《地理信息系統(tǒng)原理與方法(第四版)》教學(xué)課件03 GIS的地理數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、第三章GIS的地理數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1幾何空間3.2地球橢球體與大地控制3.3地圖投影3.4空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換ContE nts目錄3.1幾何空間距離空間基于集合的幾何空間歐氏距離拓?fù)淇臻g幾何空間（距離空間）設(shè)X為任一非空集合，d:XXR為一函數(shù)，使得對于X的任何點x，y，z滿足下列性質(zhì)： M1：d(x，y)0 M2：d(x，y)=0 (x=y) M3：d(x，y)=d(y，x) M4：d(x，y)d(x，z)+ d(z，y)對于可數(shù)無限維實數(shù)空間 ，定義距離函數(shù)d為：對空間中的任意兩點p(x1, x2,)和q(y1, y2,)，d(p, q)= ，這里 和 均收斂。可以證明，d(p,q)一定收斂，( )

2、滿足距離空間定義。( )稱為希爾伯特（Hilbert）空間。定義例如距離空間幾何空間（距離空間）GIS中常用的距離及其與距離空間的關(guān)系距離最短：沿地球球面從一個城市到另一個城市的最短距離。球面曼哈頓距離：地球上兩個城市經(jīng)度差與緯度差之和。旅行時間：城市間旅行（假定沿公路線旅行）所需的最短時間?？疾焐鲜鼍嚯x定義，M1和M2顯然為這三種距離所滿足。最短線距離和曼哈頓距離亦滿足距離空間的對稱性。但旅行時間則不一定，若考慮路面狀況、地理特性（坡度等）、交通規(guī)則（單行線）等，則對稱性不能滿足。三角不等式性質(zhì)為最短線距離所滿足。對于旅行時間，三角不等式亦不一定滿足。如下圖所示，城市a和b及b和c間有高速公

3、路，而a與c之間只有低等級公路，則就旅行時間而言，T(a, b)+T(b, c)T(a, c)不一定成立。幾何空間（距離空間） 由上面的討論，我們知道球面上的城市集合與最短線距離，以及曼哈頓距離均構(gòu)成距離空間，而與旅行時間則不能構(gòu)成距離空間。這說明傳統(tǒng)的距離空間（亦稱度量空間）不能完全適應(yīng)GIS的需要。特別需要說明的是，旅行時間這類的距離在GIS應(yīng)用中有很重要的意義。例如，如下圖所示是地震后的救災(zāi)問題。救災(zāi)中心M需要在最短時間內(nèi)趕到災(zāi)區(qū)A、B、C、D、E，此時通常意義下的距離已不重要，對稱性、三角不等式難以滿足，時間是最重要的。災(zāi)區(qū)與急救中心的位置幾何空間（歐氏空間）定義：設(shè)d為定義在集合Rn

4、上的距離函數(shù)，d: Rn R，對于Rn中的任意元素x, y，x=(x1, x2, , xn)，y=(y1, y2, , yn)，有d(x, y)= ，則En =(Rn, d)稱為n維歐氏空間，Rn的每個元素稱為空間En的點，d稱為Rn上的歐氏距離。當(dāng)n=2時， E2稱為歐氏平面。歐氏空間歐氏平面E2中點的定義點：歐氏平面的點由一實數(shù)對(x, y)唯一確定，x, y分別為其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)值。通常也可以用矢量表示歐氏平面的點(x, y)，即用從坐標(biāo)原點到(x, y)的有方向的線段表示點(x, y)，所有這些點的集合稱為笛卡兒平面，記為R2。在笛卡兒平面中，允許下列對點的運算。幾何空間（歐氏空間）相

5、加：(x1, y1)+(x2, y2) = (x1+x2, y1+y2)相減：(x1, y1)-(x2, y2) = (x1-x2, y1-y2)乘常數(shù)：k*(x, y) = (kx, ky)求模：給定矢量a = (a1, a2)，其模為 =矢量間的距離：給定點a = (a1, a2)，b = (b1, b2)，從a到b的距離定義為 即： =矢量間的夾角：矢量a與b的夾角由下列三角幾何方程給定：cos = (a1b1+a2b2) / ( )矢量和的夾角：如下圖所示， 在0，360)范圍內(nèi)的值由下列三角幾何方程唯一確定笛卡兒平面中點的運算幾何空間（歐氏空間）線：給定R2中兩個不同點a和b，由a、

6、b確定的線定義為點集 線段：給定R2中的兩個不同點a和b，由a和b確定的線段定義為點集 射線：給定R2中的兩個不同點a和b，由b出發(fā)經(jīng)a的射線定義為點集多線段（Polyline）：R2上的多線段定義為線段（稱為邊）的有限集合，使得集合中邊的端點除兩個端點外（稱為極點）任一端點恰好為兩條邊的端點。若任意兩條邊均不相交于端點外的任何地方，則這類多線段稱為簡單多線段。若多線段中沒有極點，則稱該多線段是閉合的，如圖所示。歐氏平面E2中線的定義幾何空間（歐氏空間）多邊形：R 2中由閉合多線段圈定的區(qū)域稱為多邊形，該多線段稱為多邊形的邊界，多線段的每個端點稱為多邊形的結(jié)點。簡單多邊形：若多邊形的邊界是簡單

7、多線段，則稱為簡單多邊形。凸多邊形：若多邊形的任意一個內(nèi)角均小于180，則稱其為凸多邊形。凸多邊形的一個重要性質(zhì)是多邊形內(nèi)任意兩點的邊線仍落在多邊形內(nèi)。另一類較凸多邊形條件弱一點的多邊形稱為星形多邊形（Star-shaped Polygon）。在星形多邊形中至少存在一個點，該點與多邊形內(nèi)其他任何點的連線均在多邊形內(nèi)，如下圖所示。歐氏平面E2中面的定義幾何空間（歐氏空間）單調(diào)多線段點序列：歐氏平面上的點序列L=(p1, p2, pn)，若存在歐氏平面上的一條直線l，使得將L上的點投影到l上時，L中點的順序不變，則稱為單調(diào)點序列。圖3-7給出了單調(diào)和非單調(diào)點序列的實例。單調(diào)多線段點序列幾何空間（歐

