工程電磁場第一章

1、工程電磁場第一章第1頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1.0 序 靜電場是相對觀察者靜止且量值不隨時間變化的電荷所產生的電場。它是電磁理論最基本的內容。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可應用推廣到恒定電場,恒定磁場及時變場。本章要求 深刻理解電場強度、電位移矢量、電位、極化等概念。掌握靜電場基本方程和分界面銜接條件。掌握電位的邊值問題及其解法。熟練掌握電場、電位、電容、能量、力的各種計算方法。Introduction下 頁上 頁返 回第2頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力有限差分法鏡像法,電軸法分

2、離變量法直接積分法數(shù)值法解析法邊值問題邊界條件電位基本方程D 的散度基本物理量 E、D基本實驗定律（庫侖定律）靜電場知識結構E 的旋度下 頁上 頁返 回第3頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1.1.1 庫侖定律 (Coulombs Low)Electric Field Intensity and Electric PotentialN (牛頓)適用條件：庫侖定律1.1 電場強度和電位圖1.1.1 兩點電荷間的作用力點電荷之間的作用力靠什么來傳遞？思考兩個可視為點電荷的帶電體之間的相互作用力;真空中的介電常數(shù)F/m下 頁上 頁返 回第4頁，共138頁，2022年，5月2

3、0日，20點19分，星期三1.1.2 電場強度 ( Electric Intensity )V/m ( N/C ) 定義：電場強度 E 等于單位正電荷所受的電場力F（a） 單個點電荷產生的電場強度V/m圖1.1.2 點電荷的電場一般表達式為下 頁上 頁返 回第5頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 （b) n個點電荷產生的電場強度 ( 矢量疊加原理 )（c) 連續(xù)分布電荷產生的電場強度圖1.1.4 體電荷的電場圖1.1.3 矢量疊加原理元電荷產生的電場，下 頁上 頁返 回第6頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三線電荷分布體電荷分布面電荷分布下 頁

4、上 頁返 回第7頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三解: 軸對稱場，圓柱坐標系。 例1.1.1 真空中有一長為L的均勻帶電直導線，電荷線密度為 ,試求P 點的電場。下 頁上 頁返 回圖1.1.5 帶電長直導線的電場xx第8頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三無限長直導線產生的電場平行平面場。0下 頁上 頁返 回第9頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三矢量積分與標量積分； 點電荷是電荷體分布的極限情況，可以把它看成是一個體積很小，電荷密度為 ，總電量不變的帶電小球體。 基本概念平行平面場與軸對稱場；點電荷的相對概念和數(shù)學模型

5、下 頁上 頁返 回第10頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三矢量恒等式故靜電場是無旋場1. 靜電場的旋度1.1.3 旋度和環(huán)路定律 ( Curl and Circuital Law )點電荷電場取旋度0下 頁上 頁返 回第11頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三2. 靜電場的環(huán)路定律電場力作功與路徑無關,靜電場是保守場，是無旋場。由Stokes定理，靜電場在任一閉合環(huán)路的環(huán)量說明即下 頁上 頁返 回第12頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1.1.4 電位函數(shù) ( Electric Potential ) 負號表示電場強度

6、的方向從高電位指向低電位。在直角坐標系中1. E 與 的微分關系矢量恒等式由根據(jù)E與 的微分關系，試問靜電場中的某一點 ( ) ( )?下 頁上 頁返 回所以第13頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三2. 已知電荷求電位點電荷群連續(xù)分布電荷以點電荷為例式中相應的積分原域下 頁上 頁返 回第14頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三3. 與 E 的積分關系圖1.1.6 E 與 的積分關系線積分式中設P0為電位參考點，即 ，則P點電位為所以下 頁上 頁返 回第15頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三4. 電位參考點例如：點電荷產

7、生的電位：點電荷所在處不能作為參考點場中任意兩點之間的電位差與參考點無關。選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單。電位參考點可任意選擇，但同一問題，一般只能選取一個參考點。下 頁上 頁返 回第16頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠處為參考點。電荷分布在無窮遠區(qū)時，選擇有限遠處為參考點，為什么？見參考書電磁學專題研究P591P597下 頁上 頁返 回第17頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三5) 電力線與等位線（面）E 線微分方程直角坐標系當取不同的 C 值時，可得到不同的等位線( 面 )。等位線(面)方程曲線上任一

