高考數(shù)學(xué)壓軸大題-解析幾何

1、 高考數(shù)學(xué)壓軸大題一解析幾何-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考數(shù)學(xué)壓軸大題一解析幾何V-.設(shè)雙曲線C：=1（。0）與直線/:x+y = l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)4 8.cr（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：（II）設(shè)直線/與y軸的交點(diǎn)為P,且尸文=工尸后.求a的值.12解：（I）由C與t相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組M 2 1-=1， 0.解得。 a 解得。 a 且 W 1. 雙曲線的離心率*.* 0 a 且e 豐-J2 2即離心率e的取值范圍為包，四）U（四,+s）. 2（II）設(shè)A（x“J8Cq,乃），尸（）* 5 */ PA = PB,12（

2、不，必一1）=（，,2一1）且1一層/0,由此得且1一層/0,由于M+X2都是方程的根, TOC o 1-5 h z 小“172a2力以五%= 一匚15 22/羽 =712 1 M消去冬,得一3=樣17由a 0,所以。=132.已知（-L0）,為橢圓。的兩焦點(diǎn)，?為。上任意一點(diǎn)，且向量麗與向量麗的夾角余弦的最小值為:（【）求橢圓。的方程；（H）過(guò)F的直線/與橢圓。交于肌N兩點(diǎn)，求OWN 2為原點(diǎn)）的面積的最大值及 相應(yīng)的直線/的方程.解：（1）設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為2“，防卜跖卜2a 質(zhì)卜2c = 2cos時(shí)M 牛丁平用伊周_（|產(chǎn)用+ |尸用）2-2歸6卜|尸用-42|用|P-|又防卜|明吟時(shí)網(wǎng) P

3、FPF2 -T -1 = 1-4 = -2aa 3；橢圓方程為+ - = 1(H )由題意可知NM不可能過(guò)原點(diǎn)，則可設(shè)直線NM的方程為:x+1 =?)，設(shè)M(K，y) N(x2,y2)Somn = S3 +y | +1 % I) = ； |i -乃 |X2 y2+ = 1, 2).(I )若幾為常數(shù)，試用直線/的斜率以AW0)表示三角形。奶的面積.(H)若幾為常數(shù)，當(dāng)三角形。步的面積取得最大值時(shí)，求橢圓的方程.(W)若X變化，且九二萬(wàn)+1,試問(wèn)：實(shí)數(shù)九和直線/的斜率k(kR)分別為何值時(shí)，橢圓N的短半軸長(zhǎng)取得最大值？并求出此時(shí)的橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為二+與=13。)， cr 0由 e 二

4、= g 及/= b2+c2 得 病=3 b2,a V 3故橢圓方程為a2 + 3r= 3/?2 .(I );直線/ ： y = Mx+1)交橢圓于 A(孫 yi), 5(X2, ”)兩點(diǎn),G4=2BC (22),-Ui+L yi)=A(-l-X2l 一”),日 n Jn + 1=T(W+1)即彳 】X 二一4力把產(chǎn)k(x+l)代入橢圓方程, 旦 k2把產(chǎn)k(x+l)代入橢圓方程, 旦 k2 (3/?2-1)+/?2 0X1+X2=3k1-3b13k2+1得(3攵2+1)工2+6上+342-3= 0, (*), S、ab=-Ii-y2l=1ll+ll-lj2l= -IZ： 1-1x2+11 .

5、222聯(lián)立、得也+f1K,A + 1k3k2+伙M)A + 1k3k2+伙M)(II 電。X 1Iki3k2+13MI +1-k2).-2-1 2).-2-1 2 小當(dāng)且僅當(dāng)31kl即攵=五時(shí),k3S白。.取得最大值，此時(shí)Xl+X2= -1又 %1 + 1= -Z ( A2+l),.1A.X= , Xi=1 一 A-1代入得3代提.此時(shí)療2修的值符合(*)3 - 4- 1 故此時(shí)橢圓的方程為+ 3)，2=普(丸三).(【H)由、聯(lián)立得：_ 一2九 _(1_4)(31+1)-，X2=4,1,(1-2)(3內(nèi)+1)將孫X2代入，得盼=史志由廣1 .由心九7得圻=而需萬(wàn)M, ,，+Z +13 (2-

