小學(xué)奧數(shù) 加法原理之樹形圖及標(biāo)數(shù)法.學(xué)生版

1、教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生掌握加法原理的基本內(nèi)容；2.掌握加法原理的運(yùn)用以及與乘法原理的區(qū)別；3.培養(yǎng)學(xué)生分類討論問題的能力，了解分類的主要方法和遵循的主要原則養(yǎng)學(xué)生分類討論問題的習(xí)慣，鍛煉思維的周全細(xì)致知識要點(diǎn)一、加法原理概念引入生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時，有幾類不同的方法，而每就要用加法原理來解決例如:王老師從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次火車從北京到天津，有 4趟長途汽車從北京到天津那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個問題發(fā)現(xiàn)，王老師去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有這兩大類走法，如果乘火車，有 5種走法，如果乘長途汽車，有 4種走法上面

2、的每一種走法都可以從北京到天津，故共有 5+4=9種不同的走法在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法在具體做的時候，只要采用一類中的一種方法就可以完成并且兩大類方法是互無影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二類的方法數(shù)二、加法原理的定義一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有 種不同做法，第m1二類方法中有 種不同做法，第 k類方法中有 種不同做法，則完成這mm2k種不同方法，這就是加法原理件事共有N m m m12k方法都能完成任務(wù)，這樣的問題可以使用加法原理解決我們可以簡記為：“加法分類，類類獨(dú)立”個標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次，分類時要注意滿足兩條基本原則：

3、完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法只有滿足這兩條基本原則，才可以保證分類計數(shù)原理計算正確運(yùn)用加法原理解題時，關(guān)鍵是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，然后再針對各類逐一計數(shù)通俗地說，就是“整體等于局部之和”三、加法原理解題三部曲1、完成一件事分N 類；3、類類相加枚舉法：枚舉法又叫窮舉法，就是把所有符合條件的對象一一列舉出來進(jìn)行計數(shù)分類討論的時候經(jīng)常會需要把每一類的情況全部列舉出來，這時的方法就是枚舉法枚舉的時候要注意順序，這樣才能做到不重不漏例題精講模塊一、樹形圖法程不僅形象直觀，而且有條理又不重復(fù)遺漏，使人一目了然A、B、C三個小朋友互相傳球，先從 A開始發(fā)球(作為

4、第一次傳球)，這樣經(jīng)過了 5次傳球后，球恰巧又回到 A手中，那么不同的傳球方式共多少種？ 】【考點(diǎn)】加法原理之樹形圖法解答【難度】3星【題型】【關(guān)鍵詞】2005年，小數(shù)報如圖， 第一次傳給 ，到第五次傳回 有 5種不同方式ABA同理， 第一次傳給 ，也有 5種不同方式AC所以，根據(jù)加法原理，不同的傳球方式共有5510種BCCBACABABCCAB【答案】10【鞏固】一只青蛙在三點(diǎn)之間跳動，若青蛙從A點(diǎn)跳起，跳4次仍回到A點(diǎn)，則這只青蛙一共有多少種不同的跳法？【考點(diǎn)】加法原理之樹形圖法解答6種，如圖，第1步跳到 步回到 有3種方法；同樣第1步到 的【難度】3星【題型】BAC也有3種方法根據(jù)加法原

5、理，共有336種方法BCAAAABCBA【答案】6甲、乙二人打乒乓球，誰先連勝兩局誰贏，若沒有人連勝頭兩局，則 】【考點(diǎn)】加法原理之樹形圖法解答【解析】如下圖，我們先考慮甲勝第一局的情況：【難度】3星【題型】7 7種可能的情況一共有 77=14（種）可能的情況【答案】14如圖，從起點(diǎn)走到終點(diǎn)，要求取出每個站點(diǎn)上的旗子，并且每個站點(diǎn) 】只允許通過一次，有種不同的走法。起點(diǎn)終點(diǎn)【考點(diǎn)】加法原理之樹形圖法 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試，第3題【解析】efbcdedccbdefafaedeffcbd共 4種不同的走法。【答案】 種4模塊二、標(biāo)數(shù)法適用于最短路線問題，需要一步