8、氏空間）單調(diào)多邊形：一個多邊形稱為單調(diào)的，當(dāng)且僅當(dāng)其邊界可以劃分成兩個多線段，并使得每個多線段的結(jié)點組成的序列都是單調(diào)的。顯然，凸多邊形是單調(diào)多邊形，但單調(diào)多邊形不一定是凸多邊形，單調(diào)多邊形甚至不一定是星形多邊形。如圖給出的非星形多邊形是單調(diào)多邊形。多邊形的三角剖分：將多邊形劃分為若干個不相交的三角形。對多邊形進行三角剖分時，可能需要在多邊形區(qū)域內(nèi)引入臨時結(jié)點。不難證明，n個結(jié)點的多邊形若在進行三角剖分時引入了m個臨時結(jié)點，則形成的三角形數(shù)目一定為n+2m-2。若不需要引入臨時結(jié)點，則三角剖分稱為對角線三角剖分。單調(diào)多線段點序列幾何空間（歐氏空間）定理：n個結(jié)點的多邊形若存在對角線三角剖分，則

9、形成的三角形個數(shù)恰好為n-2。證明：對結(jié)點個數(shù)n用歸納法。歐氏空間定理當(dāng)n=3時，恰有一個三角形，結(jié)論顯見。設(shè)nk時，定理成立。當(dāng)n=k時（k3），設(shè)多邊形為P。沿著P的三角剖分之一條邊e（e不是多邊形P的邊）將P分割成兩個多邊形P1和P2，因為結(jié)點數(shù)n3，所以這樣的分割是可行的。設(shè)P1有k1個結(jié)點，P2有k2個結(jié)點，顯然k1 + k2 = k + 2（P1與P2之公共邊上的結(jié)點被重復(fù)計算），k1k且k2k。由歸納假定，對于P1和P2定理成立。故P1有k1-2個三角形，P2有k2-2個三角形。則P的三角形數(shù)目為(k1 + k2-2) -2 =k2。定理得證。幾何空間（歐氏空間）歐氏平面的任意函

10、數(shù)f: R 2 R 2稱為一個變換。實際上，有用的變換一定保留了對象的某種性質(zhì)，而改變了另外一些性質(zhì)。下面是歐氏平面的一些常見變換。變 換歐氏變換相似變換保留對象的大小和形狀的變換。例如，平移變換T，其數(shù)學(xué)形式為：對任意(x, y)R2，有：T(x, y)(x+a, y+b)，這里a, b為常量。保留對象的形狀，但大小可能發(fā)生變化的變換。例如，縮放變換S1（Scaling）是一類相似變換。其形式定義為：S1是R 2R 2的函數(shù)，對于任意(x, y)R 2，有：S1(x, y) = (ax, by)，這里a, b為常量。幾何空間（歐氏空間）保留對象仿射性質(zhì)的變換。旋轉(zhuǎn)變換R1、反射變換R2都是仿

11、射變換。其定義如下。R1是R 2 R 2的函數(shù)，對任意(x, y) R 2 ，有： R1(x, y) = (xcosysin ，xsin+ ycos)這里是一個常數(shù)。R1將歐氏平面的所有點以原點為中心，旋轉(zhuǎn)了角度 。R2是R 2 R 2的函數(shù)，對任意(x, y) R 2 ，有： R2(x, y) = (xcos2+ ysin2 ，xsin2ycos2)這里是一個常數(shù)。R2稱為通過原點且與x軸夾角為的直線上的反射變換。防射變換投影變換拓?fù)渥儞Q保留對象投影性質(zhì)的變換。投影變換的基本思想是在一個燈光源上將一幅圖投影到一個屏幕上。經(jīng)過投影，一個圓可能變成一個橢圓。保留對象拓?fù)湫再|(zhì)的變換。幾何空間（基于

12、集合的幾何空間）集合：由特定成員組成的一個整體稱為一個集合，這些成員稱為集合的元素。x是集合A的元素，記為xA?？占希簺]有任何元素屬于這個集合的集合稱為空集合，記為 。集合的包含與子集：若集合B的每個元素也是集合A的元素，則稱B包含于A，記為B A，B亦稱為A的子集。集合的相等：若集合A與集合B有A B，B A同時成立，則稱集合A與集合B相等，記為A=B。集合的基數(shù)：集合A的元素個數(shù)稱為A的基數(shù)，記為|A|。冪集：設(shè)A為任意集合，P(A)定義為：P(A)=x | xA，P(A)稱為A的冪集，記為2A。集合的并：設(shè)A、B是任意兩個集合，集合x | xA或xB稱為集合A與B的并集，記為A B?；?/p>

13、于集合的幾何空間集合基于集合的幾何空間包括集合、關(guān)系、函數(shù)和凸集等內(nèi)容。幾何空間（基于集合的幾何空間）集合的交：設(shè)A、B是任意兩個集合，集合x | xA且xB 稱為集合A與B的交集，記為A B。集合的差：設(shè)A、B是任意兩個集合，集合x | xA且x B稱為A相對于B的差集，記為A-B。全集合：若集合A包含所討論問題的全部元素，則稱A為全集合，記為U。集合的補：全集合U與集合A的差集，稱為A的補集，記為A。集合的對稱差：設(shè)集合A、B是任意兩個集合，集合x | xA或xB但x AB稱為A與B的對稱差。 下圖給出了集合的交、并、補運算的示意圖。幾何空間（基于集合的幾何空間）由幾個具有給定次序的元素a

