高考數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性

1、函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性. 教學(xué)內(nèi)容函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性. 重、難點(diǎn) 重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)增、減區(qū)間的意義，應(yīng)用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性。 難點(diǎn)：證明函數(shù)的單調(diào)性典型例題】例 1 如果函數(shù) f (x)例 1 如果函數(shù) f (x)2x2 2(a 1)x 2在 (,4 上是減函數(shù)，求 a 的取值范圍。解： 對(duì)稱軸 x 1a ，由 1 a 4 得 a304例 例 2 判斷函數(shù) f (x)3x a( a R)在 R上的單調(diào)性解： 設(shè) x1 、 x2R且 x1 x2則x1 x20(1)f (x2) f (x1)( x32 a)( x13a)(x122x2)(x1 x1x2 x2 ) (2)當(dāng) x1 x2 0

2、時(shí)，2 x12 x1x2 x20當(dāng) x1 x2 0 時(shí)，x1和x2 中必有之一不為0(x1x2)2 x1 x1x22x20當(dāng) x1 x2 0 時(shí)，2x12 x1x2 x2(x1x2)2x1x20在上面討論結(jié)合(1)和( 2)有f(x2)f (x1) 0函數(shù)在 R 上是減函數(shù)例 3 已知函數(shù) f(x)， g(x)在 R上是增函數(shù)，求證： fg(x)在 R上也是增函數(shù)。證： 任取 x1， x2 R且 x1 x2則因?yàn)?g(x) 在 R 上是增函數(shù)所以 g(x1)g(x2)又 f(x)在 R上是增函數(shù)fg(x1fg(x1) fg(x2)fg(x) 在 R 上是增函數(shù)結(jié)論： 同增異減： y f (u)

3、與 ug (x)增減性相同(反) 結(jié)論： 同增異減： y f (u)與 u函數(shù)。1 yx例 4 求函數(shù)x 的單調(diào)區(qū)間解： 首先確定義域： xx 0解： 首先確定義域： xx 0在(,0)和 (0,)兩個(gè)區(qū)間上分別討論任取 x1、 x2 (0,)且 x1 x2f (x2 ) f (x1) x21f (x2 ) f (x1) x21x2x11x1(x2 x1)x1 x2x1x2(x2(x21x1)(1)x1x2要確定此式的正負(fù)只要確定1要確定此式的正負(fù)只要確定11x1 x2 的正負(fù)即可1這樣，又需判斷x1x2 大于 1 還是小于 1，由于x1x2 的任意性?？紤]到要將 (0 ,)分為 (0,1)與

4、 (1,)(1)當(dāng) x1 ,x21 1 0 (0 , 1)時(shí)，x1x2 f (x2 ) f(x1) 0為減函數(shù)( 2 )當(dāng) x1, x211(1, ) 時(shí)，x1x20 f (x2 ) f(x) 0為增函數(shù)同理( 3)當(dāng) x1 , x2 ( 1,0) 時(shí)，為減函數(shù)例 5 判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性1)f(x)(132x) 3 3(1 x2)2)1)f(x)(132x) 3 3(1 x2)2)f(x)2x33)f(x)1x x 14)f(x)x2 1 1 x25)f(x)(x1) 11 xx2注： 對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x)f (x) 成立，則稱 y f(x) 為偶函數(shù)。對(duì)于定義域內(nèi)的

5、任意一個(gè)x，都有f(x)f ( x)成立，則稱 y f (x)為奇函數(shù)。解：( 1)函數(shù)與定義域?yàn)?Rf (x) (1 x)33(1x2)x33xf ( x)x33xf (x)f(x) 為奇函數(shù)2)函數(shù)的定義域?yàn)橛?f( x)R2( x) 3f (x) (1 x)33(1x2)x33xf ( x)x33xf (x)f(x) 為奇函數(shù)2)函數(shù)的定義域?yàn)橛?f( x)R2( x) 32x3f(x) f (x) 為偶函數(shù)3)函數(shù)的定義域?yàn)閒(x) 為非奇非偶函數(shù)4)函數(shù)的定義域?yàn)?,1，此時(shí) f(x) 0 f(x) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)5)1x1，知定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱 f(x) 既不是奇函數(shù)也不是

