舊版課程相關(guān)供參考微積分iii課件沒啥用

1、11. 光滑x x(t)11. 光滑x x(t), y y(t), z z(t)( t 其中函數(shù) x(t) , y(t) z(t) 在 有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)并且滿足下述條件x(t)2 y(t)2 z(t)2 0( t )則稱L為光滑曲線光滑曲線的特征切向量 (P) 在曲線上連續(xù)變化有向曲線的方向是事先指定的第二型曲線積2 第一類曲線積分函數(shù)在曲線上的積L f(x,y,計算公式若曲線L的參數(shù)方程x x(t), y y(t),z z(t),( x)其中x(t) , y(tz(t在有連續(xù)導(dǎo). 則L f(x,y, f (x(t),y(t),z(t) x(t)2 y(t)2 z(t)2dt若曲線L為平面曲線：x

2、x(t), y y(t), ( t則有 f xy)dl f x(t), y(t) x(t)2 y(t)2dt 1. 曲線(1) y y(x),z z(x),(a x b)dl 1 l dl 1 y2 z2dx(2) x x(t), y y(t),z z(t),( x )dl x(t)2 y(t)2 z(t)2dtl dl x(t)2 y(t)2 z(t)2dt 1 弧長元素與第一型曲線積曲線積分與相關(guān)問弧長元素與第一型曲線積第二型曲線積曲線積分公曲線積分和平面保守曲線積分公2曲線積分公5. 第二型曲線積分的計2曲線積分公5. 第二型曲線積分的計算 LL的參數(shù)方程為x x(t), y y(t),

3、 z z(t t r (x(t), y(t),z(t) x(t)2 y(t)2 z(t)2 dl x(t)2 y(t)2 z(t)2dt 積分下 L的起A. L的終起B(yǎng)4. 第二型曲線積分L v dl . 坐標形式空間曲線 L Xxyz)dx Yxyz)dy Zxy兩種形式的關(guān)系vv(x,y,z)X(x,y,z)irY(x,y,z)rjZ(x,y,z)k 平面曲線 L Xxy)dxYx其中 v vxy Xxy)irYxyrj3. 第二類曲線積分 L 是曲線L的（正向切向量v 是定義在L上的函數(shù)如果這個函數(shù)在曲線 L 上的積分存在就稱vrrdl為向量場vr在曲線L上的積分L也稱第二類曲線積對于L

4、 x x(ty y(tt 當參數(shù)增加方向與曲線正向一致切向r x(t)i y(t)j x(t)2 dl rdlx(t)i y(t)jLy fx), x增加方向與L正向一致r i f(x)j 1 f(dl rdli f(x)jdt2.曲線切向量的求x x(t), y y(t), z z(t)( t 則L 在點P(x(t0 ), y(t0 ),z(t0 )切向量r(P) (x(t0),y(t0),z(t0 x(t0)2 y(t0)2 z(t0如果參t L的正向一則L 在點P(x(t), y(t),z(t)切向量r(P) (x(t),y(t),x(t)2 y(t)2 3曲線積分公3曲線積分公 則可以

5、利用積分與路徑無關(guān)的性質(zhì)計算曲線積則對于D 中的任意一條逐段光滑的有向曲XdxYdy vrrdl f(B) f( 其中A B 分別是L 的起點假設(shè)D是單連通區(qū)域 連續(xù)可微的向量v X(x,y)i Y(x,y)是無Y X 0. 則v D上存在勢函fxy). 這等價Xxy)dxYxy)dy fxy). 平面保守 D中的連續(xù)向量場L D中的逐段光滑的有向曲線如果只與L的起點和終點L 則vD上的保守場. 保守場等價于有勢場曲線積分和平面保守公式 vrrdl X(x,y)dxY(x,y)dy (Y X)dxdyD 公式 vrnrdl (X Y)dxdyD 公式可以將一個曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分4例設(shè)L為拋

