高數(shù)高頻易錯(cuò)點(diǎn)

1、真誠(chéng)服務(wù)，共同進(jìn)步真誠(chéng)服務(wù)，共同進(jìn)步商學(xué)院學(xué)生學(xué)習(xí)部商學(xué)院學(xué)生學(xué)習(xí)部經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)一一微積分復(fù)習(xí)提綱第一章函數(shù)1、函數(shù)的定義域及分段函數(shù)的求值。2、基本初等函數(shù)：募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱(chēng)為初等函數(shù)。3、常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)（需求函數(shù)、供給函數(shù)、總成本函數(shù)、總收益函數(shù)、總 利潤(rùn)函數(shù)、庫(kù)存函數(shù)）第二章極限與連續(xù)1、無(wú)窮小的定義與性質(zhì)。）極限為零的變量稱(chēng)為無(wú)窮小量。注：（1）無(wú)窮小量是個(gè)變量而不是個(gè)很小的數(shù).2）零是常數(shù)中唯一的無(wú)窮小量。）無(wú)窮小的性質(zhì)：有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和是無(wú)窮小

2、、有界函數(shù)與無(wú)窮 小的乘積是無(wú)窮小、常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小、有限個(gè)無(wú)窮小的乘積 也是無(wú)窮小。）函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系：的充要條件是 ，其中A為常數(shù)，。2、無(wú)窮大的定義。在某一變化過(guò)程中，若f（x）的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為此變 化過(guò)程中的無(wú)窮大量。注：無(wú)窮大是變量，不是一個(gè)絕對(duì)值很大的數(shù)。3、無(wú)窮大與無(wú)窮小互為倒數(shù)。4、極限的運(yùn)算法則。見(jiàn)教材P48定理1、2、3、4及推論1、25、兩個(gè)重要極限。會(huì)用重要極限求函數(shù)極限。6、會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小代替求極限7、連續(xù)的定義。見(jiàn)教材P66函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：1) 在點(diǎn)x0處有定義；2)存在；3)極限值等于函數(shù)值，即

3、 。8、函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)的充分必要條件是：既左連續(xù)又右連續(xù)。9、函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)與該點(diǎn)處極限的關(guān)系：函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)則在該點(diǎn)處必有極限，但函數(shù)在點(diǎn)處有極限并不一定在該點(diǎn)連續(xù)。10、如何求連續(xù)函數(shù)的極限連續(xù)函數(shù)極限必存在，且極限值等于函數(shù)值，即11、對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，若函數(shù)在分段點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同時(shí)，需根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件進(jìn)行討論。12、如何求連續(xù)區(qū)間？基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。13、間斷點(diǎn)的定義。14、間斷點(diǎn)的類(lèi)型。（一）第一類(lèi)間斷點(diǎn)1、可去間斷點(diǎn)（1）在處無(wú)定義，但存在。（2）在處有定義，在處左右極限存在且相等，但是。2、跳躍間斷

4、點(diǎn)：在點(diǎn)處左右極限都存在，但不相等 。第一類(lèi)間斷點(diǎn)的特點(diǎn)：函數(shù)在該點(diǎn)處左右極限都存在.（二）第二類(lèi)間斷點(diǎn)（若左右極限中至少有一個(gè)不存在，稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)。）1、無(wú)窮間斷點(diǎn)。2、振蕩間斷點(diǎn)。有關(guān)習(xí)題如下：P47 3 P53 2,3,4 P62 1,2 P65 1,2,3 P73 2,3,5,6第三章 導(dǎo)數(shù)、微分、邊際與彈性1、函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)的充要條件是：在點(diǎn) 處的左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，2、判斷分段點(diǎn)處是否可導(dǎo)：在分段點(diǎn)處應(yīng)按定義求出左右導(dǎo)數(shù)，在分段點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，則分段點(diǎn)可導(dǎo)。3、連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系：若函數(shù) 在點(diǎn) 可導(dǎo)，則函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)。反之不然4、函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示

