【數(shù)學(xué)】2015高考試題分類匯編：文科立體幾何教師版

1、 2021全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題匯編文科立體幾何 2021安徽卷 1如圖14，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點(diǎn)O在線段AD上，OA1，OD2，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形(1)證明直線BCEF；(2)求棱錐FOBED的體積圖14【解答】 (1)證明：設(shè)G是線段DA與EB延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，由于OAB與ODE都是正三角形，OA1，OD2，所以O(shè)B綊eq f(1,2)DE，OGOD2.同理，設(shè)G是線段DA與FC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，有OC綊eq f(1,2)DF，OGOD2，又由于G和G都在線段DA的延長(zhǎng)線上，所以G與G重合在GED和GFD中，由OB 綊eq f(1,2)DE和O

2、C綊eq f(1,2)DF，可知B和C分別是GE和GF的中點(diǎn)所以BC是GEF的中位線，故BCEF.(2)由OB1，OE2，EOB60，知SEOBeq f(r(3),2).而OED是邊長(zhǎng)為2的正三角形，故SOEDeq r(3).所以SOBEDSEOBSOEDeq f(3r(3),2).過(guò)點(diǎn)F作FQDG，交DG于點(diǎn)Q，由平面ABED平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐FOBED的高，且FQeq r(3)，所以VFOBEDeq f(1,3)FQS四邊形OBEDeq f(3,2).22021北京卷 2 如圖14，在四面體PABC中，PCAB，PABC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)(1

3、)求證：DE平面BCP；(2)求證：四邊形DEFG為矩形； (3)是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說(shuō)明理由 【解答】 (1)證明：因?yàn)镈，E分別為AP，AC的中點(diǎn)，圖15所以DEPC.又因?yàn)镈E平面BCP，PC平面BCP，所以DE平面BCP.(2)因?yàn)镈、E、F、G分別為AP、AC、BC、PB的中點(diǎn)，所以DEPCFG，DGABEF，所以四邊形DEFG為平行四邊形又因?yàn)镻CAB，所以DEDG，所以平行四邊形DEFG為矩形(3)存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)由(2)知，DFEGQ，且QDQEQFQGeq f(1,2)EG.分別取PC、AB的中點(diǎn)M

4、，N，連接ME、EN、NG、MG、MN.與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對(duì)角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，且QMQNeq f(1,2)EG.所以Q為滿足條件的點(diǎn)3 2021江蘇卷 如圖12，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)圖12求證：(1)直線EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD. 此題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力【解答】 證明：(1)在PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EFPD.又因?yàn)镋F平面PCD，PD平面PCD，圖13所以直線EF平面PCD.(2)連結(jié)BD，因

5、為ABAD，BAD60，所以ABD為正三角形，因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BFAD.因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因?yàn)锽F平面BEF，所以平面BEF平面PAD.圖1642021課標(biāo)全國(guó)卷 如圖18，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD. (1)證明：PABD ； (2)設(shè)PDAD1，求棱錐DPBC的高 圖18【解答】 (1)證明：因?yàn)镈AB60，AB2AD，由余弦定理得BDeq r(3)AD，從而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD，所以BD平面PAD，故

6、PABD.(2)如圖，作DEPB，垂足為E.PD底面ABCD，那么PDBC.由(1)知BDAD，又BCAD，所以BCBD.圖19故BC平面PBD，BCDE.那么DE平面PBC.由題設(shè)知PD1，那么BDeq r(3)，PB2.根據(jù)DEPBPDBD得DEeq f(r(3),2).即棱錐DPBC的高為eq f(r(3),2).5. 2021陜西卷 如圖18，在ABC中，ABC45，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)證明：平面ADB平面BDC；(2)假設(shè)BD1，求三棱錐DABC的外表積圖18【解答】 (1)折起前AD是BC邊上的高，當(dāng)ABD折起后，ADDC，ADDB

7、.又DBDCD.AD平面BDC.AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)由(1)知，DADB，DBDC，DCDA，DBDADC1.ABBCCAeq r(2).從而SDABSDBCSDCAeq f(1,2)11eq f(1,2).SABCeq f(1,2)eq r(2)eq r(2)sin60eq f(r(3),2).外表積Seq f(1,2)3eq f(r(3),2)eq f(3r(3),2).6. 2021江蘇卷 如圖12，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)圖12求證：(1)直線EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.此題