14、1, a2, , an組成的序列，稱為有序n元組，記作：(a1, a2, , an)。當(dāng)n=2時，稱為序偶。例如，歐氏平面的點(x, y)就是一個序偶，設(shè)距離采用歐氏距離，則歐氏平面R 2 可以定義成所有實數(shù)序偶的集合，即R 2=(x, y)| x, yR 。設(shè)A1, A2, , An是任意集合，則稱集合a1, a2, , an| aiAi, i=1, 2, , n為集合A1, A2, , An的笛卡兒積，記為A1A2An。例如，設(shè)A=f1, f2, , fn，nN，這里f1, f2, , fn為n個多邊形，B=c1, c2, , cm，mN，這里c1, c2, , cm為m種不同顏色，則A與

15、B的笛卡兒積為： A B = (f1, c1), (f1, c2), , (f1, cm), (f2, c1), (f2, c2), , (f2, cm), (fn, c1), (fn, c2), , (fn, cm) 可以看出，AB實際上表述了各個多邊形可能的所有著色。關(guān)系定義1定義2幾何空間（基于集合的幾何空間）如前所述，關(guān)系表述的是對象間的關(guān)聯(lián)模式。實際應(yīng)用中，二元關(guān)系經(jīng)常使用。例： A=f1, f2, f3，f1, f2, f3為多邊形，B=黃, 紅, 藍(lán)，B為三種顏色組成的集合。則：AB=(f1, 黃)，(f1, 紅)，(f1, 藍(lán))，(f2, 黃)，(f2, 紅)，(f2, 藍(lán))，

16、(f3, 黃)，(f3, 紅)，(f3, 藍(lán))1=(f1, 黃)，(f2, 藍(lán))，(f3, 藍(lán))2=(f1, 黃)，(f1, 藍(lán))，(f2,藍(lán))，(f3, 藍(lán))3=(f1, 黃)，(f2, 藍(lán))由關(guān)系的定義可知，1、2、3均是A到B的關(guān)系，它們表述的是f1、f2、f3可能的著色，其中2、3顯然不是確定的著色方案，因為2中f1有兩種著色，而3中f3沒有著色。關(guān)系的一些重要性質(zhì)由定義4給出。設(shè)nN, A1, A2, , An為任意n個集合，A1A2An，則稱為A1,A2, , An間的n元關(guān)系。當(dāng)n=2時，稱為A1到A2的二元關(guān)系。若A1=A2，則稱為A上的二元關(guān)系。定義3幾何空間（基于集合的幾何

17、空間）設(shè)是A上的二元關(guān)系。自反性：若對于每個aA，有(a, a)，則稱是自反的。反自反性：若對于每個aA，有(a, a) ，則稱是反自反的。對稱性：若對于任意a, bA，若(a, b) ，則(b, a) ，則稱是對稱的。反對稱性：若對于任意a, bA，若(a, b)，(b, a) ，則a=b，則稱是反對稱的。傳遞性：若對于任意的a, b, cA，若(a, b) ，(b, c) ，則(a, c) ，稱是 傳遞的。若集合A上的關(guān)系滿足自反性、對稱性、可傳遞性，則稱是等價關(guān)系。若集合A上的關(guān)系滿足自反性、反對稱性和傳遞性，則稱是A上的偏序關(guān)系。定義5定義4定義6幾何空間（基于集合的幾何空間）函數(shù)設(shè)f

18、是集合X到集合Y 的一個關(guān)系，如果對每個xX 有唯一的yY，使(x, y)f，則稱關(guān)系f為從XY的函數(shù)，記為f: XY，稱x為自變量，y為f作用下x的象，記為y=f(x)。定義例如令X=f1, f2, f3，Y=黃, 紅, 藍(lán)，f1、f2、f3均為多邊形。1=(f1, 黃)，(f2, 黃)，(f3, 藍(lán))，2=(f1, 黃)，(f2, 紅)，(f3, 藍(lán))，顯然，1和2均是XY的函數(shù)。對于函數(shù)f: XY，X稱為f的定義域，記為dom f；Y稱為f的值域包，集合y | yY，且存在xX，使得y=f(x)，稱為f的值域，記為ran f。左邊圖給出了函數(shù)的直觀形式。幾何空間（基于集合的幾何空間）凸集

19、設(shè)S是歐氏平面的點集，x, yS，若從連接x到y(tǒng)的線段上的點均屬于S或x=y，則稱點x從點y是可見的。定義1設(shè)S是歐氏平面的點集，xS，x稱為S的觀察點，當(dāng)且僅當(dāng)對S中的任一點y從x都是可見的。定義2設(shè)S是歐氏平面的點集，若S中存在一個觀察點，則稱S是半凸的。顯然，星形多邊形是半凸集。定義3設(shè)S是歐氏平面的點集，S稱為凸集，當(dāng)且僅當(dāng)S中的每個點都是S的一個觀察點。定義4點集S的凸殼定義為包含S的所有凸集的交集。定義5幾何空間（基于集合的幾何空間）如下圖給出了點x，y，z之間的可見特性。從y可見x和z，但x和z互不可見。由可見性的定義可知，點集S中的可見性是S上的一個二元關(guān)系，它滿足自反性（從點

20、x可見x自身）、對稱性（點x可見y，則y必定可見x），但不滿足傳遞性。下圖中，x可見y，y可見z，但x不可見z。由定義3和定義4，可以把多邊形分成三大類：非半凸多邊形、半凸多邊形、凸多邊形。如圖分別給出了實例。需要注意的是，任意兩個凸集的交集仍然是凸集，據(jù)此可以給出一個點集的凸殼（Convex Hull）的定義。幾何空間（拓?fù)淇臻g）拓?fù)鋵W(xué)要研究的是世界中存在多少種不同的曲面。一個基本的假設(shè)是，所有的曲面都是由理想的彈性膜做成的，可以隨意延伸和收縮，但不允許折疊和撕裂。這種延伸和收縮就是拓?fù)渥儞Q?？疾煊疑蠄D中的三種不同形狀：圖（a）是橢球體，圖（b）是規(guī)則球體，圖（c）是立方體。如果它們都是由理

