《高等數(shù)學(xué)》PPT課件-第一章連續(xù)

1、三、連續(xù)1.函數(shù)的增量2.連續(xù)的定義例1證由定義2知3.單側(cè)連續(xù)定理例2解右連續(xù)但不左連續(xù) ,4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,（二）函數(shù)的間斷點(diǎn)1.跳躍間斷點(diǎn)例3解2.可去間斷點(diǎn)例4解注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).3.第二類間斷點(diǎn)例5解例6解(三）四則運(yùn)算的連續(xù)性定理1例如,反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).定理3意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;例1解定理4

2、注意定理4是定理3的特殊情況.例如,初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.(均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理6 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.例3例4解解（四）連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算1、四則運(yùn)算的連續(xù)性2、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性3、初等函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的連續(xù)性【定理1】例如由函數(shù)“點(diǎn)連續(xù)”的定義和極限四則運(yùn)算法則，立得:【推廣】 有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)?！窘Y(jié)論】三角函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).若f(x) , g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)g(x) ，f(x)g(x) ,

3、 f(x)/g(x)g(x0)0在點(diǎn)x0處也連續(xù).【定理3】（2）復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性【意義】可知極限符號(hào) 可以與函數(shù)符號(hào) f 交換次序;條件是：內(nèi)層函數(shù)極限存在、外層函數(shù)在對(duì) 應(yīng)點(diǎn)連續(xù)；則可交換次序.【例1】【解】同理利用lnu的連續(xù)性【定理4】（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）【注意】定理4是定理3的特殊情況,內(nèi)層函數(shù)由 極限存在加強(qiáng)為連續(xù).簡言之：內(nèi)、外層函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)都連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)連續(xù)。（五）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立.定義：定理2(有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.【定義】【定理3】(零點(diǎn)定理):【作用】常用于判斷方程有根 根的存在性.即方程 f (x) = 0 在 (a, b) 內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根.定理4(介值定理) 如果 在 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m.對(duì)于在M和m之間的任意實(shí)數(shù)c，必定存在 ，使 .小結(jié)四個(gè)定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)這兩點(diǎn)不滿足上述定理不