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1、 4.1.2 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 2 學(xué)習(xí)目標(biāo): 1. 懂得數(shù)學(xué)歸納法的定義、數(shù)學(xué)歸納法證明基本步驟; ; 2. 會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.學(xué)問(wèn)情形 :重點(diǎn):應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式. 關(guān)于正整數(shù)n 的命題 相當(dāng)于多米諾骨牌, 我們可以采納下面方法來(lái)證明其正確性:10. 驗(yàn)證 n 取時(shí)命題 即 n n 時(shí)命題成立 歸納奠基)20. 假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k1 時(shí)命題 歸納遞推) .30. 由 1 0、20 知,對(duì)于一切 n n 的自然數(shù) n 命題! 結(jié)論)要訣 : 遞推基礎(chǔ), 歸納假設(shè), 結(jié)論寫明.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 :例 1. 求證:2 em3 m ,其中m1,且mN 例 2 已知數(shù)
2、列 a n的各項(xiàng)為正,且a1, a n11a n4a n,nN . 2(1)證明a nan12,nN ; (2)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式a .例 3 06 湖南)已知函數(shù)f x xsinx, 數(shù)列 an滿意 : 0a 11, a n1f a n,n1,2,3,證明 : 0a n1a n1; a n11a n3.nN, 點(diǎn) , n S n均在函數(shù)6例 4 (09 山東)等比數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為S , 已知對(duì)任意的ybxr b0且b1, , b r 均為常數(shù) 的圖像上 . (1)求 r 的值;(11)當(dāng) b=2 時(shí),記b n2 l o g a n1 N221bn1n1成立證明:對(duì)任意的nN,不等
3、式b 11bb 1bb n選修4-5練習(xí)4.1.2數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(2)姓名n2b n.1、正數(shù) a、b、c 成等差數(shù)列,當(dāng)n1,nN*且 a、b、c 互不相等時(shí),試證明:an+c2、正數(shù) a、b、c 成等比數(shù)列,當(dāng)n1,nN*且 a、b、c 互不相等時(shí),試證明:an+cn2bn.3、如 n 為大于 1 的自然數(shù),求證:n11n12113. 2 n244、(05 遼寧)已知函數(shù)f x x3x1, 設(shè)數(shù)列 an滿意a 11,an1f a n,x1nb滿意b n|anb3 |,S n3nb 11nb 2bnnS nN*33 .()用數(shù)學(xué)歸納法證明n;()證明2215、(05 湖北)已知不等式1
4、111log2n,其中n為大于 2 的整數(shù),log 2 n 表23n2示不超過(guò)log2n的最大整數(shù) . 設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)為正,且滿意a 1bb0,annnan11,n2,34,an20n1,2,從點(diǎn)P 1,0向曲線C 引斜率證明 : a n2b2b2n,n3,4, 5,log6、 09 廣 東 )已知曲線Cn:x22nxyk nkn0的切線nl ,切點(diǎn)為P nxn,y nx 1x3x5x2n11xn2 sinxn. (1)求數(shù)列 x n與 yn的通項(xiàng)公式;(2)證明:1xnyn參考答案 : 1. 關(guān)于正整數(shù) n 的命題 相當(dāng)于多米諾骨牌 , 我們可以采納下面方法來(lái)證明其正確性:1 0. 驗(yàn)證
5、n 取第一個(gè)值時(shí)命題成立 即 n n 時(shí)命題成立 歸納奠基);2 0. 假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)命題成立,證明當(dāng) n=k1 時(shí)命題也成立 歸納遞推) .3 0. 由 1 0、2 0 知,對(duì)于一切 n n 的自然數(shù) n 命題都成立! 結(jié)論)要訣 : 遞推基礎(chǔ) 不行少 , 歸納假設(shè) 要用到 , 結(jié)論寫明 莫忘掉 .例 1. 求證:e2m3m ,其中m1,且mN 分析:此題是2022 年廣東高考數(shù)學(xué)試卷第21 題的適當(dāng)變形,有兩種證法證法一:用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)當(dāng) m=2 時(shí),e42432,不等式成立e2ke22 3 k e6k ,(2)假設(shè)mk k2,kN*時(shí),有e2k3 k ,就2 ek13 k13