21、想的彈性膜做成的，則通過延伸和收縮，不難從一種形狀變化到另一種形狀。也就是說，在拓?fù)淇臻g中，圖（a），圖（b），圖（c）這三種幾何形狀是完全對等的。考察右下圖的三種不同形狀：圖（a）是帶有一個洞的拓?fù)淝?，圖（b）描述了一個不帶洞的拓?fù)淝?，而圖（c）是帶有三個洞的拓?fù)淝?。這時，無論我們怎樣延伸或收縮其中的任意一個形狀，也不可能將其變成另一種形狀。因此，在拓?fù)淇臻g中，這三種形狀是不相同的形狀。拓?fù)淇臻g中三種完全對等的幾何形狀拓?fù)淇臻g中三種不同的幾何形狀拓?fù)淇臻g幾何空間（拓?fù)淇臻g）在拓?fù)淇臻g中，歐氏平面可以想象成由理想彈性膜做成的平面，可以任意延伸和收縮。歐氏平面中的一幅圖經(jīng)過任意延伸和收縮后

22、，有些性質(zhì)發(fā)生了變化，但另一些則不會變化。拓?fù)湫再|(zhì)一個點是一條弧的端點一條弧是一條簡單弧（自身無交點）一個點在一個區(qū)域的邊界上一個點在一個區(qū)域的內(nèi)部一個點在一個區(qū)域的外部一個區(qū)域是開區(qū)域（不包含其邊界）一個區(qū)域是閉區(qū)域（包含其邊界）一個區(qū)域是簡單區(qū)域（不包含任何洞）一個區(qū)域是連通區(qū)域（從區(qū)域中的任意點通過區(qū)內(nèi)的一條路徑可以到達任意其他點）非拓?fù)湫再|(zhì)一個點在一個環(huán)內(nèi)兩點間的距離一點到另一點的方向弧的長度一個區(qū)域邊界的周長一個區(qū)域的面積3.2地球橢球體與大地控制地球橢球體大地控制地球橢球體與大地控制（地球橢球體）大地水準(zhǔn)面地球橢球體參考橢球用來表示地球橢球體的形狀和大小。地球橢球的形狀和大小常用長

23、半徑a（赤道半徑）、短半徑b（極軸半徑）、扁率、第一偏心率e、第二偏心率e 表示，這些數(shù)據(jù)又稱為橢球元素。地球表面是一個高低不平、極其復(fù)雜的表面，這種復(fù)雜性給測繪工作者帶來極大的不便，所以人們必須尋找一個能用數(shù)學(xué)公式表示而又基本符合地球自然表面的統(tǒng)一依據(jù)面來代替這個自然表面，這樣處理測量數(shù)據(jù)和制圖就變得方便了。指與靜止的平均海水面重合并延伸到大陸內(nèi)部的水準(zhǔn)面。大地水準(zhǔn)面所包圍的形體，叫大地球體。假想一個橢圓，繞大地球體短軸旋轉(zhuǎn)所形成的規(guī)則橢球體稱之為地球橢球體。地球橢球體與大地控制（大地控制）大地控制的主要任務(wù)是確定地面點在地球橢球體上的位置，包括點在地球橢球面上的平面位置和點到大地水準(zhǔn)面的高

24、度，即經(jīng)緯度和高程。為此，必須首先了解確定點位的坐標(biāo)系。是使用三維球面來定義地球表面位置，以實現(xiàn)通過經(jīng)緯度對地球表面點位引用的坐標(biāo)系。一個地理坐標(biāo)系包括角度單位、本初子午線和參考橢球體三部分。在球面系統(tǒng)中，水平線是等緯度線或緯線。垂直線是等經(jīng)度線或經(jīng)線。距離空間地理坐標(biāo)系地球橢球體與大地控制（大地控制）地理坐標(biāo)系的構(gòu)成如右下角的圖，設(shè)PP為地球的旋轉(zhuǎn)軸（又稱地軸），它與橢球面的交點P，P分別稱為地球的北極和南極。過旋轉(zhuǎn)軸的平面與橢球面的截線稱為經(jīng)線或子午線（如圖中MPMAPA橢圓）。國際上公認(rèn)通過英國格林尼治天文臺的經(jīng)線（PEFP）為首（零）子午線。所以，M點的經(jīng)度即為過該點的子午圈截面與起始

25、子午面的交角，用表示。并規(guī)定由首子午線起，向東為正，稱“東經(jīng)”，0+180；向西為負(fù)，稱西經(jīng)，0-180。垂直于地軸并通過地心的平面叫赤道平面，它和橢球面相交的大圓圈（交線），稱為赤道（AFGA）。過M點作平行于赤道面與橢球面的截線，稱為緯線圈或平行（MEM）。過M點的法線（ML）與赤道面的交角（MLA），叫作地理緯度，用表示。緯度以赤道為0，向北、南極各以90計算，向北為正，稱“北緯”，其值由0+90；向南為負(fù)，稱“南緯”，緯度由0-90。地面上任意點M的地理位置可由經(jīng)度和緯度來確定，記為M（ ， ）。經(jīng)線和緯線是地球表面上兩組正交（相交為90）的曲線，這兩組正交線構(gòu)成的坐標(biāo)稱為地理坐標(biāo)系。

