寒假自招班-第3講.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用教師版

1、第 3 講 空間向量在立幾何7幾何 6 級(jí)幾何5空間向量幾何在近五卷（理）考查14第 3 講 空間向量在立幾何7幾何 6 級(jí)幾何5空間向量幾何在近五卷（理）考查14ABC2007 2008 2009 2010年（新課標(biāo) 16 14A到平面的距離，可設(shè)平面的法向量為nB AB點(diǎn)到平面的距離為 n A到平面的距離，可設(shè)平面的法向量為nB AB點(diǎn)到平面的距離為 n l1 l2 （或l1 與l2 重合）v1 v2 l 或l x，y，使v xm yn111（其中m，n為平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量）或者 v1 n1面面的平行關(guān)系： （ 重合） n1 n2 l l v v v v 0（為l ，l 的夾角，0c

2、os 2l1 v1 n1 cossinv ，n（ 為l 與平面 012 n1 n2 n1 n2 0 0，（ 為平面 平行垂直問如果向量n的基線與平面 垂直，則向量n就稱為平面 的法向量AnAM n 0M A且與向量n AM n 0 稱為該平面的向量表示式考點(diǎn)平面的法向16】ABC平行垂直問如果向量n的基線與平面 垂直，則向量n就稱為平面 的法向量AnAM n 0M A且與向量n AM n 0 稱為該平面的向量表示式考點(diǎn)平面的法向16】ABC 則有nABx，y，z2，1，32xy3z0， 【2x y 3z x y z 由x3y 2z 3 當(dāng) x2 y2 z2 1時(shí) x y z 3 3故平面， 或

3、 3333 1) m 2mn則m3n4，解得577，即a ABAC773m2nn aABC或者由 n 0 ， ABC 考點(diǎn)空間向量解決平行垂直問【例2ABCA1B1C1ABCBAC90ABAA1 1D、E、F B1A、C1C 、BCDEABCB1F AEF A1EM，NAB，ACBNCM MN 11【BCF 12DAF11 2 21 10 2 1DE AB AC2DE ABAC DEABCE（AA ABCDE AA 1DEABC1BCF1 11F11 2 21 10 2 1DE AB AC2DE ABAC DEABCE（AA ABCDE AA 1DEABC1BCF1 111yxB1F ，1，E

4、F ，AF ，02 22 B1FEF 0B1FAF 0B1F EF B1F B1F EF B1F AF EF AF F B1FAEF B1NC1M ab10ab1，而abMN a2 b2 ab 2222 2MN A1EEP又BPABCDE ABCDEABCABC F BC的中點(diǎn)，BC AF 又B1B AF B1B BC B ，AF B1BF B1FB1BF ，AF B1F ECBF339P設(shè)AB AAa，則BF a ，222a ，BE a 222111244BF2EF2 BE2BF FEAF EF F BF AEF 1111ABC ABC AB 1AA aEF FA11 1 13BEa，CF

5、2aAEF ACF BB 的空間直角坐標(biāo)系 C xyz ，則【C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立 B0 Ea a，C0，0， ， CABz2aAE ，a ，AF 0a，2a ，F(xiàn)2設(shè)平面AEF 的法向量為n x，y，zyECABxEDADAn AEn AF anAE 0nAF 0得xyaz 0 2 x 0解得y z 1y 2平面AEF 的一個(gè)法向量為n n AEn AF anAE 0nAF 0得xyaz 0 2 x 0解得y z 1y 2平面AEF 的一個(gè)法向量為n 0，2，1由題意可知，平面ACF 的一個(gè)法向量為m 1，0，0mn0，AEF ACF 角度距離問設(shè)直線l1 、l2 的方向向量分別是v1 、v

