對稱性在微積分學(xué)中的應(yīng)用20150711課件

1、（1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對稱,則 有 其中其中（2）如果D關(guān)于x軸(y=0)對稱,則 有 二重積分的對稱性其中 同上.（3）如果D關(guān)于原點對稱,則 有 推論:若 D 關(guān)于 x 軸 和 y 軸都對稱,則積分區(qū)域 D 關(guān)于 直線y=x對稱，即若(x,y)D,則(y, x)D.二重積分的輪換對稱性：也就是表示D不等式x,y對調(diào)不等式不變,有(1)若D1 , D2分別是 D 中關(guān)于 直線 y=x 對稱的兩部分，則：簡述為“你對稱，我奇偶”.則2.二重積分的對稱性（1）如果D關(guān)于y軸對稱,則 有 其中其中（2）如果D關(guān)于x軸對稱,則 有 稱為關(guān)于積分變量的輪換對稱性若 D 關(guān)于直線y = x對稱，

2、則簡述為“你對稱，我奇偶”運用對稱性是要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個方面，D 位于 y=x 軸右下方的部分為D1 , 則則補充：利用對稱性化簡三重積分計算關(guān)于z是偶函數(shù)關(guān)于z是奇函數(shù)注:關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性若 L 關(guān)于 y 軸對稱其中L1 是L 的關(guān)于 y 軸對稱的部分弧段若 L 關(guān)于直線 y = x 對稱(即x與y對調(diào)后L表達式不變)原理: 積分值與被積變量用什么字母表示無關(guān)注 關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性若 L 關(guān)于xoy 平面對稱其中 是 的關(guān)于 xoy 平面對稱的部分弧段如果以y代x,以z代y,以x代z后, 1.(兩字母輪換) 如果將x,y換為y,x, 2.(三字母輪換)表達式

3、不變,則的表達式不變,則對面積的的曲面積分的輪換對稱性:1.(兩字母輪換) 如果將x,y換為y,x積分域不變,則2.(三字母輪換) 如果將x,y,z換為y,z,x積分域 不變,則完全類似于三重積分的對稱性利用對稱性化簡對坐標的曲線積分若 分段光滑曲線L 關(guān)于 y 軸對稱,且L在y軸右半部分和在y軸左半部分的方向相反其中L1 是L 的關(guān)于 y 軸對稱的部分弧段注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸(y)對稱就關(guān)于誰(y軸)的方向相反注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸對稱就關(guān)于誰的方向相同例1. 計算其中L 為沿拋物線解法1 取 x 為參數(shù), 則解法2 從點的一段. 例1. 計算其中L 為沿拋物線

4、解:從點的一段. 注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸對稱就關(guān)于誰的方向相同（逆時針方向）.其中C: 求解：oyx補充：利用對稱性簡化第二類曲面積分的計算輪換對稱性在微分學(xué)中的應(yīng)用1.(兩字母輪換) 如果將x,y換為y,x函數(shù)的表達式不變,即函數(shù),如果滿足只需將上式中的將x,y換為y,x,就得到對變量y的偏導(dǎo)數(shù):則稱此函數(shù)關(guān)于自變量 x,y具有輪換對稱性例1 . 求解法1解法2在點(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).先求后代先代后求函數(shù)在某點各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點不一定連續(xù).上節(jié)例 但是 f (x , y) 在點(0 , 0)并不連續(xù)!例1.可見：多元函數(shù)的可導(dǎo)既不是連續(xù)的充分條件，

5、也不是連續(xù)的必要條件.例2. 證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對稱性 , 有方程練習(xí)P69，6（1）解 :例4. 設(shè)解: 利用輪換對稱性 , 可得注意: x , y , z 具有 輪換對稱性 例4. 設(shè)解: 利用輪換對稱性 , 注意: x , y , z 具有輪換對稱性 可得三重積分的計算：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點選擇：合適的坐標系：直角坐標系，柱面坐標系，球面坐標系；在各種坐標系系下相應(yīng)的先一后二(穿針法)與先二后一(截面法)；恰當?shù)姆e分次序，從而正確地確定積分限；二重積分的計算：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點選擇：合適的坐標系；恰當?shù)姆e分次序，從而正確地確定積分限。*2在掌握基本運算的基礎(chǔ)上

6、，還應(yīng)了解如何根據(jù)對稱性及輪換對稱性等方法來計算重積分. 此外,還要會用對稱性,交換積分次序,變量代換以及重積分性質(zhì)來解決一些較難的問題(計算題及證明題).*1計算的難點：各種坐標系下積分限的確定 利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算各種積分例5.證:(1) 若(2) 若偶倍奇零利用對稱性計算定積分 證明 解決：采用適當?shù)膿Q元證明 令 則 所以 所以，原命題成立。 換元 換限 練習(xí) P253 2. 分析 (1) 積分區(qū)間相同；(2) 被積函數(shù)不同.x 軸(y=0) 對稱，利用對稱性計算二重積分D 位于 x 軸上方的部分為D1 , 則在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù),設(shè)區(qū)域D 關(guān)于 則證:(1)

7、不妨假設(shè)積分區(qū)域是X-型的由積分區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對稱性:證（2）積分區(qū)域由積分區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對稱性:于是，f(x, y) 關(guān)于 x 為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于 x 為偶函數(shù)：命題:（1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對稱,則 有 其中D 位于 y 軸右方的部分為 證 不妨假定D的右半部分D1為X型區(qū)域：由D關(guān)于y軸的對稱性，D的左半部分D2為：則所以則命題:（1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對稱,則 有 其中其中（2）如果D關(guān)于x軸(y=0)對稱,則 有 其中 同上.（3）如果D關(guān)于原點對稱,則 有 推論:若 D 關(guān)于 x 軸 和 y 軸都對稱,則積分區(qū)域 D 關(guān)于 直線y=x對稱，即