26、地理坐標(biāo)系地球橢球體與大地控制（大地控制）世界各國分別設(shè)立了各自的坐標(biāo)原點，建立了不同的坐標(biāo)系，這里只簡要介紹我國的大地坐標(biāo)系的情況。大地坐標(biāo)系1954年北京坐標(biāo)系1954年北京坐標(biāo)系存在的問題克拉索夫斯基橢球體與1975年國際大地測量協(xié)會推薦的地球橢球（ICA-75橢球）相比，其長軸a約大105m。這樣必然會給理論研究和實際工作帶來諸多不便克拉索夫斯基橢球面相對大地水準(zhǔn)面，自西向東有較大的系統(tǒng)性傾斜。大地水準(zhǔn)面差距最大?？蛇_+68m，并且出現(xiàn)在我國經(jīng)濟發(fā)達的東部沿海地區(qū)。這樣必然給大地測量數(shù)據(jù)的歸算工作帶來麻煩。在處理重力測量資料中所常用的計算公式，也與克拉索夫斯基橢球體不匹配。解放初期，從

27、蘇聯(lián)1942年坐標(biāo)系聯(lián)測并經(jīng)過平差計算而引伸到我國，建立了1954年北京坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系的原點在蘇聯(lián)西部的普爾科夫，采用克拉索夫斯基橢球元素。地球橢球體與大地控制（大地控制）1978年4月在西安召開全國天文大地網(wǎng)平差會議確定重新定位，建立我國新的坐標(biāo)系，為此有了1980年國家大地坐標(biāo)系。1980年國家大地坐標(biāo)系選用參考橢球ICA-751980年國家大地原點1980年國家大地原點設(shè)在我國中部西安市附近的涇陽縣境內(nèi)，位于西安市西北方向約60公里，故稱1980年西安坐標(biāo)系，又簡稱西安大地原點。注意：不同國家由于采用的參考橢球及定位方法不同，因此同一地面點在不同坐標(biāo)系中大地坐標(biāo)值也不相同。具體參數(shù)為

28、a=6378140m，=1/298.257。地球橢球體與大地控制（大地控制）CGCS2000國家大地坐標(biāo)系的大地測量基本常數(shù)分別為：長半軸 a=6378137m扁率=1/298.257222101地心引力常數(shù) GM=3.9860044181014m3/s-2自轉(zhuǎn)角速度 =7.292l1510-5rad s-1短半軸 b=6356752.31414m極曲率半徑=6399593.62586m第一偏心率e=0.0818191910428CGCS2000坐標(biāo)系地球橢球體與大地控制（大地控制）一種國際上采用的地心坐標(biāo)系。坐標(biāo)原點為地球質(zhì)心，其地心空間直角坐標(biāo)系的Z軸指向國際時間局（BIH）1984.0定

29、義的協(xié)議地極（CTP）方向，X軸指向BIH1984.0的協(xié)議子午面和CTP赤道的交點，Y軸與Z軸、X軸垂直構(gòu)成右手坐標(biāo)系，稱為1984年世界大地坐標(biāo)系。這是一個國際協(xié)議地球參考系統(tǒng)（ITRS），是目前國際上統(tǒng)一采用的大地坐標(biāo)系。GPS廣播星歷是以WGS-84坐標(biāo)系為根據(jù)的。WGS-84坐標(biāo)系WGS-84坐標(biāo)系基本常數(shù)長半徑：a=63781372m地球引力常數(shù)：GM=3986005108 m3/s20.6108 m3/s2正?；A帶諧系數(shù)：C20= -484.1668510-61.310-9，J2=10826310-8地球自轉(zhuǎn)速度：=729211510-11rad/s0.15010-11 ra

30、d/s地球橢球體與大地控制（大地控制）高程分為絕對高程（又稱海拔高程）和相對高程。絕對高程是指由高程基準(zhǔn)面起算的地面點的垂直高度。地面點之間的高程差，稱為相對高程（簡稱高差）。高程基準(zhǔn)面是根據(jù)驗潮站所確定的多年平均海水面而決定的。高 程 起 算 及 高 程高程系地球橢球體與大地控制（大地控制）1956年黃海高程系：我國規(guī)定采用以青島驗潮站1950年1956年測定的黃海平均海水面，作為我國統(tǒng)一高程基準(zhǔn)面，凡由該基準(zhǔn)面起算的高程，統(tǒng)稱為“1956年黃海高程系”。其水準(zhǔn)原點設(shè)在青島市的觀家山上，對黃海平均海水面的高程值為72.298m。國家各級的高程控制點（水準(zhǔn)點、埋石點等）的高程數(shù)值，都是由該點起

31、，通過水準(zhǔn)測量等方法傳算過去，構(gòu)成全國的高程控制網(wǎng)，為測繪地圖提供了必要條件。1956年黃海高程系1985年國家高程基準(zhǔn)：由于觀測數(shù)據(jù)的積累，黃海平均海水面發(fā)生了微小變化，國家決定啟用新的高程系，并命名為“1985年國家高程基準(zhǔn)”。該系統(tǒng)是采用青島驗潮站19521979年潮汐觀測計算的平均海水面，國家水準(zhǔn)原點的高程值為72.260m，使高程控制點的高程產(chǎn)生了微小變化，但對已成地圖上的等高線高程的影響可以不計，可認(rèn)為是沒有變化。1956年黃海高程系 實踐證明，在不同地點的驗潮站所得的平均海水面之間存在著差異，選用不同的基準(zhǔn)面就有不同的高程系統(tǒng)。地球橢球體與大地控制（大地控制）大地控制網(wǎng)由平面控制

