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文檔簡介

1、排隊論 羅清雨XPXk 設(shè)隨機變量X所有可能的取值為0,1,2, 而取各值的概率為:k0, 1, 2, (0)定義:泊松定理 設(shè)隨機變量XnB(n, p), (n0, 1, 且n很大,p很小,記=np,則2,),注: 1.)泊松定理表明,泊松分布是二項分布的極限分布,當(dāng)n很大,p很小時,二項分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布泊松分布的應(yīng)用較廣.例如:在一定時間間隔內(nèi)某電話交換臺收 的呼喚次數(shù).一天內(nèi)到某商店去的顧客數(shù).到用戶一定時間內(nèi)某放射性物質(zhì)放射的質(zhì)點數(shù).某醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù).例.用步槍向某一目標射擊,每次擊中目標 的概率為0.001,今射擊6000次,試求至少有 兩彈擊中目標

2、的概率.方法二.用泊松定理作近似計算,例 在一家保險公司里有10000個人參加壽命保險, 不少于60000元的概率不低于90%,賠償金至多可設(shè)為多少?(2)其他條件不變,為使保險公司一年的利潤問: (1)保險公司虧本的概率有多大?為0.6%,死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元,每人每年付12元保險費。在一年內(nèi)一個人死亡的概率解: 設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù),則XB(n, p), 1 (7.75)= 0;= 1PX120 (1) PY0 = P1000012-1000X60000=P1000012-aX60000(2)設(shè)賠償金為a元,則令由中心極限定理,上式等價于=PX60000/a0.9;排

3、隊論(隨機服務(wù)系統(tǒng)理論,是研究系統(tǒng)擁擠現(xiàn)象和排隊現(xiàn)象的學(xué)科)排隊論的應(yīng)用范圍:工業(yè)上:原材料的供應(yīng),產(chǎn)品的銷售,多機床的看管,工具收發(fā),倉庫管理等服務(wù)行業(yè),食堂,商店,修配服務(wù)網(wǎng)點,銀行,郵局等合理地確定規(guī)模。軍事上,組織武器和軍事基地的分布,新武器的研制等。“顧客-攻擊目標”,“服務(wù)-向目標開火”,“服務(wù)完畢-擊落目標”。排隊論的特性與共性排隊系統(tǒng):為了獲得服務(wù)而到達的顧客,若不能立即獲得而又允許排隊等候的話,就加入等候隊伍,并在獲得服務(wù)之后離開系統(tǒng)。因顧客來的時間和受服務(wù)時間是不確定的,所以它是個隨機服務(wù)系統(tǒng)。包括顧客輸入,排隊和服務(wù)三個過程。輸入過程: 在輸入流中,應(yīng)用最廣泛、最易處理的

4、是最簡單流。 定長輸入:顧客有規(guī)則地按等距時間到達,每隔a時間到達一個。設(shè)顧客相繼到達時間間隔為t,它的分布函數(shù)記為 如產(chǎn)品通過傳送帶進入包裝箱。最簡單流(泊松Poisson流)令N(t)表示0到t時刻顧客到達的總數(shù),它滿足以下四個條件:平穩(wěn)性:在區(qū)間(a,a+t)內(nèi)有k個顧客到來的概率Vk(t)與a無關(guān),只與t,k有關(guān)。無后效性(獨立性):在區(qū)間內(nèi)有個顧客到來的概率與時刻a以前的情況無關(guān)。普通性:在同一時間瞬間內(nèi)不可能有兩個顧客同時到達。有限性:任意有限區(qū)間內(nèi)到達有限個顧客的概率為1。因而 對這樣的最簡單流,長為t的時間內(nèi)到達k個顧客的概率Vk(t)服從泊松分布,即 式中 為一常數(shù),叫平均到

