高等數(shù)學(xué)考試試題

1、2022 年上半年高等訓(xùn)練自學(xué)考試全國(guó)統(tǒng)一命題考試高等數(shù)學(xué)專業(yè)：工科、?？疲▽？疲┍驹囶}分兩部分,第一部分為挑選題,第 1 頁(yè)至第 4 頁(yè),其次部分為非挑選題,第 5 頁(yè)至第 8 頁(yè),共 8 頁(yè)；挑選題 40 分,非挑選題 60 分,滿分 100 分；考試時(shí)間 150 分鐘；第一部分 挑選題一、單項(xiàng)挑選題（本大題共 30 小題, 120 每道題 1 分, 2130 每道題 2 分, 40 分）在每道題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)；（一）（每道題 1 分,共 20 分）1. 已知f1xxx12,就fx1xx2】x A.111x2 B. x11

2、x2 C. 11xx2 D. xxx【2. 設(shè)y1arcsinx2,就 dy2 A.1xdx B. 1xdx4 C. xdx4 D. xdx4x4x1x1x【】3. 設(shè)fx sin2x,x0在x0連續(xù),就常數(shù)kkx ,x0A.0 B.1 C.2 D. 4. 在區(qū)間 , + 內(nèi),函數(shù) f x=xcosx 是【】A. 周期函數(shù) B.有界函數(shù) C.奇函數(shù) D.偶函數(shù)5.lim xxsin11【】xA. 等于 0 B.等于 1 C.為 D.不存在但不為6.lim n2n23 n1n1 n2）【】A.1 B.2 C.3 D.0 7. 曲線yex上點(diǎn) 0, 1處的切線方程為【】A. yx1 B. yx1C

3、. yx D.yx【】8. 設(shè)fx 2 ex,就f x A.2 B. x2 e22x C. 1 D. x21x9. 已知fxdxarctg1C,就f xx【】x A.211x2 B. 112 C. 112 D. 2xx10.sec 24xdxA.1tg 4xC B. 1tgxC44【】C. 4 tg 4xCD. 4 tgxC11.dxsint2dtdx0【】A.2xsinx3 B.sin2x C.sin x2D.sinx12.1|x|dx1【】A.0 B.1 C.2 D.3 13. 廣義積分1dx 當(dāng) p x0A.p 1 時(shí)收斂,P1 時(shí)發(fā)散【B. P1 時(shí)收斂,P1 時(shí)發(fā)散C.P1 時(shí)收斂

4、, P1 時(shí)發(fā)散D.P1 時(shí)收斂 , P1 時(shí)發(fā)散單葉雙曲面【14. 方程2x2y22z1 表示的圖形是A橢圓拋物面 B.雙葉雙曲面 C.橢球面 D.15. 函數(shù)fx,yxy在整個(gè) xoy 平面上x(chóng)既無(wú)極大值也無(wú)微小值【】A. 只有一個(gè)極大值 B. C.只有一個(gè)極不值 D.既有極大值也有微小值16. 設(shè) D 域?yàn)?-R X R , 0 y R22,就2 d= DA.R2B. 2 R2yC.R D.2RyC 1y 1【】Qxy0的兩個(gè)不同的解,就C 2y217. 設(shè)x 1y 1是方程y PxA肯定是方程的通解B肯定不是方程的通解【】C可能是方程的通解 D肯定不是方程的通解18以下微分方程中為齊次

5、方程的是Ay x e1y0 Bxdxx1 dy0 xn【】Cdy2xy2y2. Dxy2y2x4dxxb n）19lim nan0是常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)n1an收斂的【】A. 必要非充分的條件 B充分非必要的條件C必要且充分的條件 D既非充分又非必要的條件20設(shè)冪級(jí)數(shù)n1an xn的收斂半徑R 10 ,n1bn xn, 就n1an的收斂半徑為A.R 1R 2B. R 2R 1C. R 2D. R 1【】 二 每道題 2 分,共 20 分cosx,0 x0 ,】21. 設(shè)fx0,x,0就fx在定義區(qū)間上為cosx,x,A. 奇函數(shù)但非周期函數(shù)x B.奇函數(shù)且為周期函數(shù)C.偶函數(shù)但非周期函數(shù) D.偶函數(shù)且為

6、周期函數(shù)【22. 如fx10,就ffA. 0 B.1 C.10 D.11023. 設(shè) f （x）=cos2x , 就 f ” （x）= A.8sin2x B. 8sin2x C. 8cos2x D. 8cos2x【】 D. 【】24. 當(dāng) X 0 時(shí),以下無(wú)窮小量中與sinx等價(jià)的是sin2xx2A. tg 2x B. ln1x C. 25. 設(shè)ex是fx的一個(gè)原函數(shù),就xfxdx【x1xCA. ex 1x C B.e】C. exx1C D. exx1C26.fx,y在x 0y0的偏導(dǎo)數(shù)f zx 0y0和f yx 0y0存在是fx,y在 D連續(xù)fx ,y dDA. 必要非充分的條件 B.充分非