6、2 ，平面 、 的法向量是n1 n2 所成的角為 ，則 設(shè)l 和，2 cos ； 設(shè)l 和 所成的角為 ，則0 12 2cosv12 sin v1 ；設(shè) 所成的角為 ，則 0，根據(jù)方向向量的不同，可以得到 ； 與線線角和線面角有所區(qū)別的是，求二面角的余弦值cos n1 簡(jiǎn)單判斷一下二面角是否為鈍角，才能知道cos 的符號(hào)P是平面 P在 上的射影為QR為 n是 的任意一個(gè)法PR cosQPR nRP n RP cos n，RP n ；nn，RP QPR或 n，RP 180QPR， 考點(diǎn)空間向量幾何中的應(yīng) n ；nn，RP QPR或 n，RP 180QPR， 考點(diǎn)空間向量幾何中的應(yīng) BAD 90A

7、CDCAB(AB AD 【】 2ABAD2ABAA2AD42 32 52 243cos90245cos60235cos1692502015AC 求OABCOCAB】BC AC AB【cos OAOA OABC OAACOAAB OA AB cos OA84cos13586cos1202416 cos OA，BC OA2416 32 OA ，85OABC32 P5【例4）P ABCDPAABCDABCD是菱AB 2，BAD 60DBDPAC ACPA ABPBAC PBC PDC PAB【】AC BD PAABCDPA BD BDPACAC BD O 因?yàn)锽AD60PA AB2BO1AOCO3如

8、圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系OxyzPz 【】AC BD PAABCDPA BD BDPACAC BD O 因?yàn)锽AD60PA AB2BO1AOCO3如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系OxyzPz 2 ，AC 0，2 3PB 13PBAC所成角為 PB66 4cos 2 2A3由BC B1，3x 設(shè)平面PBC 的法向量mx，y，z，則BCm0，BPm0 x 3yx 3ytz y 3x3，z 6 t6m3，3，t 6PDC 的法向量n 33t PBC PDC 所以mn0，即93 36 0t 6 tPA 6 ABCDABCACDAB BC ADCDCAD30AD2AB2BCABCD

9、若二面角C ABD為60ADBCDACB】F AC ADCDDF AC ABC ACD DF ABC ，DFABCDABCDF ADsin301AF ADcos30 3在RtABC AC 2AF 2 3 ，【DAB2BCBC 2 15，AB 15 D55G故四面體ABCD 的體V 如圖，設(shè)G，H分別為邊CDBD的中點(diǎn)，F(xiàn)GAD，GH BC ，從而FGH ADBCACFHEBEABEFBC AB BC EF ABDF ABC，DE AB所以DEF 為二面角C AB D 的平面角，由題設(shè)知DEF 60ADaDF ADsin30 a 2RtDEF EF DFcotDEF a3AB2BCBC 2 15

10、，AB 15 D55G故四面體ABCD 的體V 如圖，設(shè)G，H分別為邊CDBD的中點(diǎn)，F(xiàn)GAD，GH BC ，從而FGH ADBCACFHEBEABEFBC AB BC EF ABDF ABC，DE AB所以DEF 為二面角C AB D 的平面角，由題設(shè)知DEF 60ADaDF ADsin30 a 2RtDEF EF DFcotDEF a3 3a，從而GH 1BC EF 3a26RtBDF FH 1BD a RtADE RtBDE22FG 1 AD a ，從而在FGH FG FH 2cosFGH 23 ADBC3 6F FM AC ABM 不 妨 設(shè) AD2 ， 由 已 知 條 件 易 知 點(diǎn)

11、 A，C，D 的 坐 標(biāo) 分 1) 1) 顯然向量k 0，01) ABC的法向量別為：已知二面角C ABD為60ABD60z 1，由n AD3 63y z 0y 2x 6 16 3x2 y2 z2 1n，32 x6x2 y2 ，解之得，y 3633x3 y)y 69zD1633n24 因此點(diǎn)B的坐標(biāo)為9 CA9y62 MCBxB99 2 33 從而cosAD，CB9AD36 ，2623239936ADBC【例5（2011福建PABCDPAABCD 2 33 從而cosAD，CB9AD36 ，2623239936ADBC【例5（2011福建PABCDPAABCDABCDABADAB AD4CD