6、物線 y 增加方向 4例設(shè)L為拋物線 y 增加方向 解L的參數(shù)方程：x x, y x2 (0 x1)1 dl 1 2dx 于2 1 xdl (14x2)1 (5 51)3 0 2 dy 2xdx xdy ydx x2dx x2dx 1方法3 ：用積分與路徑無關(guān)L曲線積分Lydy Ldx ydy.OAx所以L ydyOA ydy0. 方法4 ：用曲線積分公在全fxy1 y2 ydy的原函, 所2L ydy f(A) f(O)000. 方法2：公添加有向直線段 OA 用D表示半圓A x2 y2 2x (y 0). D OAL Y 公式DXdxYdyD(x y)dxdy 得到( )ydy ydxdy

7、 0dxdy 0D 于L ydy L ydy OA ydy 0 L方法1 ：直接計算x為參數(shù) L 的參數(shù)方程A x x,y 2x x2 dy y(x)dx 1x dx 2x L ydy 0 2x x2 dx 0 (1x)dx 0例計算L ydl 和L ydyL 是半圓周x2 y2 2x (y O(0,0) A(2,0)1.計算 ydl A LL 的參數(shù)方程：x xy 2x x2 .dl 1 ydl 2xx2 2dx 2. 22x 公式 vrrdl S vndS (Z Yd y z(X Zd)zdx ( S 公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分之差公式是研究空間保守場的重要工5例設(shè)f (x,y) ln.

8、(5例設(shè)f (x,y) ln.(xa)2 (yu(a,b) f dl u(a,b的表達式L其中L是圓周x2y2 1(逆時針方向). 解根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系得M 于fdl f nrdl L 公式 vndl (X Y)dxdy 得D 對于第二個積分 I2 Lbx y)dxaxdy取參數(shù)直接計算L的參數(shù)方程xacost(0t )A yasinI2 Lb(x y)dxaxdy 0 b(aa)(asint)a(a a 2a2b 1a2b 1a3 解法2 將原積分成兩個部I exsin yb(x y)dx(excosyax)dyL exsin ydxexcosydy b(x y)dx I1 I2 其中

9、第一個積分與路徑無關(guān)并且容易看出cos ydy 的一個原函因exsinydxexcosydy exsiny0.A (excosyax) (exsinyb(x D (ba)dxdy a2(ba).另一方面A exsin y b(x y)dx(ex cosyax)dy exsin yb(x y)dx bxdx 2a2b因I exsin yb(x y)dx(excosyL a2(ba) (2a2b) a2(ba)2a2b. 例3 計算I exsin ybx y)dxexcosyax)dyLL為圓y 2ax x2 , A(2a,0) O(0,0其中a,b 為正數(shù)解法1 添加輔助線D L和OA圍成的區(qū)A

10、 D LOA公式得( )exsin y b(x y)dx(ex cos y ax)dy (excosyax) (exsinyb(x D x x, y x2 (0 x1)dy 2xdx xdy ydx 1 x2dx 116例設(shè)vr(x,y)2xy(x4 y2)ir6例設(shè)vr(x,y)2xy(x4 y2)irx2(x4 y2) 是某個二元函數(shù)u(x,y)的梯度u(x,yvrrdl. 其中LA(1,2為起LB(3,4) 為終點的光滑有向曲線解在某個單連通區(qū)域連續(xù)可微向量vr Xi 是某個二元函數(shù)的梯度場等Y X 2 2 2 于是 y2xyx y ) xx x y ) .于u(a,b) f L f n

11、rdl f nrdl 1dl LM xa rcos , yb rsin ,0 2.則dl rd . 于是 1dl 2 r 2L0 0 ,a2 b2 因此 u(a,b) 2 ,a2 b2 于fnrdl f nrdlL nrxa)i ybj Mf (x,ln .(xa)2 (y(xa)ir(yb) ln(xa)2 (yb) (xa)2 (y(xa)i (yb)j r f n r2a2 b2 1 . M(a,bLx2 y2 1之內(nèi)2 2 因為x2 y2 D內(nèi)有奇點(a,b), 所以不能直接對積分f nrdl 運公式L以M (a,b) 為中心，以r 為半徑D內(nèi)作圓周Lr y（逆時針方向為正LD1 L與