6、 k30,即6k3 k1k2,6k從而2 ek16 k3k1,即mk1時(shí),亦有2 em3 m 由( 1)和( 2)知,對(duì)m1,mN 都成立證法二:作差、放縮,然后利用二項(xiàng)綻開式和放縮法證明2 em3 m2 1 1m3 m3 m m12 m110 C 2 m1 C 2m2 C 2 m12 m2m 2m13 m212mm3 m0當(dāng)m1,且mN 時(shí),e2m3m 4an,nN.例 2(2022 年江西第 21 題第( 1)小題,本小題滿分12 分)已知數(shù)列a n的各項(xiàng)都是正數(shù),且滿意:a01,an11an2(1)證明anan12 ,nN;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an. 分析 :近年來(lái)高考對(duì)于數(shù)學(xué)歸納
7、法的考查,加強(qiáng)了數(shù)列推理才能的考查;對(duì)數(shù)列進(jìn)行了考查,和數(shù)學(xué)歸納法一起,成為壓軸題;解:( 1)方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明:1當(dāng) n=1 時(shí),a 01 ,a 11a04a03,a0a12,命題正確 . k4aak22n1a k14ak11ak1 時(shí),aka k12假設(shè) n=k 時(shí)有ak1ak2.22就而ak1a k0,2a k1ak1ak1akak1a k1ak1ak4ak1k.224a k10,akaka k0.1又ak11a k4ak14a k2 2 2.nk1時(shí)命題也正確 . 22由 1、2知,對(duì)一切nN 時(shí)有anan12.方法二:用數(shù)學(xué)歸納法證明:1 31當(dāng) n=1 時(shí),a 0 ,1 a
8、 12 a 0 4 a 0 2 ,0 a 0 a 1 2;2假設(shè) n=k 時(shí)有 a k 1 a k 2 成立,令 f x 12 x 4 x ,f x 在0,2上單調(diào)遞增,所以由假設(shè)有:f a k 1 f a k f 2 ,1 1 1a k 1 4 a k 1 a k 4 a k 2 4 2 ,2 2 2也即當(dāng) n=k+1 時(shí) a k a k 1 2 成立,所以對(duì)一切 n N , 有 a k a k 1 21 1 2a n 1 a n 4 a n a n 2 4 ,(2)下面來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng):2 22所以 2 a n 1 2 a n 2 令 b n a n 2, 就 b n 12 b n 21 1
9、2 12 b n 22 2 12 12 2b n 2 21 12 1 2 2 n 1b n 2 nb n 1 2 n 1, 即 a n 2 b n 2 1 2 n 1又 bn=1,所以 2 2此題也可先求出第(2)問(wèn),即數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式 na 2 12 2n1,然后利用函數(shù)1 2 x 1f x 2 2 的單調(diào)性和有界性,來(lái)證明第(1)問(wèn)的不等式但如這樣做,就無(wú)形當(dāng)中加大了第(1)問(wèn)的難度,明顯不如用數(shù)學(xué)歸納法證明來(lái)得簡(jiǎn)捷例 3(06 年湖南卷 . 理 .19 本小題滿分14 分).已知函數(shù)f x xsinx ,數(shù)列 a 滿意 :0a 11,an1f a n,n1,2,3,證明 :0a
10、n1a n1;an11an3. 6證明 : (I)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0an1, 1,2,3, i.當(dāng) n=1 時(shí),由已知明顯結(jié)論成立. ii. 假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)結(jié)論成立 ,即0ak1.由于 0 x0 成立 .于是g an0,即sinana n1an306故a n1a n36點(diǎn)評(píng): 不等式的問(wèn)題常與函數(shù)、三角、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)分支交匯,綜合考查運(yùn)用不等式學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題的才能,在交匯中特別以各分支中隱藏的不等式結(jié)論的證明為重點(diǎn) . 需要敏捷運(yùn)用各分支的數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn) .例 4解1 :由于對(duì)任意的 n N ,點(diǎn) , n S n ,均在函數(shù) y b xr b 0 且 b 1, , b r 均為常n數(shù)的