12、2，CDA45PABPADAB AP若直線PB 與平面PCD 所成的角為30 ，求線段AB 的長(zhǎng) PADCB【PAABCDACABCDPA ABABABPADA AD ABPABPABAPDAAxyz（如圖在平面ABCD內(nèi)，作CEABAD于點(diǎn)E ，則CE AD 在RtCDE中DECDcos451CE CDsin45 1， x y zPnCD n PD ，得(4tytz 取 xt 面的一個(gè)法向量DEAyPB (t，0，t故由直線PB與平面PCD所的角為30 ，CB 2t2n 2xcos60 t2 t2 (4t)2 2tn解得t 4 （t 4AD4t 0AB 4 55假 設(shè)G0，m，0（其中0m4

13、t ，得設(shè)G0，m，0（其中0m4t ，得(4tm)2 12 3tm)2，得(4tm)2 m2 t2由上述兩式消去t，化簡(jiǎn)得m23m40，此方程無實(shí)數(shù)根，所以個(gè)點(diǎn)G ，使得點(diǎn)G P，C，D的距離都相等AD 由GC GD，得GDC 45從而CGD90，即CG AD，GDCDsin45ABt AD4t AG ADGD3t22t 31，這與GBGD 在RtABG 中，GB AB2 AG2 t2 (3t)2 2所 1 BCABC圖A圖 CC1BC，CC1 AC即ACBA1 CC1 BACB90BC AC 【CA CB CC1 兩兩垂直ABF DF EF 1DF 1BBDF C EBC1 12DFEC1

14、 是平行四邊形 A以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CACBCC1 xyzDEFDEAB2AA1 4DEA1B1CC1 z 11B1D E設(shè)AB2AA1 4DEA1B1CC1 z 11B1D E設(shè)平面A1BE 的法向量為n (x，y，z) nAB 02x2y2z C，By12y z Ax又C1D A1BE ，C1DA1BE 又由A1BE 的法向量為n (1，1，2) n23 6sin cosn，BC 12 2 n 3 6BC ABE11【例6）ABCDA1B1C1D1 EAB:AD:AA11:2:4EFA1DAF A1EDA1EDFzBC CC1CF AB 2CE FDAyDBxCEBCE】解法1建AB1，

15、由CF AB2CEABADAA1 1:24AD 2，AA 4，CF 1，CE 1 123，121 EF 02FA00 121 EF 3于是cos EF，AD 15A102 12 02 22 212由于異面直線所成的角的范圍是 0， EF AD所成角的余弦值為 3125 310 1 22AF00 121 EF 3于是cos EF，AD 15A102 12 02 22 212由于異面直線所成的角的范圍是 0， EF AD所成角的余弦值為 3125 310 1 22AFEA1 0AFED0AFEA1 AF EDEA1 EDE，AF A1ED 1 yz uEF 2EFD的法向量u x，y，z 即1 x

16、y 2u由可知AF 為平面A1ED的一個(gè)法向量，又AF 1，2，12u 4 2，從而sin u125 3所以cos u，AF 36 3 5 3A EDF1AB1AD 2，AA 4，CF 1，CE 1 12 EFBC 1所以BMCEFA1DBM CM 1BC 1 22 42 5122BM2 CM2 BC3所以由余弦定理有cosBMC52BM D3EF AD所成的角的余弦值為 5B1NCEACAC DE NCD CE 1 RtDCERtCBA從而CDE BCA又由于CDECED90，所以BCACED90AC DE又因?yàn)镃C1 DE，且CC1 AC C DEACF AF DEBF BC1 ABF A

17、F B1C AF A1DAFDEAFA1DDEA1DDAF A1EDA1N ，F(xiàn)N 由DE ACF 因此A1NF A1 ED F 的平面角易知 ERtCBA，則CN EC ，又AC 5，所以CN 5 5FAMu 在 F中，NF CF2 CN2 30 在RtAAN中，AN 4 30 AN2 A11155連接AC ，AF，在RtAC F 中，AF AC2 C F2 14 1 1 11 AN2FN2 AF25在ANF cosA在 F中，NF CF2 CN2 30 在RtAAN中，AN 4 30 AN2 A11155連接AC ，AF，在RtAC F 中，AF AC2 C F2 14 1 1 11 AN

