數(shù)學(xué)概念的歷史的理解及線性代數(shù)課程特點(diǎn)和學(xué)習(xí)要求課件

1、唐林煒數(shù)學(xué)概念的歷史理解一、什么是數(shù)學(xué)歷史的理解 數(shù)學(xué)本身是一個(gè)歷史的概念，數(shù)學(xué)的內(nèi)涵隨著時(shí)代的變化而變化，給數(shù)學(xué)下一個(gè)一勞永逸的定義是不可能的，我們?cè)谶@里就從歷史的角度來說一下“什么是數(shù)學(xué)”這個(gè)問題。1、公元前4世紀(jì)希臘哲學(xué)家亞里士多德將數(shù)學(xué)定義為：“數(shù)學(xué)是量的科學(xué)” 亞里士多德 其中“量”的涵義是模糊的，它包含了古埃及，巴比倫，印度和中國(guó)等地區(qū)發(fā)展起來的數(shù)學(xué)，主要是計(jì)數(shù)。 初等算術(shù)與算法，幾何學(xué)則可以看作是應(yīng)用算術(shù)；還包含了希臘對(duì)“形”的研究，希臘人主要對(duì)幾何感興趣，他們將數(shù)放在幾何形式下去考察。 這表明當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)與形的研究，從那時(shí)起直到17世紀(jì)，數(shù)學(xué)對(duì)象沒有本質(zhì)的變化。 2、19

2、世紀(jì)恩格斯將數(shù)學(xué)定義為：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué) 恩 格 斯牛 頓萊布尼茲 3、19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)本身的興趣空前增長(zhǎng)，除了現(xiàn)實(shí)世界的材料，他們更多關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)部的需求，抽象代數(shù)，非歐幾何以及嚴(yán)格化的分析都是這 類內(nèi)部需要的產(chǎn)物,數(shù)學(xué)發(fā)生本質(zhì)的變化。 因此,19世紀(jì)后期開始，數(shù)學(xué)成為研究數(shù)與形，運(yùn)動(dòng)與變化以及研究數(shù)學(xué)自身問題的學(xué)問。 20世紀(jì)50年代前蘇聯(lián)一批有影響的數(shù)學(xué)家修改恩格斯給出的定義來概括現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的特征： 現(xiàn)代數(shù)學(xué)就是各種量之間的可能，一般說是各種變化著的量的關(guān)系和相互聯(lián)系的科學(xué)。 上面的定義，不再區(qū)分“數(shù)”與“形”，又回到亞里士多德對(duì)數(shù)學(xué)最早的定義中使用過的

3、“量”，但這個(gè)量卻被賦予了豐富的現(xiàn)代涵義：它不僅包括現(xiàn)實(shí)世界的各種空間形式與數(shù)量關(guān)系,而且包括了一切可能的空間形式與數(shù)量關(guān)系 這一定義實(shí)際上是用“模式”代替了“量”，而所謂”模式“有著極廣泛的內(nèi)涵，包括數(shù)的模式，形的模式，運(yùn)動(dòng)與變化的模式，推理與通信的模式，行為的模式。 這些模式可以是現(xiàn)實(shí)的，也可以是想象的；可以是定量的，也可以是定性的。 數(shù)學(xué)的這一新定義，以其高度的概括性，已日益引起關(guān)注并獲得大多數(shù)數(shù)學(xué)家的認(rèn)同與接受。 我希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能以“模式”觀點(diǎn)來觀察問題,分析解決,解決問題。 同學(xué)們將在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中通過一個(gè)個(gè)模式的學(xué)習(xí)，領(lǐng)悟近幾百年許多杰出科學(xué)家觀察世界的思維方式，提

4、升自身的能力與素質(zhì)。 大學(xué)與中學(xué)學(xué)習(xí)的不同之處，除了傳授知識(shí)外，更重要的是借助知識(shí)讓你領(lǐng)悟科學(xué)家是如何觀察問題、分析問題、解決問題的，引導(dǎo)你今后能像科學(xué)家一樣觀察問題、分析問題、解決問題。二、線性代數(shù)課程的特點(diǎn) 1、高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)是工科院校學(xué)生的三大基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課。 線性代數(shù)是研究有限維空間中線性關(guān)系的理論和方法的數(shù)學(xué)，是代數(shù)的一個(gè)分支起源于17世紀(jì)。 與高等數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課相比，線性代數(shù)課程的特點(diǎn)在于內(nèi)容抽象，定義、定理多，尤其向量和矩陣部分最為典型，需要較強(qiáng)的抽象思維與邏輯推理能力，這對(duì)于工科學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)。 3、線性代數(shù)課程類似平面幾何，但是它又比平面幾何更抽象，

5、如果不能熟悉有關(guān)定義、定理、性質(zhì)及命題等，思維將出現(xiàn)斷層，學(xué)習(xí)將無法進(jìn)行。 這里我們?cè)俅螐?qiáng)調(diào)：同學(xué)們要關(guān)注定義、定理、性質(zhì)及命題等的記憶、理解和應(yīng)用。 線性代數(shù)課程課時(shí)少、進(jìn)度快，因此要求同學(xué)加強(qiáng)課前預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)。4、線性代數(shù)課程教學(xué)學(xué)時(shí)及知識(shí)分布概況 我校工科線性代數(shù)課程學(xué)時(shí)為36學(xué)時(shí)，即授課次數(shù)為18次。在線性代數(shù)課程中，我們大約要給出 個(gè)概念、定義138個(gè)；129個(gè)定理、性質(zhì)、算律。 第一章行列式(8學(xué)時(shí),4次課) 概念、定義等18個(gè)；定理、性質(zhì)、算律等20個(gè)。 第二章矩陣及其運(yùn)算(6學(xué)時(shí),3次課) 概念、定義等41個(gè)；定理、性質(zhì)、算律等33個(gè)。三、關(guān)于作業(yè) 1、 課本上：第一章14道