8、點的切線方向是該點電場強度 E 的方向。電位相等的點連成的曲面稱為等位面。1.1.7 電力線方程下 頁上 頁返 回第18頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三解： 在球坐標系中所以用二項式展開，又有rd，得 畫出電偶極子的等位線和電力線 ( rd ) 。圖1.1.8 電偶極子下 頁上 頁返 回第19頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三電力線方程 ( 球坐標系 ) ：等位線方程 ( 球坐標系 ) ：將 和 代入 E 線方程 表示電偶極矩（dipole moment)，方向由-q 指向 +q。圖1.1.9 電偶極子的等位線和電力線下 頁上 頁返 回第2

9、0頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三電力線與等位線（面）的性質：圖1.1.10 點電荷與接地導體的電場圖1.1.11 點電荷與不接地導體的電場E 線不能相交,等 線不能相交；E 線起始于正電荷，終止于負電荷;E 線愈密處，場強愈大;E 線與等位線（面）正交；下 頁上 頁返 回第21頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三圖1.1.12 介質球在均勻電場中圖1.1.13 導體球在均勻電場中圖1.1.14 點電荷位于無限大介質上方圖1.1.15 點電荷位于無限大導板上方下 頁上 頁返 回第22頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三

10、作散度運算1.2.1 真空中的高斯定律 (Gausss Theorem in Vacuum)高斯定律的微分形式1. E 的散度 說明 靜電場是有源場，電荷是電場的通量源。1.2 高斯定律Gausss Theorem下 頁上 頁返 回第23頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三2. E 的通量圖1.2.1 閉合曲面的電通量圖1.2.2 閉合面外的電荷對場的影響散度定理 S 面上的 E 是由系統(tǒng)中全部電荷產生的。 E 的通量等于閉合面 S 包圍的凈電荷。下 頁上 頁返 回第24頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1.2.2. 電介質中的高斯定律 (Ga

11、usss Theorem in Dielectric)1. 靜電場中導體的性質導體內電場強度 E 為零，靜電平衡；導體是等位體，導體表面為等位面；電場強度垂直于導體表面，電荷分布在導體表面，接地導體都不帶電。（ ）一導體的電位為零，則該導體不帶電。 （ ）任何導體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。 （ ）下 頁上 頁返 回第25頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三無極性分子有極性分子圖1.2.3 電介質的極化2. 靜電場中的電介質電介質在外電場作用下發(fā)生極化，形成有向排列；電介質內部和表面產生極化電荷 (polarized charge)； 極化電荷與自由電荷都是

12、產生電場的源。下 頁上 頁返 回EE第26頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 極化強度P ( polarization intensity )表示電介質的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度 實驗結果表明，在各向同性、線性、均勻介質中 電介質的極化率 各向同性媒質 媒質特性不隨電場的方向改變,反之，稱為各向異性媒質； 線性媒質 媒質參數(shù)不隨電場的值而變化，反之，稱為非線性媒質； 均勻媒質 媒質參數(shù)不隨空間坐標而變化，反之，稱為非均勻媒質。下 頁上 頁返 回第27頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 極化強度 P 是電偶極矩體密度，單個電偶極子產生

13、的電位體積 V 內電偶極子產生的電位3. 極化強度與極化電荷的關系圖1.2.4 電偶極子產生的電位下 頁上 頁返 回第28頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三矢量恒等式：下 頁上 頁返 回圖1.2.5 體積 V 內電偶極矩產生的電位第29頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三令極化電荷體密度極化電荷面密度下 頁上 頁返 回第30頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三思考根據(jù)電荷守恒定律，極化電荷的總和為零電介質均勻極化時，極化電荷體密度 有電介質時，場量為下 頁上 頁返 回第31頁，共138頁，2022年，5月20日，20點1

14、9分，星期三4. 電介質中的高斯定律定義 電位移矢量 （displacement vector）所以高斯定律的微分形式取體積分有高斯定律的積分形式下 頁上 頁返 回第32頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三在各向同性介質中介電常數(shù) F/m其中 相對介電常數(shù)，無量綱量。構成方程下 頁上 頁返 回第33頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三例1.2.1 平板電容器中有一塊介質,畫出D 、E 和 P 線分布。圖1.2.6 D、E 與 P 三者之間的關系D線E線P線思考D 線由正的自由電荷出發(fā)，終止于負的自由電荷；E 線由正電荷出發(fā)，終止于負電荷；P 線由