6、一步標(biāo)出所有相關(guān)點(diǎn)的線路數(shù)量，最終得到到達(dá)終點(diǎn)的方法總數(shù)標(biāo)數(shù)法是加法原理與遞推思想的結(jié)合（一）簡單圖形的標(biāo)數(shù)法如圖所示，沿線段從 A到 B有多少條最短路線？ 】11364BECBDG23F111AA【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法答圖中 在 A A 星【題型】解B短，那么反過來想，如果到達(dá)了某一個點(diǎn)，也只有兩種可能：要么是后到達(dá)了 B，只有兩種可能：或者經(jīng)過 C來到 B點(diǎn)，或者經(jīng) D來到 B點(diǎn)，因此，到達(dá) B的走法數(shù)目就應(yīng)該是到達(dá) C點(diǎn)的走法數(shù)和到達(dá) D點(diǎn) C 和到達(dá) 的走法之EF和，到達(dá) 的走法也等于到達(dá) 和到達(dá) 的走法之和，這樣我們就歸納出：到達(dá)任何一點(diǎn)的走法都等于到它左側(cè)點(diǎn)走法數(shù)與到它下側(cè)點(diǎn)走法

7、DFG 各點(diǎn)的走法數(shù)如圖所示，使用標(biāo)號方法得到從 到 共有 10種不同的走法AAB【答案】10【鞏固】如圖，從 點(diǎn)到 點(diǎn)的最近路線有多少條？AB4310620104111BB23111A【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法A 星【題型】解答使用標(biāo)號法得出到 點(diǎn)的最近路線有 20條B【答案】20如圖，某城市的街道由 5條東西向馬路和 7條南北向馬路組成，現(xiàn)在要從西南角的 處沿最短的路線走到東北角 】AB不能通過，那么共有種不同走法CBB11115 15 35 55 811204 1020 20 26 393 6 10 C6 132 3 4 5 6 71 1 1 1 1 1CAA【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法答 星

8、【題型】解【解析】本題是最短路線問題要找出共有多少種不同走法，關(guān)鍵是保證不重也不漏，一般采用標(biāo)數(shù)法如上圖所示，共有 120種 到 的CAB C果對于從 到 的每一條最短路線，需要向右 6次，向上 4次，共有 10AB次向右或向上；而對于每一條最短路線，如果確定了其中的某 6次是向右的，那么剩下的 4次只能是向上的，從而該路線也就確定了這就說明從 到 的最短路線的條數(shù)等于從 10次向右或向上里面選擇 6AB次向右的種數(shù)，為 C610 種Cmmn本題中，從 到 的最短路線共有 種；從 到 的最短路線共有 種，mnABCA從 到 的最短路線共有 到 且必須經(jīng)過 的CC26106C B最短路線有CAB

9、C24種，所以，從 到 且不經(jīng)過 的最短路線有A B C種C C2264C C C 2109012062210【答案】64120如圖所示，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，如果要求經(jīng)過C點(diǎn)或D點(diǎn)的最近路線有多少條？ 】【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法答星【題型】解【解析】1、方格圖里兩點(diǎn)的最短路徑，從位置低的點(diǎn)向位置高的點(diǎn)出發(fā)的話，每到一點(diǎn)（如點(diǎn)）只能向前或者向上2、題問的是經(jīng)過C點(diǎn)，或者D點(diǎn)；那么A到B點(diǎn)就可以分成兩條路徑了 A-C-B；A-D-B，那么也就可以分成兩類但是需要考慮一個問題A到B點(diǎn)的最短路徑會同時經(jīng)過C和D點(diǎn)嗎？最短路徑只能往上往前，經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)C、D不會同時出現(xiàn)在最短路徑上了C最短路徑用標(biāo)數(shù)法標(biāo)出，同

