別以k1、k2為斜率的兩切線垂直，即QB，從而AB.綜合上述證明知，A=B.易證集合的包含關(guān)系有如下重要性質(zhì)：（1）AA；（2）若AB，BC，則AC.我們規(guī)定：空集是任意集合的子集.這一規(guī)定是合理的.

14、事實上，若A是B的子集，則A中任一元素都屬于B，也即A中不存在不屬于B的元素.空集 是沒有元素的集合，所以在空集中不存在不屬于任意集合A的元素，即空集是任意集合的子集， A.由集合相等的判別方法可以證明空集是唯一存在的.集合的運算1. 交集（1）AB=BA（交換律）；（2）（AB）C=A（BC）；（結(jié)合律）（3）AB當且僅當AB=A；（4）AA=A（等冪律）；（5）A = ，AI=A.2. 并集（1）AB=BA（交換律）；（2）（AB）C=A（BC）（結(jié)合律）；（3）AB當且僅當AB=B；（4）AA=A（等冪律）；（5）A =A；AI=I.（6） A（BC）=（AB）（AC），A（AC）=（A

15、B）（AC）.（7） A（AB）=A，A（AB）=A.初等數(shù)學研究教案令A（n）表示n的所有質(zhì)因數(shù)的集合，即A（n）=a|a是質(zhì)數(shù)且a整除n.試證關(guān)于A（n）有下列結(jié)論成立：（1）若q整除n，則A（q）A（n）；（2）若q、r分別是m、n的公因數(shù)和公倍數(shù)，則A（q）A（m）A（n），A（m）A（n）A（r）；（3）若q是m、n的最大公因數(shù)，則A（q）=A（m）A（n）；（4）若r是m、n的最小公倍數(shù)，則A（r）=A（m）A（n）.證明 （1）、（2）顯然，下面證明（3）、（4）成立.設(shè)質(zhì)數(shù)pA（m）A（n），則p整除m，p整數(shù)n，從而p整除它們的最大公因數(shù)q，于是pA（q）.所以，A（m）A（

16、n）A（q），再由（2）的結(jié)論知，（3）成立.要證明（4）成立，需利用質(zhì)數(shù)的一個性質(zhì)：如果質(zhì)數(shù)p整除ab，則p整除a或整除b.設(shè)r是m、n的最小公倍數(shù)，且質(zhì)數(shù)pA（r），則r=ms,r=nt，s、t互質(zhì).倘若p不整除m，由p整除ms知，p整除s.由于s、t互質(zhì)，p 不整除t，但p整除nt，所以p整除n，即pA（m）A（n），A（r）A（m）A（n），由（2）的結(jié)論知（4）成立.設(shè)A、B是全集I中的子集，則關(guān)于集合的補集，有下列等式成立：（1）CI =I，CII= ；（2）CI（CIA）=A；（3）若AB，則CIBCIA；（4）CI（AB）=CIACIB，（AB）=CIACIB.證明從略.等式（

17、4）就是關(guān)于集合的德摩根（D. Morgan）定律.一般地，兩個具有固定次序的事物x、y組成的序列叫做序偶（或序?qū)Γ洖椋▁，y）顯然，在一般情況下，（x，y）（y，x）.集合A、B的笛卡兒積AB是全體序偶（a，b）的集合，其中aA，bB.笛卡兒積可以表述為AB=（a，b）|aA，bB若A=B，則AA習慣記為A2.例3 在平面上建立直角坐標系以后，平面就可以看成是實數(shù)集R的笛卡兒積RR=R2.如果A、B分別是x軸、y軸上的兩個閉區(qū)間，那么AB就是一個矩形區(qū)域（見圖1-1）.在三維空間中，如果S=x，y| x，yR，x2+y2=1是個單位圓，I=z|zR，1z2是個區(qū)間，那么SI就是一個圓柱面

18、（見圖1-2）.z Y B AB I SI X A S (X,Y) 圖1-1 圖1-2笛卡兒積是個集合，它的運算具有下列性質(zhì)：（1）A（BC）=（AB）（AC）；（2）A（BC）=（AB）（AC）；（3）A = ； （4）（AB）（CD）=（AC）（BD）.初等數(shù)學研究教案復習思考題、作業(yè)題：1、 若A=蘋果，桔子，香蕉，B=刀，叉，求笛卡兒積AB。2、 證明：A（BC）=（AB）（AC），A（AC）=（AB）（AC）.下次課預習要點考察中學數(shù)學的集合基礎(chǔ)實施情況及教學效果分析課堂中能很好地完成教學任務(wù)，師生互動效果較好，例題的選取從難度和廣度可以稍微擴展。學生能更深刻地理解中學數(shù)學相關(guān)內(nèi)容的

19、思想和方法，更好地理解數(shù)學的統(tǒng)一性。學生能更系統(tǒng)地在現(xiàn)代數(shù)學思想的指導下掌握中學數(shù)學的理論體系。學生能在高觀點下去處理中學數(shù)學的相關(guān)問題特別是競賽數(shù)學題。學院審核意見 學院負責人簽字 年 月 日初等數(shù)學研究教案授課時間 2007.3.8 第 2 次課 授課章節(jié)第 1章 第 2節(jié)任課教師及職稱王劍 講師教學方法與手段講授法、探究式課時安排2學時季素月等編初等數(shù)學研究教程李長明等編初等數(shù)學研究余元希等編著初等代數(shù)研究 朱德祥編著初等幾何研究 教學目的與要求：引導學生認識和理解集合與中學數(shù)學的關(guān)系主要體現(xiàn)在集合思想的滲透和集合語言的使用上。教學難點與重點：重點：集合語言在中學數(shù)學中的應(yīng)用難點：運用集

