對(duì)稱性在微積分學(xué)中的應(yīng)用20150711課件

1、（1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對(duì)稱,則 有 其中其中（2）如果D關(guān)于x軸(y=0)對(duì)稱,則 有 二重積分的對(duì)稱性其中 同上.（3）如果D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則 有 推論:若 D 關(guān)于 x 軸 和 y 軸都對(duì)稱,則積分區(qū)域 D 關(guān)于 直線y=x對(duì)稱，即若(x,y)D,則(y, x)D.二重積分的輪換對(duì)稱性：也就是表示D不等式x,y對(duì)調(diào)不等式不變,有(1)若D1 , D2分別是 D 中關(guān)于 直線 y=x 對(duì)稱的兩部分，則：簡(jiǎn)述為“你對(duì)稱，我奇偶”.則2.二重積分的對(duì)稱性（1）如果D關(guān)于y軸對(duì)稱,則 有 其中其中（2）如果D關(guān)于x軸對(duì)稱,則 有 稱為關(guān)于積分變量的輪換對(duì)稱性若 D 關(guān)于直線y = x對(duì)稱，

2、則簡(jiǎn)述為“你對(duì)稱，我奇偶”運(yùn)用對(duì)稱性是要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面，D 位于 y=x 軸右下方的部分為D1 , 則則補(bǔ)充：利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算關(guān)于z是偶函數(shù)關(guān)于z是奇函數(shù)注:關(guān)于對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的對(duì)稱性若 L 關(guān)于 y 軸對(duì)稱其中L1 是L 的關(guān)于 y 軸對(duì)稱的部分弧段若 L 關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱(即x與y對(duì)調(diào)后L表達(dá)式不變)原理: 積分值與被積變量用什么字母表示無(wú)關(guān)注 關(guān)于對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的對(duì)稱性若 L 關(guān)于xoy 平面對(duì)稱其中 是 的關(guān)于 xoy 平面對(duì)稱的部分弧段如果以y代x,以z代y,以x代z后, 1.(兩字母輪換) 如果將x,y換為y,x, 2.(三字母輪換)表達(dá)式

3、不變,則的表達(dá)式不變,則對(duì)面積的的曲面積分的輪換對(duì)稱性:1.(兩字母輪換) 如果將x,y換為y,x積分域不變,則2.(三字母輪換) 如果將x,y,z換為y,z,x積分域 不變,則完全類似于三重積分的對(duì)稱性利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分若 分段光滑曲線L 關(guān)于 y 軸對(duì)稱,且L在y軸右半部分和在y軸左半部分的方向相反其中L1 是L 的關(guān)于 y 軸對(duì)稱的部分弧段注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸(y)對(duì)稱就關(guān)于誰(shuí)(y軸)的方向相反注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸對(duì)稱就關(guān)于誰(shuí)的方向相同例1. 計(jì)算其中L 為沿拋物線解法1 取 x 為參數(shù), 則解法2 從點(diǎn)的一段. 例1. 計(jì)算其中L 為沿拋物線

4、解:從點(diǎn)的一段. 注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸對(duì)稱就關(guān)于誰(shuí)的方向相同（逆時(shí)針?lè)较颍?其中C: 求解：oyx補(bǔ)充：利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化第二類曲面積分的計(jì)算輪換對(duì)稱性在微分學(xué)中的應(yīng)用1.(兩字母輪換) 如果將x,y換為y,x函數(shù)的表達(dá)式不變,即函數(shù),如果滿足只需將上式中的將x,y換為y,x,就得到對(duì)變量y的偏導(dǎo)數(shù):則稱此函數(shù)關(guān)于自變量 x,y具有輪換對(duì)稱性例1 . 求解法1解法2在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).先求后代先代后求函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).上節(jié)例 但是 f (x , y) 在點(diǎn)(0 , 0)并不連續(xù)!例1.可見(jiàn)：多元函數(shù)的可導(dǎo)既不是連續(xù)的充分條件，

