2022年初三數(shù)學(xué)知識點歸納

1、北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識點匯總九年級(上冊) 第一章 證明(二)等腰三角形的“三線合一”：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重疊。等邊三角形是特殊的等腰三角形，作一條等邊三角形的三線合一線，將等邊三角形提成兩個全等的直角三角形，其中一種銳角等于30，這它所對的直角邊必然等于斜邊的一半。有一種角等于60的等腰三角形是等邊三角形。如果懂得一種三角形為直角三角形一方面要想的定理有：勾股定理：（注意辨別斜邊與直角邊）在直角三角形中，如有一種內(nèi)角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（此定理將在第三章浮現(xiàn)）垂直平分線是垂直于一條線段并且平分這條線段的直

2、線。（注意著重號的意義）線段垂直平分線上的點到這一條線段兩個端點距離相等。線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。ACBOACBO圖1圖2OACBDEF角平分線上的點到角兩邊的距離相等。角平分線逆定理：在角內(nèi)部的，如果一點到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。角平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。三角形三條角平分線交于一點，并且交點到三邊距離相等，交點即為三角形的內(nèi)心。(如圖2所示，OD=OE=OF)第二章 一元二次方程只具有一種未知數(shù)的整式方程，且都可以化為（a、b、c為常數(shù)，a0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。把（a、b、c為常數(shù)，a0）

3、稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項系數(shù)；b為一次項系數(shù)；c為常數(shù)項。解一元二次方程的措施：配措施 公式法 （注旨在找abc時須先把方程化為一般形式）分解因式法 把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（重要涉及“提公因式”和“十字相乘”）配措施解一元二次方程的基本環(huán)節(jié)：把方程化成一元二次方程的一般形式；將二次項系數(shù)化成1；把常數(shù)項移到方程的右邊；兩邊加上一次項系數(shù)的一半的平方；把方程轉(zhuǎn)化成的形式；兩邊開方求其根。根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b2-4ac0時，方程有兩個不等的實數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)b2-4ac0時，方程無實數(shù)根。如果一元二次方程的兩根分

4、別為x1、x2，則有：。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的對稱式的值，特別注意如下公式： 其她能用或體現(xiàn)的代數(shù)式。（3）已知方程的兩根x1、x2，可以構(gòu)造一元二次方程：（4）已知兩數(shù)x1、x2的和與積，求此兩數(shù)的問題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程 的根在運用方程來解應(yīng)用題時，重要分為兩個環(huán)節(jié)：設(shè)未知數(shù)（在設(shè)未知數(shù)時，大多數(shù)狀況只要設(shè)問題為x；但也有時也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮）；尋找等量關(guān)系（一般地，題目中會具有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方程）。解決問題的過程可以進(jìn)一步概括為： 第三章

5、 證明（三）平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對角線。平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。平行四邊形的鑒別措施：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì),且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每

6、一條對角線平分一組對角。菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。菱形的鑒別措施：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。矩形的定義：有一種角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）矩形的鑒定：有一種內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。對角線相等的平行四邊形是矩形。四個角都相等的四邊形是矩形。推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、

7、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）正方形常用的鑒定：有一種內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對角線相等的菱形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖3所示)：梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。平行四邊形菱形矩形平行四邊形菱形矩形正方形一組鄰邊相等一組鄰邊相等且一種內(nèi)角為直角（或?qū)蔷€互相垂直平分）一內(nèi)角為直角一鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一種內(nèi)角為直角（或?qū)蔷€相等）鵬翔教圖3一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等，對角線相等。同一底上的兩個內(nèi)角相等的梯形

8、是等腰梯形。三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。夾在兩條平行線間的平行線段相等。在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半第四章 視圖與投影三視圖涉及：主視圖、俯視圖和左視圖。 三視圖之間要保持長對正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫在主視圖的下方，左視圖要畫在正視圖的右邊。 主視圖：基本可覺得從物體正面視得的圖象 俯視圖：基本可覺得從物體上面視得的圖象 左視圖：基本可覺得從物體左面視得的圖象視圖中每一種閉合的線框都表達(dá)物體上一種表面(平面或曲面)，而相連的兩個閉合線框一定不在一種平面上。在一種外形線框內(nèi)所涉及的各個小線框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個小的平面體（或

9、曲面體）。在畫視圖時，看得見的部分的輪廓線一般畫成實線，看不見的部分輪廓線一般畫成虛線。物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影。太陽光線可以當(dāng)作平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。探照燈、手電筒、路燈的光線可以當(dāng)作是從一點出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。辨別平行投影和中心投影：觀測光源；觀測影子。眼睛的位置稱為視點；由視點發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常用的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時的投影。點在一種平面上的投影仍是一種點；線段在一種面上的投影可分為三種狀況：線段垂直于投影面時，投影為一點；線段平行

