高考中的三次函數(shù)

1、三次函教三次三生三世，十世夢里桃花二.次函數(shù) = +比/ + +或0手0)在教材中沒1詳細(xì)介紹,但是是島號必查的,個(gè)非常重要的 函數(shù),可以結(jié)合函數(shù)中調(diào)竹、對稱件、圖像變化規(guī)律、方程根、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、極值及侑、切線及切線條 數(shù)等方面出題，鑒于很多學(xué)生對此沒有系統(tǒng)的理解，遇題也無法快速定位找到明確的解題思路，我在此 前要闡述下多年以來對：次函數(shù)的了/，我不介紹求根公式,:次韋達(dá).也不寫秒解速法,我只想從 最簡單的基本點(diǎn)出發(fā)，帶領(lǐng)讀者領(lǐng)略其風(fēng)華美貌，定公為此系統(tǒng)的理解，由此拓寬解題思路.請接招！ -：借助導(dǎo)函數(shù)探視三次函數(shù)圖像/(?) =or +bx2 +cr+ d(a 0),其導(dǎo)函數(shù)/( 3ar24

2、-2&r +c(a0)A= (26尸一 4X3aXc = 4昭一cAM廣20,則/在H/此時(shí)/在。上八唯零點(diǎn)(如圖1);a0, (S)=0兩根分別為孫必QY6.此時(shí)易知/單調(diào)性和極值情況(如圖2)： 極值情況：/(力在(-8,11) /,(為/)、,(劭,+8)/極大位為極工)極小位為/(g)，(訪對稱情況：/的對稱軸為了見。兩二%;二: 4 A OUOU兩邊等沖/(，)值相同，這就意味著/(力在點(diǎn)兩側(cè)等由切線斜率相同，故“力圖像關(guān)于 點(diǎn)P對稱，對的:中心P1* J( )【據(jù)此若已知三次函數(shù)對稱中心為P(m,r),那么Rr)可設(shè)為 /(/) .4(x - m尸+ 3a /) + n(.4 /

3、0)。同時(shí)易知，足線段4的中點(diǎn)。(高考利用此知識點(diǎn)出過壓軸題)圖2圖2（油）零點(diǎn)情況：1個(gè)零點(diǎn)：如圖，易知此時(shí)/（4）0或/（力）0即可，也可合并求ru） o的解。（注：鑒于計(jì)算的紅雜度，建議討論，若兩根大小不定，合并出隹，）2個(gè)零點(diǎn):如圖,易知此時(shí)代rJ=0或/（通）=0即可。同理可以合并為，的）功=0。注：此時(shí)仃一個(gè)非常重要的幾何三等分點(diǎn)，高考沒考過,稍后再細(xì)敘，附上原創(chuàng)題3個(gè)零點(diǎn)：如圖,易知此時(shí)/但）0且/5）0,也可以合并為/（劭）/（?。￢0。這三種情況也是/）=（）根的個(gè)數(shù)問題，也是切線條數(shù)問題，有些資料長篇大論描 述過某區(qū)域的點(diǎn),可以分別做多少條切線.記不住的，歸根到底都是卜.面

4、的內(nèi)容,沒有 必要記那些結(jié)論，個(gè)人覺得都是在浪費(fèi)時(shí)間,因?yàn)榍芯€是真線，三次函數(shù)和二次函數(shù)、次函數(shù)聯(lián)亡之后乂將會是新的:次函數(shù)，至精至荷，大愛無需多言,幾何特點(diǎn)：切割線的幾何特征我們知道在圓中行切割線定理，利用此性質(zhì)可以很方便的解決一些問眼 比婦最大視角時(shí)也 三次 函數(shù)也有此類現(xiàn)象,倘心知道這些，則可迅速地看透木質(zhì)，從而簡潔運(yùn)算 TOC o 1-5 h z 如圖M是/（工）上任意點(diǎn)（對稱中心點(diǎn)除外），過“做切線和割線MBA，則為Tr證明： y = ax + bx2 + oc + d（a 4 0）直線 MT ： y = kQx + rn0直線MAB： y = kx + m0（D,分別聯(lián)立得ax3

5、+ b工 & + (c （D,分別聯(lián)立得ax3 + bx2 + (c Jt )a: + d - m = 0lh三次方程零，點(diǎn)式對比系數(shù)可知:2xr 4 Xu = 4 + 十萬“特別地:當(dāng)和四重合時(shí).則為切線.此時(shí)叼=紅產(chǎn)，證明略“更加特別地:為M在極值點(diǎn)位置時(shí),如圖, AfP = FM =臚T （在N處的切線也有此三等分點(diǎn)）。0可提負(fù)號，不再說了。下面我列舉幾個(gè)典型的例子加以說明上述知識點(diǎn)在解題中的運(yùn)用。例題 1： /Gr) = *-彳-2r + m.若/任)有1個(gè)導(dǎo)點(diǎn)，m的范圍為?.若”動行1個(gè)零點(diǎn).m的范圍為?.若/(力有1個(gè)零點(diǎn)，m的范困為？分析：r(z)=了”一，一2令/(工)=。，解

