高等數(shù)學第一章參考答案

1、第一章參考答案習題 1.1 1.（1）證：對0 ,（要使得101,考慮到11,只要1 na,即n1）,n3n3n3n取N=1+1,就當 nN 時,有10,故lim n10；n3n3（2）證：2n12131,3n139 nn對0 ,（要使得2n12,只要1 n即可,即n1）3 n13取N=1+1,就當 nN 時,有2 3n12,故n lim2n12；n13,即n1）3n13（3）證：0 ,（要使得sinn01,由于11,只要1 n2 nn2n2n取N=1+1,就當 nN 時,有sinn0,就n limsinn0；n2n2n）0；1（4）證：n1nn1n11n故對0 ,（要使n1n0,只要1,即n

2、1）n2取N=1+1,就當 nN 時,有n1n0,就 lim（nn122.證明 :對實數(shù) a 、 b ,ab0,ab2b,即1證“”ab ,就ab0,故ab0,即 ab再證 “”假設 ab ,不妨令 ab ,取0=a2b ,由條件可知ab0=2沖突；3. 證 明 : “” ,a n收 斂 于a ,0 ,N , 當 nN 時 ,a na, 即aa na,nN 時,a nU a , ,故U a , 之外最多只含數(shù)列a 的前 N 項；“” ,如對0 ,U a , 之外只含數(shù)列a 的有限項,不妨設為ak 1,a k2,.,ak m0,取N max k k 1 2 ,., k m 0 ,就當 n N 時

3、,a n U a , ,即 a n a a n 收斂于 a；4.證：n lim a n a ,就對 0, 故 N ,當 n N 時,a n a（由于 a b a b ）,故此時 a n a a n a n lim a n a ；該命題的逆命題不成立,例如數(shù)列 1 n,令 a n 1 n,就有l(wèi)im n a n 1,而lim n a 不存在；習題 1.2 1.證明：如 ab 不成立,就 ab ,即ab02b ；lim nana,lim nb nb ,lim nanbnab0由極限保號性, 存在N 1N ,nN 時,a nb n0,即a nb ,與a nb 沖突,故 a2.證明：ab ,ab0又l

4、im nana , lim nb nb ,b ；lim na nbnab0,由極限保號性可知N ,當 nN 時,a nb n0,即a n3.證明：x n有界,M0,nZ,nxM ,對0,lim nyn0時 ,N,當 nN 時,ynM,故 nN 時,x yn0 x ynMMlim nx yn04.證明：lim nb nb ,M0,使得nZ,s.t.nbM ,（1）如a0,就0, N ,當 nN ,an2MnN 時,a b naba b nMM=n lima b nab0（2）如a0, 就0,N 1, 當nN 1時 ,a na2M,N 2, 當nNnbb2a,令N=maxN 1,N2,就當 nN

5、時,a b naba b nabnabnaba b nab nabnabb na naab nbM2Ma2an lima b nab ,綜合（ 1）,（2）可知n lima b nab5.x nyn,x y n可能收斂,也可能發(fā)散,如如 x n 1 , ny n 1 n 1,就 x n + y n 收斂于 0, x y n 收斂于 1；如 x n n y n n ,就 2 x n y n , x y n 均發(fā)散；16.（1）解：lim n 1 2n 32 . nlim n n n2 n 2 1lim n n2 n 1lim n n2 1 12（ 2）解：lim n 36 nn 33 23 nn

6、 22 1 lim n6 3n 232 n 12 33 36 12n n（ 3）解：lim n（2 n5 13n 2 n1 2 lim n 25 1n 3n 12 2n 2 035 0 65（ 4）解： lim n n n 1 n 1n n 1 n 1 n 1 n 1lim n n 1 n 1n n 1 n 1 2lim n n 1 n 1 lim n 1 1 11 1n n7.證明：設lim n a n a 且 lim n a n b ,如 a b ,就 a b 或 a b不妨假設 a b ,取 0= a b ,lim n a n a 且 lim n a n b2N Z,當 n N 時,a