20、合語言解決問題教學內(nèi)容：2 集合與中學數(shù)學本節(jié)研究集合在中學數(shù)學體系中的基礎(chǔ)作用。（一）概念與集合中學數(shù)學中許多概念的形成，要通過集合的交、并、補運算來進行.例如，有理數(shù)集Q=負有理數(shù)0正有理數(shù)；實數(shù)集=有理數(shù)無理數(shù)；虛數(shù)集=CR；正方形=菱形矩形，等等.從邏輯角度而言，我們常用的“屬加種差”的概念定義方式，實質(zhì)上是從屬概念的外延集合A中區(qū)分出具有“種差”性質(zhì)的子集B，于是B=x|xA且，其中是“種差性質(zhì)”. 例如，矩形=x|x有一直角并且x平行四邊形.但是，有時候會出現(xiàn)這樣的情形：用不同的特征性質(zhì)去定義同一個概念，這時就需要證明兩個性質(zhì)的等價性.換句話說，即要證明滿足這兩個性質(zhì)的元素所構(gòu)成的

21、集合相等.比如，在平行四邊形范圍中要證明矩形“有一直角”的性質(zhì)等價于“具有相等的對角線”的性質(zhì)，只須證明x|x有一直角且x平行四邊形=x|x平行四邊形且x的對角線相等.（二） 集合與方程、不等式方程和不等式的有關(guān)內(nèi)容在中學代數(shù)中占較大比例，用集合語言來解釋、描述方程（或不等式）的某些概念，既揭示本質(zhì)又簡單明了.例 解不等式4.解 x|4x|x316且x3x|x19x|x3x|3x19.初等數(shù)學研究教案例如：解方程（或方程組）、解不等式（或不等式組），與集合的運算有關(guān)，在解形如f1（x）f2（x）fn（x）=0的方程時，若記Mi為fi（x）=0的解集（1in），A為f1（x）f2（x）fn（x）

22、的允許值集合，則原方程的解集T=A（M1M2Mn）若已知兩個變量的方程f（x，y）=0、g（x，y）=0的解集分別是M1、M2,則方程組的解集T=M1M2，在坐標平面上表現(xiàn)為兩曲線f（x，y）=0，g（x，y）=0的交點的集合，如果方程中，F(xiàn)（x，y）=0、G（x，y）=0的解集M1、M2不等于M1、M2，但M1M2=M1M2，那么，這兩個方程組同解.例如，方程組 與 同解，盡管方程xy6與x2+y213表示不同的曲線.（三） 運用集合語言解決問題例題 某數(shù)學競賽只出了A、B、C三道題，有25個學生參加，每人至少能解出一道解.在沒有解出A題的學生中，解出B題的學生人數(shù)是解出C題的人數(shù)的兩倍；只

23、能解出A題的人數(shù)比其余解出A題的人數(shù)多1；在只能解出一題的學生中，有一半不能解出A題.試求只能解出B題的學生數(shù).解 如圖1-8所示. 設(shè)X、Y、Z分別為只解出A、B、C題的人數(shù)；V、U、W分別為只解出A、B，B、C，A、C兩題的人數(shù)，T為同時解出三題的人數(shù).由條件知， 圖1-8所以，25=X+Y+Z+W+V+T+U =X+X+X-1+U即3X+U=26.因為X=Y+Z，Y=2Z+U，所以9Z+4U=26，9Z26，Z2.當Z=1時，4U=17不可能.當Z=2時，U=2，Y=6，X=8，代入原題合乎題意，所以，只解出B題的學生有6人.初等數(shù)學研究教案復習思考題、作業(yè)題：運用集合語言解決： 一個船

24、夫（F）要把一只狼（W）、一頭羊（G）和一籃白菜（C）從河的左岸運到右岸，由于船小，除船夫外，每次只能運一樣東西.當然，狼和羊、羊和白菜不能在無人監(jiān)視的情況下放在一起，問船夫怎樣才能達到目的？下次課預習要點命題及其演算實施情況及教學效果分析課堂中能很好地完成教學任務(wù)，師生互動效果較好，例題的選取從難度和廣度可以稍微擴展。學生能更深刻地理解中學數(shù)學相關(guān)內(nèi)容的思想和方法，更好地理解數(shù)學的統(tǒng)一性。學生能更系統(tǒng)地在現(xiàn)代數(shù)學思想的指導下掌握中學數(shù)學的理論體系。學生能在高觀點下去處理中學數(shù)學的相關(guān)問題特別是競賽數(shù)學題。學院審核意見 學院負責人簽字 年 月 日初等數(shù)學研究教案授課時間 2007.3.13 第

