1995年北京市第十二屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)決賽試卷

1、 PAGE PAGE 131995年北京市第十二屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試卷一、填空題（共13小題,滿(mǎn)分99分）1（7分）計(jì)算： 2（7分）用長(zhǎng)短相同的火柴棍擺成31996的方格（每一小方格的邊長(zhǎng)為一根火柴棍,如圖）一共需用 根火柴棍3（7分）如果圖1使常見(jiàn)的一副七巧板的圖;圖2是用這副七巧板的七塊板拼成的小房子圖那么,第2快板的面積等于整幅圖的面積的 ;第4塊板的面積與第7塊板的面積的和等于整幅圖的面積的 4（7分）李師傅某天生產(chǎn)了一批零件,他把它們分成了甲、乙兩堆如果從甲堆零件中拿15個(gè)放到乙堆中,則兩堆零件的個(gè)數(shù)相等;如果從乙堆零件中拿15個(gè)放到甲堆中,則甲堆零件的個(gè)數(shù)是乙堆的3倍,

2、那么,甲堆原來(lái)有零件 個(gè),李師傅這一天共生產(chǎn)了零件 個(gè)5（7分）如圖,把A,B,C,D,E這五部分用四種不同的顏色著色,且相鄰的部分不能使用同一種顏色,不相鄰的部分可以使用同一種顏色那么,這幅圖一共有 種不同的著色方法6（7分）為挖通300米長(zhǎng)的隧道,甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)分別從隧道兩端同時(shí)施工第一天甲、乙各掘進(jìn)了10米,從第二天起,甲隊(duì)每天的工作效率總是前一天的2倍,乙隊(duì)每天的工作效率總是前一天的1.5倍那么挖通這條隧道需要 天7（7分）已知一串有規(guī)律的數(shù)：1,那么,在這串?dāng)?shù)中,從左往右數(shù),第10個(gè)數(shù)是 8（7分）比賽用的足球是由黑、白兩色皮子縫制的,其中黑色皮子為正五邊形,白色皮子為正六邊形,并

3、且黑色正五邊形與白色正六邊形的邊長(zhǎng)相等縫制的方法是：每塊黑色皮子的5條邊分別與5塊白色皮子的邊縫在一起;每塊白色皮子的6條邊中,有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起,另3條邊則與其他白色皮子的邊縫在一起如果一個(gè)足球表面上共有12塊黑色正五邊形皮子,那么,這個(gè)足球應(yīng)有正六邊形皮子 塊9（7分）光明小學(xué)六年級(jí)甲、乙、丙三個(gè)班組織了一次文藝晚會(huì),共演出14個(gè)節(jié)目如果每個(gè)班至少演出3個(gè)節(jié)目,那么,這三個(gè)班演出節(jié)目數(shù)的不同情況共有 種10（9分）已知四邊形ABCD是直角梯形,上底AD8厘米,下底BC10厘米,直角腰CD6厘米,E是AD的中點(diǎn),F是BC上的點(diǎn),BF BC,G為DC上的點(diǎn),三角形DEG的面積與三角

4、形CFG的面積相等那么,三角形ABG的面積是 平方厘米11（9分）用70元錢(qián)買(mǎi)了甲、乙、丙、丁四種書(shū),共10冊(cè)已知甲,乙,丙,丁四種書(shū)每本價(jià)格分別為3元,5元,7元,11元,而且每種書(shū)至少買(mǎi)了一本那么共有 種不同的購(gòu)買(mǎi)方法12（9分）數(shù)1,2,3,4,按箭頭所指方向順序排列（如圖）,依次在2,3,5,7,10,等數(shù)的位置處拐彎（1）如果2算作第一次拐彎,那么,第45次拐彎處的數(shù)是 （2）從1978到2010的自然數(shù)中,恰在拐彎處的數(shù)是 13（9分）小于8且分母為24的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)共有 個(gè);這些最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的和是 二、解答題（請(qǐng)寫(xiě)出簡(jiǎn)要的解題過(guò)程.第一題滿(mǎn)分21分,第二題滿(mǎn)分21分.共21分）14（10

5、分）用一批紙裝訂一種練習(xí)本如果已裝訂120本,剩下的紙是這些紙的40%;如果裝訂了185本,則還剩下1350張紙這批紙一共有多少?gòu)?15（11分）如圖,圓周上順次排列著1、2、3、12這十二個(gè)數(shù),我們規(guī)定：相鄰的四個(gè)數(shù)a1、a2、a3、a4順序顛倒為a4、a3、a2、a1,稱(chēng)為一次“變換”（如：1、2、3、4變?yōu)?、3、2、1,又如：11、12、1、2變?yōu)?、1、12、11）能否經(jīng)過(guò)有限次“變換”,將十二個(gè)數(shù)的順序變?yōu)?、1、2、3、8、10、11、12（如圖）?請(qǐng)說(shuō)明理由1995年北京市第十二屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試卷參考答案與試題解析一、填空題（共13小題,滿(mǎn)分99分）1（7分）計(jì)算