7、n a 0（ 1）與 a n b 0（2）同時成立,由（ 1）可知,a n a 0 a a b a b,2 2由（ 2）可知 a n b 0 b a b a b,這是沖突的,故 a b 不成立,同理可證明2 2a b 也不成立,a b ；習題 1.3 1（1）解：12sinn13,且lim n1n0,lim n3n01n2n2n2n2n2lim n2sinn111.1n0n21n（2）解：nn2n2n222n2lim nnnnlim n111,lim nn1lim n1111111212 nnn2故由兩邊夾準就可知：lim nn1 21n12.n1n1222.證法一：依題意知a n0n1,2,

8、.,a 13a 13假設ka3（k1,kZ ）成立,就a k+1=3 a k3 33故由數(shù)學歸納法可知a n3（n1,2,3,.）,故 a n有上界又a n+1= 3 a na na na ,故 a n單調遞增,由單調有界數(shù)列必有極限可知a n收斂,記 a n收斂于常數(shù) a,就對等式a n+1= 3 a 兩邊同時令 n有a= 3 a,考慮到aa 10,故a3；故數(shù)列 a n收斂于 3；證法二：由已知條件易知na1,利用壓縮映像原理,a n+1=3 a ,假如 a n收斂于常數(shù)a ,就對等式a n+1=3 an兩邊同時令 n有a =3 a,考慮到aa 11,故a3；下面證明數(shù)列 a n的確收斂于

9、3,由于an+13 =3a n33an3a n33an3133an3就a n3（133）n1a 13,兩邊同時令 n,就數(shù)列 a n收斂于 3；3.（1）ansin1sin 2.sinn,m nZ mn ,332n 3a na msin m11.sinn11.11111m1111 1 m2 3m 3n 31m 31n 31m 3n 3m 3n 31n 3m 2 3133故對0,1,要使a na m,只要1 1m2 3,即mln1 22ln 3取N=ln 12ln 3,就 1m nN 時,有a na m,由柯西收斂準就可知a n收斂；（2）（1 +1n）3（1 +1n）（1 +13）,而數(shù)列1+

10、1n 與1+13 分別收斂于 e和1nnnnn由極限四就運算法就知數(shù)列1+1 nn+3收斂于 e；習題 1.4 1.函數(shù)ysinx 是周期為 2的函數(shù),當x2n時,lim sin 2 nnx lim sinx0；5,當x2n+4時,limsin2 nn+4x lim sinx2, nZ+2故由歸結原就可知：x lim sinx 不存在；2.（1）證明：對0 ,（要使1x3 x111,只要x31,3x3x3即x31）,存在M=max19 ,10 ,當 xM 時,使得13 x133 x故lim x1xx313（2）證明：對0 ,（要使cos xx0cosx,考慮到cos xx1,只要1xxx即x1

11、）,存在M=max19 ,10 ,當 xM 時,使得cosx022x）故x limcosx=0；x（3）證明：對0 ,（要使 5 x2 125x105x2,只需要x2存在=5,就當0 x2時,使得5 x2 12,lim5 x 2x212；（4）證明：當x2時,x24 = 2x2x對0 ,（當x2時,目的使2 x4 +4 = 2x24x2）x存在=,當 0 x +2時,使得2 x4 +4 2,x lim2x24=4；xx23.證明：對x lim xf x 0 A ,Af x A ；即對0存在0 ,當0 xx 0時,f x ,lim x x0又f x Af x A ,故此時f A4.證明：lim

12、x xf x 0 Af x Af x A即對0存在0 ,當0 xx 0時,使得即當0 xx 0時,f x A當0 x 0 x時,f x A故lim x x 0f lim x x 0f x A ；lim x x 0f x lim x x 0f x A對0,存在正實數(shù)1及2當0 xx 01時,f x A,當0 x 0 x2時,使得令min1,2 ,當0 xx 0時,使得f x Ax lim xf x 0 A習題 1.5 1.設lim x xf x 0 A ,x lim xf x 0 Bx 0時,使得f x A22且f x B2就對0 存在0 ,當0 xAf x Bf x 這樣當0 xx 0時A2有

13、BABf x f 0, BA,AB故函數(shù)極限如存在,其極限值是唯獨的；2.設lim x xf x 0 ,A0,就對0=A 2,00 ,故當0 xx 0時,使得f x A0即f x A0=A 2,故f A2當xU x0時,f x 0；3.解：（1）lim x 2x35=lim x 2x35845lim x 1x11 10a x 1n1.x lim x 0anka x 0 0na x 1 0n1.anx2lim x 2x2（2）lim x 1x2x 22 x1=lim x 1xx2 1111 xx11 1（3）lim x22 x11lim x211111001x lim x 0 x2x2x202x

