工程力學截面性質(zhì)

1、工程力學截面性質(zhì)第1頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 桿件截面圖形的幾何性質(zhì)桿件截面的幾何性質(zhì)第2頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 討論拉伸和壓縮桿件橫截面上應力時，根據(jù)拉伸和壓縮時均勻變形的特點，推出桿件橫截面上的正應力均勻分布，從而得到正應力表達式 其中A為桿件的橫截面面積。 桿件截面的幾何性質(zhì) 當桿件橫截面上，除了軸力以外還存在彎矩時，其上之應力不再是均勻分布的，這時得到的應力表達式，仍然與橫截面上的內(nèi)力分量以及橫截面的幾何量有關(guān)。但是，這時的幾何量將不再是橫截面的面積，而是其他的形式。 第3頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分

2、，星期三 不同的分布內(nèi)力系，組成不同的內(nèi)力分量時，將產(chǎn)生不同的幾何量。這些幾何量不僅與截面的大小有關(guān)，而且與截面的幾何形狀有關(guān)。 FNMz 桿件截面的幾何性質(zhì)第4頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 研究桿件的應力與變形，研究失效問題以及強度、剛度、穩(wěn)定問題，都要涉及到與截面圖形的幾何形狀和尺寸有關(guān)的量。這些量統(tǒng)稱為幾何量，包括：形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主軸等。 桿件截面的幾何性質(zhì)第5頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 靜矩、形心及其相互關(guān)系 慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑 慣性矩與慣性積的移軸定理 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理

3、 主軸與形心主軸、主慣性矩與形心主慣性矩 桿件截面的幾何性質(zhì)第6頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 靜矩、形心及其相互關(guān)系 桿件截面的幾何性質(zhì)第7頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三zyOdAyz圖形對于 y 軸的靜矩圖形對于 z 軸的靜矩 靜矩、形心及其相互關(guān)系 截面圖形幾何性質(zhì) 第8頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三AzyOdAyzzyOzCCyC分力之矩之和合力之矩 靜矩、形心及其相互關(guān)系 截面圖形幾何性質(zhì) 第9頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三靜矩與形心坐標之間的關(guān)系 靜矩、形心及其相互關(guān)系 截面圖形

4、幾何性質(zhì) 第10頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 靜矩、形心及其相互關(guān)系 截面圖形幾何性質(zhì) 靜矩與坐標軸有關(guān)，同一平面圖形對于不同的坐標軸有不同的靜矩。對某些坐標軸靜矩為正；對另外一些坐標軸靜矩則可能為負；對于通過形心的坐標軸，圖形對其靜矩等于零。 如果已經(jīng)計算出靜矩，就可以確定形心的位置；反之，如果已知形心在某一坐標系中的位置，則可計算圖形對于這一坐標系中坐標軸的靜矩。 第11頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 靜矩、形心及其相互關(guān)系 截面圖形幾何性質(zhì) 實際計算中，對于簡單的、規(guī)則的圖形，其形心位置可以直接判斷，例如：矩形、正方形、圓形、正三角形

5、等的形心位置是顯而易見的。對于組合圖形，則先將其分解為若干個簡單圖形（可以直接確定形心位置的圖形）；然后分別計算它們對于給定坐標軸的靜矩，并求其代數(shù)和。 第12頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三對于組合圖形 靜矩、形心及其相互關(guān)系 截面圖形幾何性質(zhì) 第13頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑 截面圖形幾何性質(zhì) 第14頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三圖形對 y 軸的慣性矩圖形對 z軸的慣性矩圖形對 y z 軸的慣性積圖形對 O 點的極慣性矩zyOdAyzrA 慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑

6、截面圖形幾何性質(zhì) 第15頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三圖形對 y 軸的慣性半徑圖形對 z 軸的慣性半徑zyOdAyz 慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑 截面圖形幾何性質(zhì) 第16頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑 截面圖形幾何性質(zhì) 慣性矩和極慣性矩恒為正；而慣性積則由于坐標軸位置的不同，可能為正，也可能為負。三者的單位均為m4。第17頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 0 0 0 0, 0zyOdAyz 慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑 截面圖形幾何性質(zhì) 第18頁，共46頁，2022年，

7、5月20日，3點54分，星期三zyOdAyzrA 慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑 截面圖形幾何性質(zhì) 第19頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三已知：圓截面直徑d求：Iy， Iz， IPdrdrdACyz 慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑 例 題 1解：取圓環(huán)微元面積 截面圖形幾何性質(zhì) 第20頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三已知：矩形截面b h求：Iy， IzCyzbhzdzdAydydA 慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑 解：取平行于x軸和y軸的微元面積例 題 2 截面圖形幾何性質(zhì) 第21頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期