6、：90【解答】解：,7.2,72,90;故答案為：902（7分）用長(zhǎng)短相同的火柴棍擺成31996的方格（每一小方格的邊長(zhǎng)為一根火柴棍,如圖）一共需用13975根火柴棍【解答】解：4行一共的根數(shù)：199647984（根）;1997列一共的根數(shù)：319975991（根）;一共需用的根數(shù)：7984+599113975（根）故答案為：139753（7分）如果圖1使常見(jiàn)的一副七巧板的圖;圖2是用這副七巧板的七塊板拼成的小房子圖那么,第2快板的面積等于整幅圖的面積的;第4塊板的面積與第7塊板的面積的和等于整幅圖的面積的【解答】解：（1）;（2）+;答：第2快板的面積等于整副圖的面積的;第4塊板的面積與第7

7、塊板的面積的和等于整副圖的面積的 ;故答案為：,4（7分）李師傅某天生產(chǎn)了一批零件,他把它們分成了甲、乙兩堆如果從甲堆零件中拿15個(gè)放到乙堆中,則兩堆零件的個(gè)數(shù)相等;如果從乙堆零件中拿15個(gè)放到甲堆中,則甲堆零件的個(gè)數(shù)是乙堆的3倍,那么,甲堆原來(lái)有零件75個(gè),李師傅這一天共生產(chǎn)了零件120個(gè)【解答】解：后來(lái)乙堆零件的個(gè)數(shù)：（152+30）（31）60230（個(gè)）后來(lái)甲堆零件的個(gè)數(shù)：30390（個(gè)）原來(lái)甲堆零件的個(gè)數(shù)：901575（個(gè)）李師傅這一天共生產(chǎn)的零件的個(gè)數(shù)：30+90120（個(gè)）答：甲堆原來(lái)有零件75個(gè),李師傅這一天共生產(chǎn)了零件120個(gè)故答案為：75、1205（7分）如圖,把A,B,C

8、,D,E這五部分用四種不同的顏色著色,且相鄰的部分不能使用同一種顏色,不相鄰的部分可以使用同一種顏色那么,這幅圖一共有96種不同的著色方法【解答】解：（1）用三種顏色,有46124種;（2）如果用4種顏色,有兩種涂法：D仍與A同色,有46248種;D與A不同色,有46124種綜上所述,共有涂法24+48+2496種故答案為：966（7分）為挖通300米長(zhǎng)的隧道,甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)分別從隧道兩端同時(shí)施工第一天甲、乙各掘進(jìn)了10米,從第二天起,甲隊(duì)每天的工作效率總是前一天的2倍,乙隊(duì)每天的工作效率總是前一天的1.5倍那么挖通這條隧道需要天【解答】解：甲隊(duì)：10米,10220（米）,20240（米）,

9、40280（米）,802160（米）乙隊(duì)：10米,101.515（米）,151.522.5（米）,22.51.533.75（米）,33.751.550.625（米）應(yīng)該用了4天多4天共完成（10+20+30+40）+（10+15+22.5+33.75）231.25（米）還剩下300231.2568.75（米）需要的時(shí)間是68.75（160+50.625）（天）或0.326（天）4+（天）或4.326（天）答：兩隊(duì)挖通這條隧道需要天7（7分）已知一串有規(guī)律的數(shù)：1,那么,在這串?dāng)?shù)中,從左往右數(shù),第10個(gè)數(shù)是【解答】解：有原題得出規(guī)律從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始,分子是前一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母的和,分母是本身的分

10、子與前一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的和所以后面的分?jǐn)?shù)依次為：第10個(gè)數(shù)為第10個(gè)數(shù)為故答案為8（7分）比賽用的足球是由黑、白兩色皮子縫制的,其中黑色皮子為正五邊形,白色皮子為正六邊形,并且黑色正五邊形與白色正六邊形的邊長(zhǎng)相等縫制的方法是：每塊黑色皮子的5條邊分別與5塊白色皮子的邊縫在一起;每塊白色皮子的6條邊中,有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起,另3條邊則與其他白色皮子的邊縫在一起如果一個(gè)足球表面上共有12塊黑色正五邊形皮子,那么,這個(gè)足球應(yīng)有正六邊形皮子20塊【解答】解：設(shè)這個(gè)足球有x塊正六邊形,一共有6x條邊,其中白皮三條邊和黑皮相連,根據(jù)題意可得方程 3x125 x20答：這個(gè)足球應(yīng)有正六邊形皮子20塊