14、x2a nx lim x 0a x 0n（4）x lim x 0P n x lim x 0a x 0na x 1n1.（5）lim x 1x3x1,lim cos uu1x1lim x 1k x1xk2.x1lim cos x 13 xx11.（6）lim x 1xk1lim x 1x1 xk1xk2xn1x1 xn1xn2.x1n x1xn2.x1n習題 1.6 1.解：（1）lim x 0sin 2 xsin 2x2x2x21112 x= lim sin 5sin5 xx5x55x（2）lim x 01cosx= lim x 02sin2xlim x 0sin22x2x2x1222（3）l

15、im x1xx2xlim x1xxx 22 e2（4）lim 1 x 0 x = lim x 02sin2xlim x 0sinx22x2x22211（5）lim 1+2 = lim1+2 x 0 x 0 x2x22 e11（6）lim 1 x 0 x = lim1+ x 0 x x1e12.證明：1111,x0時,1xx 11xxxx而lim 1 x 0 x =1,lim 1=1 x 0,故由兩邊夾準就可知lim x 0 x 1=1x3.證明：令xn1n1,2,3,.,令x n2 n1n1,2,3,.2 n+ 2而lim nxnn limx n0,但lim nf xn1, lim nf x

16、n0,即lim nf xnlim nf xn,故由歸結原就可知limcos x 01不存在；x習題 1.7 1.解：（1）lim x 0 x22sinx lim x 0 x22limsin x 0 x0時的無窮小量1（2）lim x 0 x0,而sin1是有界函數(shù),故lim x 0 xsin10 xx（3）lim xxsin1lim xsin1令u=1lim u 0sinu1xxx1ux21（4）lim x3x2x211lim x3x22 x10,lim x3 x2x2x12x21x2 x2.1lim tan x 2x2lim tan x 2x3lim xex4lim xx e05lim ln

17、 xx6lim ln x 0 x3.解： 1lim x 1x210f x x31是x1時的無窮大量322 limln x 1x0f x lnx 是x1時的無窮小量3 x lim 2arctan =0f arctanx是 x2224.1lim x 0tanxlim x 0 x2x2xlim x 0 x1212lim x 0 x1 cos lim x 0 x 1 x222x x2 x2x2arcsin sin2 x23lim x 0tanxsinxlim x 01 x 322x x14lim x 0 x1x2x11lim x 0 x1x2xlim x 02 x12 1 1sinsin2 xx2ar

18、ctanx2025. 設g x 是有界函數(shù)且x lim xf x 0 下證x lim xg x f x 0 0g x 是有界函數(shù)M0 使x g x M時時x lim xf x 0 000 當0 xx 0 xx 0f x 0f x M當0g x f x 0g x f x MMx lim xg x f x 0 0習題 1.8 1.（1） x x1,xR R kzx0是第一類跳動間斷（2） x x1,xR （3） x x0 或x3,x2.間斷點為x0,xk2解（ 1）lim x 0tanx1,x0是第一類可去間斷點；x又xlim2tanx,xk2kz 是其次類無窮間斷點xk1,x0又lim sgn

19、x 0 x1,lim sgn x 0 x1（2）sgnx0,x01,x0點（3）f x sin xx x00 x lim 0f x lim 0sinx1x lim 0f x x lim 0sinx1sin xx xxxx0是第一類跳動間斷點f x xxx1x1,x2是間斷點2lim x 1xx21lim x 1x11lim x 2xx21lim x 2x1112x2xx1是其次類無窮間斷點,x2是第一類可去間斷點；3.解：f x xa x00f0 lim x 0f x lim x 0 xaaln1x ,xf0 lim x 0f x lim ln1 x 0 x0又f x 在x0連續(xù),f0 f0

20、即a04. 解： 1lim x 13x213122lim x 013xx eln2x1300 eln033ln12 ln1013 lim x 15xx4xlim x 1 5xx4x 5x4x11 5x4xlim x 1x5 x4xxlim x 15x4x21 5x444lim1 x 0tan 1xlim x 0e1xln1 tanxelim x 0tanxln1tanx1x1 ln lim1 etanx1xtantansinsinsinxx01 ln eee5lim xarcsinxarcsinx tlim t 0ttlim t 01t1xsinsint6 lim x 0 x ex1lim x