12、Lr 包圍的區(qū)域?qū)τ贒1 及其邊界運公式得2 2 M(L L )f ndl D2 2 )dxdy0. 1a2 b2 1 . M(a,bLx2 y2 1之外y用D表示圓盤x2 y2 M2 2 在區(qū)域D內(nèi)處處有x2 y2 0.所以公式得到 2 f 2 0. L D(y2 于 f 22 令u(a,b) )dxdy0. L D l (f irf rj)LL 2 2 Dx(x)y(y)dxdy D(x2 y2 f (x,y) (xa)2 (y 在點(a,b) 處處2 f 2 f 0. 下面分兩種情形求721: 反證2u x2 y2 在區(qū)D不恒等于721: 反證2u x2 y2 在區(qū)D不恒等于零 則存M

13、2u 2u 使得 (x2 y2 M 0(x2 y2M 02u 因 x2 Dr , 使得Dr處處2u 2u x2 0解 12 x 用Dr表示Lr包圍的圓盤. udl (u,u)L x 公式得 u u 2u )ndl 2 2Lx DD 0dxdy0 2u 1.u x2 y2 02. D內(nèi)任意一個圓周Lr Lr 包圍的區(qū)域完D 則 udl 0L其中n是Lr的法向量于(x,y) 2xydx u(x0,y0) x4 x2xydx x2dy y2x ydx x .O M0 x4 x 4 02 x0dx y x0 dy arctan 1 0 x 4 x u(x,y) arctan 不同的原函數(shù)只差一個常數(shù)所

14、以這個問題的通解是 uxy arctan y C下面在右半平面求原函數(shù) 取定一M01,0) .對于右半平面任意一Mx0, y0)u(x ,y )2xydxx dy(x ,y 0 x4 積分路徑可以是任意一條以M(1,0)為起點以(x0,y0)為終點的逐段光滑曲線L 由于曲線積分與路L 可以選為如從M0 沿水平直線至(x0O 0再從x0,0沿豎直直線至x0y0 2xy(x4 y2) x2(x4 y2)2x(x4 y2)4xy2(x4 y2)1 2x(x4 y2)4x5(x4 y2)1 整理4x(x4 y2) 4x(x4 y2)1(x4 y2)由此4x(x4 y2)( 1) 01 . 從vr(x,

15、y)2xy(x4 y2)1i x2(x4 y2)1 8設(shè)S是以L為邊界的有向8設(shè)S是以L為邊界的有向曲面，則S不與z軸相交. x2 yI ydx xdy , I zdzx2 y公式可以證明第二個積等于零下面計算第一個積例9 計算 ydxxdy zdzx2 yL z z 軸向下看為逆時針方向z解 令vryi xjzkrx2 容易z 軸以外出處有vr0下面分別公式式計算積分解法2 公式S表示平xza位于球面內(nèi)的部分上側(cè). LS公式得 ydxzdyxdz S x y D 2dxdy 2a2D其中D2x2 y2 a2L ydxzdy a sin2t (a a a sint 2a2x例8 計算L ydxzdyxdzzx2 y2 z2 其中L為曲線 xz z 軸向下看,為逆時針方向解法1 建立參數(shù)方程，直接積xL:x a .(0t 22ydx a sin2 tdt , zdy (a a cosxdzsintcostdt 2根據(jù)積分中值定理PDr ，使2u 2u )dxdy) r2 0Dx2 x2 y2 于是公式又推 udl u u u 0L L )ndl D 2 2x 這與命題，于是定得證9對于最后一個積分 ydx9對于最后一個積分 ydxxdyx2 y xacost, y asint(0t 2) ydx xdy 2 a22x2 于