11、故答案為：209（7分）光明小學(xué)六年級(jí)甲、乙、丙三個(gè)班組織了一次文藝晚會(huì),共演出14個(gè)節(jié)目如果每個(gè)班至少演出3個(gè)節(jié)目,那么,這三個(gè)班演出節(jié)目數(shù)的不同情況共有21種【解答】解：共有不同的排列方法33+6221（種）每種排列方法對(duì)應(yīng)三個(gè)班演出節(jié)目數(shù)的一種情況,故一共有21種不同情況故答案為：2110（9分）已知四邊形ABCD是直角梯形,上底AD8厘米,下底BC10厘米,直角腰CD6厘米,E是AD的中點(diǎn),F是BC上的點(diǎn),BF BC,G為DC上的點(diǎn),三角形DEG的面積與三角形CFG的面積相等那么,三角形ABG的面積是26.7平方厘米【解答】解：設(shè)DG為h,則CG6h,因：三角形DEG的面積與三角形CF

12、G的面積相等;即：4h210（6h）2;求得：h厘米,6h厘米;三角形AGD的面積8210.9平方厘米;三角形BCG的面積10216.4平方厘米;三角形ABG的面積（10+8）6210.916.4,26.7平方厘米;故此題應(yīng)填26.711（9分）用70元錢(qián)買(mǎi)了甲、乙、丙、丁四種書(shū),共10冊(cè)已知甲,乙,丙,丁四種書(shū)每本價(jià)格分別為3元,5元,7元,11元,而且每種書(shū)至少買(mǎi)了一本那么共有4種不同的購(gòu)買(mǎi)方法【解答】解：3+5+7+1126（元）,702644（元）,1046（本）,所以,44元要去買(mǎi)6本書(shū),（1）買(mǎi)1本價(jià)格11元、4本價(jià)格7元的、1本5元的,111+74+5144（元）,（2）買(mǎi)2本價(jià)

13、格11元、1本價(jià)格7元的、3本5元的, 112+71+5344（元）,（3）買(mǎi)2本價(jià)格11元、2本價(jià)格7元的、1本5元的、1本3元的,112+72+51+3144（元）,（4）買(mǎi)3本價(jià)格11元、2本價(jià)格3元的、1本5元的, 113+32+5144（元）,共有4種,故答案為：412（9分）數(shù)1,2,3,4,按箭頭所指方向順序排列（如圖）,依次在2,3,5,7,10,等數(shù)的位置處拐彎（1）如果2算作第一次拐彎,那么,第45次拐彎處的數(shù)是530（2）從1978到2010的自然數(shù)中,恰在拐彎處的數(shù)是1981【解答】觀察拐彎處的數(shù)的規(guī)律,可以得到 n個(gè)拐彎處的數(shù),當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)為：1+（1+3+5+n）

14、（）2+1;當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)為：1+2（1+2+3+）（1+）+1（1）第45次拐彎處的數(shù)是（）2+1530（2）試算n89時(shí),拐彎處的數(shù)是（）2+12026;n88時(shí),拐彎處的數(shù)是（1+）+11981;n87時(shí),拐彎處的數(shù)是（）2+11937;所以19782010中,恰在拐彎處的數(shù)是1981故答案為：（1）530,（2）198113（9分）小于8且分母為24的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)共有64個(gè);這些最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的和是256【解答】解：24233824192 所有小于192且不能被2、3整除的數(shù)為分子則滿(mǎn)足題意也即所有6N+1192和6N+5192（N為自然數(shù)）N的個(gè)數(shù)總和6N+1192解得N32,也就是小于32的

15、自然數(shù)都符合,即32個(gè)同理可得6N+5192解得N32,N的個(gè)數(shù)也是32個(gè)故：32+3264（個(gè)）由上面的兩個(gè)不等式可知,小于8且分母為24的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子是兩個(gè)等差數(shù)列組成的,即一個(gè)是1,7,13,另一個(gè)是5,11,17,它們的公差都是6,而且個(gè)數(shù)都是32個(gè)由等差公式求和公式可得：321+32（321）623008325+32（321）623136分子和就是：3008+31366144這些最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的和是：614424256故填：64,256二、解答題（請(qǐng)寫(xiě)出簡(jiǎn)要的解題過(guò)程.第一題滿(mǎn)分21分,第二題滿(mǎn)分21分.共21分）14（10分）用一批紙裝訂一種練習(xí)本如果已裝訂120本,剩下的紙是這些紙的40%;如果裝訂了185本,則還剩下1350張紙這批紙一共有多少?gòu)?【解答】解：120140%200（本）, 135020018590（張）, 9020018000張;答：這批紙共有18000張15（11分）如圖,圓周上順次排列著1、2、3、12這十二個(gè)數(shù)