5、曲線 在點(diǎn) 處的切線的斜率。5、切線方程、法線方程6、隱函數(shù)的求導(dǎo)法、參數(shù)方程所表示函數(shù)導(dǎo)數(shù)。7、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法8、可微的定義。9、函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)有關(guān)習(xí)題如下：P91 7,11,12,15 P1002,3,5,6,7,10 P1051,2 P112 1,4,6 P122 3,4第四章 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用10、中值定理的內(nèi)容。11、洛必達(dá)法則。12、函數(shù)單調(diào)性判別法：求極值步驟：13、求最大（?。┲档牟襟E：14、函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)的定義及判斷方法15、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用（最大利潤(rùn)問(wèn)題、最大收益問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)批量問(wèn)題、最大稅收問(wèn)題等）有關(guān)習(xí)題如下：P142 2 P147 1 P16

6、2 1,2,4,5 P168 3第五章不定積分1、原函數(shù)與不定積分的關(guān)系：全體原函數(shù)構(gòu)成不定積分。即 。積分運(yùn)算與微分運(yùn)算有如下互逆關(guān)系：1） 或.2）或.2、不定積分的換元法和分部積分法。第一類(lèi)換元法（湊微分法）。第二類(lèi)換元法分部積分法有關(guān)習(xí)題如下：P183 1 P197 1 P203 1第六章定積分1、定積分的性質(zhì)。2、定積分中值定理。3、為積分上限的函數(shù)（或變上限的定積分）。它的導(dǎo)數(shù)是4、牛頓一萊布尼茲公式，又叫微積分基本公式。5、定積分的換元法、分部積分法6、定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用（由邊際函數(shù)求原函數(shù)、由變化率求總量）有關(guān)習(xí)題如下：P219 2 P225 1 2 3 P231 1 2 P23

7、3 1 P239 1 P252 1 2 3 4 5第十章微分方程41微分方程的基本概念（微分方程、微分方程的角、特解、通解、微分方程的階、初值條件、初值問(wèn)題等）42、可分離變量的微分方程的解法43、一階線性微分方程的解法44、可降階的二階微分方程的解法45、二階常系數(shù)微分方程的解法有關(guān)習(xí)題如下：P384 1 3 4 P396 1 2 P405 4 6 7高數(shù)高頻易錯(cuò)點(diǎn).求極限請(qǐng)注意自變量趨向什么。我們知道：lim(x趨向0)sinx/x=1 ，但是當(dāng)x 趨向無(wú)窮limsinx/x=0 ，原因：無(wú)窮小量x有界函數(shù)=無(wú)窮小量。這里：|sinx|0 或(A0,當(dāng)x取x0 的5去心x-x0鄰域時(shí),f(

8、x)0(或f(x)0 ,然而并不滿足f(x)0(在x=0處)。介紹這 個(gè)定理的作用：解一類(lèi)題。請(qǐng)看：已知f(x)可導(dǎo)，且當(dāng)x趨向0, limf(x)/|x|=1,判斷f(x)是否存在極值點(diǎn)。因?yàn)閒(x)可導(dǎo)，那么f(x)必連續(xù)，因?yàn)閘im(x趨向0)f(x)/|x|=1這個(gè)極限存在且為1,那么我們得到結(jié)論：lim(x趨向0)f(x)=0 ,否則不會(huì)存在極限的，又因?yàn)閒(x)連續(xù)，那么f(0)=0 ,令f(x)/|x|二g(x),根 據(jù)保號(hào)性，因?yàn)閘img(x)=10 ,那么：g(x)0 ,那么由于|x|在x趨向。時(shí)0, 所以f(x)0 ,而0=f(0),所以f(x)f(0),根據(jù)極小值的定義，

9、x=0為f(x)的 極小值點(diǎn)。綜上：已知limg(x)=a , a的正負(fù)已知，可以使用保號(hào)性。.請(qǐng)注意當(dāng)題目說(shuō)：x趨向無(wú)窮時(shí)，那么題目包含兩個(gè)意思：x趨向正無(wú)窮和x 趨向負(fù)無(wú)窮。在含有eAx , arctanx ,等等類(lèi)的題目時(shí)，請(qǐng)看清楚 x趨向無(wú)窮還 是趨向正無(wú)窮或者是負(fù)無(wú)窮。補(bǔ)充：在含有絕對(duì)值的題目時(shí)，這點(diǎn)尤其重要， 如果說(shuō)x趨向無(wú)窮，那么在去|時(shí)，必須考慮|x|中x是趨向正無(wú)窮還是負(fù)無(wú)窮， 當(dāng)然題目不一定非要以絕對(duì)值出現(xiàn)，有些題會(huì)以，a八2)出現(xiàn)。.關(guān)于和差化積積化和差公式的記憶。8字口訣：同c異s, s異c同。前者用 來(lái)記住積化和差，后者用來(lái)記住和差化積。舉例： sinacosb= ?