6、1)2 (2-1)2(32-2)易知，當(dāng)422時(shí)，3反是幾的減函數(shù)，故當(dāng)4 = 2時(shí)，卡取得最大值3.所以，當(dāng)丸=2,攵=1(符合(*)時(shí)，橢圓短半軸長(zhǎng)取 得最大值，此時(shí)橢圓方程為x2 + 3/ = 3 .4.已知橢圓的中心為半標(biāo)里點(diǎn)a焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)尸的直線交橢 圓于4、6兩點(diǎn)，。4+。8與a = (3,-1)共線.(D求橢圓的離心率；_(II)設(shè)時(shí)為橢圓上任意一點(diǎn)，且西=2赤+ 礪(/l,wR),證明萬(wàn)+*為定值.2解： 設(shè)橢圓方程為二+ 2 = l(a”0(c,0), cr lr則直線A8的方程為y = x-c,代入 + = = 1.cr b-化簡(jiǎn)得(1 +b2)x2

7、 -2a2cx +a2c2-a2b2 =0.令 A。)B(x29y2x + xx + x22 2),，aP -aa2 +b2由萬(wàn)I + OB = (Xl+ x2 j + 必),Z = (3,-1),萬(wàn)I + OBi 共線,3(兌+乃)+($+)=又 M =$一 C,、2 =工2 一孰，3(陽(yáng) +x2- 2c) +(X + x2 ) = 0,3cXj + X2 =/ . c = y/cr - Zr =,故離心率 = =a 3(II)證明：由 知/=3/ 所以橢圓 +=1可化為/+3y2=3ZA a b設(shè) OM = (x, y),由己知得(x, y)=2(玉,y,) +/(%2, y2),x =

8、Zvj + jtix2,y =加+紗2M(x,y)在橢圓上,+ /a2)2 +3(辦71+ /2 )2 = 3b2.即-2(x；+3y；) + 2 3+3y；) + 24z(+/2+3%力)=3必.3 , , 23 , , 21 2一廠淮=一廠22由知X +=Ca =a2c2 -crb2 3 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark108 o Current Document 入內(nèi)= ；=-c 一 a2+b28 司勺+3乃力 =xix2+3(xi -c)(x2 -c)=4M占 一 3(x. + )c + 3c2 I /1工3,9.=-L 一一c- +3l22=0.又

9、x；+3y： =30W+3 =3又，代入得 外+2=1. 故萬(wàn)+2為定值，定值為1.已知橢圓J + )，2=1的左焦點(diǎn)為F, 0為坐標(biāo)原點(diǎn). 乙(I)求過(guò)點(diǎn)0、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線/相切的圓的方程；(II)設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.解： ,： a =2,b2 =1,.*. c = l, F(-l,0),/:x = -2.圓過(guò)點(diǎn)O、F,，圓心M在直線工=一;上。設(shè)M(-；)，則圓半徑 13廠=(一大)一(-2)=7 22由 |OM| = ,，得 J(一；了+產(chǎn)解得1=應(yīng).所求圓的方程為(a- + 1)2 +(/

10、2)2=1(II)設(shè)直線AB的方程為y = Z(x+l)伙W0),2代入 J + V = 1，整理得(1 + 2k2)x2+4k2x + 2k2-2 = 0.直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,，方程有兩個(gè)不等實(shí)根。記 A(m , % ), B(x2，%)，A8 中點(diǎn) N(x。, %),4k22F+T河的垂直平分線NG的方程為卜兒=T- 令y = o,得f 2k2 k2 k2 11y2k2+ + 2k2+ -22 + l -2 + 42+2,點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為(彳,0).已知點(diǎn)A(x21), 8(均為)(2。)是拋物線)2 =2x(P。)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn), 向量而滿足母+礪卜國(guó)-/.設(shè)圓C