7、必要的條件fx,y【】C.充分且必要的條件 D.既非充分又非必要的條件27.|x|1時(shí),冪級(jí)數(shù)xn和函數(shù)為【】n1 A.11x B. 11x C. 1xx D. 1xx28. 設(shè) D 為由 x 軸, y 軸及直線xy1所圍成的閉區(qū)域,在 D 上連續(xù) , 就fx ,y dDA.1dxyfx ,y dy B.1dy1xfx ,ydx【C 1】C2e3x【】0000C.1dx1xfx ,y dy D.1dyy1fx ,y dx000029. 微分方程y 5y6y0的通解 y = C 1e2xC2e3x D 2 exAC 12 exC23 ex BC 1e2xC23 ex C 30. 設(shè)lim nn2

8、|an|l0l就級(jí)數(shù)n1an【】A條件收斂 B肯定收斂 C 發(fā)散 D收斂性無(wú)法確定其次部分非挑選題二、運(yùn)算題（本大題共7 小題,每道題6 分,共 42 分）31. 求lim x 0ctgx1x1. sinx32. 運(yùn)算x29dx .x33. 求由參數(shù)方程1ln1x dx .所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)034. 設(shè)xln 1t2,求dy,d2y. ytarctgt2dxdx35. 運(yùn)算|x2y243|dxdy ,其中 D為x2y9D36. 求微分方程yyx的通解；37. 判別級(jí)數(shù)n1nn . 3的斂散性；2. nn三、應(yīng)用和證明題（本大題共3 小題,每道題6 分,共 18 分）38. 求函數(shù)fx ,y

9、 4 xx22yy2的極值；39. 求橢圓x22 xy5 y216y0到直線xy80的最短距離；40. 證明雙曲線y1上任一點(diǎn)的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積等于x2022 年上半年高等訓(xùn)練自學(xué)考試全國(guó)統(tǒng)一命題考試高等數(shù)學(xué)（工科、專科）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)挑選題（本大題共 30 小題, 1-20 每道題 1 分, 21-30 每道題 2 分,共 40 分）（一）每道題 1 分,共 20 分 1. B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.C 7.B 8.C 9.D 10.A 11. B 12.A 13.D 14.C 15.B 16.A 17.D 18.A 19.C 20.C 二

10、每道題 2 分, 共 20 分 21.A 22.B 23.A 24.C 25.A 26.D 27.C 28.B 29.D 30.B 二、運(yùn)算題（本大題共7 小題,每道題6 分,共 42 分）31【參考答案】解原式lim x 0cosx xsinxlim x 0 xsinx（2 分）xsin2xx3lim x 01cosx（ 2 分）3x2lim x 0sinx1（2 分）6x632【參考答案】解x29dx3tg2tdtt令x3sec t0 C（2 分）x3sec 21 dt3 tgtt（2 分）（2 分）3arccos3Cx29x（2 分）33【參考答案】解原式xln 1x1x1x1x1（2

11、分）x0（2 分）xln 1x ln 10 x（2 分）lim x 0 x1 ln1134【參考答案】解dy4112t（2 分）（2 分）1 2 ttdx21t2t1）t2d2yd dtdtdx2dx222 t1t2（2 分）t35【參考答案】解原式x24x2y2dxdy2x 2y2x2r2y24 dxdy（2 分）y2442d2 4r2rdrd3 24 rdr（2 分）00041（2 分）236【參考答案】解對(duì)應(yīng)次方程的通解為YC 1cosxC2sinx（2 分）非齊次方程的一個(gè)物角為yxC2sinx .（2 分）原方程之通解為yxC 1cosx（2 分）37【參考答案】解記一般項(xiàng)為a ,就

12、3n31（4 分）lim nann1lim n1a1en故級(jí)數(shù)發(fā)散； （2 分）三、應(yīng)用和證明題（本大題共3 小題,每道題6 分,共 18 分）38. 【參考答案】記解f xx ,y2 2x y 2y（2 分）f xx ,y2 x 4x y 1y令fxfy0得駐點(diǎn)（2,1 ） 0,0,0,2,4,0,4,2 Afxx2y 2y,（2 分）Bfxy4 2x 1y ,Cfyy2 x 4x ,x ,yyA B 21,C B 2-AC 取極值情形-2 0 -8 -16 取極大值4 2,1 0,0 0 8 0 64 非極值0,2 0 -8 0 64 非極值,4,0 0 -8 0 64 非極值4,2 0