21、 0 x xf21cosx1x2x221雖然f x 在 0,1 上連續(xù)5. 證明：設f x 4 x且f01,f12 0 f 1 由零點定理知 0至少存在一個0,1 使f 0即2410n；方程x24x10至少存在一實根6.證明 :設f xasinxb 就f x 在 0,ab 上連續(xù)1當sinab1時,就f ababasinabbaa0就 ab 即為方程xasinxb的根2當 sinab1時,就sinab 1a b0f ab abasinabba1sinab0f0b0f ab f00由零點定理得至少存在0,ab使f 0即asinb是方程xasinxb 的根綜1,2 知方程xasinxb 至少有一個

22、正根不超過ab7.證明：f x 1f x 22x 1x 20取2時x 1x 2時有f x 1f x 2f x 在 , 上一樣連續(xù)8:證明：f x 在 , a b 上連續(xù),f x , a b 上存在最大值 M 和最小值 m又mnmfx 1fx 2f xnnMMnnnmf x 1f x2f x nMn由介值定理知至少存在一點 , a b ,使得f =f x 1f x2f xn第一章測試題A一 1.A；2.B；3.B；4.C；5.C；6.C；7.C；8.A ；9.C；10.D；二 1.常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)；2.同階； 3.2；4.連續(xù)的； 5.u1x2,yu ；

23、6.可去,跳動；7.1；8.0；9.4 ;10.3 ；三解： 1.x lim x2xxx limx 22x2x2x limx2xxx lim1111xxxx122.n lim12.2n1n limn n21n limn11xn2n2n23.lim1 x 2121112121xx224804.lim x 1x 2x22x1lim x 1xx1 21lim x 1x111xx15.lim x 0sin 2xlim x 02x2sin5x5x56.lim1 x12xlim1 x1x 2e2xx四證：f x 0,xx0, 0,xx00,0n1,取N11,就 nN 時,有x 2,x,0f g x 0,x

24、0,f g x 0,xx2,x00,x0f g x 0,f g x g x .,只要0, 要使101五證：n2n21 2 n0,lim n10. n2六證：lim x x 0f x A , limx x 0g x BA2,20當0 xx022時,有g x B20,10當0 xx 01時,f 取min1,2就當0 xx 0時,有l(wèi)im x x 0f x g x ABg x f ABg x Ag x B22七證明：令F x g x xg x 在 1,2 1,2 上連續(xù),且g 1. g22F x 在 1,2 上連續(xù)；且F10由零點定理至少存在一g1 10F2g2點1,2 使F 20,即g 0. .

25、x4xx4. x2是間斷點八解：f x x3 x88f x x22 x26xx4x2lim x 4f x lim x 4x2x22x4lim x 4x2x2x44是其次類無窮間斷x4x24點又xlim x 2f x lim x 2x2x2x2 x4lim x 22 xx2x46x4242是第一類可去間斷點；一 1.B 2.A 3.D 4.B 5.B 第一章測試題B 0 x 有定義,f x 在點0 x 有極6.D 7.B 8.C 9.D 10.D 二 1.1 32. ,33. 24.x1,x25.f x 在點限,f x 在點x 極限值等于f x 在點0 x函數(shù)值三解1.lim x 0tanx3s

26、inxlim x 0sin 1x1=lim x 0sinx.1x.1cosx1.1.1112=cos 3 xx2xcos22x2.lim nann blim n1 b a1 b nan1anbn3.lim x 1x +32lim x 1x32x32 3x12lim x 1x1 3 x3 +12 3 +12 3 +1+2x323x3x32lim x 133x121x3234.122.nn11n222.n2nn122.nnn2n111而1 2lim n122.nlim nn n11lim n122.nlim nn nnn2n2n2n12n2122.n2nn=1 2e3 elim nn11n2221lim1 x 03tan2x12x.3tan2x=lim x 0e3tan2xln1 3tan212x3ln = ex）3tan5.lim1+3tan x 02xx23tanx 22 x6. lim x