11、的方程為爐 + y2 一 (占 + 4 )工 一 (川 + y2)y = 0(I)證明線段A3是圓C的直徑；(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為生時(shí)，求p的值。證明 1: |OA4-oS| = |dA-dg|,OA + OB)2 =(OA-OB)2OA +2OAOB + OB2 =OA2-2OAOB + OB2整理得：OA OB = 0 +)。2=0設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則用荻=。即(x-xl)(x-x2) + (y-yl)(y-y2) = O整理得:+ y 2 -(X + x2)x - (y + y2 )y = 0故線段A6是圓C的直徑證明 2:

12、 -OA + OBdA-OB：. (OA + OB)2 =(OA-OB)2OA +2OAOB + OB2 =OA2-2OAOB + OB2整理得：OA OB = 0%占+凹%=。(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即 = -l(Ax-x2 x-x去分母得：(x-xi)(x-x2) + (y-yi)(y-y2) = O點(diǎn)(內(nèi)，X),(苔,y2),(W，X)(毛，刈)滿足上方程,展開并將代入得：+ y2 -(網(wǎng) + x2)x-(x + y2)y = 0故線段A6是圓。的直徑證明 3: v |OA += |OA-Og|,(OA + OB)2 =(OA-OB)2OA1 +2OAOB + OB2

13、 =OA2-2OAOB + OB2整理得：OA OB = 0：.x1-x2 + ycy2=O(1)以線段AB為直徑的圓的方程為(x_ Vt_k)2=l(X1-x2)2+(y,-y2)2|224展開并將(1)代入得：%-+ y-(再+%2)%-(兇+、2)y =。故線段as是圓c的直徑 (II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則X. +x2X =-2 0). x,x2 =4p-y 2 y 2又因?yàn)?)管乃=,=一)丁乃 ，一 片 .力=4/廠內(nèi)占 w ，: M % W i % = T/x=；(短+為 2)=7-(i2 + 8 2+2y跖)- 4 = -(r + 2/) 2 4p44 p所以圓

14、心的軌跡方程為y2 = px - 2 p2設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則l-(y2 + 2/r)-2yl),lx-2y I pI)廠 2py + 2p-| l(y-/?) + p I當(dāng)y=p時(shí),d有最小值號(hào)、由題設(shè)得 解法2:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則= 2pxi ,)1 = 2Pxi(p 0)又因占,+）管乃= 2pxi ,)1 = 2Pxi(p 0)M七工，力 丹0 二y ）2 =X = ；()： + 乃 2)= ；(:+ ?22 + 2y“，2)- 4 = -(r+2/72)2444 p所以圓心的軌跡方程為y2 = px-2P2? /s設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=

15、0的距離為，二，則/ = 2wy因?yàn)閤-2y+2=0與y2 = px-2P?無(wú)公共點(diǎn),所以當(dāng)x-2y-2=0與)，2 =2P2僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為出X - 2y 2 = 0(2)y2 = px-2p2 (3)將代入得 y2- 2py + 2/r-2p = 0 .A = 4/r-4(2/r-2p) = 0/ /? 0p = 2解法3:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則X. +x =- TOC o 1-5 h z ,2 v = 2il21U2圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則1手-()1d = Z=22)： = 2X|,)，22 = 2Px式p 0)/./4/廠)

16、,2又因西M % = 0 $ =一州 丹 一)% = -T-T 4%&0，:y 為0 二y,2 = T/大( +_ 短 + 可 +2)，一4(凹 +)，2)+ 8、_ (m + y2-2py +4/當(dāng)yl + y2 = 2P時(shí),d有最小值長(zhǎng)，由題設(shè)得定11、(如圖)設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0), 8(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y = 攵0)與AB相交于點(diǎn)。，與橢圓相交于E、尸兩點(diǎn).(1)若歷=6而，求k的值；yB p(2)求四邊形人6月面積的最大值.，一7個(gè)Xx2/E、H . ( I )解：依題設(shè)得橢圓的方程為+V = i, 4直線48 的方程分別為x + 2y = 2, y = W0