32、網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成。大地控制網(wǎng)平面控制網(wǎng)高程控制網(wǎng)高程控制網(wǎng)是在全國范圍內(nèi)按照統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定高程的地面點所組成的控制網(wǎng)，是測定其他地面點高程的控制基礎(chǔ)。建立高程控制網(wǎng)的目的是精確求得地面點到大地水準(zhǔn)面的垂直高度。高程控制網(wǎng)分一、二、三、四等，各等精度不同，一等點最精確，其余逐級降低。建立高程控制網(wǎng)的方法，主要由水準(zhǔn)測量來完成。平面控制網(wǎng)又稱水平控制網(wǎng)，其測量的主要目的是確定控制點的平面位置，主要的方法為三角測量和導(dǎo)線測量。3.3地圖投影地圖投影的概念地圖投影的分類地圖投影的變形GIS中的地圖投影地圖投影（地圖投影的概念）地圖投影是利用一定數(shù)學(xué)法則把地球表面轉(zhuǎn)換到平面上的理論和方法。它實質(zhì)

33、上是建立了地球橢球面上的點的經(jīng)緯坐標(biāo)與地圖面上的坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系。如果地球表面上有一點A（，），它在平面上的對應(yīng)點是A（X，Y），按地圖投影的定義，其數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化公式為：由于地球表面不可二維展開，所以任何數(shù)學(xué)方法進行這種轉(zhuǎn)換都會產(chǎn)生誤差和變形，按照不同的需求縮小誤差，就產(chǎn)生了各種投影方法。地圖投影的概念地圖投影（地圖投影的變形）地圖投影的變形，通?？煞譃殚L度、面積和角度三種變形，其中長度變形是其它變形的基礎(chǔ)。地圖投影的變形長度比長度變形地面上微分線段投影后的長度ds與其相應(yīng)的實地長度ds之比。如果用符號 表示長度比，那么 =ds/ ds。長度比與1之差值。如用符號V 表示長度變形，則有V =-1

34、。投影上的長度比不僅隨該點的位置而變化，而且隨著在該點上不同方向而變化。這樣，在一定點上的長度比必存在有最大值和最小值，稱其為極值長度比，并通常用符號a和b表示極大與極小長度比。極值長度比的方向稱為主方向。沿經(jīng)線和緯線方向的長度比分別用符號m，n表示。在經(jīng)緯線正交投影中，沿經(jīng)緯線方向的長度比即為極值長度比，此時m=a或b，n=b或a。面積比地面上微分面積投影后的大小dF與其相應(yīng)的實地面積dF的比稱為面積比，通常用符號P表示，即P=dF/dF 。地圖投影（地圖投影的變形）面積比與1之差值。用符號Vp 表示，那么Vp =P-1。地面上某一角度投影后的角值 與其實際的角值之差，即- 。在一定點上，方

35、位角的變形隨不同的方向而變化，所以一點上不同方向的角度變形是不同的。投影中，一定點上的角度變形的大小是用其最大值來衡量的，即稱最大角度變形，通常用符號 表示。投影上變形值相等的點的連線，有面積比等值線、最大角度變形等值線等。地圖投影略圖上繪有等變形線，用以直觀評價地圖投影的變形分布狀況和投影使用的優(yōu)劣。在地圖制圖實踐中為了獲得具有較小的變形及其在制圖區(qū)域內(nèi)變形分布最均勻的投影，提出使投影上的等變形線與制圖區(qū)域的輪廓形狀基本一致的要求，并把它作為投影選擇上的一個基本原則。面積變形角度變形等變形線地圖投影（地圖投影的變形）地球面上無窮小圓在投影中通常不可能保持原來的形狀和大小，而是投影成為不同大小

36、的圓或各種形狀大小的橢圓，統(tǒng)稱為變形橢圓。變形橢圓一般可以根據(jù)變形橢圓來確定投影的變形情況。如投影后為大小不同的圓形，見圖(a)，a=b則該投影為等角投影；如果投影后為面積相等而形狀不同的橢圓，如圖(b)，ab=r2 則該投影為等面積投影；如果投影后為面積不等形狀各不相同的橢圓，如圖(c)則為任意投影，其中如果橢圓的某一半軸與微分圓的半徑相等，如b=r則為等距離投影。從變形橢圓中還可看出，變形橢圓的長短半軸即為極值長度比，長軸與短軸的方向即主方向。地圖投影（地圖投影的分類）地圖投影的分類方法很多，總的來說，基本上可以依外在的特征和內(nèi)在的性質(zhì)進行分類。根據(jù)地圖投影的變形（內(nèi)蘊的特征）分類：根據(jù)地

37、圖投影中可能引入的變形的性質(zhì)，可以分為等角、等面積和任意（其中包括等距離）投影。地球表面上無窮小圖形投影后仍保持相似，或兩微分線段所組成的角度在投影后仍保持相似或不變，這種投影稱等角投影(又稱正形投影)。在等角投影中，微分圓經(jīng)投影后仍為圓形，隨點位(緯度增加)的變化，面積有較大變形，如圖所示。地圖投影的分類等角投影地圖投影（地圖投影的分類）地球面上的圖形在投影后保持面積不變，這種投影稱為等面積投影。在等面積投影中，微分圓變成不同形狀的橢圓，但變形橢圓面積保持相等，只有角度產(chǎn)生很大變形，如圖所示。等面積投影既不具備等角性質(zhì)，又沒有等面積性質(zhì)的投影，統(tǒng)稱為任意投影。在任意投影中，如果沿某一主方向的

38、長度比等于1，即a=1或b=1，則這種投影稱為等距離投影。任意投影地圖投影（地圖投影的分類）根據(jù)投影面與地球表面的相關(guān)位置分類：投影面與地理軸向的相對位置區(qū)分為正軸投影(極點在兩地極上，或投影面的中心線與地軸一致)、橫軸投影(極點在赤道上，或投影面的中心線與地軸垂直)及斜軸投影(極點既不在兩地極上又不在赤道上，或投影面的中心線與地軸斜交)。對這一分類可以用左圖表示。在這一分類中，當(dāng)投影面與地球面相切時稱為切投影，而投影面與地球面相割時稱為割投影。采用不同可展面投影面與地理軸向的相對位置采用可展曲面有圓錐面、圓柱面、平面(曲率為零的曲面)，相應(yīng)地可以得到圓錐投影、圓柱投影、方位投影。地圖投影（地