25、 3 次課 授課章節(jié)第 1章 第 3 節(jié)任課教師及職稱王劍 講師教學方法與手段講授法、探究式課時安排2學時季素月等編初等數(shù)學研究教程李長明等編初等數(shù)學研究 余元希等編著初等代數(shù)研究 朱德祥編著初等幾何研究教學目的與要求：幫助學生理解命題的概念、分類及表示方法，熟練掌握命題的演算規(guī)則。教學難點與重點：重點：命題的演算。難點：符合命題的四種形式，及他們的真假定義。教學內(nèi)容： 3 命題及其演算 本節(jié)介紹數(shù)理邏輯的基本知識。定義1 給定命題p，用聯(lián)結(jié)詞“非”構(gòu)成的復合命題“非p”叫做命題p的否定式（或稱為非命題），記為p.其真值定義如下：p p1 00 1例1 p：我是個工人.p：并非“我是個工人”=

26、我不是一個工人.p：2+2=4.p：2+24.p：我每天寫大字.p：我并沒有每天寫大字.定義2 給定兩個命題p、q，用聯(lián)結(jié)詞“且”構(gòu)成的復合命題“p且q”叫做p、q的合取式（或稱做聯(lián)言命題），記為pq.其真值定義如下：p q pq1 1 11 0 00 1 00 0 0初等數(shù)學研究教案p：28是7的倍數(shù).q：28是4的倍數(shù).pq：28是7和4的倍數(shù).由兩個命題“39”、“912”組成的合取式“39且912”的真命題，通常把它簡單地記作“3912定義3 給定兩個命題p、q，用聯(lián)結(jié)詞“或”構(gòu)成的復合命題“p或q”叫做p、q的析取式（或稱為選言命題），記做“pq”，其真值定義如下：p q pq1 1

27、 11 0 10 1 10 0 0定義4 給定兩個命題p、q，用聯(lián)結(jié)詞“若則”構(gòu)成的復合命題“若p則q”叫做p、q的蘊涵式（或稱假言命題），記為“pq”.其中p稱為前件，q稱為后件，蘊涵式的真值定義如下：p q pq1 1 11 0 00 1 10 0 1例3 小紅的爸爸對小紅作了一個許諾：如果小紅數(shù)學得滿分（p）；那么他替她買一條連衣裙（q），于是，就有四種可能發(fā)生.（1）小紅數(shù)學得滿分，爸爸買了一條連衣裙（p真q真）.（2）小紅數(shù)學得滿分，但爸爸沒有買連衣裙（p真q假）.（3）小紅數(shù)學沒有得滿分，爸爸仍然買了條連衣裙（p假q真）.（4）小紅數(shù)學沒有得滿分，爸爸沒有買連衣裙（p假q假）.毫無

28、疑問，情況（1）說明爸爸遵守了諾言，所以，“pq”真，在（3）、（4）情況下，由于小紅沒有得5分，所以不管爸爸有沒有買連衣裙，都不能說爸爸違背了諾言，“pq”仍然真.只有情況（2）說明爸爸沒有信守諾言，“pq”假.實際上，“pq”是真命題意味著兩點：前件p假，則后件q可能真也可能假；倘若前件p真，則后件一定真.復合命題的4種基本形式，分別用4個邏輯聯(lián)結(jié)詞由命題p或q組成.在這基礎(chǔ)上，可以進一步運用真值聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成新的更復雜的命題.任何一個復合命題都有相應(yīng)的真值，其真值可以通過真值表加以計算.例4求出下列公式的值：（1）（pq）pq;（2）(ppq)解 公式的真值表如下：初等數(shù)學研究教案 （1）p

29、 q pq （pq）p （pq）pq 1 1 1 1 11 0 0 0 10 1 1 0 10 0 1 0 1（2）p q pq ppq (ppq) 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0同一律 在同一思維過程中，對于同一對象的每一思想（概念或判斷）都必須保持其同一性和確定性，用公式表示為pp.矛盾律 在同一思維過程中，一個命題不能既真又假，或者說，兩個相互矛盾的命題不能同時為真，用公式表示為（pp）.排中律 在同一思維過程中，一個命題或者真或者假，兩者必居其一，或者說，兩個相互矛盾的命題一真一假、一假一真，用公式表示為pp.一些基本的等價命題（利用真值

30、表不難驗證其正確性）.（1）（交換律）pq=qp，pq=qp.（2）（結(jié)合律）（pq）r=p（qr），（pq）r=p（qr）.（3）（分配律）p（qr）=pqpr，pqr=（pq）（pr）.（4）（雙重否定律）p=p.（5）（德摩根律）（pq）= pq，（pq）= pq.（6）pq= pq，（pq）=pq.例5 寫出下列命題的否定式（1）28能被4整除，又能被7整除；（2）10或者-10；（3）若63，則107.解 （1）令p表示命題“28被4整除”，q表示命題“28被7整除”.那么原命題為“pq”，其否定為 （pq）= pq.這表示28不能被4整除或者28不能被7整除.（2）原命題改寫為（1

31、0）（-10），其否定為（10（-10）=（10）（-10）.即10并且-10.（3）令p表示命題“63”，q表示命題“107，原命題是蘊含式“pq”，其否定為（pq）pq.即63，但是107.初等數(shù)學研究教案復習思考題、作業(yè)題：1、求證：（1）pqr（pr）（qr）；（2）p（qr）=（pq）（pr）. 2、證明：若x3+y3=2，則x+y2. 3、證明：如果a2能被2整除，則a能被2整除.4、當n、a是正整數(shù)時，證明或者是正整數(shù)，或者是無理數(shù).下次課預習要點簡要了解數(shù)學擴充的歷史實施情況及教學效果分析課堂中能很好地完成教學任務(wù)，師生互動效果較好，例題的選取從難度和廣度可以稍微擴展。學生能更