15、負的極化電荷出發(fā)，終止于正的極化電荷。電介質內部的電場強度是否減少了？下 頁上 頁返 回第34頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 若點電荷q 分別置于金屬球殼內外，問（1) 穿過閉合面（金屬球殼）的 D 通量是多少？（2) 閉合面上的 D 與 q 有關嗎？（3) 若在金屬球殼外放置電介質，重問 1 )，閉合 面上 的 D 與電介質有關嗎？下 頁上 頁返 回圖1.2.7 點電荷 q 分別置于金屬球殼的內外第35頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三計算技巧：a） 分析場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律 求解。b）選擇適當?shù)拈]合面作為高斯面，使 中的

16、 D 可作為常數(shù)提出積分號外。 高斯定律適用于任何情況，但僅具有一定對稱性的場才有解析解。5. 高斯定律的應用下 頁上 頁返 回第36頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 例1.2.3 試求電荷線密度為 的無限長均勻帶電體的電場。解: 分析場分布,取圓柱坐標系由得下 頁上 頁返 回圖1.2.8 無限長均勻帶電體第37頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三球殼內的電場球殼外的電場 哪些區(qū)域的電場能用高斯定律直接求解？下 頁上 頁返 回圖1.2.10 q分別在金屬球內外圖1.2.9 q在金屬球殼內第38頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19

17、分，星期三1.3 基本方程、分界面上的銜接條件1.3.1 基本方程 ( Basic Equation )靜電場是有源無旋場，靜止電荷是靜電場的源。Basic Equation and Boundary Condition靜電場的基本方程為微分形式積分形式構成方程下 頁上 頁返 回第39頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三矢量 A 可以表示一個靜電場。能否根據(jù)矢量場的散度判斷該場是否靜電場? 例1.3.1 已知 試判斷它能否表示靜電場？ 解: 根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質,思考下 頁上 頁返 回第40頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三包圍點 P

18、 作高斯面 ( )。1.3.2 分界面上的銜接條件（Boundary Condition)1. D 的銜接條件則有根據(jù)圖1.3.1 介質分界面D 的法向分量不連續(xù)當 時， D 的法向分量連續(xù)。下 頁上 頁返 回第41頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三2. E 的銜接條件圍繞點 P 作一矩形回路( )。 E 的切向分量連續(xù)。根據(jù)則有3. 折射定理當交界面上 時，折射定律下 頁上 頁返 回圖1.3.2 介質分界面第42頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三4、 的銜接條件設 P1 與 P2 位于分界面兩側， 因此電位連續(xù)得電位的法向導數(shù)不連續(xù)由 ，其

19、中圖1.3.3 電位的銜接條件下 頁上 頁返 回第43頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三說明 （1）導體表面是等位面，E 線與導體表面垂直；圖1.3.4 導體與電介質分界面 試寫出導體與電介質分界面上的銜接條件。 解: 分界面銜接條件導體中 E0 ，分解面介質側（2）導體表面上任一點的 D 等于該點的 。下 頁上 頁返 回第44頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三解：忽略邊緣效應圖(a)圖(b) 試求兩個平行板電容器的電場強度。下 頁上 頁返 回圖1.3.5 平行板電容器第45頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1.4

20、邊值問題、惟一性定理1.4.1 泊松方程與拉普拉斯方程 (Poissons Equation and Laplaces Equation)泊松方程拉普拉斯算子Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem拉普拉斯方程當r =0時下 頁上 頁返 回第46頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1.4.2 邊值問題（Boundary Problem)邊值問題微分方程邊界條件初始條件場域邊界條件(待講）分界面銜 接條件 強制邊界條件 有限值自然邊界條件 有限值泊松方程拉普拉斯方程下 頁上 頁返 回第47頁，共138頁，2022年，5月2

21、0日，20點19分，星期三場域邊界條件1）第一類邊界條件（狄里赫利條件，Dirichlet)2）第二類邊界條件（諾依曼條件 Neumann)3）第三類邊界條件已知邊界上電位及電位法向導數(shù)的線性組合已知邊界上導體的電位已知邊界上電位的法向導數(shù)(即電荷面密度 或電力線)下 頁上 頁返 回第48頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三有限差分法有限元法邊界元法矩量法積分方程法積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法計算法實驗法解析法數(shù)值法實測法模擬法邊值問題下 頁上 頁返 回第49頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 試寫出長直同軸電纜中靜電場的