10、樣C-B點(diǎn)用標(biāo)數(shù)法標(biāo)注，然后相乘A-D-B，同樣道理最后結(jié)果是735+420=1155條【答案】1155如圖為一幅街道圖，從 出發(fā)經(jīng)過十字路口 ，但不經(jīng)過 走到 的不B 】C1同的最短路線有 條.AD【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法答到各點(diǎn)的走法數(shù)如圖 所示.星【題型】解2D6 12 18D6 6 6BC1 36B C1 2 3AA 1 1所以最短路徑有 條.18【答案】18小王在一年中去少年宮學(xué)習(xí)56次，如圖所示，小王家在 點(diǎn)，他去少 】P年宮都是走最近的路，且每次去時所走的路線正好互不相同，那么少年宮在_點(diǎn)處PE人工湖CDB超市 A【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法答 點(diǎn)到 、 、 、 星【題型】解PA B

11、 C、 點(diǎn)的不同路線有多少條，其中，路線條數(shù)與小王學(xué)習(xí)次數(shù) 56相D E等的點(diǎn)即為少年宮因?yàn)?，從小王?點(diǎn)到 點(diǎn)共有不同線路 84條；到 點(diǎn)共有不同線路PAB56條；到 點(diǎn)共有不同線路 71條；到 點(diǎn)共有不同線路 15條；到 點(diǎn)C D共有不同線路 36條所以，少年宮在 點(diǎn)處EB【答案】B一只兔子沿著方格的邊從 到 ,規(guī)定上只能往上或往右走，但是必須）種不同的走法 】AB經(jīng)過一座獨(dú)木橋 ,這只兔子有（MNBMNA【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，初賽，第 15 題【解析】標(biāo)數(shù)法61218666111321631【答案】 種18在下圖的街道示意圖中，有幾

12、處街區(qū)有積水不能通行，那么從A到B 的最短路線有多少種？ 】A11111112345613141551A6111151122 B11 11 11B【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 星【題型】解答因?yàn)?在 的右下方，由標(biāo)號法可知，從 到 的最短路徑上，到達(dá)任ABAB何一點(diǎn)的走法數(shù)都等于到它左側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)與到它上側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)之 下來，可以從左上角開始，按照加法原理，依次向下向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù)如右上圖，從 到 的最短路線有 22條AB【答案】 條22（二）不規(guī)則圖形的標(biāo)數(shù)法在下圖的街道示意圖中，C處因施工不能通行，從 A到 B的最短路線有多少條？ 】3B1163B220CC122131A11A【考點(diǎn)】加

13、法原理之標(biāo)數(shù)法答因?yàn)?在 的右上方，由標(biāo)號法可知，從 到 的最短路徑上，到達(dá)任 星【題型】解BAAB何一點(diǎn)的走法數(shù)都等于到它左側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)與到它下側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)之和而 是一個特殊的點(diǎn)，因?yàn)椴荒芡ㄐ?，所以不可能有路線經(jīng)過 ，CC可以認(rèn)為到達(dá) 點(diǎn)的走法數(shù)是 0接下來，可以從左下角開始，按照加C法原理，依次向上向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù)如圖，從 到 的最短路AB線有 6條【答案】 條6【鞏固】小群家到學(xué)校的道路如圖 4所示。從小君家到學(xué)校有_種小君家學(xué)?！究键c(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，一試，第 15題小君家111121123223471學(xué)校所以有 10種.【答

14、案】10如下表，請讀出“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”這9個字，要求你選擇的9 個字里能連續(xù)(即相鄰的字在表中也是左右相鄰或上下相鄰)，這里共有多少種完整的“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”的讀法 】1111112345136141510 20 3515 35 70【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法答 星【題型】解【解析】方法一：標(biāo)數(shù)法第一個字只能選位于左上角的“我”，以后每一個字都只能選擇前面那個字的下方 或右方的字，所以本題也可以使用標(biāo)號法來解：(如右上圖，在格子里標(biāo)數(shù))共70種不同的讀法走的路線就是向右走四步，向下走四步的路線，而向下和向C的讀法種不同7048【答案】70在下圖中，用水平或者垂直的線段連接相鄰的字母，當(dāng)