32、深刻地理解中學數(shù)學相關(guān)內(nèi)容的思想和方法，更好地理解數(shù)學的統(tǒng)一性。學生能更系統(tǒng)地在現(xiàn)代數(shù)學思想的指導下掌握中學數(shù)學的理論體系。學生能在高觀點下去處理中學數(shù)學的相關(guān)問題特別是競賽數(shù)學題。學院審核意見 學院負責人簽字 年 月 日初等數(shù)學研究教案授課時間 2007.3.15 第 4 次課 授課章節(jié)第 1章 第 4 節(jié)任課教師及職稱王劍 講師教學方法與手段講授法、探究式課時安排2學時季素月等編初等數(shù)學研究教程李長明等編初等數(shù)學研究余元希等編著初等代數(shù)研究 朱德祥編著初等幾何研究 教學目的與要求：引導學生掌握數(shù)系擴充的必要性及數(shù)系擴充的必須遵循的四個原則。教學難點與重點：重點：數(shù)系擴充的方法難點：數(shù)系擴充

33、必須遵循的原則教學內(nèi)容： 4 數(shù)系擴充概述本節(jié)研究數(shù)系發(fā)展的原則和方法。若從數(shù)學學科本身發(fā)展的需要來看，擴充的必要性常從兩方面來說明：（1）某一運算的逆運算在原有數(shù)集中不能完全實施；（2）某一方程在原有數(shù)集中無解. 數(shù)的擴充方法一般有兩種.一種是在已建立的數(shù)系A(chǔ)中添加一類新數(shù)的集合，構(gòu)成擴集B，例如，在非負有理數(shù)集Q+0基礎(chǔ)上添加負有理數(shù)集Q，構(gòu)成有理數(shù)集Q=Q+0Q-.另一種方法是先用舊數(shù)集A中的數(shù)為材料構(gòu)成一個新數(shù)集B，然后指出新數(shù)集B中某一真子集與A相等（嚴格講，是B的某個真子集與A同構(gòu)），復數(shù)系的建立就是采用這一種方法.從數(shù)集A擴充為數(shù)集B，不論采用哪一種方法，都必須遵循下列原則：（1

34、）A B，即集A集B的真子集；（2）集A中已定義的元素之間的基本關(guān)系和運算，在集B中也有相應(yīng)的定義，并且集B中的定義，對于B的子集A中的元素來說，與原來A中的定義一致；（3）在A中無解的某類方程，在集B中有解；（4）B是滿足上述三個原則的A的所有擴充中的最小擴充。由于“某一運算的逆運算在原由數(shù)集中不能完全實施”，“某一方程在原有數(shù)集中無解”，使得數(shù)集擴充有著必要性。數(shù)集的過沖有 “添加新元素法”和 “構(gòu)造法” 兩種。從數(shù)集A擴充到數(shù)集B，不論采用哪一種方法都必須遵循四個原則。初等數(shù)學研究教案復習思考題、作業(yè)題：自由選擇一本數(shù)學史教材，理解數(shù)對于整個數(shù)學理論的重要性，寫出一篇簡短的論文。下次課預

35、習要點自然數(shù)學的基本理論實施情況及教學效果分析課堂中能很好地完成教學任務(wù)，師生互動效果較好，例題的選取從難度和廣度可以稍微擴展。學生能更深刻地理解中學數(shù)學相關(guān)內(nèi)容的思想和方法，更好地理解數(shù)學的統(tǒng)一性。學生能更系統(tǒng)地在現(xiàn)代數(shù)學思想的指導下掌握中學數(shù)學的理論體系。學生能在高觀點下去處理中學數(shù)學的相關(guān)問題特別是競賽數(shù)學題。學院審核意見 學院負責人簽字 年 月 日初等數(shù)學研究教案授課時間 2007.3.20 第 5 次課 授課章節(jié)第1 章 第 5 節(jié)任課教師及職稱王劍 講師教學方法與手段講授法、探究式課時安排2學時季素月等編初等數(shù)學研究教程李長明等編初等數(shù)學研究余元希等編著初等代數(shù)研究 朱德祥編著初等

36、幾何研究教學目的與要求：使學生理解和掌握自然數(shù)的序數(shù)理論，并能掌握和靈活地運用數(shù)學歸納法解題。教學難點與重點：重點：自然數(shù)的序數(shù)理論。難點：自然數(shù)的公理系統(tǒng)。教學內(nèi)容：5 自然數(shù)本節(jié)研究自然數(shù)的序數(shù)理論。定義1 非空集合N中的元素叫做自然數(shù),如果N的元素之間有一個基本關(guān)系“后繼”(b后繼于a,記為b=a)，并滿足下列公理：（1）1N，1不是N中任何元素的后繼元素；（2）對N中任何元素a，有唯一的aN；（3）對N中任何元a，如果a1，則a必后繼于N中某一元素b；（4）（歸納公理）如果MN，且1M；若aM，則aM.那么，M= N.這個系統(tǒng)稱為皮亞諾公理系統(tǒng).定理1 自然數(shù)的加法滿足結(jié)合律與交換律.

