數(shù)字圖像處理中的圖像變換課件

1、第三講 圖像變換劉春國(guó)河南理工大學(xué)測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院圖像與圖像變換圖像的表示空間域頻率域?qū)D像看成是線性疊加系統(tǒng)圖像由像素組成，像素在圖像空間中按某種規(guī)律排列的，圖像在空間域上具有很強(qiáng)的相關(guān)性。圖像變換是將圖像從空間域變換到其它域如頻率域的數(shù)學(xué)變換圖像變換的目的在于：使圖像處理問(wèn)題簡(jiǎn)化；有利于圖像特征提??；有助于從概念上增強(qiáng)對(duì)圖像信息的理解。圖像變換概述圖像變換通常是一種二維正交變換。一般要求正交變換：正交變換必須是可逆的； 正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜；圖像正交變換正交變換的特點(diǎn)是在變換域中圖像能量將集中分布在低頻率成分上，邊緣、線狀信息反映在高頻率成分上。借助于正交變換的特性可使得在

2、空間域上的復(fù)雜計(jì)算轉(zhuǎn)換到頻率域后得到簡(jiǎn)化，更有利于獲得圖像的各種特性和進(jìn)行特殊處理線性系統(tǒng)系統(tǒng)的定義：接受一個(gè)輸入，并產(chǎn)生相應(yīng)輸出的任何實(shí)體，系統(tǒng)的輸入是一個(gè)或兩個(gè)變量的函數(shù)，輸出是相同變量的函數(shù)線性系統(tǒng)的定義：對(duì)于某特定系統(tǒng)有：x1(t)-y1(t)x2(t)-y2(t)該系統(tǒng)是線性的，當(dāng)且僅當(dāng)：x1(t)+ x2(t)- y1(t)+ y2(t)線性系統(tǒng)移不變性線性系統(tǒng)移不變性的定義：對(duì)于某線性系統(tǒng)，有x (t)-y(t)當(dāng)輸入信號(hào)沿時(shí)間軸平移T，有：x(t-T)-y(t-T)則稱該線性系統(tǒng)具有移不變性LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)：激勵(lì)為零時(shí)，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)所引

3、起的響應(yīng)yx(t)；零狀態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，僅有輸入信號(hào)f(t)所引起的響應(yīng)yf(t)LTI系統(tǒng)的完全響應(yīng)為y(t)= yx(t)+ yf(t)單位沖激響應(yīng)：LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，由輸入單位沖激信號(hào)(t)所引起的單位沖激響應(yīng)h(t)，它與零輸入響應(yīng)具有相同的函數(shù)形式卷積定義對(duì)于一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入f(t)和輸出y(t),其間必定存在關(guān)系：h(t)稱為線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)函數(shù)，其含義為：當(dāng)線性系統(tǒng)輸入f(t)為單位脈沖函數(shù)時(shí)，線性系統(tǒng)的輸出響應(yīng)上式稱之為卷積積分，兩個(gè)函數(shù)的卷積運(yùn)算是將一個(gè)函數(shù)反折平移后與另一個(gè)函數(shù)相乘，并計(jì)算積函數(shù)的積分卷積過(guò)程狄拉克函數(shù)脈沖函數(shù)（）

4、函數(shù)性質(zhì)函數(shù)的一個(gè)重要特性就是采樣特性(據(jù)廣義函數(shù)定義)。即:當(dāng)=0時(shí)位移性函數(shù)的另一個(gè)重要特性就是位移性。即使用函數(shù)與另一個(gè)輸入函數(shù)作卷積，輸出僅依賴于影響和被影響變量之間的相對(duì)位置，而與實(shí)際位置不相關(guān)用卷積符號(hào) * 表示為因此還有點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)當(dāng)輸入為單位脈沖(x,y)時(shí)，系統(tǒng)的輸出便稱為脈沖響應(yīng)，用h (x ， y)表示。在圖像處理中，它便是對(duì)點(diǎn)源的響應(yīng)，稱為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。用圖表示為:當(dāng)輸入的單位脈沖函數(shù)延遲了、單位，即當(dāng)輸入為(x-,y)時(shí)，如果輸出為h(x, y)，則稱此系統(tǒng)為位移不變系統(tǒng)。點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)與二維線性位移不變系統(tǒng)對(duì)于一個(gè)二維線性位移不變系統(tǒng)，如果輸入為f(x,y),輸出為g(x,

5、y)，系統(tǒng)加于輸入的線性運(yùn)算為T ，則有上式表明，線性位移不變系統(tǒng)的輸出等于系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)脈沖響應(yīng)（點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)）的卷積?；ハ嚓P(guān)函數(shù)給定兩個(gè)函數(shù)f(t)和g(t),它們的互相關(guān)函數(shù)定義為：互相關(guān)函數(shù)可以反映兩個(gè)函數(shù)在不同的相對(duì)位置上互相匹配的程度如果g(t)是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(t),那么輸出為輸入圖像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)。3.2 傅立葉變換傅立葉級(jí)數(shù)：周期函數(shù)對(duì)于周期函數(shù)，我們可以將它展開成由簡(jiǎn)單的周期函數(shù)例如三角函數(shù)組成的級(jí)數(shù)。函數(shù)sinx是一種簡(jiǎn)單的正弦周期函數(shù)，描述如下：是以2/ 為周期的正弦函數(shù)。其中A振幅，為角頻率，為初相，t表示時(shí)間，y表示動(dòng)點(diǎn)的位置傅立葉級(jí)數(shù)：非正弦周期函數(shù)為了研