39、圖投影的分類）根據(jù)正軸投影時經(jīng)緯網(wǎng)的形狀分類：據(jù)這一標(biāo)志，投影可分為圓錐、圓柱、方位、偽圓錐、偽圓柱、偽方位和多圓錐投影等。投影中緯線為同心圓圓弧，經(jīng)線為圓的半徑(如圖C右)，且經(jīng)緯間的夾角與經(jīng)差成正比例。該投影按變形性質(zhì)又可分為等角、等面積和任意（主要為等距離）圓錐投影。等角圓錐投影也稱為蘭勃特（Lambert）正形圓錐投影，正軸等面積割圓錐投影也稱為亞爾勃斯（Albers）投影。圓錐投影地圖投影（地圖投影的分類）投影中緯線為一組平行直線，經(jīng)線為垂直于緯線的另一組平行直線，且兩相鄰經(jīng)線之間的距離相等(如圖C左)。該投影按變形性質(zhì)可分為等角、等面積和任意(包括等距離)圓柱投影。等角圓柱投影亦叫

40、墨卡托(Mercator)投影，它在海圖和小比例尺區(qū)域地圖上有廣泛應(yīng)用。等角橫切橢圓柱投影即著名的高斯克呂格(Gauss-kruger)投影，等角橫割橢圓柱投影即通用橫軸墨卡托(Universal Transverse Mercator，UTM)投影，它們都廣泛用于編制大比例尺地形圖。圓柱投影地圖投影（地圖投影的分類）投影中緯線為同心圓，經(jīng)線為圓的半徑(如圖C右)，且經(jīng)線間的夾角等于地球面上相應(yīng)的經(jīng)差。該投影有非透視方位投影和透視方位投影之分。非透視方位投影按變形性質(zhì)可分為等角、等面積和任意(包括等距離)方位投影。等面積方位投影亦稱為蘭勃特(Lambert)等面積方位投影。等距離方位投影又稱為

41、波斯托(Postel)投影。投影中緯線為同心圓圓弧，經(jīng)線為交于圓心的曲線（如圖B2右）。方位投影仿圓錐投影地圖投影（地圖投影的分類）投影中緯線為一組平行直線，而經(jīng)線為某種曲線（圖3-24B2左）。仿圓柱投影投影中緯線為同軸圓圓弧，其圓心在中央直徑線上，而經(jīng)線為對稱中央直徑線的曲線（如圖A右）。仿方位投影投影中緯線為同心圓，而經(jīng)線為交于圓心的曲線（如圖B2右）。多圓錐投影地圖投影（GIS中的地圖）不同的地圖資料根據(jù)其成圖的目的與需要的不同而采用不同的地圖投影。當(dāng)來自這些地圖資料的數(shù)據(jù)進入計算機時，首先就必須將它們進行轉(zhuǎn)換，用共同的地理坐標(biāo)系統(tǒng)和直角坐標(biāo)系統(tǒng)作為參照系來記錄存儲各種信息要素的地理位

42、置和屬性，保證同一地理信息系統(tǒng)內(nèi)(甚至不同的地理信息系統(tǒng)之間)的信息數(shù)據(jù)能夠?qū)崿F(xiàn)交換、配準(zhǔn)和共享，否則后續(xù)所有基于地理位置的分析、處理及應(yīng)用都是不可能的。地圖投影對GIS的影響是滲透在GIS系統(tǒng)建設(shè)的各個方面的，它們之間的相互關(guān)系如下圖所示。地圖投影與GIS地圖投影（GIS中的地圖）地圖投影是將地球橢球面上的地理信息，科學(xué)、準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)繪到平面上的控制骨架和定位依據(jù)。因此，在制作地圖過程中，新編地圖投影的選擇是否恰當(dāng)，將直接影響地圖的精度和實用價值。由于投影的種類日益增多，要恰當(dāng)?shù)剡x擇投影，必須顧及以下幾個因素：制圖區(qū)域的地理位置，形狀和范圍地圖的內(nèi)容出版方式GIS中地圖投影的選擇我國GIS中地圖

43、投影應(yīng)用我國基本比例尺地形圖（1:5千，1:1萬，1:2.5萬，1:5萬，1:10萬，1:25萬，1:50萬和1:100萬）中大于等于150萬時采用高斯克呂格投影，1100萬采用正軸等角割圓錐投影。地圖投影（GIS中的地圖）我國現(xiàn)行的大于及等于150萬比例尺的各種地形圖都采用高斯克呂格投影，簡稱高斯投影。中央經(jīng)線（橢圓筒和地球橢球體的切線）和赤道投影成垂直相交的直線。投影后沒有角度變形（即經(jīng)緯線投影后仍正交）。中央經(jīng)線上沒有長度變形，等變形線為平行于中央經(jīng)線的直線。根據(jù)上述三個條件，即可導(dǎo)出高斯投影的直角坐標(biāo)基本公式：高斯-克呂格投影高斯投影的基本條件（性質(zhì)）地圖投影（GIS中的地圖）式中：X

44、，Y平面直角坐標(biāo)系的縱、橫坐標(biāo)； 、橢球面上地理坐標(biāo)系的經(jīng)緯度(分別自赤道和投影帶中央經(jīng)線起算)； s由赤道至緯度的子午線弧長； N緯度處的卯酉圈曲率半徑(可據(jù)緯度由制圖用表查取)； 2=e2cos2，其中e2 = (a2b2) / b2，為地球的第二偏心率，a，b分別為地球橢球體的長短軸。高斯投影的直角坐標(biāo)基本公式地圖投影（GIS中的地圖）高斯投影沒有角度變形，面積變形是通過長度變形來表達的。其長度變形的基本公式為：由公式可知長度變形的規(guī)律如下：中央經(jīng)線上沒有長度變形，即=0時，=1；在同一條緯線上，離中央經(jīng)線越遠(yuǎn)變形越大，即增大，也增大；在同一條經(jīng)線上，緯度越低，變形越大，即越小，越大。為