37、即對任何a、b、cN，有（1）a+（b+c）=（a+b）+c；（2）a+b=b+a.證明 （1）設(shè)a、b是給定的兩個自然數(shù)，令集合M=c|a+（b+c）=（a+b）+c.由于（a+b）+1=（a+b）=a+b=a+（b+1），所以1M.若cM，即（a+b）+c=a+（b+c），則a+（b+c）=a+（b+c）=（a+（b+c）=（a+b）+c）=（a+b）+c.于是，cM.初等數(shù)學研究教案根據(jù)歸納公理，M=N.再由a、b的任意性知a+（b+c）=（a+b）+c成立.（2）先證對任意的aN，1+a=a+1成立.設(shè)集合M=a|a+1=1+a.因1+1=1+1，所以1M.若aM，即有a+1=1+a，

38、于是a+1=（a+1）+1=（1+a）+1=1+（a+1）=1+a.這表明aM.由歸納公理，M=N，即對所有自然數(shù)a，1+a=a+1成立.再證a+b=b+a成立.令集合M=b|a+b=b+a.由上述證明知1M.若bM，則a+b=a+（b+1）=（a+b）+1=（b+a）+1 =1+（b+a）=（1+b）+a=（b+1）+a=b+a.即bM，于是M= N，則a+b=b+a成立.定義3 自然數(shù)的乘法是指這樣的對應(yīng)：對于每一對自然數(shù)a、b，有且僅有一個自然數(shù)（記為ab）與之對應(yīng)，且具有下述性質(zhì)：（1）a1=a；（2）ab=ab+a.這里a、b稱為乘數(shù)，ab稱為a、b的積.定理2 自然數(shù)的乘法滿足右分

39、配律，即對N中任何a、b、c，有（a+b）c=ac+bc.證明 令集合M=c|（a+b）c=ac+bc.因為（a+b）1=a+b=a1+b1，所以1M.假定cM，就有（a+b）c=ac+bc，于是（a+b）c=（a+b）c+（a+b）=（ac+bc）+（a+b） =（ac+a）+（bc+b）=ac+bc，這說明cM，按歸納公理得M= N.定理3 自然數(shù)的乘法滿足右分配律.定理4 自然數(shù)的乘法滿足結(jié)合律，即對任意的自然數(shù)a、b、c，有a（bc）=（ab）c仿照定理1的（2）的證明可證得.根據(jù)定理1-4，代數(shù)結(jié)構(gòu)（N，+），（N，）都是半群.定義4 設(shè)a、bN，如果存在xN，使b+x=a，則稱x為

40、a減去b的差，記作a-b，a叫做被減數(shù)，b叫做減數(shù)，求兩數(shù)差的運算叫做減法.減法是加法的逆運算，在自然數(shù)集中，由于方程b+x=a不總是有解，所以減法也不是總能實施的.定義5 設(shè)a、bN，如果存在xN，使bx=a，則稱x是a除以b的商，記作a/b.這里a叫做被除數(shù)，b叫做除數(shù)，求兩數(shù)商的運算叫做除法.初等數(shù)學研究教案復習思考題、作業(yè)題：1、證明：自然數(shù)的乘法滿足右分配律.2、證明：自然數(shù)的乘法滿足結(jié)合律，即對任意的自然數(shù)a、b、c，有a（bc）=（ab）c.下次課預習要點自然數(shù)性質(zhì)的進一步研究實施情況及教學效果分析課堂中能很好地完成教學任務(wù)，師生互動效果較好，例題的選取從難度和廣度可以稍微擴展。

41、學生能更深刻地理解中學數(shù)學相關(guān)內(nèi)容的思想和方法，更好地理解數(shù)學的統(tǒng)一性。學生能更系統(tǒng)地在現(xiàn)代數(shù)學思想的指導下掌握中學數(shù)學的理論體系。學生能在高觀點下去處理中學數(shù)學的相關(guān)問題特別是競賽數(shù)學題。學院審核意見 學院負責人簽字 年 月 日初等數(shù)學研究教案授課時間 2007.3.22 第 6 次課 授課章節(jié)第1 章 第 5 節(jié)任課教師及職稱王劍 講師教學方法與手段講授法、探究式課時安排2學時季素月等編初等數(shù)學研究教程李長明等編初等數(shù)學研究余元希等編著初等代數(shù)研究 朱德祥編著初等幾何研究 教學目的與要求：掌握自然數(shù)的性質(zhì)和數(shù)學歸納法的理論依據(jù)教學難點與重點：重點：數(shù)學歸納法的原理難點：應(yīng)用數(shù)學歸納法解決問

42、題教學內(nèi)容：本節(jié)繼續(xù)研究自然數(shù)的序數(shù)理論。定義6 設(shè)a、bN，如果存在一個自然數(shù)k，使a=b+k，就說a大于b，記為ab；或說b小于a，記為ba.定理5 自然數(shù)集中的關(guān)系“”滿足下列性質(zhì)：（1）（反自反性）aa， aN.（2）（傳遞性）若ab，bc，則ac.（3）（全序性）對于N中任兩個數(shù)a、b，下列情況有且僅有一種成立；ab，a=b，ba.反自反性，傳遞性證明從略.現(xiàn)證明全序性.證明 先證明三種可能中至多有一個成立.假設(shè)ab，a=b同時成立，就有kN，使a=b+k，由a=b得b=b+k，矛盾.同理ba與ab不能同時成立，ba與a=b也不能同時成立.再證ab，a=b，ba中至少有一個成立.取定

