專升本輔導(dǎo)第講不定積分市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、一、復(fù)習(xí)要求（1）理解原函數(shù)與不定積分概念及其關(guān)系，掌握不定積分性質(zhì)，理解原函數(shù)存在定理（2）純熟掌握不定積分基本公式（3）純熟掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡(jiǎn)樸根式代換）（4）純熟掌握不定積分分部積分法（5）會(huì)求簡(jiǎn)樸有理函數(shù)不定積分 第5講 不定積分第1頁(yè)第1頁(yè)1原函數(shù)和不定積分概念二、內(nèi)容提綱假如存在一個(gè)函數(shù)對(duì)該區(qū)間上每一點(diǎn)都有或則稱函數(shù)是函數(shù)在該區(qū)間上一個(gè)原函數(shù)（1）原函數(shù)定義：設(shè)是定義在某區(qū)間上已知函數(shù)，有原函數(shù)，則它必有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)闡明：a若所有原函數(shù)都表示為形式（C為任意常數(shù)） 是一個(gè)原函數(shù)，則b若第2頁(yè)第2頁(yè)（2）不定積分定義：函數(shù)所有原函數(shù)，稱為不定積

2、分，記作若是一個(gè)原函數(shù)，則有注意：假如漏寫這個(gè)任意常數(shù)C，那就只表示一個(gè)原函數(shù)可見，原函數(shù)和不定積分關(guān)系是個(gè)體與全體關(guān)系求已知函數(shù)不定積分實(shí)質(zhì)是求出它一個(gè)原函數(shù)，再加上任意常數(shù)C其中C稱為積分常數(shù)第3頁(yè)第3頁(yè)（4）不定積分幾何意義：普通地，函數(shù)圖象是一條曲線，（3）原函數(shù)存在性：假如函數(shù)則在此區(qū)間必有原函數(shù)在某個(gè)區(qū)間連續(xù)，軸平移）曲線族，其中每一條曲線在同一個(gè)橫坐標(biāo)形狀相同僅位置高低不同（沿處有相同斜率圖象是一個(gè)含有無(wú)數(shù)條第4頁(yè)第4頁(yè)（5）不定積分性質(zhì) 它表明：若對(duì)一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)或微分后再求不定積分，兩者作用互相抵消不定積分導(dǎo)數(shù)等于，即a導(dǎo)數(shù)（或微分）不定積分與相差一個(gè)常數(shù)，即b第5頁(yè)第5頁(yè)c被

3、積函數(shù)中不為零常數(shù)因子可提到積分號(hào)前面，即d兩個(gè)函數(shù)和（差）不定積分，等于函數(shù)不定積分和（差），即第6頁(yè)第6頁(yè)2基本積分公式第7頁(yè)第7頁(yè)3直接積分法（1）把只應(yīng)用不定積分性質(zhì)和基本積分公式求積分辦法叫做直接積分法（2）在計(jì)算積分之前，往往需對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)樸恒等變換，常見恒等變換有： a代數(shù)式恒等變換（如加減某一項(xiàng)、把被積函數(shù)分成兩部分、把根式部分寫成份數(shù)指數(shù)形式等）； b三角函數(shù)恒等變換（3）直接積分法是最基本積分辦法，是換元積分法和分部積分法基礎(chǔ)，務(wù)必純熟掌握 第8頁(yè)第8頁(yè)4第一換元積分法（湊微分法）實(shí)際應(yīng)用形式是令 能夠不必把寫出來(lái)，直接計(jì)算 可微，則有（1）法則：若已知第9頁(yè)第9頁(yè)（2

4、）闡明：第一類換元積分法是用得最多一個(gè)主要積分法其基本思想是，為了計(jì)算積分這樣與 復(fù)合函數(shù)即使這個(gè)積分不屬于基本公式，但被積表示式能分解成兩部分之積一部分能湊成一個(gè)可微函數(shù)微分某基本積分公式中函數(shù) ，必要時(shí)再添加常數(shù)；另一部分是屬于第10頁(yè)第10頁(yè)（3）常見湊微分形式有：第11頁(yè)第11頁(yè)5第二類換元積分法（2）作用：第二類換元積分法主要用來(lái)消去被積函數(shù)中根號(hào)，這類積分被積函數(shù)看來(lái)簡(jiǎn)樸，但難于計(jì)算換元后被積函數(shù)有理化就便于計(jì)算了 ，則，若單調(diào)可微，且（1）法則：設(shè)其中是反函數(shù)第12頁(yè)第12頁(yè)（3）慣用代換形式b被積函數(shù)含有根式，作三角代換c被積函數(shù)含有根式，作三角代換d被積函數(shù)含有根式，作根式代