22、邊值問題。 解：根據(jù)場分布的對稱性確定計算場域，邊值問題（陰影區(qū)域）下 頁上 頁返 回圖1.4.1 纜心為正方形的同軸電纜第50頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三通解 試求體電荷產生的電位及電場。解：采用球坐標系,分區(qū)域建立方程邊界條件參考電位下 頁上 頁返 回圖1.4.2 體電荷分布的球體 第51頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三電場強度（球坐標梯度公式）：得到圖1.4.3 隨r變化曲線下 頁上 頁返 回第52頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三答案:（C ）1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theore

23、m) 圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？惟一性定理 ： 在靜電場中，滿足給定邊界條件的電位微分方程的解是惟一的。下 頁上 頁返 回圖1.4.4 平板電容器外加電源U0第53頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1.5 分離變量法 分離變量法采用正交坐標系，將變量分離后得到微分方程的通解， 當場域邊界與正交坐標面重合或平行時，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問題的解。1.5.1 解題的一般步驟：Separation Variable Method分離變量，將偏微分方程分離成幾個常微分方程；解常微分方程，并疊加得到通解；寫出邊值問題（微分方程和邊界條件）；利用邊界條件確定積分常

24、數(shù)，最終得到電位的解。下 頁上 頁返 回第54頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 試求長直接地金屬槽內電位的分布。 解: 邊值問題1.5.2 應用實例1. 直角坐標系中的分離變量法（二維場）（D 域內）下 頁上 頁返 回圖1.5.1 接地金屬槽的截面y第55頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三分離變量設-分離常數(shù),代入微分方程，下 頁上 頁返 回第56頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三代入邊界條件，確定積分常數(shù) 通解沿 x方向作正弦變化，下 頁上 頁返 回圖1.5.2 雙曲函數(shù)第57頁，共138頁，2022年，5月20

25、日，20點19分，星期三比較系數(shù)當 時，當 時，下 頁上 頁返 回第58頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三若金屬槽蓋電位 ，再求槽內電位分布通解等式兩端同乘以 ，然后從 積分左式當 時，下 頁上 頁返 回第59頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三右式 代入式（1）代入通解n奇數(shù)下 頁上 頁返 回圖1.5.3 接地金屬槽內的等位線分布第60頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 解： 取圓柱坐標系，邊值問題根據(jù)對稱性 例1.5.2 垂直于均勻電場 E 放置一根無限長均勻介質圓柱棒 ， 試求圓柱內外 和 E 的分布。 下 頁上

26、 頁返 回圖1.5.4 均勻電場中的介質圓柱棒第61頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三當 時，當 時， 代入微分方程分離變量, 設 通解取 n2 = 常數(shù)，令下 頁上 頁返 回第62頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三根據(jù) ， 比較系數(shù)得到當 時，根據(jù) 利用給定邊界條件確定積分常數(shù)當 時，通解根據(jù)得到下 頁上 頁返 回第63頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三比較系數(shù)當n=1時，當 時，An=Bn= 0， 則最終解由分界面 的銜接條件，得下 頁上 頁返 回第64頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三

27、圖1.5.5 均勻外電場中介質圓柱內外的電場 介質柱內電場均勻，并與外加電場 E0 平行，且 E2 E1 。下 頁上 頁返 回第65頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1.6 有限差分法1.6.1 二維泊松方程的差分格式 (Difference Form of 2D Poissons Equation)（1）二維靜電場邊值問題Finite Difference Method 基本思想：將場域離散為許多網格 ，應用差分原理，將求解連續(xù)函數(shù) 的微分方程問題轉換為求解網格節(jié)點上 的代數(shù)方程組的問題。（2）下 頁上 頁返 回1.6.1 有限差分的網格分割第66頁，共138頁，2

28、022年，5月20日，20點19分，星期三令 h = x - x0，將 x = x1 和 x3 分別代入式 ( 3 )（4）（5）（3）由式（4）+（5）（6）（7）同理,沿 x方向在 x0 處的泰勒公式展開為下 頁上 頁返 回第67頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三將式(6)、式(7)代入式(1)，得到當場域中即即若場域離散為矩形網格，差分格式為1.6.2 矩形網格剖分五點差分格式下 頁上 頁返 回第68頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1.6.2 邊界條件離散化（Discrete Boundary Condition)第二類邊界條件 第一

