大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)第八章λ矩陣第三節(jié)課件(課堂講解)

1、主要內(nèi)容第三節(jié) 不變因子行列式因子標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性舉例不變因子 - 矩陣可逆的條件一、行列式因子在上一節(jié)，我們討論了 - 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其主要結(jié)論是：任何 - 矩陣都能化成標(biāo)準(zhǔn)形.但是矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是否唯一呢？答案是肯定的.為了證明唯一性，要引入矩陣的行列式因子的概念.1. 定義定義 5 設(shè) - 矩陣 A() 的秩為 r ，對于正整數(shù) k，1 k r ， A() 中必有非零的 k 級子式.A()中全部 k 級子式的首項(xiàng)系數(shù)為 1 的最大公因式Dk() 稱為 A() 的 k 級行列式因子.由定義可知，對于秩為 r 的 - 矩陣，行列式因子一共有 r 個(gè).行列式因子的意義就在于，它在初等變換下是不變的

2、.2. 行列式因子的性質(zhì)定理 3 等價(jià)的 - 矩陣具有相同的秩與相同的各級行列式因子.證明我們只要證明， - 矩陣經(jīng)過一次初等行變換，秩與行列式因子是不變的.設(shè) - 矩陣 A() 經(jīng)過一次初等行變換變成 B() , f() 與 g() 分別是 A() 與 B() 的 k 級行列式因子.我們證明 f() = g() .下面分三種情形討論.1) A() 經(jīng)初等行變換 (1) 變成 B() . 這時(shí) B() 的每個(gè) k 級子式或者等于 A() 的某個(gè) k 級子式, 者與 A() 的某一個(gè) k 級子式反號, 因此 f() 是B() 的 k 級子式的公因式，從而 f() | g() .2) A() 經(jīng)初

3、等行變換 (2) 變成 B() . 這時(shí) B() 的每個(gè) k 級子式或者等于 A() 的某個(gè) k 級子式, 者等于 A() 的某一個(gè) k 級子的 c 倍 , 因此 f () 是B() 的 k 級子式的公因式，從而 f() | g() .或或3) A() 經(jīng)初等行變換 (3) 變成 B() . 這時(shí) B() 中那些包含 i 行與 j 行的 k 級子式和那些不包含i 行的 k 級子式都等于 A() 中對應(yīng)的 k 級子式；B()中那些包含 i 行但不包含 j 行的 k 級子式，按 i 行分成兩部分，而等于 A() 的一個(gè) k 級子式與另一個(gè)k 級子式的 () 倍的和，也就是 A() 的兩個(gè) k級子式

4、的組合.因此 f () 是 B() 的 k 級子式的公因式，從而 f() | g() .對于列變換，可以完全一樣地討論.總之，如果 A() 經(jīng)一次初等變換變成 B() ，那么f() | g() .但由于初等變換是可逆的， B() 也可以經(jīng)一次初等變換變成 A() .由上面的討論，同樣應(yīng)有g(shù)() | f() .于是 f() = g() .當(dāng) A() 的全部 k 級子式為零時(shí)，B() 的全部k 級子式也就為零；反之亦然.因此， A() 與 B() 既有相同的各級行列式因子，又有相同的秩.證畢二、標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性1. 標(biāo)準(zhǔn)形的行列式因子設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形為其中 d1() , d2() , , dr() 是首項(xiàng)系

5、數(shù)為 1 的多項(xiàng)式，且 di () | di+1 () ( i = 1, 2, , r-1 ) .不難證明,在這種形式的矩陣中，如果一個(gè) k 級子式包含的行與列的標(biāo)號不完全相同，那么這個(gè) k 級子式一定為零.因此，為了計(jì)算 k 級行列式因子，只要看由i1 , i2 , , ik 行與 i1 , i2 , , ik 列 (1 i1i2ik r)組成的 k 級子式就行了，而這個(gè)k 級子式等于顯然，這種 k 級子式的最大公因式就是2. 標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性定理 4 - 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的.證明設(shè) (1) 是 A() 的標(biāo)準(zhǔn)形.由于A() 與 (1) 等價(jià)，它們有相同的秩與相同的行列式因子，因此， A()

6、 的秩就是標(biāo)準(zhǔn)形的主對角線上非零元素的個(gè)數(shù) r ;A() 的 k 級行列式因子就是于是(3)這說明 A() 的標(biāo)準(zhǔn)形 (1) 的主對角線上的元素是被A() 的行列式因子所唯一確定的，所以 A() 的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的.證畢三、不變因子1. 定義定義 6 標(biāo)準(zhǔn)形的主對角線上非零元素d1() , d2() , , dr()稱為 - 矩陣 A() 的不變因子.2. 性質(zhì)定理 5 兩個(gè) - 矩陣等價(jià)的充分必要條件是 它們有相同的行列式因子，或者，它們有相同的不變因子.證明給出了 - 矩陣的行列式因子與不變因子之間的關(guān)系.這個(gè)關(guān)系式說明行列式因子與不變因子是相互確定的.因此，說兩個(gè)矩陣有相同的各級行列式因子

7、，就等于說它們有相同的各級不變因子.必要性已由證明.充分性是很明顯的.因?yàn)槿?- 矩陣A()與B() 有相同的不變因子，則 A() 與 B() 和同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)，因而它們也等價(jià).證畢四、 - 矩陣可逆的條件由可以看出，在 - 矩陣的行列式因子之間，有關(guān)系Dk () | Dk+1 () ( k = 1, 2, , r-1 ) . (4)在計(jì)算 - 矩陣的行列式因子時(shí)，常常是先計(jì)算最高級的行列式因子.這樣，由 (4) 我們就大致有了低級行列式因子的范圍了.作為一個(gè)例子，我們來看可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形.設(shè) A() 為一個(gè) n n 可逆矩陣，由知| A() | = d ,其中 d 是一非零常數(shù).這就是說，

8、Dn () = 1 .于是由 (4) 可知， Dk () = 1 ( k = 1, 2, , n )，從而dk () = 1 ( k = 1, 2, , n ) .因此，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是單位矩陣 E .反過來 ,與單位矩陣等價(jià)的矩陣一定是可逆的，因?yàn)樗男辛惺绞且粋€(gè)非零數(shù).這就是說，矩陣可逆的充分必要條件是它與單位矩陣等價(jià).設(shè)矩陣 A() 與 B() 等價(jià)，則由矩陣等價(jià)的充分必要條件知，存在一系列初等矩陣 P1, P2, , Pl,Q1, Q2, , Qt , 使A() = P1P2 Pl B() Q1Q2 Qt . 特別地，當(dāng) B() = E 時(shí)，就得到定理 6 矩陣 A() 是可逆的充分

9、必要條件是它可以表成一些初等矩陣的乘積.由此又得到矩陣等價(jià)的另一條件推論 兩個(gè) s n 的 - 矩陣 A() 與 B() 等價(jià)的充分必要條件是，有一個(gè) s s 可逆矩陣 P() 與 一個(gè) n n 可逆矩陣 Q() , 使B() = P() A() Q() .五、 舉例例 試求下列矩陣的不變因子:本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返

10、回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回