5、換，作三角代換a被積函數(shù)含有根式，稱為正弦代換，稱為正切代換，稱為正割代換第13頁(yè)第13頁(yè)（4）注意變量還原用上述代換消去根號(hào)后，求得不定積分中常含有變量函數(shù)，這就需要設(shè)法把它們用變量函數(shù)代回來(lái)對(duì)于三角代換，這個(gè)回代過(guò)程可借用一個(gè)直角三角形來(lái)完畢第14頁(yè)第14頁(yè)6分部積分法或簡(jiǎn)寫為：都是可微函數(shù)，且及都有原函數(shù)，則有（1）法則：設(shè)第15頁(yè)第15頁(yè)和（2）部分積分法關(guān)鍵在于選擇其普通選擇原則是：b原函數(shù)容易求出導(dǎo)數(shù)比a使本身簡(jiǎn)樸容易計(jì)算 c使積分第16頁(yè)第16頁(yè)（3）適宜用部分積分法計(jì)算不定積分主要類型有：與指數(shù)函數(shù)乘積，簡(jiǎn)稱指數(shù)冪積型，這時(shí)普通設(shè)a被積函數(shù)是冪函數(shù)乘積，簡(jiǎn)稱三角冪積型，這時(shí)普通

6、取或b被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角函數(shù)（如正、余弦函數(shù)等）第17頁(yè)第17頁(yè)c被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)乘積，簡(jiǎn)稱對(duì)數(shù)冪積型，這時(shí)普通設(shè)e被積函數(shù)是冪函數(shù)與反三角函數(shù)乘積，簡(jiǎn)稱反 三角函數(shù)型，這時(shí)普通設(shè)或d被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積，簡(jiǎn)稱三角指數(shù)型，這時(shí)可任意設(shè)第18頁(yè)第18頁(yè)6簡(jiǎn)樸有理函數(shù)不定積分，可用換元法計(jì)算（1）形如，可通過(guò)配辦法或拆項(xiàng)法計(jì)算 （2）形如第19頁(yè)第19頁(yè)1基本概念是全體原函數(shù)，即不定積分是一族曲線，它們共同點(diǎn)是曲線上點(diǎn)切線斜率都是三、例題及闡明，則一個(gè)原函數(shù)，是若第20頁(yè)第20頁(yè)兩種不同積分方法普通會(huì)得到結(jié)果，這并不矛盾， 可用導(dǎo)數(shù)來(lái)檢驗(yàn)例1 設(shè)，求（1）全體原函數(shù)；或通

7、過(guò)恒等變形來(lái)檢查（2）把代入不定積分，得則所求一個(gè)原函數(shù)是時(shí)一個(gè)原函數(shù)（2）滿足條件：當(dāng)，也能夠用湊微分法解 （1）第21頁(yè)第21頁(yè)2基本積分公式和性質(zhì)利用（2）（3）（4）（5）（6）例1 求（1）第22頁(yè)第22頁(yè)解 （1）原式（2）原式（3）原式第23頁(yè)第23頁(yè)（4）原式（5）原式（6）原式第24頁(yè)第24頁(yè)3第一換元法（湊微分）（2）（3）（4）（5）（6）例1 求（1）第25頁(yè)第25頁(yè)解 （1）原式（2）原式（3）原式第26頁(yè)第26頁(yè)（4）原式（5）原式（6）原式第27頁(yè)第27頁(yè)4第二換元法（2）（3）（4）例1 （1）第28頁(yè)第28頁(yè)解 （1）設(shè)，則原式（2）設(shè)，則原式 第29頁(yè)第29頁(yè)（3）設(shè)，則原式 （） 第30頁(yè)第30頁(yè)（4）設(shè)，則原式第31頁(yè)第31頁(yè)5分部積分法（2）（3）例1 求積分（1）解 （1）設(shè)，則于是第32頁(yè)第