高等數(shù)學(xué)隨堂講解直角坐標(biāo)系下二重積分計(jì)算

1、一、在矩形區(qū)域上二重積 分的計(jì)算 二、在 x 型或 y 型區(qū)域上 二重積分的計(jì)算 三、在一般區(qū)域上二重積 分的計(jì)算 二重積分計(jì)算的要點(diǎn)是把它化為定積分. 這里有多種方法, 其中最常用的是在直角坐標(biāo)系下化為累次積分. 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 數(shù)學(xué)分析 第二十一章重積分*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對應(yīng)內(nèi)容 定理21.8 在矩形區(qū)域 上可積, 且對每個 積分 存在, 則累次積分 也存在, 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 且證 令 定理要求證明 在 上可積, 且積分的結(jié)

2、果恰為二重積分. 為此, 對區(qū)間 與 分別作分割 按這些分點(diǎn)作兩組直線 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 把矩形 D 分為 rs 個小矩形(圖21-4). 設(shè) 在 上的上確界和下確界分別為 和 在區(qū)間 中任取一點(diǎn) 于是就有不等式 其中 因此 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 為小矩形 記其中 記 的對角線長度為 于是 由于二重積分存在, 由定理21.4, 當(dāng) 時, 和有相同的極限, 值等于因此當(dāng)時

3、, 由不等式(2) 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 可得: (3)使且極限由于當(dāng) 時, 必有分定義, (3)式左邊因此由定積 定理21.9也存在, 且 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 在矩形區(qū)域 上可積, 且對每個 積分 存在, 則累次積分 定理21. 9的證明與定理21. 8相仿.例1 計(jì)算 其中 解 應(yīng)用定理21. 8 (或定理21. 9), 有 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域

4、上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 特別當(dāng)在矩形區(qū)域上連續(xù) 時, 則有對于一般區(qū)域, 通常可以分解為如下兩類區(qū)域來進(jìn) 行計(jì)算.稱平面點(diǎn)集為x型區(qū)域(圖21-5(a); 為y型區(qū)域(圖21-5(b).2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二重積分的計(jì)算稱平面點(diǎn)集當(dāng) D 為 x 型區(qū)域時, 垂直于 x 軸 的直線 至多與區(qū)域 D 的邊界交于 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)

5、域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 兩點(diǎn); 多與 D 的邊界交于兩點(diǎn). 這些區(qū)域的特點(diǎn)是: 至 當(dāng) D 為 y 型區(qū)域時, 直線 定理21.10 若 在如 (4) 式所示的 x 型區(qū)域 D 上連續(xù), 其中 在 上連續(xù), 即二重積分可化為先對 y、后對 x 的累次積分. 證 由于 與在閉區(qū)間 上連續(xù), 故存 在矩形區(qū)域 (如圖21-5(a). 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 則定義在 上的函數(shù) 現(xiàn)作一容易知道函數(shù) 在 上可積, 類似可證, 若 D 為 (5) 式所示的 y 型區(qū)域

6、, 其中 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 在上連續(xù), 對 x、后對 y 的累次積分 而且則二重積分可化為先例2 設(shè) D 是由直線 及圍成的區(qū)域 (圖21-6), 試計(jì)算: 的值.2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 解 若用先對 y、后對 x 的積分, 則有 由于 的原函數(shù)無法求得, 的累次積分來計(jì)算: 因此改用另一種順序 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y

7、 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 例3 計(jì)算二重積分其中D為由直線 及所圍的 三角形區(qū)域(圖21-7).解 當(dāng)把 D 看作 x 型區(qū)域 時, 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 相應(yīng)的 所以 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 解 設(shè)圓柱底面半徑為a, 兩個圓柱方程為 利用對稱性, 只要求出在第一卦限(即 )部分(見第十章圖10-9)的體積, 即得所求的體積.D:體, 曲頂為

8、2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 例4 求兩個底面半徑相同的直交圓柱所圍立體的體積 V. 第一卦限部分的立體是一曲頂柱 然后再乘以8 底為四分之一圓域 于是2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 所以它的體積為 邊界為分段光滑曲線的有界閉域, 成有限個除邊界外無公共內(nèi)點(diǎn)的 x 型區(qū)域或 y 型區(qū)域. 如圖21-8 所示, D 被分 為 x 型區(qū)域, 為 y 型區(qū)域. 解成三個區(qū)域, 2直角坐標(biāo)系下二重

9、積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算一般可把它分解 其中 I, III例5 設(shè) 為 上的連續(xù)函數(shù)，試將二重積分 化為不同順序的累次積分. 解 (1)先對積分, 再對積分. (見圖21-9), 為此設(shè) 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 其中所以 (2) 先對積分, 再對積分. 類似地有: 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 (見圖21-10)2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 例6 計(jì)算其中解 記 (見圖 21-11) 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 則又有 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的