2021-2022學(xué)年河北省永年縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題

2、卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，如圖所示，其中，由右橢圓的焦點(diǎn)和左橢圓的焦點(diǎn)，確定叫做“果圓”的焦點(diǎn)三角形，若“果圓”的焦點(diǎn)為直角三角形則右橢圓的離心率為（ ）ABCD2如圖所示十字路口來(lái)往的車輛，如果不允許回頭，共有不同的行車路線有( )A24種B16種C12種D10種36名同學(xué)安排到3個(gè)社區(qū)，參加志愿者服務(wù)，每個(gè)社區(qū)安排兩名同學(xué)，其中甲同學(xué)必須到社區(qū)，乙和丙同學(xué)均不能到社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（ ）A5B6C9D124袋中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，不放回的依次摸出兩

3、球，在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率是A BC D5已知，則的值為（）ABCD6甲乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組， ， 可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組，則兩人參加同一個(gè)小組的概率為（ ）A B C D7從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高（單位：）與體重（單位：）數(shù)據(jù)如下表：1651651571701751651551704857505464614359若已知與的線性回歸方程為，那么選取的女大學(xué)生身高為時(shí)，相應(yīng)的殘差為（ ）AB0. 96C63. 04D8若，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為A8B16C24D609函數(shù)導(dǎo)數(shù)是( )ABCD10魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作九章算

4、術(shù)注中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，劉徽通過計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為：若正方體的棱長(zhǎng)為2，則“牟合方蓋”的體積為A16BCD11定積分（ ）A0BCD12已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.14若函數(shù)，若，則=_15已知，且，則_16若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程根.(1)求的

5、值；(2)復(fù)數(shù)滿足是實(shí)數(shù)，且，求復(fù)數(shù)的值.18（12分）設(shè)，函數(shù).（1）若，極大值；（2）若無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：.19（12分）已知函數(shù).（）若在處有極小值，求實(shí)數(shù)的值；（）若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍20（12分）已知一次函數(shù)f(x)滿足：f(1)=2, f(2x)=2f(x)-1.(1) 求f(x)的解析式;(2) 設(shè), 若|g(x)|af(x)a0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21（12分）設(shè)，（）如果存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；（）如果對(duì)于任意的都有f(s)g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22（

6、10分）已知函數(shù)（1）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)， .參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)“果圓”關(guān)于軸對(duì)稱，可得是以為底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立關(guān)于，之間的關(guān)系式，求出結(jié)果.【詳解】解：連接，根據(jù)“果圓”關(guān)于軸對(duì)稱，可得是以為底的等腰三角形，是直角三角形，.又和分別是橢圓和 的半焦距，即.，.即，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.2、C【解析】根據(jù)題意，車的行駛路線起點(diǎn)有4種，行駛方向有3種，所以行車路線共有種，故選C

7、. 3、C【解析】分析：該題可以分為兩類進(jìn)行研究，一類是乙和丙之一在A社區(qū)，另一在B社區(qū)，另一類是乙和丙在B社區(qū)，計(jì)算出每一類的數(shù)據(jù)，然后求解即可.詳解：由題意將問題分為兩類求解：第一類，若乙與丙之一在甲社區(qū)，則安排種數(shù)為種；第二類，若乙與丙在B社區(qū)，則A社區(qū)還缺少一人，從剩下三人中選一人，另兩人去C社區(qū)，故安排方法種數(shù)為種；故不同的安排種數(shù)是種，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)分類加法計(jì)數(shù)原理，在解題的過程中，對(duì)問題進(jìn)行正確的分類是解題的關(guān)鍵，并且需要將每一類對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)正確算出.4、D【解析】通過條件概率相關(guān)公式即可計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)“第一次摸到紅球”為事件A，“第二次摸到紅球”為事件B

8、，而，故，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率的相關(guān)計(jì)算，難度不大.5、B【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求得，從而得到，代入得到結(jié)果.【詳解】由題意：，則解得： 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)值的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過導(dǎo)函數(shù)求得，從而確定導(dǎo)函數(shù)的解析式.6、A【解析】依題意，基本事件的總數(shù)有種，兩個(gè)人參加同一個(gè)小組，方法數(shù)有種，故概率為.7、B【解析】將175代入線性回歸方程計(jì)算理論值，實(shí)際數(shù)值減去理論數(shù)值得到答案.【詳解】已知與的線性回歸方程為當(dāng)時(shí)： 相應(yīng)的殘差為：故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了殘差的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、C【解析】因?yàn)樗缘耐?xiàng)公式為令，即二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)是，故選C