29、類邊界條件 分界面銜接條件 對稱邊界條件 其中圖1.6.5 介質分界面下 頁上 頁返 回圖1.6.3 對稱邊界圖1.6.4 對稱分界第69頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1.6.3 差分方程組的求解方法 ( Solution Method )1、高斯賽德爾迭代法式中： 迭代過程直到節(jié)點電位滿足 為止。2、超松弛迭代法式中：a 加速收斂因子（1 a 1000 269 174 143 122 133 171 發(fā)散最佳收斂因子的經驗公式（不唯一）（正方形場域、正方形網格）（矩形場域、正方形網格）收斂速度與電位初始值及網格剖分粗細有關；迭代次數(shù)與工程精度 有關。下 頁上 頁

30、返 回第71頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三邊界節(jié)點賦已知電位值賦節(jié)點電位初始值累計迭代次數(shù) N=0N=N+1按超松弛法進行一次迭代，求 打印 NY程序框圖下 頁上 頁返 回第72頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三上機作業(yè)要求：1. 試用超松弛迭代法求解接地金屬槽內電位的分布。給定邊值：如圖示；已知：計算：迭代次數(shù) N =? , 分布。給定初值：誤差范圍：下 頁上 頁返 回圖1.6.6 接地金屬槽的網格剖分第73頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三給定邊值：如圖示；已知：2. 按對稱場差分格式求解電位的分布計算：1)

31、 迭代次數(shù) N = ? , 分布；給定初值：誤差范圍：2) 按電位差 畫出槽中等位線。下 頁上 頁返 回圖1.6.7 接地金屬槽內半場域的網格剖分第74頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三3.選做題已知：無限長矩形屏蔽空腔中長直矩形導體的橫截面如圖示，且給定參數(shù)為 圖1.6.8 無限長矩形屏蔽空腔中長直矩形導體的橫截面要求 用超松弛選代法求解無限長矩形屏蔽空腔 中長直矩形導體周圍的電位分布; 畫出屏蔽腔中矩形導體周圍等位線分布;下 頁上 頁返 回第75頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1.7 鏡像法與電軸法1.7.1 鏡像法（Image Met

32、hod)1. 平面導體的鏡像圖1.7.1 平面導體的鏡像 Image Method and Electric Axis Method方程相同，邊界條件相同，解惟一。下 頁上 頁返 回空氣中除點電荷外，a上半場域除點電荷外b第76頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三地面上感應電荷的總量為（方向指向地面） 試求空氣中點電荷 q 在地面引起的感應電荷分布。解：設點電荷 q 鏡像后圖1.7.2 地面電荷分布下 頁上 頁返 回第77頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三2. 球面導體的鏡像點電荷位于接地導體球外的邊值問題（除q點外的空間) 設鏡像電荷 如圖，

33、球面電位 下 頁上 頁返 回圖1.7.3 點電荷對接地導體球的鏡像第78頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三將 r1, r2 代入方程 ，得聯(lián)立求解得到鏡像電荷位置鏡像電荷大小下 頁上 頁返 回第79頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三球外任一點 P 的電位與電場為圖1.7.5 球外的電場分布鏡像電荷放在當前求解的場域外。鏡像電荷等于負的感應電荷總量。圖1.7.4 球外的電場計算下 頁上 頁返 回第80頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 不接地金屬球附近放置點電荷q的電場分布。 則任一點場強解： 邊值問題（除q點外的空間

34、)通量為零（ 大小相等）球面等位（ 位于球心）思路圖1.7.6 不接地金屬球的鏡像下 頁上 頁返 回第81頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 用鏡像法求解下列問題，試確定鏡像電荷的個數(shù)，大小與位置。圖1.7.7 點電荷位于不接地導體球附近的場圖任一點電位球面電位思考下 頁上 頁返 回圖1.7.8 點電荷對導體球面的鏡像第82頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三3. 不同介質分界面的鏡像根據(jù)惟一性定理圖1.7.9 點電荷對無限大介質分界面的鏡像和解得下 頁上 頁返 回第83頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三圖1.7.10

35、 電場分布圖試確定下圖鏡像電荷的個數(shù)、大小與位置。思考題： 中的電場由 q 與 q 共同產生，q等效替代極化電荷的影響。 中的電場由 q” 決定，q” 等效替代自由電荷與極化電荷的作用。 圖1.7.11 點電荷 q1 與 q2 分別置于 與 區(qū)域中思考下 頁上 頁返 回提示第84頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1.7.2 電軸法（Electric Axis Method）(導線以外的空間)能否用高斯定律求解？思考邊值問題下 頁上 頁返 回1.7.12 長直平行雙傳輸線第85頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1. 兩根細導線產生的電位以 y