10、因?yàn)樗鼈兊娜?函數(shù)名異名，那么使用 s, sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b) , 說(shuō)明：1, 純粹個(gè)人記憶方法，接受不了也正常； 2,這個(gè)口訣的使用基于你知道=右邊的 基礎(chǔ)輪廓，比如所有的積化和差，右邊是 1/2() +(或者-)();3,實(shí)在不會(huì)， 死記硬背吧，或者請(qǐng)教別的大神。.關(guān)于極值點(diǎn)的3種判別法：法一：定義法；法二：若f(x)可導(dǎo)，f(xo)=0 , 且f (x)不為0,則f(x)在xo處取得極值，若二階導(dǎo)0,取得極大； 0,極 小。法三：(n階判別法)：若f(xo)= 二階導(dǎo)(xo)= =n-1階導(dǎo)(xo)=0，且n階 導(dǎo)不為0,若n為偶數(shù)，且n階導(dǎo)

11、0,極小，反之,極大；若n為奇數(shù)，n階導(dǎo) 不等于0,則(xo, f(xo)為拐點(diǎn)，xo不是極值點(diǎn)。證明：略.參數(shù)方程二階導(dǎo)問(wèn)題(無(wú)數(shù)不懂事的孩子搞不清楚)，我們說(shuō)一般地，y表示 對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)，不是對(duì)參數(shù)t的二階導(dǎo)數(shù)。y=dA2y/dxA2=d(dy/dx)/dx,對(duì)于求dy/dx，我們采用求關(guān)于t的y(t)，和關(guān)于t的x(t),因?yàn)閐y/dx=(dy/dt) x (dt/dx尸y(t)/x(t)。舉例：已知 y=cost , x=tA2 ,那么求 dy/dx , dA2y/dxA2。標(biāo)準(zhǔn)解答：1 ： y(t)=-sint , x(t)=2t,所以 dy/dx=-sint/2t ; 2 :dA

12、2y/dxA2=d(dy/dx)/dx=d(-sint)/2t /dt *(dt/dx)=(-tcost+sint)/(4tA3) 綜上：二階導(dǎo)是一個(gè)整體記號(hào)，不是簡(jiǎn)單的除法。.等價(jià)無(wú)窮小只能使用于乘除(題外：其實(shí)它可以使用于加減的，這里不說(shuō)，以 防混淆)。比如：初學(xué)者可能會(huì)認(rèn)為這個(gè)極限為0, lim(x 趨向 0)(tanx-sinx)/xA3=0 計(jì)算思路：(x-x)/xA3=0,事實(shí)上它等于 1/2.原因：提 取tanx后等價(jià)無(wú)窮小。等價(jià)無(wú)窮小必須自己去背的，沒(méi)有人可以幫你。.對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)的問(wèn)題很多同學(xué)搞不清楚。錯(cuò)誤一：把變量當(dāng)做常量。比如：y=xAx,標(biāo)準(zhǔn)解答 lny=xlnx ,兩邊

13、對(duì) x 求導(dǎo)，y/y=1+lnx ,所以 y=(xAx)(1+lnx)。錯(cuò)誤做法：y=xAx, y=x(xA(x-l)=xAx 。(但愿你們找到了錯(cuò)誤在哪)，錯(cuò)誤二：搞不 清楚對(duì)x求導(dǎo)是什么意思。當(dāng)然：y=xA2求導(dǎo)大家都會(huì)吧，y=2x ,當(dāng)出現(xiàn)對(duì)丫八2二乂八2, 很多同學(xué)就迷茫了，我們說(shuō)y是x的函數(shù)，所以最后必須乘y,對(duì)yA2=xA2求導(dǎo)， 得到：2yy=2x.再則：對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)我們把其中一個(gè)看成常量，比如y=yx+xA2 ,那么求導(dǎo)：y=y+yx+2x。綜上：對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)，若是單獨(dú)y,求導(dǎo)為y, 一切關(guān)于y的函數(shù)(比如yA2 , lny , aAy等)，先對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)再乘y.函數(shù)在某點(diǎn)可