9、.9、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則求導(dǎo)即可【詳解】， 故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題10、C【解析】由已知求出正方體內(nèi)切球的體積，再由已知體積比求得“牟合方蓋”的體積【詳解】正方體的棱長(zhǎng)為2，則其內(nèi)切球的半徑，正方體的內(nèi)切球的體積，又由已知，故選C【點(diǎn)睛】本題考查球的體積的求法，理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題11、C【解析】利用微積分基本定理求出即可【詳解】.選C.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)12、D【解析】分析：求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，推出不等式，利用基本不等式求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果即可詳解：函數(shù)，可得f（x）=x2mx+1，函數(shù)在區(qū)

10、間1，2上是增函數(shù)，可得x2mx+10，在區(qū)間1，2上恒成立，可得mx+，x+2=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=2，時(shí)取等號(hào)、可得m1故選：D點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查最值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上大于0有解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】對(duì)命題進(jìn)行化簡(jiǎn)，將轉(zhuǎn)化為等價(jià)命題，即可求解.【詳解】又是的充分條件，即，它的等價(jià)命題是 ，解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了四種命題的關(guān)系，注意原命題與逆否命題的真假相同是解題的關(guān)鍵.14、【解析】本

11、題首先可以對(duì)分段函數(shù)進(jìn)行研究，確定每一個(gè)分段函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式以及取值范圍，然后先計(jì)算出的值，再對(duì)與之間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后得出結(jié)果【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)所以，若即則解得（舍去），若，即，則解得，綜上所述，答案為【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題考查分段函數(shù)的時(shí)候一定要能夠?qū)γ恳粋€(gè)取值范圍所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式有一個(gè)確定的認(rèn)識(shí)15、【解析】利用復(fù)數(shù)相等的條件和復(fù)數(shù)的模運(yùn)算可以求得.【詳解】由復(fù)數(shù)相等得： 解得： 故答案為【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.16、 1，)【解析】函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間恒大于等于0，故三、解答

12、題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、 (1) (2) 或.【解析】（1）實(shí)系數(shù)方程虛根是互為共軛復(fù)數(shù)的，得出另一根為，根據(jù)韋達(dá)定理即可得解.(2) 設(shè),由是實(shí)數(shù)，得出關(guān)于的方程 ，又得的另一個(gè)方程，聯(lián)立即可解得的值，即得解.【詳解】（1）實(shí)系數(shù)方程虛根是互為共軛復(fù)數(shù)的，所以由共軛虛根定理另一根是，根據(jù)韋達(dá)定理可得.（2）設(shè)，得又得,所以或，因此或w=.【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對(duì)原理、根與系數(shù)的關(guān)系，復(fù)數(shù)的乘法及模的運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題18、（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】分析：（1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可知的極大值為；（2

13、） ，就分類討論即可；（3）根據(jù)可以得到，因此原不等式的證明可化為，可用導(dǎo)數(shù)證明該不等式.詳解:（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故的極大值為.（2），若時(shí)，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)；若，有唯一零點(diǎn)；若，令，得，在區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)；故在區(qū)間上，的極大值為，由于無(wú)零點(diǎn)，須使，解得，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是（3）由已知得， 所以，故等價(jià)于即不妨設(shè)，令，則，在上為單調(diào)增函數(shù)，所以即，也就是，故原不等式成立點(diǎn)睛： 導(dǎo)數(shù)背景下的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，應(yīng)該根據(jù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理來(lái)說明而要證明零點(diǎn)滿足的不等式，則需要根據(jù)零點(diǎn)滿足的等式構(gòu)建新的目標(biāo)等式，從而把要求證的不等式轉(zhuǎn)化