36、軸為參考電位， C=0， 則 令： C， 等位線方程圖1.7.13 兩根帶電細導線下 頁上 頁返 回第86頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三K 取不同值時，得到一族偏心圓。a、h、b滿足關系整理后，等位線方程圓心坐標圓半徑圖1.7.14 兩根細導線的等位線下 頁上 頁返 回第87頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 根據(jù) ，得到 Ex 和 Ey 分量圖1.7.15 兩細導線的場圖E 線方程思考 若在任一等位面上放一無厚度的金屬圓柱殼，是否會影響電場分布？若在金屬圓柱管內填充金屬，重答上問。下 頁上 頁返 回第88頁，共138頁，2022年，5月

37、20日，20點19分，星期三2. 電軸法( 以 y 軸為參考電位) 試求兩帶電長直平行傳輸線的電場及電位分布。b) 圓柱導線間的電場與電位 解：a) 取圓柱坐標系電軸位置下 頁上 頁返 回圖1.7.16 平行傳輸線電場的計算第89頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 試決定圖示不同半徑平行長直導線的電軸位置。圖1.7.17 不同半徑傳輸線的電軸位置解：下 頁上 頁返 回第90頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1）參考電位的位置；2）有效區(qū)域。解：確定 試確定圖示偏心電纜的電軸位置。注意：圖1.7.18 偏心電纜電軸位置下 頁上 頁返 回第91頁

38、，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 已知平行傳輸線之間電壓為U0, 試求電位分布。解： 確定電軸的位置所以設電軸線電荷 ，任一點電位下 頁上 頁返 回圖1.7.19 電壓為U0的傳輸線 第92頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三鏡像法（電軸法）小結 鏡像法（電軸法）的理論基礎是： 鏡像法（電軸法）的實質是：鏡像法（電軸法）的關鍵是： 鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區(qū) 域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。 用虛設的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計算場域為無限大均勻媒質；靜電場惟一性定理；確定鏡像電荷（電軸）的個數(shù)、大小及位置；應用鏡像法

39、（電軸法）解題時，注意：下 頁上 頁返 回第93頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1.8.1 電容器的電容（Capacitance of Capacitor)Capacitance and Distributed Capacitance1.8 電容及部分電容定義：單位： 電容只與兩導體的幾何尺寸、相互位置及周圍的介質有關。 工程上的電容器：電力電容器，電子線路用的各種小電容器。電容的計算思路：設下 頁上 頁返 回第94頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三解： 設內導體的電荷為 q ，則同心球殼間的電壓球形電容器的電容當 時（孤立導體球的電容）

40、試求同心球殼電容器的電容。下 頁上 頁返 回圖1.8.1 同心球殼電容器第95頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1.8.2 部分（分布）電容（Distributed Capacitance)1. 已知導體的電荷，求電位和電位系數(shù)圖1.8.2 三導體靜電獨立系統(tǒng)多導體系統(tǒng)靜電獨立系統(tǒng)部分電容基本概念下 頁上 頁返 回第96頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三導體的電位與電荷的關系為下 頁上 頁返 回第97頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三導體 i 電位的貢獻； ai i 自有電位系數(shù)，表明導體 i 上電荷對 a 電位系數(shù)

41、，表明各導體電荷對各導體電位的貢獻； ai j 互有電位系數(shù)，表明導體 j 上的電荷對導體 i 電位的貢獻 ；下 頁上 頁返 回矩陣形式第98頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三2. 已知帶電導體的電位，求電荷和感應系數(shù) b 靜電感應系數(shù)，表示導體電位對導體電荷的貢獻； bii 自有感應系數(shù)，表示導體 i 電位對導體 i 電荷的貢獻； bij 互有感應系數(shù)，表示導體 j 電位對導體 i 電荷的貢獻。矩陣形式：下 頁上 頁返 回第99頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三3. 已知帶電導體間的電壓，求電荷和部分電容矩陣形式部分電容的性質靜電獨立系統(tǒng)中