6、題；第二章16道題； 第三章16道題；第四章20道題；第五章16道題。 2、補(bǔ)充題：第一章10道題；第二章13道題； 第三章16道題；第四章20道題；第五章19道題。 3、課本上的有解答請(qǐng)自學(xué)。補(bǔ)充題每章講完 后交作業(yè)，要求詳解和書寫工整。 4、2或3人組成一個(gè)小組，要求具有互補(bǔ)性，作業(yè)以組為單位交，平時(shí)成績(jī)以組為單位記。 四、線性代數(shù)課程考試 1、試題分類: 計(jì)算類題型60%；證明類題型30%；綜合題10% 2、試題題型:填空題30分；客觀題70分 3、考試時(shí)間為120分鐘，平均每道題大約8.5分鐘 4、最終成績(jī): 平時(shí)綜合成績(jī)(30%)與課程考試卷面成績(jī)(70%) 形成最終課程成績(jī)。五、在

7、線性代數(shù)學(xué)習(xí)中幾種常用的技巧與方法1、聯(lián)想： 客觀事物是相互聯(lián)系的，客觀事物或現(xiàn)象之間的各種關(guān)系和聯(lián)系反映在人腦中而有各種聯(lián)想，有反映事物外部聯(lián)系的簡(jiǎn)單的、低級(jí)的聯(lián)想，也有反映事物內(nèi)部聯(lián)系的復(fù)雜的、高級(jí)的聯(lián)想。 一般來說，在空間上和時(shí)間上只要某一個(gè)事物出現(xiàn)，就會(huì)在頭腦中引起與之相聯(lián)系的另一些事物的出現(xiàn)，這便是聯(lián)想。 2、歸納法： 歸納是根據(jù)對(duì)某類事務(wù)中具有代表性的部分對(duì)象及其屬性之間必然聯(lián)系的認(rèn)識(shí),從而得出一般性結(jié)論的方法。 歸納是對(duì)個(gè)別事務(wù)、現(xiàn)象進(jìn)行觀察研究,而慨括出一般性的知識(shí)。 歸納方法在科學(xué)研究、技術(shù)發(fā)展和管理決策過程中均具有重要的作用。 3、化歸思想： 所謂化歸思想方法，就是在研究和

8、解決問題時(shí) ，將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題；將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題。 化歸在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在，化歸的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡(jiǎn)單，抽象化成直觀。說到底，要善于對(duì)所要解決的問題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使問題得以解決。 化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。4、反證法： 反證法是在已知條件不變的情況下,假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后通過推導(dǎo)產(chǎn)生矛盾，從而肯定了命題的結(jié)論，命題獲得了證明。 反證法在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用。當(dāng)論題從正面不容易或不能得到證明時(shí)，就需要運(yùn)用反證法，此即所謂正難則反。反證

9、法的證題可以簡(jiǎn)要的概括為“否定得出矛盾否定”。即從否定結(jié)論開始，推出矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是辯證法中的“否定之否定”。 如果一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)列中任一項(xiàng) 可以由它前面的 項(xiàng)經(jīng)過運(yùn)算或其他方法表示出來，我們就稱相鄰之間有遞推關(guān)系并稱這種公式為遞推關(guān)系式。通過尋求遞推關(guān)系來解決問題的方法就稱為遞推方法。 許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題都常常具有遞推關(guān)系，可以用遞推關(guān)系來表達(dá)它的數(shù)量關(guān)系。尋求遞推關(guān)系的常用方法是“退”到問題最簡(jiǎn)單情況開始觀察，逐步歸納并且猜想出一般的遞推關(guān)系。 6、數(shù)學(xué)歸納法： 最簡(jiǎn)單和常見的數(shù)學(xué)歸納法是證明：當(dāng) 等于任意一個(gè)自然數(shù)時(shí)某命題成立。 證明分下面三步： 驗(yàn)證：當(dāng) 時(shí)命題成立。 假設(shè)：在 時(shí)命題成立。 證明：在 時(shí)命題也成立。（ 代表任意自然數(shù)） 人類的思維具有方向性，存在著正向與反向之差異。一般認(rèn)為，正向思維是指沿著人們的習(xí)慣性思考路線去思考，而反向思維則是指背逆人們的習(xí)慣路線去思維。 人們解決問題時(shí)，習(xí)慣于按照熟悉的常規(guī)的思維路徑去思考，即采用正向思維，有時(shí)能找到解決問題的方法，收到令人滿意的效果。然而，實(shí)踐中也有很多事例，對(duì)某些問題利用正向思維卻不易找到正確答案，一旦運(yùn)用反向思維，常常會(huì)取得意想不到的功效。這說明反向思維是擺脫常規(guī)思維