8、若(x,y)D,則(y, x)D.二重積分的輪換對稱性：也就是表示D不等式x,y對調(diào)不等式不變,有(1)若D1 , D2分別是 D 中關(guān)于 直線 y=x 對稱的兩部分，則：簡述為“你對稱，我奇偶”.則4. 則提示: 如圖 ,由對稱性知在上是關(guān)于 y 的奇函數(shù)在上是關(guān)于 x 的偶函數(shù)AP182 1(2) 關(guān)于關(guān)于 軸解: 積分區(qū)域如圖所示，將區(qū)域分成 設(shè) 是以 為頂點的三角形區(qū)域， 是區(qū)域 在第一象限部分.四個小區(qū)域，由于區(qū)域軸對稱，區(qū)域4. 證明軸對稱，故0809B 而故解： 利用對稱性簡化計算因為D關(guān)于 x 軸對稱，3. 設(shè)其中解： 利用對稱性簡化計算,因為D關(guān)于 y 軸對稱，3. 設(shè)其中x

9、yo解計算二重積分所圍成的閉區(qū)域.例5.和解:D（畫出積分區(qū)域草圖）.其中D 為 利用對稱性簡化計算,因為D關(guān)于 y 軸對稱， 且1011B例5. 計算其中D 由所圍成.解: 令(如圖所示)顯然,當 f(x, y, z) 關(guān)于 z 為奇函數(shù)當 f(x, y, z) 關(guān)于 z 為偶函數(shù)f(x, y, z) 關(guān)于 z 為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于 z 為偶函數(shù)：命題 4 若空間區(qū)域關(guān)于 xOy 面 (z = 0) 對稱，則證 不妨假定的上半部分1為XY型區(qū)域：由關(guān)于xOy坐標面的對稱性，的下半部分2為：利用積分曲線的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算對弧長的曲線積分命題 5若曲線 L 關(guān)于 y

10、軸 (x = 0) 對稱，則當 f(x, y) 關(guān)于 x 為奇函數(shù)當 f(x, y) 關(guān)于 x 為偶函數(shù)f(x, y) 關(guān)于 x 為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于 x 為偶函數(shù)：證 設(shè) L 的右半部分 L1 由以下參數(shù)方程給出：由 L 關(guān)于 y 軸的對稱性，L 的左半部分 L2 的參數(shù)方程為：命題 5若曲線L關(guān)于 x 軸 (y = 0) 對稱，則當 f(x,y) 關(guān)于 y 為奇函數(shù)當 f(x, y) 關(guān)于 y 為偶函數(shù)f(x, y) 關(guān)于 y 為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于 y 為偶函數(shù)：當 f(x, y, z) 關(guān)于 z 為奇函數(shù)當 f(x, y, z) 關(guān)于 z 為偶函數(shù)f(x, y, z)

11、 關(guān)于 z 為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于 z 為偶函數(shù)：命題 6 若空間曲線 關(guān)于 xOy 面 (z = 0) 對稱，則證 設(shè) 的上半部分 1 由以下參數(shù)方程給出：由 關(guān)于xOy面的對稱性， 的左半部分 2 的參數(shù)方程為：利用積分曲面的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算對面積的曲面積分當 f(x, y, z) 關(guān)于 z 為奇函數(shù)當 f(x, y, z) 關(guān)于 z 為偶函數(shù)f(x, y, z) 關(guān)于 z 為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于 z 為偶函數(shù)：命題 7 若曲面 關(guān)于 xOy 面 (z = 0) 對稱，則證 設(shè) 的上半部分1由以方程給出：由 關(guān)于xOy面的對稱性， 的下半部分2的方程

12、為： 利用對稱性計算三重積分1.關(guān)于積分區(qū)域的對稱性:2.關(guān)于函數(shù)f(x,y,z)的奇偶性若則稱f(x,y,z)在上是關(guān)于z的奇或偶函數(shù)*類似地可定義f(x,y,z)在上是關(guān)于z的奇或偶函數(shù).若(x,y,z),有(x,y,z),則關(guān)于xoy坐標面對稱。*類似地可定義關(guān)于yoz,zox坐標面的對稱性。若則稱f(x,y,z)在上是關(guān)于y,z的奇或偶函數(shù).*類似地可定義其他.若則稱f(x,y,z)在上是關(guān)于x,y,z的奇或偶函數(shù)4. 利用對稱性計算三重積分的有關(guān)結(jié)論:若關(guān)于xoy坐標面對稱, f(x,y,z)在上是關(guān)于z的奇或偶函數(shù), .*類似地可表示其他一些結(jié)果.3.積分區(qū)域,被積函數(shù)f(x,y,

13、z) 的輪換對稱性:將積分區(qū)域的邊界曲面方程(或被積函數(shù)f(x,y,z) )中,變量x,y,z依此輪換,方程(或函數(shù)f(x,y,z)的形式不變?nèi)絷P(guān)于三坐標面都對稱, f(x,y,z)在上是同時關(guān)于x,y,z的奇或偶函數(shù), 則.若關(guān)于yoz,zox坐標面都對稱, f(x,y,z)在上是同時關(guān)于x,y的奇或偶函數(shù), 則.*類似地可表示其他一些結(jié)果.例1D由下列曲線所圍:D3oxyDD1D2D4解:由積分區(qū)域D與被積函數(shù)特點,構(gòu)造“對稱性”例2由所圍成.解1:D考慮截面法DZ解2:的投影區(qū)域D:D考慮用柱坐標即“穿針法”D1D2例3DZxyzoRRR解1：與的特點（？）其中x解2：yzoRRRDxyzoRRRD解3:例4.設(shè)f(x)在a,b上