14、導(dǎo)的本質(zhì)僅僅是該點(diǎn)的問(wèn)題，與它的鄰域無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)點(diǎn)可 導(dǎo)，在中心點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的點(diǎn)未必可導(dǎo)。比如函數(shù) f(x)=0當(dāng)x是有理數(shù)。f(x)=xA2 當(dāng)x是無(wú)理數(shù)。只在x=0處點(diǎn)連續(xù)，并可導(dǎo)。按定義可驗(yàn)證在 x=0處導(dǎo)數(shù)為0.無(wú)窮小X有界=無(wú)窮小，但是：無(wú)窮大X有界未必等于無(wú)窮大。正確結(jié)論：無(wú)窮大 X有界=未知，比如：當(dāng)x趨向正無(wú)窮，x, 乂八2始終為無(wú)窮大，而1/x, 1/xA2 為有界量。 注意到：x*(1/xA2)=1/x就是一個(gè)無(wú)窮小，而xA2*(1/x)=x 卻是無(wú)窮大,而x*(1/x)=1卻是有限的。.可導(dǎo)與連續(xù)是完全不一樣的。有些同學(xué)看到題目說(shuō)某個(gè)分段函數(shù)在某點(diǎn)xo連續(xù)，特別開(kāi)心，

15、他說(shuō)易得：左導(dǎo)=右導(dǎo)=f(xo),你太天真了。其實(shí)：連續(xù)是說(shuō) 左極限=右極限=f(xo),可導(dǎo)是：lim(x-xo)f(x)=f(xo) ,且左導(dǎo)二右導(dǎo)。請(qǐng)搞 清楚你要處理的問(wèn)題。不要學(xué)了一個(gè)學(xué)期都是云里霧里，當(dāng)然一學(xué)期沒(méi)上過(guò)一 節(jié)課的同學(xué)，除外。補(bǔ)充：在一元函數(shù)微分學(xué)中，可導(dǎo)必然連續(xù)，連續(xù)未必可 導(dǎo)(這個(gè)顯然嘛，y=|x|在x=0處連續(xù)但是不可導(dǎo))。.很多初學(xué)者認(rèn)為：/ (a到x)f(t)dt 中，變量是t,這是錯(cuò)的，你忽略了變 限積分的來(lái)歷，自己去回顧一下變限積分的來(lái)歷是大有裨益的。記住：這里 x 是變量，它求導(dǎo)=f(x)。.還有人問(wèn)為什么高等數(shù)學(xué)中分母可以為 0,他說(shuō)比如0/0不是以0為

16、分母， 他的錯(cuò)誤在于沒(méi)有搞清楚我們所說(shuō)的 0不是真正的初等數(shù)學(xué)中的數(shù)字 0,它表示 極限0,由于極限等于0,我們習(xí)慣稱(chēng)為0/0形式。也就是說(shuō)：若沒(méi)有l(wèi)im這個(gè) 符號(hào)，0/0沒(méi)有意義。事實(shí)上：再比如：貨真價(jià)實(shí)的數(shù)字1, 1人無(wú)窮=1 ,若是(極 限1)八無(wú)窮，則結(jié)果待定。高等數(shù)學(xué)中由于極限的四則運(yùn)算包括哥指數(shù)運(yùn) 算無(wú)法解決形如：0/0, 1人無(wú)窮，無(wú)窮/無(wú)窮，等等7類(lèi)運(yùn)算。為此，產(chǎn)生了 7 種特殊的式子：不定式。由于結(jié)果不確定，所以稱(chēng)之為不定式。綜上：我們現(xiàn)在學(xué)的是高等數(shù)學(xué)，幾乎所有問(wèn)題都是放在極限這個(gè)概念下討論， 但是你不能拋棄原有的初等數(shù)學(xué)知識(shí)理論，并且注意區(qū)分。.求數(shù)列極限不可直接使用洛必

17、達(dá)，數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)，每個(gè)孤立點(diǎn)不連續(xù)， 不可導(dǎo)，故不符合洛必達(dá)的條件1,為此：正確做法：先令n為x,再使用洛必 達(dá)，最后換為n.無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小，無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大但是請(qǐng)注意：這里的無(wú)窮小除去了 0。.x趨向0, limsinx/x=1 不可以使用洛必達(dá)法則證明，原因：(sinx) =cosx 這個(gè)公式的證明使用了 limsinx/x=1 ,所以犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤.關(guān)于洛必達(dá)法則的運(yùn)用條件絕非 0/0,無(wú)窮/無(wú)窮那么簡(jiǎn)單。洛必達(dá)的3個(gè) 條件： xa時(shí)，lim f(x)=0,lim F(x)=0;在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)f(x )與F(x)都可導(dǎo)，且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于0;x a時(shí)，lim(