6、偶函數(shù)例 6 函數(shù) f(x)在( , )上為奇函數(shù)，且當(dāng) x ( ,0時(shí)， f (x) x(x 1)，則當(dāng) x (0, ) 時(shí)，求 f(x) 的解析式。解：設(shè)x (0, 解：設(shè)x (0, )則 x ( , 0)f( x) ( x)( x 1) x(x 1) 當(dāng) x (0, ) 時(shí)， f (x)x(x 1) f (x)x(x1)例 7 設(shè) f (x) 為奇函數(shù)，且在定義域 ( 1,1) 上為減函數(shù)，求滿足f(1a)f (1 a2) 0 的實(shí)數(shù) a 的取值范圍。解：由 f (x)為奇函數(shù)知： f (1 a)2f (1 a2) f (1a2)f(a21)又 f (x) 在 R 上為奇函數(shù)f ( x)

7、 f (x) x(x 1)由 f (x) 是減函數(shù)知： 1 a a2 11 1 a 11 1 a2 11 a a 1 解得 0 a 1例 8 設(shè) f (x) 是定義在 例 8 設(shè) f (x) 是定義在 (0,式 f(x) f (x 3) 2的 x的取值范圍。解： f (x) f(x 3) f (x2 3x)又2 2f (2) f (2) f(2) f (4)3x) f (4)2 f(x) f (x 3) 2 化為 f (x23x) f (4)2x3x4x0 x30解得 2x3x4x0 x30解得 3x4模擬試題】. 選擇題1. f (x) 4x2mx1 ，當(dāng) x2時(shí)遞增A. 13B. 1C.

8、21D.2. 若奇函數(shù) y，當(dāng) x 2時(shí)遞減，則 f (1)的值等于()3f(x)(x R)的圖象過(guò)點(diǎn) (a, f (a) ，則必過(guò)點(diǎn)(A.(a , f ( a)B.( a, f(a)1 y3. 函數(shù) xk(k1)在(,0)，(0,)上都是增函數(shù)，則k 的取值范圍A. ( ,1)(1,)B.( ,0)C. ( ,1)D.(1, )4. f (x) 在 ( 4, 7) 上是增函數(shù)，則yf(x3) 的增區(qū)間是()A. ( 2 ,3)B. ( 110)C. ( 1, 7)D. ( 4 ,10)C.D. ( a , f (a)( a, f ( a)二 . 填空題( a, f ( a)函數(shù) y x 1

9、的遞增區(qū)間是 。22. 若函數(shù) f (x) 是 R上的增函數(shù)，且 f (x x) f (x a) 對(duì)一切 x R都成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 。3. 已知 f (x)7 axbx6cx5 dx8， f ( 5)15，則 f (5) 。1 (14. 若 F(x) 是奇函數(shù)，則函數(shù)G(x)F(x) ，(ex1 2)的圖象關(guān)于對(duì)稱。三 . 解答題1. 已知 f (x) 是偶函數(shù)，在 (0, )上是增函數(shù)，那么 f (x)在( , 0) 上是增函數(shù)，還是減 函數(shù)？并加以證明。y ax 2函數(shù) y x 2 在 ( 2 ,)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。3. 定義在 2 , 2上的偶函數(shù) g(x

10、) ，當(dāng) x 0時(shí)，g(x) 單調(diào)遞減，若 g(1 m) g(m) ，求m 的取值范圍。試題答案】1. C 2. DD 4. B1. 1, )2. (0 , ) 3. 31 4. y 軸f (x1) ， f (x1) ， f ( x2) f (x2)f( x2 ) y2. 解：ax2a(x 2)2(a1) a2(a1)x2x2ax2在(2,)上單調(diào)遞增a2(a1) a2(a1)設(shè)2x1x2 則x12x22a1a111 x12x22x22 x120 x1 2 x2 2a10即a1上是減函數(shù)3. 解： g(x) 為定義在 2 , 2上的偶函數(shù)，且當(dāng) x 0時(shí)遞減1. 設(shè) x1 x2 0 由于 y 由假設(shè)可