11、圖像上 .所以得 S n b r ,當(dāng) n 1 時(shí), a 1 S 1 b r , n n 1 n n 1 n 1當(dāng) n 2 時(shí), a n S n S n 1 b r b r b b b 1 b , n 1又由于 a 為等比數(shù)列 ,所以 r 1 ,公比為 b , a n b 1 bn 1 n 1 n 1(2)當(dāng) b=2 時(shí),a n b 1 b 2 , b n 2log 2 a n 1 2log 2 2 1 2 n就 b n 1 2 n 1, 所以 b 1 1b 2 1b n 1 3 5 7 2 n 1b n 2 n b 1 b 2 b n 2 4 6 2 n下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 b 1 1
12、b 2 1b n 1 3 5 7 2 n 1 n 1 成立 . b 1 b 2 b n 2 4 6 2 n 當(dāng) n 1 時(shí),左邊 =3 ,右邊 = 2 ,由于3 2 ,所以不等式成立 . 2 2 假設(shè)當(dāng) n k 時(shí)不等式成立 ,即 b 1 1b 2 1b k 1 3 5 7 2 k 1k 1 成立 .就b 1 b 2 b k 2 4 6 2 k當(dāng) n k 1 時(shí),左邊 = b 1 1b 2 1b k 1 b k 1 1 3 5 7 2 k 1 2 k 3b 1 b 2 b k b k 1 2 4 6 2 k 2 k 22 2k 1 2 k 3 2 k 3 4 k 1 4 k 1 1 k 1 1
13、 1 k 1 12 k 2 4 k 1 4 k 1 4 k 1所以當(dāng) n k 1 時(shí),不等式也成立 .由、可得不等式恒成立 . 【命題立意】 :此題主要考查了等比數(shù)列的定義 ,通項(xiàng)公式 ,以及已知 S 求 a 的基此題型 , 并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題 ,以及放縮法證明不等式 . 練習(xí): 1、 試證明:不論正數(shù)a、b、c 是等差數(shù)列仍是等比數(shù)列,n+cn2bn. *且 a、b、c 互不相等時(shí),均有:a當(dāng) n 1,nN分析:該命題意圖:此題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,考查的學(xué)問(wèn)包括等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟 . 技巧與方法:此題中使用到結(jié)論:a k+1
14、+ck+1a kc+cka. akckac0 恒成立 a、b、c 為正數(shù) ,從而2. 證明: 1設(shè) a、b、c 為等比數(shù)列, a=b qn,c=bq 0 且 q 1* a n+cn=bn+bnqn=bn1 nq+qn2bqnancn a2c nn 2且 nN2設(shè) a、b、c 為等差數(shù)列,就2b=a+c 猜想2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:2 2當(dāng) n=2 時(shí),由 2a 2+c 2a+c 2,a c a c 22 2k k設(shè) n=k 時(shí)成立,即 a c a c , k2 2k 1 k 1就當(dāng) n=k+1 時(shí),a c 1a k+1+c k+1+a k+1+c k+1 1 a k+1+c k+1+a kc+
15、c ka= 12 4 4 4a k+c ka+c a c k a c= a c k+12 2 2依據(jù)、可知不等式對(duì) n1,nN *都成立1 1 1 133、 如 n 為大于 1 的自然數(shù),求證:n 1 n 2 2 n 24 . 1 1 7 13證明: 1當(dāng) n=2 時(shí),2 1 2 2 12 241 1 1 132假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)成立,即k 1 k 2 2 k 24就當(dāng) n k 1 時(shí) , 1 1 1 1 1 1 1k 2 k 3 2 k 2 k 1 2 k 2 k 1 k 113 1 1 1 13 1 124 2 k 1 2 k 2 k 1 24 2 k 1 2 k 213 1 1324 2
16、 2 k 1 k 1 241 1 1 13所以:對(duì)于 nN *,且 n1 時(shí),有 n 1 n 2 2 n 244、(05 年遼寧卷 .19 本小題滿分 12 分)已知函數(shù) f x x 3 x 1 設(shè)數(shù)列 a n 滿意 a 1 1, a n 1 f a n , b n 滿意x 1*b n | a n 3 |, S n b 1 b 2 b n n N n()用數(shù)學(xué)歸納法證明 b n 3n 1 1;()證明 S n 2 3.2 3分析: 本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基本學(xué)問(wèn),考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)問(wèn)題的才能()證明:當(dāng)x0 時(shí),fx1x21.由于 a1=1, 所以a n1 nN*.1下