18、f(x)/F(x)存在或?yàn)?無(wú)窮大則 xa 時(shí)，lim( f(x) / F(x)=lim( f(x)/F(x) ), 請(qǐng)注意：1,第三點(diǎn)很容易被忽略，一般地：含有l(wèi)im(x趨向無(wú)窮)sinx ,或者cosx,是不會(huì)采 用洛必達(dá)的；2,在解含有抽象函數(shù)f(x)時(shí)尤其注意第二點(diǎn)，在求最后一步導(dǎo)時(shí) 我們使用的是導(dǎo)數(shù)定義，也就是你不能不停地洛必達(dá)直到把它洛出來(lái)，因?yàn)槟?不確定它最后一步時(shí)是否滿足第二個(gè)條件，所以每次做含有抽象函數(shù)的題使用 洛必達(dá)+最后一步使用導(dǎo)數(shù)定義！3,單側(cè)極限對(duì)于第二點(diǎn)的要求只是去心鄰域內(nèi)單側(cè)可導(dǎo)。(如果你不注意以上這些，雖然在平?？荚嚂r(shí)有些老師不在意，但 是如果你考研的話是會(huì)扣一

19、半分以上的).一般地：我們有以下結(jié)論：lim(x 趨向xo)f(x)=a ,則必然有l(wèi)im(x 趨向 xo)|f(x)|=|a|。注意：若a不為0,上述結(jié)論的逆命題未必成立大多是不成立的,若a=0,上述結(jié)論逆命題仍然成立！.并不是所有二元函數(shù)極限都可以使用極坐標(biāo)求解盡管極坐標(biāo)是一個(gè)好方法。在使用極坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)該同時(shí)注意到： 0和p的任意性。比如：(x , y)趨向 (0 , 0),求lim(xy)/(x y),容易證明該極限不存在(一條路徑：y=x,另一條： y=xA2-x)，倘若使用極坐標(biāo)，則得：lim p (cos 0 sin 0 )/(cos 0 +sin 0 ),此 時(shí)有分母出現(xiàn)0的可能

20、(取8 =45度)，因此不確定該極限是否存在，本法失效, 或者說(shuō)：你無(wú)法證明(cos 0 sin 0 )/(cos 0 +sin 8)有界。綜上：倘若使用極坐 標(biāo)，須同時(shí)考慮0 , p的任意性，不可盲目使用。.注意僅當(dāng)y=f(x)時(shí)有：y=f(x)。若y=f( ) , 不等于x時(shí)，y不等于 f()。比如：y=f(xA2) ,y=f(xA2)2x，而不是等于 改八2)。下面說(shuō)明f( )和儀)的區(qū)別：f()表示已知f(x)的表達(dá)式，并且把當(dāng)做 x代入， 這個(gè)過(guò)程是代值過(guò)程；而f( )的意思是求導(dǎo)，至于對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)，則根據(jù)確定。注意：僅當(dāng) 二x時(shí)，f( 尸f( ),即：f(x)=f(x)其他情況沒(méi)有這個(gè)式子。綜上：f( ) =f()。.一元函數(shù)中說(shuō)f(x)連續(xù)可導(dǎo)不是指f(x)既連續(xù)又可導(dǎo)，“連續(xù)可導(dǎo)”意思是說(shuō)f(x)的導(dǎo)函數(shù)連續(xù)。 ps： f(x)的導(dǎo)函數(shù)連續(xù)當(dāng)然有f(x)既可導(dǎo)又連續(xù)，反之不然。.還有多少人不會(huì)三角函數(shù)中輔助角的兩個(gè)公式：asinx+bcosx= V (aA2+bA2)sin(x+u),其中 u=arctan(b/a),強(qiáng)制要求 a0; asinx+bcosx= V(aA2+bA2)cos(x+u), 其中 u=arctan(-a/b) , 強(qiáng)制要求b0。 ps： 為什么要強(qiáng)制要求？以第一個(gè)為例，第二個(gè)同理 原因在于：我們既然采用了用