43、a，對b運用歸納.當b=1時，若a=1，則a=b；若a1，則存在cN，使a=c=c+1，于是a1=b，即ab成立.假設(shè)ab，a=b，ba中總有一個成立，考慮a與b的順序關(guān)系.當ba時，存lN，使b=a+l，b=（a+l）=a+l，ba；當a=b時，b=b+1=a+1，ba；當ab時，存在kN，使a=b+k.若k=1，則a=b；若k1，則存在sN，使k=1+s，于是a=b+k=b+（1+s）=（b+1）+s=b+s，ab.定理6 自然數(shù)集中的順序關(guān)系“”滿足加法和乘法的保序性.即（1）若ab，則a+cb+c；初等數(shù)學研究教案（2）若ab，則acbc.定理7 在自然數(shù)集中，消去律成立.即（1）若a

44、+c=b+c，則a=b；（2）若ac=bc，則a=b.自然數(shù)的順序關(guān)系“”還具有其他性質(zhì)；定理8 在自然數(shù)集N中，1是最小數(shù)，即對于任何自然數(shù)a，a1.仿照定理5 的證明，請同學寫出定理6、7、8的證明。定理9 （自然數(shù)的離散性）任兩個相鄰的自然數(shù)a與a之間，不存在自然數(shù)b，使得aba.證明 若ba，則存在kN，使b=a+k.因k1，所以a+ka+1，即ba，矛盾，故ab不可能成立.定理10 （阿基米德性質(zhì)）對任意自然數(shù)a、b，必有自然數(shù)n，使nab.提示： 取nb即可.定理11 （最小數(shù)原理）N的任何一個非空子集必有最小數(shù).證明 用反證法.設(shè)非空集合AN，但A沒有最小數(shù).令所有小于A中任何一

45、個數(shù)的自然數(shù)組成的集合為M.因為1是自然數(shù)集N的最小數(shù)，而A沒有最小數(shù)，所以1A，這說明1M.假設(shè)mM，現(xiàn)在設(shè)法證明mM.事實上，如果m M，則存在a1A，使a1m.又因A中沒有最小數(shù)，故存在a2A，使a2a1m，于是a2m，與mM矛盾.所以M= N.因為A非空，A中至少有一數(shù)t，且tN=M，由集M的定義知tt，矛盾，所以集A有最小數(shù).歸納公理與最小數(shù)原理是等價的.數(shù)學歸納法的兩種基本形式的依據(jù)就是歸納公理與最小數(shù)原理.定理12 （數(shù)學歸納法第一基本形式）設(shè)f（n）是一個與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果（1）f（l）成立；（2）若f（k）成立，則f（k）成立.那么，f（n）對一切自然數(shù)n都成立.證明

46、令M=n|f（n）是真命題，nN，由歸納公理以及條件（1）、（2）知M= N.定理13 （數(shù)學歸納法第二基本形式）設(shè)f（n）是一個與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果（1）f（1）成立；（2）假設(shè)f（m）對所有小于k（k1）的自然數(shù)m都成立，f（k）也成立.那么，f（n）對一切自然數(shù)n都成立.證明 假設(shè)符合上述條件（1）、（2）的f（n）對某些自然數(shù)并不成立，則M=n|f（n）不是真命題是非空集合，因而M有最小數(shù)n0，n01.因為n0是f（n）不成立的最小數(shù)，對于小于n0的一切數(shù)f（n）都成立，由（2）知f（n0）也成立，即n0M，矛盾.利用集合論的知識來定義自然數(shù)的加法、乘法和順序關(guān)系。1. 若集合A、

47、B之間能建立一個一一對應(yīng)關(guān)系，則稱A、B等價，一切等價集合的共同特征叫做基數(shù).不能與其任一真子集等價的集合叫做有限集，有限集的基數(shù)叫做自然數(shù).2. 設(shè)有限集合A、B的基數(shù)分別是a、b.（1）如果A與B等價，則稱a等于b，記為a=b；（2）如果A與B的一個真子集等價，則稱a小于b，記為ab；（3）如果A的一個真子集與B等價，則稱b小于a，記為ba.3. 設(shè)兩個有限集A、B的基數(shù)分別為a、b，且AB=，如果C=AB，則稱C的基數(shù)c是a、b的和，記為c=a+b，求兩數(shù)和的運算叫做加法.設(shè)b個等價集合A1、A2、Ab的基數(shù)都是a，且AiAj（1ijb，如果C=A1A2Ab.則稱C的基數(shù)c是a、b的積，

48、記為ab.求兩數(shù)積的運算叫做乘法.容易證明，自然數(shù)的加法、乘法運算律都成立.初等數(shù)學研究教案復習思考題、作業(yè)題：1、用最小自然數(shù)原理證明歸納公理。2、用歸納公理證明最小自然數(shù)原理。下次課預習要點整數(shù)和有理數(shù)的理論體系的構(gòu)建實施情況及教學效果分析課堂中能很好地完成教學任務(wù)，師生互動效果較好，例題的選取從難度和廣度可以稍微擴展。學生能更深刻地理解中學數(shù)學相關(guān)內(nèi)容的思想和方法，更好地理解數(shù)學的統(tǒng)一性。學生能更系統(tǒng)地在現(xiàn)代數(shù)學思想的指導下掌握中學數(shù)學的理論體系。學生能在高觀點下去處理中學數(shù)學的相關(guān)問題特別是競賽數(shù)學題。學院審核意見 學院負責人簽字 年 月 日初等數(shù)學研究教案授課時間 2007.3.27