10、于投影面時，投影長度等于線段的實際長度；線段傾斜于投影面時，投影長度不不小于線段的實際長度。平面圖形在某一平面上的投影可分為三種狀況：平面圖形和投影面平行的狀況下，其投影為實際形狀；平面圖形和投影面垂直的狀況下，其投影為一線段；平面圖形和投影面傾斜的狀況下，其投影不不小于實際的形狀。第五章 反比例函數(shù)反比例函數(shù)的概念：一般地，（k為常數(shù)，k0）叫做反比例函數(shù)，即y是x的反比例函數(shù)。 （x為自變量，y為因變量，其中x不能為零）反比例函數(shù)的等價形式：y是x的反比例函數(shù) 變量y與x成反比例，比例系數(shù)為k.判斷兩個變量與否是反比例函數(shù)關(guān)系有兩種措施：按照反比例函數(shù)的定義判斷；看兩個變量的乘積與否為定值

11、。（一般第二種措施更合用）反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線構(gòu)成，叫做雙曲線反比例函數(shù)的畫法的注意事項：反比例函數(shù)的圖象不是直線，所“兩點法”是不能畫的；選用的點越多畫的圖越精確；畫圖注意其美觀性（對稱性、延伸特性）。反比例函數(shù)性質(zhì)：當(dāng)k0時，雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k0）或向左（h0）或向下（k0，則當(dāng)x時，y隨x的增大而增大。若a0，則當(dāng)x時，y隨x的增大而減小。最值：若a0，則當(dāng)x=時，；若a0 拋物線與x軸有2個交點； =0 拋物線與x軸有1個交點； 0 拋物線與x軸有0個交點（無交點）；當(dāng)0時，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點為A、B，則這兩個點之間的距離

12、：化簡后即為： - 這就是拋物線與x軸的兩交點之間的距離公式。第三章 圓一. 車輪為什么做成圓形1. 圓的定義： 描述性定義：在一種平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一種端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一種端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點O叫做圓心；線段OA叫做半徑；以點O為圓心的圓，記作O，讀作“圓O” 集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑擬定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個條件唯一擬定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。2. 點與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特性： 如果圓的

13、半徑為r，點到圓心的距離為d，則 點在圓上 d=r;點在圓內(nèi) dr;點在圓外 dr.其中點在圓上的數(shù)量特性是重點，它可用來證明若干個點共圓，措施就是證明這幾種點與一種定點、的距離相等。二. 圓的對稱性: 1. 與圓有關(guān)的概念：弦和直徑： 弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。 直徑：通過圓心的弦叫做直徑。弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“”表達(dá)，以CD為端點的弧記為“”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。翰恍∮诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣弧：不不小于半圓的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表達(dá)。)弓形

14、：弦及所對的弧構(gòu)成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相似，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。等圓：可以完全重疊的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。等弧：在同圓或等圓中，可以互相重疊的弧叫做等弧。圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.2. 圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。3. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。闡明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一種圓和一條直線來說，如果具有： 過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優(yōu)??；平分弦所對的劣弧。 上述五個條件中

15、的任何兩個條件都可推出其她三個結(jié)論。4. 定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推論: 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所相應(yīng)的其他各組量都分別相等.三. 圓周角和圓心角的關(guān)系:1. 1的弧的概念: 把頂點在圓心的周角等提成360份時,每一份的角都是1的圓心角,相應(yīng)的整個圓也被等提成360份,每一份同樣的弧叫1弧.2. 圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等,而不是角與弧相等.即不能寫成AOB= ,這是錯誤的.3. 圓周角的定義: 頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做

16、圓周角.4. 圓周角定理: 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.推論1: 同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；推論2: 半圓或直徑所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑；四. 擬定圓的條件:1. 理解擬定一種圓必須的具有兩個條件: 圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小. 通過一點可以作無數(shù)個圓,通過兩點也可以作無數(shù)個圓,其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上.2. 通過三點作圓要分兩種狀況:(1) 通過同始終線上的三點不能作圓.(2)通過不在同始終線上的三點,能且僅能作一種圓.定理: 不在同始終線上的三個點擬定一種圓.3. 三角形的