8、主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力【解答】 證明：(1)在PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EFPD.又因?yàn)镋F平面PCD，PD平面PCD，圖13所以直線EF平面PCD.(2)連結(jié)BD，因?yàn)锳BAD，BAD60，所以ABD為正三角形，因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BFAD.因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因?yàn)锽F平面BEF，所以平面BEF平面PAD.7. 2021遼寧卷 如圖18，四邊形ABCD為正方形，圖18QA平面ABCD，PDQA，QAABeq f(1,2)PD.(1)證明：PQ

9、平面DCQ；(2)求棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值 【解答】 (1)由條件知PDAQ為直角梯形因?yàn)镼A平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交線為AD.又四邊形ABCD為正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQeq f(r(2),2)PD，那么PQQD.所以PQ平面DCQ.(2)設(shè)ABa.由題設(shè)知AQ為棱錐QABCD的高，所以棱錐QABCD的體積V1eq f(1,3)a3.由(1)知PQ為棱錐PDCQ的高，而PQeq r(2)a，DCQ的面積為eq f(r(2),2)a2，所以棱錐PDCQ的體積V2eq f(1,3)a3.故棱

10、錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值為1.圖168.2021湖南卷 如圖15，在圓錐PO中，POeq r(2)，O的直徑AB2，點(diǎn)C在eq xto(AB)上，且CAB30，D為AC的中點(diǎn)(1)證明：AC平面POD；(2)求直線OC和平面PAC所成角的正弦值圖15【解答】 (1)因?yàn)镺AOC，D是AC的中點(diǎn)，所以ACOD.又PO底面O，AC底面O，所以ACPO.而OD，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以AC平面POD.(2)由(1)知，AC平面POD，又AC平面PAC，所以平面POD平面PAC.在平面POD中，過(guò)O作OHPD于H，那么OH平面PAC.圖16連結(jié)CH，那么CH是OC在平

11、面PAC上的射影，所以O(shè)CH是直線OC和平面PAC所成的角在RtODA中，ODOAsin30eq f(1,2).在RtPOD中，OHeq f(POOD,r(PO2OD2)eq f(r(2)f(1,2),r(2f(1,4)eq f(r(2),3).在RtOHC中，sinOCHeq f(OH,OC)eq f(r(2),3).故直線OC和平面PAC所成角的正弦值為eq f(r(2),3).圖179. 2021浙江卷 如圖17，在三棱錐PABC中，ABAC，D為BC的中點(diǎn)，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上(1)證明：APBC；(2)BC8，PO4，AO3，OD2，求二面角BAPC的大小【解答】 (

12、1)證明：由ABAC，D是BC中點(diǎn)，得ADBC，又PO平面ABC，得POBC，因?yàn)镻OADO，所以BC平面PAD，故BCAP.(2)如圖，在平面APB內(nèi)作BMPA于M，連CM.因?yàn)锽CPA，得PA平面BMC，所以APCM.故BMC為二面角BAPC的平面角在RtADB中，AB2AD2BD241，得ABeq r(41).在RtPOD中，PD2PO2OD2，在RtPDB中，PB2PD2BD2，所以PB2PO2OD2BD236，得PB6.在RtPOA中，PA2AO2OP225，得PA5.又cos BPAeq f(PA2PB2AB2,2PAPB)eq f(1,3)，從而sinBPAeq f(2r(2),

13、3).故BMPBsinBPA4eq r(2).同理CM4eq r(2).因?yàn)锽M2MC2BC2，所以BMC90，即二面角BAPC的大小為90.10.2021福建卷 如圖15，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點(diǎn)E在線段AD上，且CEAB.(1)求證：CE平面PAD；(2)假設(shè)PAAB1，AD3，CDeq r(2)，CDA45，求四棱錐PABCD的體積 【解答】 (1)證明：因?yàn)镻A平面ABCD，CE平面ABCD，圖16所以PACE.因?yàn)锳BAD，CEAB，所以CEAD.又PAADA，所以CE平面PAD.(2)由(1)可知CEAD.在RtECD中，DECDcos451，CECDsi