5、也不是連續(xù)的必要條件.例2. 證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性 , 有方程練習(xí)P69，6（1）解 :例4. 設(shè)解: 利用輪換對(duì)稱性 , 可得注意: x , y , z 具有 輪換對(duì)稱性 例4. 設(shè)解: 利用輪換對(duì)稱性 , 注意: x , y , z 具有輪換對(duì)稱性 可得三重積分的計(jì)算：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇：合適的坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系，柱面坐標(biāo)系，球面坐標(biāo)系；在各種坐標(biāo)系系下相應(yīng)的先一后二(穿針?lè)?與先二后一(截面法)；恰當(dāng)?shù)姆e分次序，從而正確地確定積分限；二重積分的計(jì)算：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇：合適的坐標(biāo)系；恰當(dāng)?shù)姆e分次序，從而正確地確定積分限。*2在掌握基本運(yùn)算的基礎(chǔ)上

6、，還應(yīng)了解如何根據(jù)對(duì)稱性及輪換對(duì)稱性等方法來(lái)計(jì)算重積分. 此外,還要會(huì)用對(duì)稱性,交換積分次序,變量代換以及重積分性質(zhì)來(lái)解決一些較難的問(wèn)題(計(jì)算題及證明題).*1計(jì)算的難點(diǎn)：各種坐標(biāo)系下積分限的確定 利用積分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算各種積分例5.證:(1) 若(2) 若偶倍奇零利用對(duì)稱性計(jì)算定積分 證明 解決：采用適當(dāng)?shù)膿Q元證明 令 則 所以 所以，原命題成立。 換元 換限 練習(xí) P253 2. 分析 (1) 積分區(qū)間相同；(2) 被積函數(shù)不同.x 軸(y=0) 對(duì)稱，利用對(duì)稱性計(jì)算二重積分D 位于 x 軸上方的部分為D1 , 則在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù),設(shè)區(qū)域D 關(guān)于 則證:(1)

7、不妨假設(shè)積分區(qū)域是X-型的由積分區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對(duì)稱性:證（2）積分區(qū)域由積分區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對(duì)稱性:于是，f(x, y) 關(guān)于 x 為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于 x 為偶函數(shù)：命題:（1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對(duì)稱,則 有 其中D 位于 y 軸右方的部分為 證 不妨假定D的右半部分D1為X型區(qū)域：由D關(guān)于y軸的對(duì)稱性，D的左半部分D2為：則所以則命題:（1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對(duì)稱,則 有 其中其中（2）如果D關(guān)于x軸(y=0)對(duì)稱,則 有 其中 同上.（3）如果D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則 有 推論:若 D 關(guān)于 x 軸 和 y 軸都對(duì)稱,則積分區(qū)域 D 關(guān)于 直線y=x對(duì)稱，即

8、若(x,y)D,則(y, x)D.二重積分的輪換對(duì)稱性：也就是表示D不等式x,y對(duì)調(diào)不等式不變,有(1)若D1 , D2分別是 D 中關(guān)于 直線 y=x 對(duì)稱的兩部分，則：簡(jiǎn)述為“你對(duì)稱，我奇偶”.則4. 則提示: 如圖 ,由對(duì)稱性知在上是關(guān)于 y 的奇函數(shù)在上是關(guān)于 x 的偶函數(shù)AP182 1(2) 關(guān)于關(guān)于 軸解: 積分區(qū)域如圖所示，將區(qū)域分成 設(shè) 是以 為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域， 是區(qū)域 在第一象限部分.四個(gè)小區(qū)域，由于區(qū)域軸對(duì)稱，區(qū)域4. 證明軸對(duì)稱，故0809B 而故解： 利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算因?yàn)镈關(guān)于 x 軸對(duì)稱，3. 設(shè)其中解： 利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算,因?yàn)镈關(guān)于 y 軸對(duì)稱，3. 設(shè)其中x

9、yo解計(jì)算二重積分所圍成的閉區(qū)域.例5.和解:D（畫(huà)出積分區(qū)域草圖）.其中D 為 利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算,因?yàn)镈關(guān)于 y 軸對(duì)稱， 且1011B例5. 計(jì)算其中D 由所圍成.解: 令(如圖所示)顯然,當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于 z 為奇函數(shù)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于 z 為偶函數(shù)f(x, y, z) 關(guān)于 z 為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于 z 為偶函數(shù)：命題 4 若空間區(qū)域關(guān)于 xOy 面 (z = 0) 對(duì)稱，則證 不妨假定的上半部分1為XY型區(qū)域：由關(guān)于xOy坐標(biāo)面的對(duì)稱性，的下半部分2為：利用積分曲線的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分命題 5若曲線 L 關(guān)于 y