49、 第 7 次課 授課章節(jié)第1 章 第 6 節(jié)任課教師及職稱王劍 講師教學方法與手段講授法、探究式課時安排2學時季素月等編初等數(shù)學研究教程李長明等編初等數(shù)學研究余元希等編著初等代數(shù)研究 朱德祥編著初等幾何研究教學目的與要求：理解并熟練掌握整數(shù)的構(gòu)造理論。教學難點與重點：重點：整數(shù)的定義及運算。難點：整數(shù)的運算。教學內(nèi)容：6 整數(shù)和有理數(shù)本節(jié)研究整數(shù)的構(gòu)造及其性質(zhì)。6.1.1 整數(shù)的定義及運算定義1 兩序偶(a,b)、（c,d）相等,當且僅當a=c、b=d.定義2 設(shè)(a,b),(c,d)NN,如果a+d=b+c,則稱(a,b)等價于(c,d),記為(a,b)(c,d).定理1 NN中關(guān)系“”是個

50、等價關(guān)系,即關(guān)系“”滿足（1）（反身性）（a，b）（a，b）；（2）（對稱性）若（a，b）（c，d），則（c，d）（a，b）；（3）（傳遞性）若（a，b）（c，d），（c，d）（e，f），則（a，b）（e，f）.這里只證（3），（1）、（2）留給學生完成.證明 （a，b）（c，d），（c，d）（e，f），a+d=b+c，c+f=d+e.于是，a+d+f=b+c+f=b+d+e，由消去律，得a+f=b+e，（a，b）（e，f），（3）得證.NN中與（a，b）等價的一切序偶組成的集合叫做（a，b）的等價類，記為a，b. 定義3 NN中序偶的等價類叫做整數(shù).一切整數(shù)的集合叫做整數(shù)集，記為Z.由定義2

51、、定義3可知，兩整數(shù)a，b、c、d相等，當且僅當a+d=b+c.特別地，有a+m，b+m=a，b，mN.定義4 Z中加法、乘法規(guī)定如下：a，b+c，d=a+c，b+d.a，bc，d= 例1 設(shè)a，b=a，b，c，d= c，d，求證：（1）a，b+ c，d= a，b+ c，d，ac+bd，ad+bc.（2）a，bc，d = a，b c，d.初等數(shù)學研究教案證明（2）a，b =a，b，c，d= c，d.a+ b= b+ a，c+ d= d +c.于是，ac+bc=bc+ac，ad+bd=bd+ad，兩式相加，得ac+bc+bd+ad=bc+ac+ad+bd，所以 ac+bd，bc+ad=ac+bd

52、，bc+ad，即 a，bc，d=a，bc，d.同理可證 a，bc，d= a，bc，d，所以 a，bc，d= a，bc，d.定理2 整數(shù)集Z中的加法、乘法運算滿足結(jié)合律、交換律和分配律.此定理可利用自然數(shù)的運算性質(zhì)和定義4得到證明，具體過程從略.定義5 整數(shù)1，1叫做整數(shù)集Z的零元（或者叫做數(shù)零）；對任意整數(shù)a，b（a b），b，a叫做a，b的負元（或者叫做相反數(shù)）記為-a，b.例2 已知a，b，c，dZ，求證方程c，d+x=a，b在Z中有且僅有一解.證明 在方程兩邊同加上c，d的負元d，c，得c，d+x+d，c= a，b+ d，c.由交換律，結(jié)合律得（c，d+d，c）+x=a+d，b+c，即

53、x=a+d，b+c.反之，a+d，b+c也適合方程，所以方程有唯一解a+d，b+c.a+d,b+c叫做a、b減去c、d的差，記為a，b-c，d.又因為a+d，b+c=a，b+d，c=a，b+（-c，d），定理3 正整數(shù)集合Z+與自然數(shù)集N關(guān)于加法和乘法運算是同構(gòu)的.證明 設(shè)集Z+到集N的映射f為f：1+m，1m，顯然f是一一映射，并且對任意的m，nN，f（1+m，1+1+n，1）=f（1+m）+（1+n），1+1）=f（1+m+n，1）=m+n=f（1+m，1）+f（1+n，1）.f（1+m，11+n，1）=f（1+m）（1+n）+1，1+m+1+n）=f（mn-1，1）=mn=f（1+m，1

54、）f（1+n，1）.所以Z+與N同構(gòu).6.1.2 整數(shù)的順序關(guān)系定義6 設(shè)、Z，若-Z+，則稱大于，記為，或稱小于，記.定理4 設(shè)a、bN，那么（1）1+a，1+1+b，1=a+b；（2）1，1+a+1，1+b=-（a+b）；（3）1+a，1+1，1+b=（4）1+a，11+b，1=ab；（5）1，1+a1，1+b=ab；（6）1+a，11，1+b=-ab.定理5 設(shè)，是兩個整數(shù)，則=0的充要條件是=0或=0.證明 若=0=1，1，=a，b，則=1，1a，b=a+b，a+b=1，1=0；如果0，0，由定理4中（4），（5），（6），知0.定理6 Z中的順序關(guān)系“”滿足反自反性，傳遞性，全序性.