17、) . 2分如圖，設(shè)。(如 5)，&司，鋪)，F(xiàn)g, kx2),其中王不，故=一玉Vl + 4p且苔，W滿足方程(1 + 442)/=4,/故=一玉Vl + 4pS =-AB(hS =-AB(h + h2)= -x/5.4(1 + 2%)2(1 +2k)75Q +4k)1 + 4公 TOC o 1-5 h z IyIII由石。=6DF知/一%=6(x2-x0),得用=亍(6+M)=/r777J1 + 4/由。在A8上知, + 2此=2,得 =7107所以f = / 一 化簡(jiǎn)得24公-25% + 6 = 0,解得攵=9或攵=：.6分1 + 2 攵 7J1+4 尸38(II)解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的

18、距離公式和式知，點(diǎn)E，尸到A8的距離分別為_+ 2處一 2| _ 2(1 + 2k + J1 +4戶)儲(chǔ)=.=.H + 2kxi - 2| _ 2(1 + 2k - Jl + 4k 2)75(1 + 4?)所以四邊形A石灰的面積為當(dāng)象=1,即當(dāng) = !時(shí)，上式取等號(hào).所以S的最大值為2點(diǎn).12分解法二：由題設(shè)，怛o| = l, AO = 2 ,設(shè)x=3,%=乜，由得當(dāng)。， 為=_0,故四邊形AEBF的面積為S = S abef += x2 + 2y29 分=他+2%/ =7X2 +42 +4x22 W +4貨)=2y2,當(dāng)=2為時(shí)，上式取等號(hào).所以S的最大值為2虛.12分12、已知橢圓E：J

19、+ ? = 1(“6)的離心率6 = ；.直線(/0)與曲線E交于不同 的兩點(diǎn)以線段為直徑作圓C,圓心為C .(1)求橢圓E的方程；(2)若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A,8,求AA8C的面積的最大值. TOC o 1-5 h z 12、(1)解：.橢圓石：1+二=1.3)的離心率e = .d= = 2分32a 2解得4 = 2.橢圓E的方程為+1 = 1 .4分43(2)解法1 ：依題意,圓心為。億0)(0vfv2).x = t,)tr由/ ),2得3,2=氣二 .圓。的半徑為，=竺三 -6分+ = 1,42143八J12 3/ 八J12 3/ 口“27210r1 即0/ .27/.弦長(zhǎng)IA8

20、l=2j/一 1=2/1言一/=后/. AABC的面積S = ；J12-7產(chǎn)二哥(心7/4-It2 . 8 分9分(+12-7產(chǎn)7X2圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)48,且圓心C到了軸的距離 =/12分當(dāng)且僅當(dāng)行，=必書,即/ =手時(shí)，等號(hào)成立.二A4BC的面積的最大值為手.14分解法2 ：依題意，圓心為CC0)(02).x = t.由W二A4BC的面積的最大值為手.14分解法2 ：依題意，圓心為CC0)(02).x = t.由W+/曰, 12 3廣向 - AA業(yè)4川2 - 3二r八傳廠=:.二 圓C的豐徑為，.= .6分=1,42圓C的方程為(i2 +戶丁圓C與 軸相交于不同的兩點(diǎn)4,8 ,且圓心C到y(tǒng)軸的距離4=，,八 712-37 nn 八 2 &T/. 0r,即0，/127F ./. AA8C的面積S = 1412-7/29分8分(J+12-7產(chǎn)212分.AA8c的面積的最大值為當(dāng)且僅當(dāng)=a2-7-,即/ = 平時(shí)，等號(hào)成立.AA8c的面積的最大值為3I-15、已知橢圓E ：=+三=1 (ab。)的上頂點(diǎn)為尸(0,1),過(guò)Z的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的 a b弦長(zhǎng)為1 .若有一菱形A8C。的頂點(diǎn)A、C在橢圓Z上，該菱形對(duì)角線3。所在直線的斜率為一