10、軸 (x = 0) 對(duì)稱，則當(dāng) f(x, y) 關(guān)于 x 為奇函數(shù)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于 x 為偶函數(shù)f(x, y) 關(guān)于 x 為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于 x 為偶函數(shù)：證 設(shè) L 的右半部分 L1 由以下參數(shù)方程給出：由 L 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱性，L 的左半部分 L2 的參數(shù)方程為：命題 5若曲線L關(guān)于 x 軸 (y = 0) 對(duì)稱，則當(dāng) f(x,y) 關(guān)于 y 為奇函數(shù)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于 y 為偶函數(shù)f(x, y) 關(guān)于 y 為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于 y 為偶函數(shù)：當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于 z 為奇函數(shù)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于 z 為偶函數(shù)f(x, y, z)

11、 關(guān)于 z 為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于 z 為偶函數(shù)：命題 6 若空間曲線 關(guān)于 xOy 面 (z = 0) 對(duì)稱，則證 設(shè) 的上半部分 1 由以下參數(shù)方程給出：由 關(guān)于xOy面的對(duì)稱性， 的左半部分 2 的參數(shù)方程為：利用積分曲面的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算對(duì)面積的曲面積分當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于 z 為奇函數(shù)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于 z 為偶函數(shù)f(x, y, z) 關(guān)于 z 為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于 z 為偶函數(shù)：命題 7 若曲面 關(guān)于 xOy 面 (z = 0) 對(duì)稱，則證 設(shè) 的上半部分1由以方程給出：由 關(guān)于xOy面的對(duì)稱性， 的下半部分2的方程

12、為： 利用對(duì)稱性計(jì)算三重積分1.關(guān)于積分區(qū)域的對(duì)稱性:2.關(guān)于函數(shù)f(x,y,z)的奇偶性若則稱f(x,y,z)在上是關(guān)于z的奇或偶函數(shù)*類似地可定義f(x,y,z)在上是關(guān)于z的奇或偶函數(shù).若(x,y,z),有(x,y,z),則關(guān)于xoy坐標(biāo)面對(duì)稱。*類似地可定義關(guān)于yoz,zox坐標(biāo)面的對(duì)稱性。若則稱f(x,y,z)在上是關(guān)于y,z的奇或偶函數(shù).*類似地可定義其他.若則稱f(x,y,z)在上是關(guān)于x,y,z的奇或偶函數(shù)4. 利用對(duì)稱性計(jì)算三重積分的有關(guān)結(jié)論:若關(guān)于xoy坐標(biāo)面對(duì)稱, f(x,y,z)在上是關(guān)于z的奇或偶函數(shù), .*類似地可表示其他一些結(jié)果.3.積分區(qū)域,被積函數(shù)f(x,y,

13、z) 的輪換對(duì)稱性:將積分區(qū)域的邊界曲面方程(或被積函數(shù)f(x,y,z) )中,變量x,y,z依此輪換,方程(或函數(shù)f(x,y,z)的形式不變?nèi)絷P(guān)于三坐標(biāo)面都對(duì)稱, f(x,y,z)在上是同時(shí)關(guān)于x,y,z的奇或偶函數(shù), 則.若關(guān)于yoz,zox坐標(biāo)面都對(duì)稱, f(x,y,z)在上是同時(shí)關(guān)于x,y的奇或偶函數(shù), 則.*類似地可表示其他一些結(jié)果.例1D由下列曲線所圍:D3oxyDD1D2D4解:由積分區(qū)域D與被積函數(shù)特點(diǎn),構(gòu)造“對(duì)稱性”例2由所圍成.解1:D考慮截面法DZ解2:的投影區(qū)域D:D考慮用柱坐標(biāo)即“穿針?lè)ā盌1D2例3DZxyzoRRR解1：與的特點(diǎn)（？）其中x解2：yzoRRRDxyzoRRRD解3:例4.設(shè)f(x)在a,b上