6、得到一，的=2.易知/GD 0.得mW (-8, - 1) U 償，+ 8).易知/(T) =0或2) :0,得mW - ,易知仁鼠利3常)例題2 ：討論/(了)- or -+2)/ + 6/- 3(a 0)與n軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。分析：/(工)=32 -3( + 2)工+ 6 = 3(工-2)(工一 1).當(dāng)。=2時(shí),/Q)廿0,/(，)在/?/,所以有唯一零點(diǎn)(2),當(dāng)。#2時(shí)，/()=0 符刈=1,g= L 此時(shí) 1)= : 0, a/ 21-3。 + 6僅一4 八 /，1肘印上/I-H =方0白唯一零點(diǎn)綜上，函數(shù)與工軸只有一個(gè)交點(diǎn)例即3： /(上)二)/一一 一上若函數(shù)/(工)HgQ)的

7、圖像有.：個(gè)不同交點(diǎn)求實(shí)數(shù)太范困.分析：問題等價(jià)與/(1)與“力有三個(gè)根，即+=0 令人=一 器1/+辰-i包)=犬-3 + 1 +先 0-1)(工一切注：此時(shí)和1大小不定,合并更佳易知Awl目vo.即人不(4小十一外0Aw (-8,1 G) U (1 + /3, + oc)以上都是比我正常的零點(diǎn)個(gè)數(shù)間理，處理起米根據(jù)圖儂很簡單.殷/0)的根可以用韋達(dá)定理或 求根公式求，最后帶入求/(八),/(叼).不是很難.但是有些題目比較復(fù)雜，有種唾手m得卻又遙遙無期 的遺信，卜面我介紹兩種思路，讓你再見不負(fù)相逢。例題4:已知函數(shù)，)= + s2 + H + c的一個(gè)零點(diǎn)為I=1,另外兩個(gè)零點(diǎn)可以作為一個(gè)

8、橢網(wǎng)和個(gè)雙曲線的離心率，則2的取值范圍是？ a分析：根據(jù)題意，*1)=1+0 + b + c = O,所以c = -l-f(x) = I?+M +必一 i _ g Q _ 1)()，后面這個(gè)括號是什么呢?我根據(jù)小學(xué)的除法運(yùn)算法則想到一種處理方式，可稱為“長除法”：z?十(a + l)x+ 3 + 6 + 1) - 1)3+皿2十如一1 一。一6(o + l)T2 + fcr(a + l)z2 (a + l)x(a , b + i)x 1 - a - b(q + 6 + l)i (a 4 6 + 1)故()=K +(a + l)r + (a + 6 + 1)注：此方法可以解,股的高次方程，先試根

9、再長除，般試r=1. 2,L得除式S-功)最后長除法結(jié)果余再令gQ)=/+(a + D工+ a + b + l,則g)兩個(gè)零點(diǎn)分別在(0,1)和(L+x),叫0(0) . H + 6 + l0g 1(2a+6 + 30時(shí)，即要求/QJ /5)0。由/ 2/ + a = 0 得：/ = &： a此時(shí)/(工)=可工”一塞，+ ar a= x(2j - a) 一 (2x -a)+ar- a償-2卜=2-。)+2 2a3尸一 T新).&)= 修吁翡-制修吁號啊一制0而0 1,所以上式等價(jià)于卜一百卜卜一 一 0羽以一占+的)+(曰)而皿+的 2 XiX2 = a 代入得-3a + 3) 0,.a 0所以

10、0。1綜上得一 (0, +oc)注：通過:次函數(shù)來降次，可將/(以轉(zhuǎn)化成次函數(shù)問題,再用:次韋達(dá)解決參數(shù)范圉。例題6：己知曲線/() = /+, Q設(shè)切點(diǎn)為m3)的)，則r(如=m,故切線為初-.=*(n一城,即與工一級一 *、+ =0,將(2,4)帶入得2謂一4一 1x03+ . = 0所以(馬+ 1)(助-2)2 = 0,得知=1或%=2,帶入切線方程符4一 y 4 =?；?r - + 2 = 0,注：實(shí)際求詼時(shí)，心中知道必有根%=2 (3)設(shè)切點(diǎn)為“(命，加)，則氏=(而)=4,故切畿為初一如=k也一知),即rji一9一段益3+ 1 =0,將(1:m)帶入得一孫：+工(2+ 一切=0,m

11、, h1 (x) =m, h1 (x) = 2/J+ 2x(,2 令“(：)=0得知=0或恐=2。因?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn)，所以60)-/(2) = (1”(-加)0而0 1,所以上式等價(jià)于卜一百卜卜一 一 0羽以一占+的)+(曰)而皿+的 2 XiX2 = a 代入得-3a + 3) 0,.a 0所以0。1綜上得一 (0, +oc)注：通過:次函數(shù)來降次，可將/(以轉(zhuǎn)化成次函數(shù)問題,再用:次韋達(dá)解決參數(shù)范圉。例題6：己知曲線/() = /+, Q設(shè)切點(diǎn)為m3)的)，則r(如=m,故切線為初-.=*(n一城,即與工一級一 *、+ =0,將(2,4)帶入得2謂一4一 1x03+ . = 0所以(馬+ 1)