42、n1個導體有 個部分電容Ci j均為正值，下 頁上 頁返 回第100頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 部分電容是否為零，取決于兩導體之間有否電力線相連； 部分電容可將場的概念與電路結合起來。下 頁上 頁返 回圖1.8.3 部分電容與電容網絡第101頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 試計算考慮大地影響時，兩線傳輸線的部分電容及等效電容。已知da, 且ah。解： 部分電容個數(shù)由對稱性，得(1)圖1.8.4 兩線輸電線及其電容網絡下 頁上 頁返 回第102頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三電容與帶電量無關，故則利用鏡像

43、法，兩導體的電位代入式（2），得(2)下 頁上 頁返 回圖1.8.5 兩線輸電線對大地的鏡像第103頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三聯(lián)立解得兩線間的等效電容：下 頁上 頁返 回第104頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三所以靜電屏蔽在工程上有廣泛應用。圖1.8.6 靜電屏蔽 三導體系統(tǒng)的方程為： 4. 靜電屏蔽當 時， 說明 1 號與 2 號導體之間無靜電聯(lián)系，實現(xiàn)了靜電屏蔽。下 頁上 頁返 回第105頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三1.9 靜電能量與力1.9.1 靜電能量 (Electrostatic Energ

44、y)Electrostatic Energy and Force1. 用場源表示靜電能量q3 從 移到 c點，所需能量q2 從 移到 b 點，需克服 q1 的電場力做功，q1 從 移到 a 點不受力，所需能量 W1=0，下 頁上 頁返 回圖1.9.1 點電荷的能量第106頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三總能量推廣 1： 若有 n 個點電荷的系統(tǒng)，靜電能量為單位：J（焦耳）推廣 2 ： 若是連續(xù)分布的電荷， 下 頁上 頁返 回第107頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三2. 用場量表示靜電能量矢量恒等式能量密度因 當 時，面積分為零，故能量下

45、頁上 頁返 回第108頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 例1.9.1 試求真空中體電荷密度為 的介質球產生的靜電能量。解法一 由場量求靜電能量下 頁上 頁返 回第109頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三解法二 由場源求靜電能量球內任一點的電位代入式（1）(1)下 頁上 頁返 回第110頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 原子可看成由帶正電荷q的原子核被體電荷分布的負電荷云-q包圍，試求原子結合能。解：例1.9.1中當 時下 頁上 頁返 回圖1.9.2 原子結構模型第111頁，共138頁，2022年，5月20日，20

46、點19分，星期三1.9.2 靜電力 (Electrostatic Force)1. 虛位移法 ( Virtual Displacement Method )功 = 廣義力廣義坐標 廣義坐標 距 離 面 積 體 積 角 度 廣義力 機械力 表面張力 壓強 轉矩 單 位 N N/m N/m2 N m 廣義力 f ：企圖改變廣義坐標的力。 廣義坐標 g：距離、面積、體積、角度。下 頁上 頁返 回力的方向：f 的正方向為 g 增加的方向。第112頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三（1）常電荷系統(tǒng)（ K斷開 ） 表示取消外源后，電場力作功必須靠減少電場中靜電能量來實現(xiàn)。在多導體

47、系統(tǒng)中，導體p發(fā)生位移dg后,其功能關系為外源提供能量 = 靜電能量增量 + 電場力所作功即圖1.9.3 多導體系統(tǒng) ( K 斷開 )下 頁上 頁返 回第113頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三外源提供能量的增量 說明：外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。（2） 常電位系統(tǒng)（ K 閉合）廣義力是代數(shù)量 ，根據(jù) f 的“”號判斷力的方向。圖1.9.4 多導體系統(tǒng)( K 閉合 )下 頁上 頁返 回第114頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三解法一：常電位系統(tǒng) 試求圖示平行板電容器極板的電場力。圖1.9.5 平行板電容器取 d 為廣義坐標（相對位置坐標）負號表示電場力企圖使 d 減小，即電容增大。下 頁上 頁返 回第115頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三解法二：常電荷系統(tǒng)負號表示電場力企圖使 d 減小，即電容增大。下 頁上 頁返 回第116頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三 圖示一球形薄膜帶電表面，半徑為a ，其上帶電荷為q，試求薄膜單位面積所受的電場力。解： 取體積為廣義坐標f 的方向是廣義坐標V增加的方向，表現(xiàn)為膨脹力。N/m2下 頁上 頁返 回圖1.9.6 球形薄膜第117頁，共138頁，2022年，5月20日，20點19分，星期三2. 法拉第觀點