求解最小二乘圓弧的方法

1、最小二乘圓公式的推導(dǎo)設(shè)對(duì)曲線進(jìn)行圓弧逼近的圓方程為:工一+32By一C=0(1)應(yīng)該是C該方程為二次非線性方程，其圓心坐標(biāo)為G4丑八圓弧半徑K=P+序+C叮如圖1所示耳由于二次非線性方程不易作最小二乘擬合孕令富=云+y，可將方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)形式，則曲線第點(diǎn)對(duì)圓弧的誤差為應(yīng)該是C爲(wèi)=幼一2Ax.2RyC(2)只要使逼近圓弧對(duì)曲線上各點(diǎn)距離的平方和為最小，就能保證該圓弧最逼近這段曲線由于：nQ=辭=龍(適一2A碼ZByi一C)3i=1由求極值的法則可知，若使Q最小則必有sQ3Q3Q此處沒有兩倍整理成正規(guī)方程此處沒有兩倍ASZt此處沒有兩倍整理成正規(guī)方程此處沒有兩倍ASZt+BX2y+CJii-1

2、J1故有在理論輪廓丄取連續(xù)3點(diǎn)，即矢通過上述方程組可以求岀A,B,C這：個(gè)常數(shù)十由此可求岀圓弧參數(shù)蟲及圓心坐標(biāo)。圖1屋小一乘圓逼近曲線設(shè)對(duì)曲線進(jìn)行圓弧逼近的圓方程為pQRSQTUR:Y該方程為二次非線性方程C其圓心坐標(biāo)為:SCVC圓弧半徑ZXSTVTWC如圖Y所示G由于二次非線性方程不易作最小二乘擬合。令QTUC可將方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)形式C則曲線上第點(diǎn)對(duì)圓弧的誤差為PAXRSQRVU”RW:只要使逼近圓弧對(duì)曲線上各點(diǎn)距離的平方和為最小C就能保證該圓弧最逼近這段曲線G由于PXAXaXy：RSQRVURw例7設(shè)P（X,y,z）是平面Ax+By+Cz+D=O外的一點(diǎn)，求P到這平面的距離（圖7-49）

3、。00000解在平面上任取一點(diǎn)P（X,y,Z），并作一法向量n,由圖7-49，并考慮到PP與111112n的夾角也可能是鈍角，得所求的距離D=PrjPP。TOC o 1-5 h zn10設(shè)n0為與向量n方向一致的單位向量，那么有PPP=PPn。，圖7-49rjn10圖7-49而ABC=-F-；vA2+B2+C2vA2+B2+C2-A2+B2+C210-X1,y0-y1,z10-X1,y0-y1,z01所以PPPrjn10A(x-x)B(y-y)01+01=jJIA2+B2+C2vA2+B2+C2Ax+By+Cz(Ax+By+Cz)000111A2+B2+C2由于Ax+By11+Cz+D=01所以pp，=Ax+By+Cz+D:000。rjn10vA2+B2+C2由此得點(diǎn)P(X,y,z)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離公式:0000IAx+By+Cz+Dd=0,00，vA2+B2+C29)例如，求點(diǎn)（2，1，1）到平面x+y-