5、達率。 2,排隊規(guī)則:指“顧客”按怎樣的規(guī)定次序接受服務(wù) 根據(jù)有沒有排隊與等待,分三種情況: 損失制:當(dāng)一個顧客到時,若所有服務(wù)機構(gòu)被占用,該顧客就自動消失,永不再來。如敵機經(jīng)過防空系統(tǒng)時沒被擊落,就消失了。 等待制:當(dāng)顧客到達時,若所有服務(wù)機構(gòu)被占用,顧客就排隊等候服務(wù)。先到先服務(wù)。后到先服務(wù)。存入倉庫的東西,常常后放先取。隨機服務(wù)。多個服務(wù)臺時。優(yōu)先權(quán)服務(wù)。強占服務(wù)。救火車,救護車,長途電話的搶線通話?;旌现疲菏菗p失制與等待制的混合。對長度有限制的情況。等待時間有限制的情況。顧客在系統(tǒng)中逗留時間有限制的情況。服務(wù)機構(gòu)是在指同一時刻內(nèi)有多少服務(wù)設(shè)備可接納顧客,對每一顧客服務(wù)了多少時間。假設(shè)服

6、務(wù)時間具有指數(shù)分布,則對各個顧客的服務(wù)時間是相互獨立的,且具有相同的指數(shù)分布,即式中 為一常數(shù),表示單位時間內(nèi)平均的被服務(wù)人數(shù),即平均服務(wù)率。指數(shù)分布的特點:服務(wù)開始后,服務(wù)結(jié)束得較快 的概率很大,服務(wù)時間很長的概率很小。顧客已被服務(wù)過一段時間,還需繼續(xù)服務(wù)的時間與已服務(wù)的時間無關(guān)。2三。排隊論的應(yīng)用實例:1.在損失制系統(tǒng)中常用到下列已經(jīng)推導(dǎo)過的公式:(1)服務(wù)系統(tǒng)中有k個服務(wù)設(shè)備被占用的概率: (1)式中的 為到達率與服務(wù)率之比,又叫通行率。(2)所有服務(wù)設(shè)備都空閑的概率 : (2)式中的n是服務(wù)設(shè)備總數(shù)。(3)顧客因服務(wù)設(shè)備沒空而離去的概率(損失率)Pn: (3)(4)平均忙著的服務(wù)臺數(shù)E

7、(k): (4)例1 某問訊處共有n臺電話機,可以同時供n個顧客通話,設(shè)顧客呼喚為最簡單流,呼喚率 =3次/分鐘,通話時間平均值為每半分鐘3次,服務(wù)率 次/分鐘,求1)電話打不通的概率(損失率)不大于5%時所需要的電話臺數(shù)n.2)需要幾個話務(wù)員?由公式(3)得:可由數(shù)學(xué)軟件解出n=4下面討論這4臺電話機的利用率:由公式(1)設(shè)備都空閑:P0=0.369由公式(3)平均忙著的臺數(shù):E(k)=0.98利用率:0.98/4=0.245這就是說平均有3/4時間電話機是空閑的,因而不需要配備4個接話員。因設(shè)備沒空顧客離開的概率:例2:某加油站有3名服務(wù)員,過往車輛到加油站,如發(fā)現(xiàn)服務(wù)員沒空就會離去,已知

8、車輛到達率每小時36輛,一輛汽車的平均服務(wù)時間為5分鐘,服務(wù)率 輛/時,則通行率 ,求損失顧客可能性的大小,應(yīng)如何改善服務(wù)系統(tǒng)。解:由公式(3)得車輛損失的概率:這說明到加油站的每100輛車中有35輛沒經(jīng)服務(wù)而離去。再分析一下3名服務(wù)員都空閑的概率:由公式(2):由公式(4)得平均工作的人數(shù):可見服務(wù)員的利用率2.2/3=0.733,說明 利用率高,又有35%的損失率,所以有條件的話,可以添加服務(wù)員。(2)等待制系統(tǒng)設(shè)有n臺服務(wù)設(shè)備,m個顧客,顧客流為最簡單流,服務(wù)時間為指數(shù)分布。已推出以下結(jié)論:當(dāng)mn時,有k臺設(shè)備占用的概率:全部設(shè)備都空閑的概率:(6)(7)平均對長: (8)空閑設(shè)備臺數(shù)的數(shù)學(xué)期望: (9) 服務(wù)設(shè)備利用率:例3。 關(guān)于多機床看管問題,顧客就是故障機床,服務(wù)是調(diào)整機床,設(shè)顧客流是最簡單流,服務(wù)時間具有

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