17、面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式b n31 n2n1( 1)當(dāng) n=1 時(shí), b1=31,不等式成立,|3k1 k.31b k321 k1.( 2)假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí),不等式成立,即b k21那么bk1|ak13|31 |ak31akk2所以,當(dāng) n=k+1 時(shí),不等也成立;依據(jù)( 1)和( 2),可知不等式對(duì)任意 nN*都成立;n 3 1 b n n 1 .()證明:由( )知,22 n 3 1 3 1S n b 1 b 2 b n 3 1 n 1所以 2 21 3 1 n 3 1 2 3 1 1 23 .1 3 11 3 1 32 22n N , S n 3 .故對(duì)任意 3)5、(05 年湖北卷
18、.理 22.本小題滿分 14 分)已知不等式 1 1 1 1 log 2 n , 其中 n 為大于 2 的整數(shù),log 2 n 表示不超過(guò)2 3 n 2log 2 n 的最大整數(shù) . 設(shè)數(shù)列 a n 的各項(xiàng)為正,且滿意 a 1 b b 0 , a n na n 1 , n ,2 ,3 ,4n a n 12 b()證明 a n , n 3 4, 5, ,2 b log 2 n ()推測(cè)數(shù)列 a n 是否有極限?假如有,寫出極限的值(不必證明);分析: 本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應(yīng)用以及歸納遞推的思想 . n 2 時(shí) , 0 a n na n 1, 1 n a n 1 1 1,()證法
19、 1:當(dāng) n a n 1 a n na n 1 a n 1 n1 1 1,即 a n a n 1 n1 1 1 , 1 1 1 , , 1 1 1 .于是有 a 2 a 1 2 a 3 a 2 3 a n a n 1 n全部不等式兩邊相加可得11111.2 b2n.b.a na 123n由已知不等式知,當(dāng)n3 時(shí)有,111log2n .ana12a 1b,111log2n2b log2n.an2b2banb2log證法 2:設(shè)fn 111,第一利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式23n1b3 a n1bn b,n3 ,45, ,.f(i )當(dāng) n=3 時(shí),由a 33 a2313313a 232a 1fa22
20、 a 1知不等式成立 . (ii )假設(shè)當(dāng) n=k(k3)時(shí),不等式成立,即a k1 bb,.fkb就ak1k1a kkk11 k1 k1k k1ak1 1f11 b,akbbk1bbk1 k1f k bb1fkk1 b11fk即當(dāng) n=k+1 時(shí),不等式也成立. 2n,n3 4,5,由( i )、(ii )知,an1bn b,n3 ,45, ,.f又由已知不等式得a n11b2n b22bb loglog2()有極限,且lim nan0.()22b2n2n,令2n 1,b loglog2log251就有 log 2 n log 2 n 10 , n 2 101024 , 故取 N=1024,
21、可使當(dāng) nN時(shí),都有 a n5 .6、 解 :( 1 ) 設(shè) 直 線 nl:y k n x 1 ,聯(lián)立 x 2 2 nx y 2 0 得2 2 2 21 k n x 2 k n 2 n x k n 0,就 2 k n 22 n 24 1 k n 2 k n 20,kn n(n 舍去)2n 1 2n 1x n 21 k n 2k n 2 n n 21 2, 即 xnn n1, y n k n x n 1 nn 2 n1 1( 2) 證 明 : 1 x n 1n n1 11 x n 1 n 2 n 1n 11 3 2 n 1 1 3 2 n 1 1x 1 x 3 x 5 x 2 n 12 4 2
22、n 3 5 2 n 1 2 n 1x 1 x 3 x 5 x 2 n 1 1 x n1 x n由于 x n 1 1 x n,可令函數(shù) f x x 2 sin x,就 f x 1 2 cos x,y n 2 n 1 1 x n令 f x 0,得 cosx 2,給定區(qū)間 0 , ,就有 f x 0,2 4就函數(shù) f x 在 0 , 上單調(diào)遞減,f x f 0 0,即 x 2 sin x 在 0 , 恒成立,4 4又 0 1 1,就有 12 sin 1,即 1 x n2 sin x n.2 n 1 3 4 2 n 1 2 n 1 1 x n y n7、 已知數(shù)列 b n是等差數(shù)列, b1=1,b1+b2+ +b10=145. 1求數(shù)列 b n 的通項(xiàng)公式 bn; 2設(shè)數(shù)
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