12、(助-2)2 = 0,得知=1或%=2,帶入切線方程符4一 y 4 =?；?r - + 2 = 0,注：實(shí)際求詼時(shí)，心中知道必有根%=2 (3)設(shè)切點(diǎn)為“(命，加)，則氏=(而)=4,故切畿為初一如=k也一知),即rji一9一段益3+ 1 =0,將(1:m)帶入得一孫：+工(2+ 一切=0,m, h1 (x) =m, h1 (x) = 2/J+ 2x(,2 令“(：)=0得知=0或恐=2。因?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn)，所以60)-/(2) = (1”(-加)0, 即mW(0,注：希見廣大讀者多看幾遍,多寫幾遍,體會下我處理切線的思路例題7： /（，）=-一凡過點(diǎn)5而點(diǎn)/圖像的切線,若可以做二條切線,當(dāng)牛（。

13、,1）時(shí), 求點(diǎn)聞、珀所在區(qū)域的面枳。分析：（工）=3/-1,設(shè)切點(diǎn)&/（，）,2=/（）=3尸一1,所以切線方程為：G3 0 = （3t2-l）（x-Z）,即2-3知產(chǎn)+ 1 +的=0,關(guān)于i的方程有三個(gè)根, 令 M0 =2”一3%外 + 以 + 物 * ）=61 一 6為/ 令Q）=0,得/=（）或，= % Q） ,1）. 有A（0）八（斯）0,即（的+如）（加一（？ +斯）0即y+ z = 0和1/一/，& = 0分區(qū)域是異號 分別作出v + n = 0和2/-公+ = 0，圖像如圖，S = f （x3 x x）dx = yI =：。Ju4 Io 4例題8:（全國理22）已知/Cr） =

14、d- z略設(shè)g如果過06）可做IT “力的三條切線,證明一ab/（a）分析:（幻=3一1,設(shè)切點(diǎn)（皿.小），則=ra）=3斯2-1,一的,切線為*一y.）-大（Z 均），即（加/ - 1）了 一 y 2%3 L仇將（a. 6）代入得（3舒- 1 ）a - b - 2V = 0,此方程應(yīng)有3個(gè)根，注：我們知道,限定條件是兩個(gè)，而所證也是兩個(gè)不等式,有希!0!令，）=2/-30/ +。+ 白.則（r） = fix2 60A g（a） 0 叫- + a + MO 叫。Voj= /Q）故鵬代/拓展:（江南十校聯(lián)考）若過點(diǎn)4（2,m）可以做曲線/二-選的:條切線，求m的取值范困（6m（）,若過點(diǎn)（0.2

15、）可作曲線=力的三條切線，求U的取值他國（。溝）例題9：設(shè)直線/與曲線,十第十Iff三個(gè)不同的交點(diǎn)A、B. C. J1M/?I = IHC1=?5.求I方程。分析：由L40l = |bC|知,b是三次函致的中心,二3尸+ 1,=0,所以（0,1）,易知宜線方程為9=21-1例題 10： /（N）=/-?i+；+3 則/（嘉）的值為（）4.0n.504 a KKW D2010分析：/） =3 - 3i+9,則I=：,故/對稱中心你;）則fG）有：/（乃+“1 一力=百:注：若/（。+工）一工）二m.則/（,）關(guān)于點(diǎn)（寧當(dāng)卜寸稱j令$=/島）+ /（盛）+/喘I）S=/（翡）+霸 +/島）相加得2

16、s = 2016 X ；.所以S = 501選B例期II :（大綱文21）設(shè)/3 = + + 3有兩個(gè)極值點(diǎn)工皿若過兩點(diǎn)出,/（玲），g/（M 的直線，與，軸的交點(diǎn)在曲線y = /G）上，求a的值。分析，由三次函數(shù)圖像知.若7（力對稱中心在，軸匕合廖意。/（.T）= / + 2, +/（.T）= / + 2, +。，對稱中心為（若土軸與/（工）極值處相切,也合一愈。此時(shí)/=2/。，/（工）=1/ +工？ + 3=%六.- V ,極值點(diǎn)處（工1,%）， JJJ（卬加）均滿足上式,所以直線方程為桀:2/ 。 1）,（1）求/（土）,并證明/（夕）仃兩個(gè)不同的極值點(diǎn)上1 .公2（2）對于中的，S，若不等式/出）+/回）W0成立,求q的取值范圍。分析： r （工）3/ - 2（0+ 1）宴 +。,因?yàn)?（。） 0/（1） 1 - a 0?所以/Q）有兩個(gè)極值點(diǎn)，且有0V為10判斷（2）利用三次函數(shù)圖像對稱特點(diǎn)可知，/）對稱中心橫坐標(biāo)z ”3二 旦有/3）+/但）=2伯+2（割.（寧）.（胃%。即。250,所以。12文章結(jié)尾我原創(chuàng)道區(qū).計(jì)高學(xué)命儂老師有緣相見.定會選為島名備選超一已知/（工