6、究非正弦周期函數(shù)，可以將周期為T=2/ 的周期函數(shù)用一系列以T為周期的正弦函數(shù)的級(jí)數(shù)來(lái)表示，記為：其中A0,An, n 是常數(shù)，n=1,2,3這樣就可以把一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)看作是許多不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加傅立葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)系的正交性即：sinx,cosx,sin2x,cos2x,sinnx,cosnx,在區(qū)間-,上正交，就是指在三角函數(shù)系中任何兩個(gè)函數(shù)的乘積在區(qū)間-,上的積分等于零。傅立葉級(jí)數(shù)如周期函數(shù)可展成三角級(jí)數(shù)當(dāng)該級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分,且f(x)的系數(shù)a0,an,bn都存在，可求其系數(shù)：那么函數(shù)f(x)的三角級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)一個(gè)周期為T的函數(shù)f(t)在-T/2,

7、T/2上滿足狄利克雷（Dirichlet)條件，則在-T/2,T/2可以展成傅立葉級(jí)數(shù)其復(fù)數(shù)形式為：cn為：可見(jiàn)，傅立葉級(jí)數(shù)清楚地表明了信號(hào)由哪些頻率分量組成及其所占的比重，從而有利于對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析與處理一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換令f(x)為實(shí)變量x的連續(xù)函數(shù)，f(x) 的傅立葉變換用F(u)表示，則定義式為：若已知F(u)，則傅立葉反變換為：上兩個(gè)式子稱為傅立葉變換對(duì)傅立葉變換傅立葉變換中出現(xiàn)的變量u 通常稱為頻率變量這里f(x)是實(shí)函數(shù)，它的傅立葉變換F(u)通常是復(fù)函數(shù)。F(u)的實(shí)部、虛部、振幅、能量和相位分別表示如右。其中振幅又稱振幅譜，或傅立葉譜、或稱頻譜。頻譜的平方稱能量譜 根據(jù)歐

8、拉公式可以展開成傅立葉變換傅立葉變換的目的傅立葉變換建立了函數(shù)在空間域與頻率域之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，把空間域中的問(wèn)題轉(zhuǎn)換到頻率域中求解。求一個(gè)函數(shù)的傅立葉變換就是求它的頻譜，即求它的各頻率分量及分量所占的比重通常稱傅立葉變換前變量變化的空間為空間域，而稱傅立葉變換后變量變化的空間為頻率域傅立葉變換變換分析的直觀說(shuō)明二維函數(shù)的傅立葉變換二維函數(shù)的傅立葉變換可由一維推廣，如果f(x,y)是連續(xù)和可積的，存在如下傅立葉變換對(duì)：二維函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜分別為 |F(u，v)=R2(u，v)+I2 (u，v)1/2 (u，v)=tan-1 I(u，v)R(u，v) E(u，v)=R2(u，v)+I2(

9、u，v) 離散函數(shù)的傅立葉變換假定取間隔x單位的抽樣方法將一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x)離散化為一個(gè)序列f(x0),f(x0+x),，fx0+(N-1)x，如圖所示。 那么離散序列f(x)可以表示為f(x)=f(x0+ix)，其中i取離散值0,1,2,3,n-1。即用序列f(0)，f(1)，f(2)，f(N-1)代替f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x。一維離散函數(shù)的傅立葉變換連續(xù)函數(shù)f(x)經(jīng)離散采樣后，形成一函數(shù)序列f(x)= f(x0+xx),仿照一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換可以給出離散函數(shù)的傅立葉變換定義為右上式：傅立葉反變換為：離散傅立葉變換的例子例如：對(duì)一維信號(hào)f(x)=1 0 1

10、0進(jìn)行傅立葉變換。由得 u=0時(shí)，u=1時(shí),u=2時(shí),u=3時(shí),在N=4時(shí)，傅立葉變換以矩陣形式表示為在二維離散的情況下，傅立葉變換對(duì)表示為 F(u，v)=式中u=0，1，2，M-1；v=0，1，2，N-1。 f(x，y)= 式中 x=0，1，2，M-1；y=0，1，2，N-1。一維和二維離散函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜也分別由前面式子給出，唯一的差別在于獨(dú)立變量是離散的。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)一幅圖像進(jìn)行傅立葉變換運(yùn)算量很大，不直接利用以上公式計(jì)算。采用傅立葉變換快速算法。二維離散函數(shù)的傅立葉變換圖像傅立葉變換例子原圖離散傅立葉變換后的頻域圖二維離散傅立葉變換的若干性質(zhì)離散傅立葉變換建立了函數(shù)在空間域與頻率域之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。在數(shù)字圖像處理中，經(jīng)常要利用這種轉(zhuǎn)換關(guān)系及其轉(zhuǎn)換規(guī)律，因此，下面將介紹離散傅立葉變換的若干重要性質(zhì)。1周期性和共軛對(duì)稱性若離散的