14、n451.又因?yàn)锳BCE1，ABCE，所以四邊形ABCE為矩形所以S四邊形ABCDS矩形ABCESECDABAEeq f(1,2)CEDE12eq f(1,2)11eq f(5,2).又PA平面ABCD，PA1，所以V四棱錐PABCDeq f(1,3)S四邊形ABCDPAeq f(1,3)eq f(5,2)1eq f(5,6).11.2021江西卷 如圖17，在ABC中，Beq f(,2)，ABBC2，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PDBC交AC于點(diǎn)D，現(xiàn)將PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD.(1)當(dāng)棱錐APBCD的體積最大時(shí)，求PA的長(zhǎng)；(2)假設(shè)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，求證

15、：ABDE.圖17【解答】 (1)令PAx(0 x0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)r(3)，2)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，所以，當(dāng)xeq f(2,3)eq r(3)時(shí)，f(x)取得最大值，即：當(dāng)VAPBCD最大時(shí)，PAeq f(2r(3),3).(2)證明：設(shè)F為AB的中點(diǎn)，連接PF，F(xiàn)E.那么有EF綊eq f(1,2)BC，PD綊eq f(1,2)BC，所以EF綊PD，四邊形DEFP為平行四邊形，所以DEPF，又APPB，所以PFAB，故DEAB.12. 2021山東卷 如圖15，在四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，

16、底面ABCD是平行四邊形，AB2AD，ADA1B1，BAD(1)證明：AA1BD；(2)證明：CC1平面A1BD.圖15【解答】 證明：(1)證法一：因?yàn)镈1D平面ABCD，且BD平面ABCD，圖16所以D1DBD.又因?yàn)锳B2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcos603AD2.所以AD2BD2AB2，所以ADBD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1又AA1平面ADD1A1所以AA1BD.證法二：因?yàn)镈1D平面ABCD，且BD平面ABCD，圖17所以BDD1D.取AB的中點(diǎn)G，連接DG.在ABD中，由AB2AD得AGAD，又BAD60，所以ADG為等

17、邊三角形因此GDGB.故DBGGDB，又AGD60，所以GDB30，故ADBADGGDB603090，所以BDAD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1又AA1平面ADD1A1所以AA1BD.(2)連接AC，A1C1圖18設(shè)ACBDE，連接EA1.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以ECeq f(1,2)AC，由棱臺(tái)定義及AB2AD2A1B1A1C1EC且A1C1所以四邊形A1ECC1為平行四邊形因此CC1EA1，又因?yàn)镋A1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD.13. 2021四川卷 如圖15，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11，延長(zhǎng)A1C1

18、至點(diǎn)P，使C1PA1C1，連結(jié)AP交棱CC1(1)求證：PB1平面BDA1；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值圖15【解答】 解法一：(1)連結(jié)AB1與BA1交于點(diǎn)O，連結(jié)OD.C1DAA1，A1C1C1PADPD，又AOB1O，ODPB1.圖16又OD平面BDA1，PB1平面BDA1，PB1平面BDA1.(2)過(guò)A作AEDA1于點(diǎn)E，連結(jié)BE.BACA，BAAA1，且AA1ACA，BA平面AA1C由三垂線定理可知BEDA1.BEA為二面角AA1DB的平面角在RtA1C1D中，A1Deq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)212)eq f(r(5),2)，又SAA1De

19、q f(1,2)11eq f(1,2)eq f(r(5),2)AE，AEeq f(2r(5),5).在RtBAE中，BEeq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(2r(5),5)2)eq f(3r(5),5)，cosBEAeq f(AE,BE)eq f(2,3).故二面角AA1DB的平面角的余弦值為eq f(2,3).14. 2021天津卷 如圖17，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，ADC45，ADAC1，O為AC的中點(diǎn)，PO平面ABCD，PO2，M為PD的中點(diǎn)(1)證明PB平面ACM；(2)證明AD平面PAC；(3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值圖17課標(biāo)文數(shù)2021天津卷 圖18【解答】 (1)證明：連接BD，MO.在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)又M為PD的中點(diǎn)，所以PBMO.因?yàn)镻B平面ACM，MO平面ACM，所以PB平面ACM.(2)證明：因?yàn)锳DC45，且ADAC1，所以DAC90，即ADAC.又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以POAD.而ACPOO，所以AD平面PAC.(3)取DO中點(diǎn)N，連接MN，AN.因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以MNPO，且MNeq f(1,2)POPO平面ABCD