8、三 慣性矩與慣性積的移軸定理 截面圖形幾何性質(zhì) 第22頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 移軸定理是指圖形對于互相平行軸的慣性矩、慣性積之間的關(guān)系。即通過已知圖形對于一對坐標的慣性矩、慣性積，求圖形對另一對坐標的慣性矩與慣性積。 慣性矩與慣性積的移軸定理 截面圖形幾何性質(zhì) 第23頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三AzyOdAyzz1y1O y1=ya z1=zb 已知： Iy、Iz、Iyz求： Iy1、Iz1、Iy1z1y1z1ab 慣性矩與慣性積的移軸定理 截面圖形幾何性質(zhì) 第24頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 y1=ya

9、 z1=zb zyOdAz1y1Oyzy1z1ab 慣性矩與慣性積的移軸定理 截面圖形幾何性質(zhì) 第25頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三如果y、z軸通過圖形形心，上述各式中的SySz0， 慣性矩與慣性積的移軸定理 截面圖形幾何性質(zhì) 第26頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 因為面積及包含a2、b2的項恒為正，故自形心軸移至與之平行的任意軸，慣性矩總是增加的。 a、b為原坐標系原點在新坐標系中的坐標，要 注意二者的正負號；二者同號時abA為正，異號時為負。所以，移軸后慣性積有可能增加也可能減少。 慣性矩與慣性積的移軸定理 截面圖形幾何性質(zhì) 第27頁，共

10、46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理 截面圖形幾何性質(zhì) 第28頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 所謂轉(zhuǎn)軸定理是研究坐標軸繞原點轉(zhuǎn)動時，圖形對這些坐標軸的慣性矩和慣性積的變化規(guī)律。 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理 截面圖形幾何性質(zhì) 第29頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三zyOz1y1dAyzy1z1已知： Iy、Iz、Iyz、求： Iy1、Iz1、Iy1z1 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理 截面圖形幾何性質(zhì) 第30頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三zyOz1y1dAyzy1z1 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸

11、定理 截面圖形幾何性質(zhì) 第31頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 圖形對一對垂直軸的慣性矩之和與轉(zhuǎn)軸時的角度無關(guān)，即在軸轉(zhuǎn)動時，其和保持不變。 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理 截面圖形幾何性質(zhì) 第32頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 主軸與形心主軸、主慣性矩與 形心主慣性矩 截面圖形幾何性質(zhì) 第33頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 截面圖形幾何性質(zhì) zyOz1y1dAyzy1z1從轉(zhuǎn)軸公式，可以發(fā)現(xiàn)第34頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三zyOz0y000dAyzy0z0y0、z0通過O點的軸 主軸與形心主軸

12、、主慣性矩與形心主慣性矩 截面圖形幾何性質(zhì) 當 時 y0、z0稱為主軸第35頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 當 改變時，Iyl、 Izl的數(shù)值也發(fā)生變化，而當=0時，二者分別為極大值和極小值。Iy0、 Iz0主慣性矩zyOz0y000dAyzy0z0 主軸與形心主軸、主慣性矩與形心主慣性矩 截面圖形幾何性質(zhì) 第36頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三主慣性矩： 主軸與形心主軸、主慣性矩與形心主慣性矩 截面圖形幾何性質(zhì) 第37頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 對于任意一點（圖形內(nèi)或圖形外）都有主軸，而通過形心的主軸稱為形心主軸

13、，圖形對形心主軸的Iy慣性矩稱為形心主慣性矩，簡稱形心主矩。工程計算中有意義的是形心主軸與形心主矩。 主軸與形心主軸、主慣性矩與形心主慣性矩 截面圖形幾何性質(zhì) 第38頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三有對稱軸截面的慣性主軸zyCdAdAyyz-zIyz= (yizidA- yizidA)=0 主軸與形心主軸、主慣性矩與形心主慣性矩 截面圖形幾何性質(zhì) 第39頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三有對稱軸截面的慣性主軸 當圖形有一根對稱軸時，對稱軸及與之垂直的任意軸即為過二者交點的主軸。 主軸與形心主軸、主慣性矩與形心主慣性矩 截面圖形幾何性質(zhì) 第40頁，共

14、46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三例 題 3 已知：圖形尺寸如圖所示。 求：圖形的形心主矩5027030300 主軸與形心主軸、主慣性矩與形心主慣性矩 截面圖形幾何性質(zhì) 第41頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三解 ：1將所給圖形分解為簡單圖形的組合 C1C25027030300 主軸與形心主軸、主慣性矩與形心主慣性矩例題3 截面圖形幾何性質(zhì) 第42頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三C1C22.建立初始坐標，確定形心位置 yzyC1505027030300C 主軸與形心主軸、主慣性矩與形心主慣性矩例題3 截面圖形幾何性質(zhì) 第43頁，共46頁，2022年，5月20日，3點54分，星期三 Iy0=Iy0()+Iy0(II) 90C1C2Cyz150603. 確定形心主慣性矩 y0z0 主軸與形心主軸、主慣性矩與形