13、8 0 64 非極值即fx只有一個(gè)極大值f4；（2 分）39. 【參考答案】解：橢圓上點(diǎn) M x , y 處的切線的斜率為 y x y（2 分）x 5 y 8由于橢圓上平行于直線的切線的切點(diǎn)到直線的距離最短或最長(zhǎng),所以 y 1,解之得 y 2將 y 2 代入橢圓方程解得 x 6 和 x 2,由運(yùn)算知點(diǎn)（2,2）到直線的距離最短,且最短距離為 2 240證明 在曲線上任取一點(diǎn) x 0y 0 （不訪設(shè) x 0 0 ,就 y 1 在點(diǎn) x 0y 0 處切線方程為x1Y y 0 2 X x 0 （2 分）x 0切線在 x 軸, y 軸上的截距分別為 X 2 x 0 , Y 2（2 分）x 0評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)對(duì)

14、非挑選題,凡用其他方法作對(duì)的,均按相應(yīng)步驟給分；2022 年下半年高等訓(xùn)練自學(xué)考試全國(guó)統(tǒng)一命題考試高等數(shù)學(xué)（工科、?？疲┍驹囶}分兩部分,第一部分為挑選題,第 1 頁(yè)至第 4 頁(yè),其次部分為非挑選題,第 5 頁(yè)至第 8 頁(yè),共 8 頁(yè)；挑選題 40 分,非挑選題 60 分,滿分 100 分；考試時(shí)間 150 分鐘；第一部分 挑選題一、單項(xiàng)挑選題（本大題共 30 小題, 120 每道題 1 分, 2130 每道題 2 分,共 40 分）在每道題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合項(xiàng)目要求的,請(qǐng)將正確（一）（每道題 1 分,共 20 分）1設(shè)fxexx1,x0在x0連續(xù),就常數(shù)kk,x0選項(xiàng)前的字母填

15、在題后的括號(hào)內(nèi)；A. 0 B.1 C.2 D.3 【】22.lim x 01xx33 x1dx【】A. e B.e-1 C.e2 D.e-2 3.lim x3 n2 n2112n【A.0 B.1 C.-1 D. 4. 設(shè)函數(shù)fx3xcosx ,就f0【】A.0 B.1 C.2 D.3 5. 設(shè)y3x2,就y = 【】A.2x B.3x C.23 x D. 33 32 32 D. 【】6. 設(shè)yln 1x,就 dyA.11x B. 1dx C. 1dxxxx7. 函數(shù)yex2ex的極值為A0 B 1 C2 D3 【】8. 在羅爾定理中,其條件是其結(jié)論成立的A. 必要非充分的條件 B 必要且充分的

16、條件】C.充分非必要的條件D既非充分又非必要的條件【】93xdxA.11x3x 1C B. x3x 1CC.3*ln3C D. 3xC【】ln310secxtgxdxA.secxCBtgxCC.2 secxCDcscxC【】11.0exdxA. 等于 0 B.等于 1 C.等于 -1 D.發(fā)散【12曲線 y = l n x與 x 軸和直線 x = 0.1 所圍平面圖形的面積不能表示成積分【A.1 .0ln xdx B.1|lnx|dxC.D 01.13廣義積分1dx當(dāng)xpA.P1 時(shí)收斂, P1 時(shí)發(fā)散B. P 1 時(shí)收斂, P1 時(shí)發(fā)散C,P1 時(shí)收斂,P1 時(shí)發(fā)散 D. P1 時(shí)收斂, P

17、1 時(shí)發(fā)散【】f x , y在點(diǎn) x , y可微14如 f xx 0 , y 0 = f y x0 , y 0 =0 就點(diǎn)（ x 0 ,y0 ）必為函數(shù)f x , y的A極值點(diǎn) B.連續(xù)點(diǎn) C.駐點(diǎn) D.零點(diǎn)【】15函數(shù) f x , y在點(diǎn) x , y的偏導(dǎo)數(shù) f xx , y和 f x , y存在是函數(shù)分的A充分非必要的條件B必要非充分的條件【】C充分且必要的條件D既非充分又非必要的條件【16設(shè)區(qū)域 D由 x 軸, y 軸和直線 x + y =1所圍成,就】A1 B. 2 C.3 D.4 17. 微分方程 y” =6x +2 的通解為 y = A.3x2 + 2x + C是 B.3x2 +