45、了控制投影變形不致過大，保證地形圖精度，高斯投影采用分帶投影方法，即將投影范圍的東西界加以限制，使其變形不超過一定的限度。我國規(guī)定1:2.5萬1:50萬地形圖均采用經(jīng)差6分帶，大于等于1:1萬比例尺地形圖采用經(jīng)差3分帶。高斯-克呂格投影投影的變形分析與投影帶的劃分地圖投影（GIS中的地圖）從格林尼治零度經(jīng)線起，自東半球向西半球，每經(jīng)差6分為一個投影帶。高斯投影分帶示意圖地圖投影（GIS中的地圖）東半球的30個投影帶，是從0起算的往東劃分，即東經(jīng)06，612，174180，用阿拉伯?dāng)?shù)字130進行標(biāo)記。各投影帶的中央經(jīng)線位置，可用下式計算（式中n為投影帶帶號）西半球的30個投影帶，是從180起算的

46、，回到0，即西經(jīng)180174，174168，60；各帶的帶號為3160，各投影帶中央經(jīng)線的位置，可用下式計算（式中n為投影帶帶號）：L0=(6n-3)L0=(6n-3)-3606分帶法3分帶法從東經(jīng)130算起，每3為一帶，將全球劃分為120個投影帶，即東經(jīng)130430，430730，東經(jīng)17830至西經(jīng)17830，西經(jīng)130至東經(jīng)130。其中央經(jīng)線的位置分別為3，6，9，180，西經(jīng)177，3，0。這樣分帶的目的在于使6帶的中央經(jīng)線均為3帶的中央經(jīng)線。即3帶中有半數(shù)的中央經(jīng)線同6帶重合，在從3帶轉(zhuǎn)換成6帶時，可以直接轉(zhuǎn)用，不需任何計算。地圖投影（GIS中的地圖）高斯投影平面直角網(wǎng)，它是由高斯投

47、影每一個投影帶構(gòu)成一個單獨的坐標(biāo)系。投影帶的中央經(jīng)線投影后的直線為X軸（縱軸），赤道投影后的直線為Y軸（橫軸），它們的交點為原點。高斯投影平面直角坐標(biāo)網(wǎng)A、B兩點原來的橫坐標(biāo)分別為：YA=245 863.7mYB=-168 474.8m縱坐標(biāo)軸西移500公里后，其橫坐標(biāo)分別為：YA=745 863.7mYB=331 525.2m加上帶號，如A、B兩點位于第20帶，其通用坐標(biāo)為：YA=20 745 863.7mYB=20 331 525.2m地圖投影（GIS中的地圖）正等角割圓錐投影變形的分布規(guī)律：角度沒有變形，即投影前后對應(yīng)的微分面積保持圖形相似，故亦可稱為正形投影；等變形線和緯線一致，同一條

48、緯線上的變形處處相等；兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線上沒有任何變形； 在同一經(jīng)線上，兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線外側(cè)為正變形（長度比大于1），而兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之間為負(fù)變形（長度比小于1），因此，變形比較均勻，絕對值也比較??；同一條緯線上等經(jīng)差的線段長度相等，兩條緯線間的經(jīng)緯線長度處處相等。投影變形規(guī)則直角坐標(biāo)系正軸等角圓錐投影3.4空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換投影轉(zhuǎn)換空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換）坐標(biāo)系XOY的原點在坐標(biāo)系XOY中的坐標(biāo)為（a, b），X軸與X軸的夾角為。在XOY系中有一點P，其坐標(biāo)為（X, Y），則由坐標(biāo)系平移公式與坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)公式可得： X=Xcos -Ysin+a Y=Ycos + Xsin+b平面直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換

49、空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換）設(shè)有兩個三維空間坐標(biāo)系O1-X1Y1Z1和O2-X2Y2Z2具有如圖所示的關(guān)系，則同一點在兩個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（X1, Y1, Z1）和（X2, Y2, Z2）之間有如下關(guān)系： 為坐標(biāo)平移參數(shù)，X、Y、Z 為坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)參數(shù)（也稱為三個歐勒角），k為坐標(biāo)比例系數(shù)。上式即為著名的Bursa-Wolf模型。 R1(X) =， R2(Y) =，R3(Z) = +(1+k)R1(X)R2(Y)R3(Z) ，式中不同空間直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換）同一坐標(biāo)系內(nèi)，大地坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系之間的變換如下：（1）由（B, L, H）求（X, Y, Z） X=(N+H)c

50、osBcosL Y=(N+H)cosBsinL Z=N(1-e2)+HsinB 式中，H為P點的大地高，N為卯酉圈的曲率半徑， 。（2）由（X, Y, Z）求（B, L, H） 大地坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換在求B 時，應(yīng)使用迭代法。為減少迭代次數(shù)，按下述方法求得的B的初值只需要迭代兩次即可滿足精度要求：空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換）西安80坐標(biāo)系與北京54坐標(biāo)系其實是一種橢球參數(shù)的轉(zhuǎn)換。在同一個橢球里的轉(zhuǎn)換都是嚴(yán)密的，而在不同的橢球之間的轉(zhuǎn)換是不嚴(yán)密的，因此不存在一套轉(zhuǎn)換參數(shù)可以全國通用的。在每個地方會不一樣，因為它們是兩個不同的橢球基準(zhǔn)。兩個橢球間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，一般而言，比較嚴(yán)密的是用七參數(shù)布爾莎模型，即X平移，Y平移，Z平移，X旋轉(zhuǎn)（W