18、2FN2 AF25在ANF cosANF ，所以sinANF 112AN13315 3A EDF11（2008 PAPBC PACBABPCPOAB于點(diǎn)OPABABC【過點(diǎn)OBCACD yzPAPB 6PAPBzPAB2 3，POBO AOBCABtan302 3 OAByMDCxB033， PA 0 3 PABC0PABC又PA PB，PAPBC作OM ACM PM PO ABC，PO AC ；加上OM AC，AC POM ；AC PM ，AC OM 在RtAMOOMAOsin30 AO 3 2234，0，從而MO44 ，0，MP44 3M45 5 MOMO5 53，0 ，PC 2，3，-

19、3，AB 0AB30 AB，PC 異面直線AB和PC所成角的余弦值2PABCDPAABCDABCDPAAD2EF ADPCEF PBPCE PBC3，0 ，PC 2，3，- 3，AB 0AB30 AB，PC 異面直線AB和PC所成角的余弦值2PABCDPAABCDABCDPAAD2EF ADPCEF PBPCE PBC E PC DABxADyAPz【 121cos EF ，PB 0，11 4 EF，PB 90EFPB所成角的大小為90由EF PB ， EFBC 0EF BC又BCPB B，EF PBC EF PCE ，PCE PBC DDH PC H RtPDCPD2 2 DC 2PC zP

20、FEAHBxC3 則CH 3H4， ， ，DH ， 422233232DH，EF ，2 6 23 DH，EF 30EPCD的大小為30PCEPCD的一個(gè)法向量分別是mx1，y1，z1nx2 ，y2 ，z2 PEm0 y12z10 EFm0 z 0 則2y 2z 0PDn0 2x DCn 023cos m，n 14112m，n 30，EPC D的大小為30【例7P ABCDABCDPAABCDPA AD4AB 2AC 的中點(diǎn)OAC PD23cos m，n 14112m，n 30，EPC D的大小為30【例7P ABCDABCDPAABCDPA AD4AB 2AC 的中點(diǎn)OAC PDM PC N

21、ABM PCD求直線CDACM 所成的角的正弦值；N ACM 的距離PMNADOCB【】ACAM MC 又PAABCD，PACD，又CD AD，CD PAD ，CD AM ，AM PCDABM PCD zPMN的一個(gè)法向量nx，y，zA2x4y Dyn AC n ：2y2z 0OCB x CD6 3設(shè)所求角為 ，則sin CD 6 3由條，AN NC在RtPAC 中PN 8 PA2 3NC PC PN 10NC 5 PACM 5PACM 距離為h9 AP 6 5h6 h n3x，y，1nAB且nACnAB0，且nAC0【2x2y10 xx，y，1nAB且nACnAB0，且nAC0【2x2y10

22、 x 1即 1n 1法向量n 即n2304x5y303y【演練2】（2009遼寧 ）】Dz【A為原點(diǎn)AB，AD，AA1 所在直線分x，y，z坐標(biāo)軸立的空間直線坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1 的方向向量分別CD1 1，0則直線 CD1 ，y 10C3Bx2兩直線所成的角為90 ，故選【演練3】（2009浙江理PACABCABC AC EF ，OPAPBACAC 16PA PC 10 設(shè)G 是OC FGBOE 證明：在ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M FM BOE，并求點(diǎn)M 到OAOBPEFGAOCB【】如圖，連結(jié)OP，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)BOC OPxyz軸，建立空間直角坐標(biāo)系OxyzzPEFGAOCyBxFG4，4，3，得nFG0FGBOE內(nèi)，F(xiàn)GBOE設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0 ，y0 ，0)FM x0 4，y0 ，3FMBOE，F(xiàn)Mnx 4y 9即點(diǎn)M 的坐標(biāo)是4，9，00044xOyAOBx y，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)Mx y 所以，在AOB內(nèi)存在一點(diǎn)M FM B