18、2x + C1x + C2 】C.x3 + x2 + C D.x3 + x2+ C1x + C 【18. 微分方程 y= x y = sinxB.二階微分方程A一階線性非齊次方程C.齊次微分方程D.既非充分又非必要的條件【19. 設(shè)an為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ,Sn =a1 +a2 + + aN , 就存在是級(jí)數(shù)an,收斂的】n1n1】A必要非充分的條件B. 充分非必要的條件C.必要且充分的條件 D.既非分又非必要的條件【20. 設(shè)均為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 an bn n = 1,2, , 就】Ab 發(fā)散時(shí)an必發(fā)散 Ban收斂時(shí)b 必收斂n1n1n1n1Cb 收斂時(shí)an必收斂 Dan收斂時(shí)b 必發(fā)散【n1

19、n1n1n1【（二）每道題2 分,共 20 分21設(shè) f x =x2+2,gx= ,就 f gx= A.x + 2,x 0 B.x+2, x +C.x+ 2,x 0 D.x2+2,x 0 22. 函數(shù)yex2單調(diào)增的區(qū)間是【】A（- , +） B（- , 0）C（0,+） D（-11 ,）23以下函數(shù)中,在區(qū)間-1 ,1 上滿意羅爾定理?xiàng)l件的是Acosx B.inx C. ex D. tgx D.lnlnxC【】24.lnxdxx】 A.lnx2C B.1lnxC C.1lnx 2Cx2225. 常數(shù)a,0aadx2 x02【】A2 B. C.arcsin2 D.0 26. 設(shè)fx ,yxy1

20、 arcsinx,就f xx 1,yA0 B121x3【xC121x2 D1 xy27當(dāng) + 時(shí),冪級(jí)數(shù)n1xn的和函數(shù)為】n .A.ex B.ex+1 C.ex-1 D.ex- e-x 28. 設(shè) f x,y在Dx ,y |x2y21上連續(xù) , 就fx ,y d【】D1 2 1A. 4 2 d f r cos , r sin rdr B. 4 d f r cos , r sin rdr0 0 0 01 1C. 2 0 d 0 f r cos , r sin rdr D. 2 2 d0 f r cos , r sin rdr229. 設(shè) y * 為 y P x y Q x y f x 的一個(gè)解

21、,y 1y 2 是對(duì)應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,就y P x y Q x y f x 的通解為 y = A. C1y1+C2y2 B. C2y1+C2y* C. C1y1+C2y* D. C1y1+C2y2 +y【】30. f x , y 在點(diǎn) x , y 的偏導(dǎo)數(shù) f z x , y 和 f y x , y , 連續(xù) f y x , y 可微分的A. 充分且必要的條件 B. 充分非必要的條件C.必要非充分的條件 D. 既非充分又非必要的條件【】其次部分 非挑選題二、運(yùn)算題（本大題共 7 小題,每道題 6 分,共 42 分）2 1sin x x sin31. 求 lim x 0 1 cos

22、 x ln 1 xx .32. 運(yùn)算1 x 1 1x 2 dx .2 233. 求由參數(shù)方程 x t, y 1 t 所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) d2 y .2 dx2 234. 設(shè) z ln x 2y 2 , 求 z2 z2 .x yx 235. 運(yùn)算 2 e dxdy , , 其中 D為由 x=1,y=0 和 y=x 所圍成的平面區(qū)哉；D36求微分方程 y 2 y y e x的通解；37. 將函數(shù) f x arctgx 展成 x 的冪級(jí)數(shù)；三、應(yīng)用和證明題（本大題共 3 小題,每道題 6 分,共 18 分）38. 求心形線 r a 1 cos a 0 的全長(zhǎng)；39. 在 xoy 面上求一點(diǎn),使其

23、到 x 軸, y 軸及直線 x 2y 16 0 的距離平方之和最??；40. 證明曲線 x y a 上任一點(diǎn)處的切線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之和等于常數(shù) a. 2022 年下半年高訓(xùn)練自學(xué)考試全國(guó)統(tǒng)一命題考試高等數(shù)學(xué)（工科、?？疲┰囶}參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)挑選題（本大題共 30 小題, 1-20 每道題分, 21-30 每道題 2 分,共 40 分）（一）每道題 1 分,共 20 分 1.B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.C 7.B 8.C 9.D 10.A 11.B 12.A 13.D 14.C 15.B 16.A 17.D 18.A 19.C 20.C 二 每道題 2 分, 共 20 分 21.A 22.B 23.A 24.C 25.A 26.D 27.C 28.B 29.D 30.B 二、運(yùn)算題（本大題共7 小題,每道題6 分,共 42 分）31【參考答案】解原式1lim x 0sinx2sin1（ 2 分）xln1x21lim x 0sinx2sin1（ 2 分）x2ln1x1（2 分）232. 【參考答案】解原式1x121x2dx2（2 分）xxlnln12 x| 1（2 分）ln1x| 1ln（2