14、為易證的不等式19、（）；（） .【解析】（）由題可得，解方程組求得答案；（）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增即在上恒成立，所以恒成立，進(jìn)而求得答案【詳解】（） 依題意得，即解得，故所求的實(shí)數(shù)；（）由（）得在定義域內(nèi)單調(diào)遞增 在上恒成立即恒成立時(shí)， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)以及利用導(dǎo)函數(shù)解答恒成立問題，屬于一般題20、 (1) f(x)=x+1.(2) a0.【解析】分析：（1）待定系數(shù)法即可求得f(x)的解析式；（2）分類討論、分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合都可以解決.詳解：(1)設(shè)f(x)=kx+b，則解得：k=b=1, 故f(x)=x+1.(2) 由(1)得:g(x)|g(x)|af(

15、x)a0可化為|g(x)|ax.|g(x)|由|g(x)|ax可分兩種情況：(I)恒成立若x0，不等式顯然成立；若x0時(shí)，不等式等價(jià)于x2a.x22，a2.(II)恒成立方法一分離參數(shù)：可化為a在(0, )上恒成立。令h(x)=,則h(x)= =令t(x)=x(x+1)ln(x+1), 則由t(x)=-ln(x+1)0知t(x)在(0, )上單調(diào)遞減,故t(x)t(0)=0，于是h(x)0時(shí),恒有h(x)= 0于是a0.方法二分類討論：ln(x+1)axln(x+1)ax0令(x)= ln(x+1)ax，則(x)=a=當(dāng)a0時(shí), (x)在(0,)上單調(diào)遞增,故有(x) (0)=0成立;當(dāng)0a1

16、時(shí), (x)在(0,1)上單調(diào)遞增, 在(1)是遞減.取x=1, 易知(1)=-2lna+a0，故不合題意；當(dāng)a1時(shí), (x)在(0,)上單調(diào)遞減，顯然不合題意。所以a0.方法三數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)圖象可知a0.綜合(1)(2)得2a0.點(diǎn)睛：本題主要考查不等式恒成立問題，一般常用方法是構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)、分離參數(shù)、分類討論是解決這種問題常用的方法.21、（）M4；（）1，).【解析】分析：（I）存在x1、x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立等價(jià)于g（x）maxg（x）minM；（II）對(duì)于任意的s、t，2，都有f（s）g（t）成立等價(jià)于f（x）g（x）max，進(jìn)一步利用分離參數(shù)法，即可求得實(shí)數(shù)

17、a的取值范圍；詳解：（I）存在x1、x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立等價(jià)于g（x）maxg（x）minMg（x）=x3x23，g（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，2）上單調(diào)遞增g（x）min=g（）=，g（x）max=g（2）=1g（x）maxg（x）min=滿足的最大整數(shù)M為4；（II）對(duì)于任意的s、t，2，都有f（s）g（t）成立等價(jià)于f（x）g（x）max由（I）知，在，2上，g（x）max=g（2）=1在，2上，f（x）=+xlnx1恒成立，等價(jià)于axx2lnx恒成立記h（x）=xx2lnx，則h（x）=12xlnxx且h（1）=0當(dāng)時(shí)，h（x）0；當(dāng)1x2時(shí)，h（x）0函數(shù)

18、h（x）在（，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，h（x）max=h（1）=1a1點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.22、 (1) ；(2)證明見解析【解析】（1）解法一：求得函數(shù)導(dǎo)數(shù)并通分，對(duì)分成兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、最值，求得實(shí)數(shù)的取值范圍.解法二：將原不等式分離常數(shù)，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則，求得的取值范圍，由此求得的取值范圍.（2）解法一：先由（1）的結(jié)論，證得當(dāng)時(shí)成立.再利用導(dǎo)數(shù)證得當(dāng)時(shí)，也成立，由此證得不等式成立.解法二：將所要證明的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，進(jìn)而證得，也即證得.【詳解】解：（1）【解法一】由得：當(dāng)時(shí)，由知，在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).這時(shí)當(dāng)時(shí)，令，則即在上為減函數(shù)，所以即在上的最小值，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，不可能恒成立，即有不滿足題意.綜上可知，當(dāng)，使恒成立時(shí)，的取值范圍是.【解法二】當(dāng)時(shí)，等價(jià)于令，則只須使