15、沿著這些線段行走是，正好拼出“APPLE”的路線共有多少條？ 】1A|13 1APA|127 21APPPA|12415421APPLPPA|APPLELPPA【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法1248318421 星【題型】解答【解析】要想拼出英語“APPLE”的單詞，必須按照“APPLE”的次序運(yùn)用標(biāo)號法原理標(biāo)號得出共有 31種不同的路徑【答案】31【鞏固】如圖，用水平線或豎直線連結(jié)相鄰漢字，沿著這些線讀下去，正好可以讀成“祖國明天更美好”，那么可讀成“祖國明天更美好”的路線有條.【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法答 星【題型】解【解析】如圖 2共有不同的路線 (條).271【答案】127【鞏固】如圖，用水平

16、線或豎直線連結(jié)相鄰漢字，沿著這些線讀下去，正好可以讀成“我愛學(xué)而思”，那么可讀成“我愛學(xué)而思”的路線有條我我愛學(xué)而我愛學(xué)而愛學(xué)我愛學(xué)我愛學(xué)我愛我愛而思我我【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級，第 3題【解析】種。 1 4 6 4 1 4 6 4 1 31111144321632163141341111【答案】 種31【鞏固】右圖中的“我愛希望杯”有_種不同的讀法.11111望希望我愛希杯我愛杯23愛希望1愛1希1望希望杯杯 5杯11杯15杯163希杯望望望杯杯【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法答【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試 星【題型】解【解析】“我愛希望杯”的

17、讀法也就是從“我”走到“杯”的方法.如上右圖所示，共 16種方法.【答案】16如圖，沿著“北京歡迎你”的順序走（要求只能沿著水平或豎直方 】北北 京 北北 京 歡 京 北歡 迎 歡你11 3 11 2 7 2 12 11 211【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法答 星【題型】解【解析】沿著“北京歡迎你”的順序沿水平或豎直方向走，北以后的每一個字都只能選擇上面的或左右兩邊的字，按加法原理，用標(biāo)號法可得右上圖所以一共有 種走法【答案】如圖所示，科學(xué)家“愛因斯坦”的英文名拼寫為“Einstein”，按 】圖中箭頭所示方向有種不同的方法拼出英文單詞“Einstein”.EE11iiii211ntnnnnn33s

18、1s1ssssss464tttttee10i10iiiii30n30nnn【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法答 星【題型】解【解析】由的拼法如圖 所示.2Einstein根據(jù)加法原理可得共有303060(種)不同拼法.【答案】60圖中有 10個編好號碼的房間，你可以從小號碼房間走到相鄰的大 1號房間走到 10號房間共有多少種不同的走法？ 】【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法答 星【題型】解【解析】我們可以把這個圖展開，用箭頭標(biāo)出來就更直觀了，然后采用我們學(xué)的標(biāo)數(shù)法【答案】國際象棋中“馬”的走法如圖 所示，位于位置的“馬”只能走1 】到標(biāo)有的方格中， 88到第八行第五列（圖 22圖21【考點(diǎn)】加法圖第原理之標(biāo)數(shù)法

19、星【題型】解題答【關(guān)鍵詞】迎春杯最后一步的可能如圖 ，倒數(shù)第二步的可能如圖 ，倒數(shù)第三步的可能21如圖 3最后36312331122221221111111111123【答案】如圖所示，一個花壇的道路由 3個圓和 5條線段組成，小兔要從 A處做到 B處，如果它在圓上只能順時針方向走，在線段上只能從小圓 】走向大圓，且每條道路最多走一次，那么小兔可以選擇的不同路線有條.46A22A22BB【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，復(fù)賽，第 2題【解析】采用標(biāo)數(shù)法，如圖所示，不同路線共有 6條【答案】 條6蜜蜂王國為了迎接 2010 】個正六邊形蜂窩中，有由蜂蜜凝結(jié)而成的數(shù)字 或 2春節(jié)到來之時，群蜂將在巢上跳起舞步，舞步的每個節(jié)拍恰好走過的四個數(shù)字：2010（從某個 2出發(fā)最后走完四步后又回到 2，如圖中箭頭所示為一正六邊形上蜜蜂要經(jīng)過四個正六邊形且所得數(shù)字依次為 種方法【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】5星 【題型】