55、定理7 Z中的順序關(guān)系“”滿足加法和乘法的保序性.即：（1）若ab，則a+cb+c，a，b，cZ；（2）若ab，c0，則acbc，a，b，cZ.定理的證明留給學生.定理8在整數(shù)集中，消去律成立，即（1）若a+c=b+c，則a=b；（2）若c0，ac=bc，則a=b.證明 （1）在a+c=b+c兩邊同加上c的負元，便得a=b.（2）由ac=bc得ac-bc=0，即（a-b）c=0，因c0，由定理5知a-b=0，即a=b.特別要注意，這里的加法、乘法法則是由定義4推導出來的，而在中學教材中的加法、乘法運算法則就是加法、乘法運算的定義，是不能證明的.初等數(shù)學研究教案復習思考題、作業(yè)題：1、證明：Z中

56、的順序關(guān)系“”滿足反自反性，傳遞性，全序性.2、證明：Z中的順序關(guān)系“”滿足加法和乘法的保序性. 下次課預習要點有理數(shù)的理論構(gòu)建實施情況及教學效果分析課堂中能很好地完成教學任務(wù)，師生互動效果較好，例題的選取從難度和廣度可以稍微擴展。學生能更深刻地理解中學數(shù)學相關(guān)內(nèi)容的思想和方法，更好地理解數(shù)學的統(tǒng)一性。學生能更系統(tǒng)地在現(xiàn)代數(shù)學思想的指導下掌握中學數(shù)學的理論體系。學生能在高觀點下去處理中學數(shù)學的相關(guān)問題特別是競賽數(shù)學題。學院審核意見 學院負責人簽字 年 月 日初等數(shù)學研究教案授課時間 2007.3.29 第 8次課 授課章節(jié)第1章 第 6節(jié)任課教師及職稱王劍 講師教學方法與手段講授法、探究式課時

57、安排2學時季素月等編初等數(shù)學研究教程李長明等編初等數(shù)學研究余元希等編著初等代數(shù)研究 朱德祥編著初等幾何研究 教學目的與要求：理解并熟練掌有理數(shù)的構(gòu)造理論。教學難點與重點：重點：有理數(shù)的定義及運算。難點：有理數(shù)的運算。教學內(nèi)容：6.2.1 有理數(shù)的定義及運算 本節(jié)研究有理數(shù)的定義及其運算。定義7 若（a，b），（c，d）ZZ0，且ad=bc，則稱（a，b）等價于（c，d），記為（a，b）（c，d），其中Z0為非零整數(shù)集，ZZ0=（a，b）|aZ，bZ0.ZZ0中與（a，b）等價的一切序偶組成的集合叫做（a，b）的等價類，記為a，b.定義8 ZZ0中序偶的等價類叫做有理數(shù)，一切有理數(shù)的集合叫做有理

58、數(shù)集，記為Q.定義9 設(shè)a，b，c，dQ，則Q中加法、乘法規(guī)定為：a，b+c，d=ad+bc，bd；a，bc，d=ac，bd.定理9 有理數(shù)的加法、乘法滿足結(jié)合律、交換律和分配律.證明作為作業(yè)題。定義10 有理數(shù)0，1，1，1分別叫做Q的零元（或數(shù)“零”），單位元（或數(shù)“1”）.對任意的有理數(shù)a，b，-a，b叫做a，b的負元（或相反數(shù)），記為-a，b；如果a，b0，1，則b，a叫做a，b的逆元（或倒數(shù)），記為a，b-1或. 例3 證明：在有理數(shù)集中，方程c，d+x=a，b有且僅有一解.證明 在方程兩邊同加上c，d的負元-c，d，則有c，d+x+-c，d=a，b+-c，d，于是 x=a，b+-c

59、，d，即 x=ad-bc，bd.反之，ad-bc，bd適合方程.所以方程有且僅有一解ad-bc，bd.ad-bc，bd叫做a，b減去c，d的差，記為a，b- c，d ，即a，b- c，d= ad-bc，bd。由于ad-bc，bd= a，b+-c，d，于是得到減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).例4 證明：在有理數(shù)集中，當c，d0，1時，方程c，dx=a，b有且僅有一解.初等數(shù)學研究教案證明 在方程兩邊同乘以c，d的逆元d,c,得c,d xd,c=a,bd,c,即 x=ad,bc.反之,ad,bc也適合方程,所以方程有且僅有一解ad,bc.我們把ad,bc叫做a,b除c,d的商,記為a,

60、bc,d,或.于是ad,bc =a,bc,d= a，bc，d-1.6.2.2 有理數(shù)的順序關(guān)系定義11 若,是有理數(shù)，且-Q+，則稱大于或者小于，記為或.定理10 Q中的順序關(guān)系“”具有反自反性、傳遞性、全序性以及加法和乘法的保序性.證明 略.定理11 （阿基米德性質(zhì)）設(shè)，Q+，則存在nN，使n.證明 不訪設(shè)a、b、c、dN，對于正整數(shù)ad、bc，總存在nN，使nadbc，即n.和自然數(shù)一樣，整數(shù)集也具有離散性.然而，在有理數(shù)集中，這一性質(zhì)被稠密性所代替.定理12 （稠密性）若，Q，且，則存在Q，使.證明 取，于是-=- =0，所以，同理，.注記1 從自然數(shù)擴充為有理數(shù)集一般有兩種途徑：（1）