17、外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念: (1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形: 通過一種三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點的距離相等.五. 直線與圓的位置關(guān)系1. 直線和圓相交、相切相離的定義:(1)相交: 直線與圓有兩個公共點時,叫做直線和圓相交,這時直線叫做圓的割線.(2)相切: 直線和圓有惟一公共點時,叫做直線和圓相切,這時直線叫做圓的切線,惟一的公共點做切點.(3)相離: 直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離.2. 直線與圓的位置關(guān)系的

18、數(shù)量特性: 設(shè)O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d；dr 直線L和O相交.d=r 直線L和O相切.dr 直線L和O相離.3. 切線的總鑒定定理: 通過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.4. 切線的性質(zhì)定理: 圓的切線垂直于過切點的半徑.推論1 通過圓心且垂直于切線的直線必通過切點.推論2 通過切點且垂直于切線的直線必通過圓心.分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,可得如下結(jié)論:如果一條直線具有下列三個條件中的任意兩個,就可推出第三個.垂直于切線; 過切點; 過圓心.5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念. 和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做

19、三角形的內(nèi)心, 這個三角形叫做圓的外切三角形.6. 三角形內(nèi)心的性質(zhì): (1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.(2)過三角形頂點和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線: 連接內(nèi)心和三角形的頂點,該線平分三角形的這個內(nèi)角.六. 圓和圓的位置關(guān)系.1. 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(涉及同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.(1)外離: 兩個圓沒有公共點,并且每個圓上的點都在另一種圓的外部時,叫做這兩個圓外離.(2)外切: 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,每個圓上的點都在另一種圓的外部時, 叫做這兩個圓外切.這個惟一的公共點叫做切點.(3)相交: 兩個圓有兩個公共點,此時叫

20、做這個兩個圓相交.(4)內(nèi)切: 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,一種圓上的都在另一種圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)切.這個惟一的公共點叫做切點.(5)內(nèi)含: 兩個圓沒有公共點, 并且一種圓上的點都在另一種圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)的一種特例.2. 兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與鑒定:(1)兩圓外離 dR+r(2)兩圓外切 d=R+r(3)兩圓相交 R-rdR+r (Rr)(4)兩圓內(nèi)切 d=R-r (Rr)(5)兩圓內(nèi)含 dr)3. 相切兩圓的性質(zhì): 如果兩個圓相切,那么切點一定在連心線上.4. 相交兩圓的性質(zhì):相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.七. 弧長及扇形的面積1. 圓

21、周長公式: 圓周長C=2R (R表達(dá)圓的半徑)2. 弧長公式: 弧長 (R表達(dá)圓的半徑, n表達(dá)弧所對的圓心角的度數(shù))3. 扇形定義:一條弧和通過這條弧的端點的兩條半徑所構(gòu)成的圖形叫做扇形.4. 弓形定義:由弦及其所對的弧構(gòu)成的圖形叫做弓形. 弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.5. 圓的面積公式.圓的面積 (R表達(dá)圓的半徑)6. 扇形的面積公式:扇形的面積 (R表達(dá)圓的半徑, n表達(dá)弧所對的圓心角的度數(shù))圖5弓形的面積公式:(如圖5)圖5(1)當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時, (2)當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時, (3)當(dāng)弓形所含的弧是半圓時, 八. 圓錐的有關(guān)概念:1. 圓錐可以看作是一種直角三角形繞著直

22、角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形,另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面,斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.2. 圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計算:圓錐的側(cè)面展開圖是一種扇形,這個扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點.如果設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長(扇形半徑)是l, 底面圓周長(扇形弧長)為c,那么它的側(cè)面積是:_圖6_圖6_P_O_B_A九. 與圓有關(guān)的輔助線1.如圓中有弦的條件,常作弦心距,或過弦的一端作半徑為輔助線.2.如圓中有直徑的條件,可作出直徑上的圓周角.3.如一種圓有切線的條件,常作過切點的半徑(或直徑)為輔助線.4.若條件交代了某點是切點時,連

23、結(jié)圓心和切點是最常用的輔助線.十. 圓內(nèi)接四邊形若四邊形的四個頂點都在同一種圓上,這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個圓叫做這個四邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的特性: 圓內(nèi)接四邊形的對角互補; 圓內(nèi)接四邊形任意一種外角等于它的內(nèi)錯角.十一.北師版數(shù)學(xué)未出理的有關(guān)圓的性質(zhì)定理1.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。_O_C_D_O_C_D_A_BPA=PB，PO平分APB2弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。 推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。如圖7，CD切O于C，則，ACD=B 3和圓有關(guān)的比例線段： 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點提成的兩條線段長的積相等；_圖7_圖7如圖8，APPB=CPPD如圖9，若CDAB于P，AB為O直徑，則CP2=APPB4切割線定理切割線定理，從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比