2015年第二十屆“華羅庚金杯”奧數(shù)初賽試卷（小高組c卷）

1、 PAGE PAGE 162015年第二十屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽初賽試卷（小高組C卷）一、選擇題（每小題10分,共60分）1（10分）計算：（+）120（）A42B43C15D162（10分）如圖,有一排間距相同但高度不等的小樹,樹根成一條直線,樹頂也成一條直線,這兩條直線成45度角,最高的小樹高2.8米,最低的小樹高峰1.4米,那么從左向右數(shù)第4棵樹的高度是（）米A2.6B2.4C2.2D2.03（10分）春季開學后,有不少同學都將部分壓歲錢捐給山區(qū)的貧困學生;事后,甲、乙、丙、丁4位同學有如下對話：甲：“丙,丁之中至少有1人捐了款”乙：“丁,甲之中至多有1人捐了款”丙：“你們3人之

2、中至少有2人捐了款”?。骸澳銈?人之中至多有2人捐了款”已知這4位同學說的都是真話且其中恰有2位同學捐了款,那么這2位同學是（）A甲,乙B丙,丁C甲,丙D乙,丁4（10分）六位同學數(shù)學考試的平均成績是92.5分,他們的成績是互不相同的整數(shù),最高的99分,最低的76分,那么按分數(shù)從高到低居第3位的同學的分數(shù)至少是（）A94B95C96D975（10分）如圖,BH是直角梯形ABCD的高,E為梯形對角線AC上一點,如果DEH、BEH、BCH的面積依次為56、50、40,那么CEH的面積是（）A32B34C35D366（10分）一個由邊長為1的小正方形組成的nn的方格網(wǎng),用白色或黑色對每個小正方形涂色

3、,要求滿足在任意矩形的4個角上的小正方形不全同色,那么正整數(shù)n的最大值是（）A3B4C5D6二、填空題：（每小題10分,滿分40分）7（10分）在每個格子中填入16中的一個,使得每行、每列及每個23長方形內(nèi)（粗線框圍成）數(shù)字不重復;如果小圓圈兩邊格子中所填數(shù)的和是合數(shù),其它相鄰兩格所填數(shù)的和是質(zhì)數(shù),那么四位數(shù)“相約華杯”是 8（10分）整數(shù)n一共有10個因數(shù),這些因數(shù)從小到大排列,第8個是那么整數(shù)n的最大值是 9（10分）在邊長為300厘米的正方形 中,如圖放置了兩個直角扇形和一個半圓,那么兩塊陰影部分的面積差是 平方厘米,兩塊陰影部分的周長差是 厘米（取3.14）10（10分）A地,B地,C

4、地,D地依次分布在同一條公路上甲,乙,丙三人分別從A地,B地,C地同時出發(fā),勻速向D地行進當甲在C地追上乙時,甲的速度減少40%,當甲追上丙時,甲的速度再次減少40%,甲追上丙后9分鐘,乙也追上了丙,這時乙的速度減少25%;乙追上丙后再行50米,三人同時到D地已知乙出發(fā)時的速度是每分鐘60米,那么甲出發(fā)時的速度是每分鐘 米,A、D兩地間的路程是 米2015年第二十屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽初賽試卷（小高組C卷）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題10分,共60分）1（10分）計算：（+）120（）A42B43C15D16【分析】首先對（+）進行拆分,然后用所得的結(jié)果減去除以所得的商,求出算

5、式的值是多少即可【解答】解：（+）120（+）120（+）12030+12042故選：A2（10分）如圖,有一排間距相同但高度不等的小樹,樹根成一條直線,樹頂也成一條直線,這兩條直線成45度角,最高的小樹高2.8米,最低的小樹高峰1.4米,那么從左向右數(shù)第4棵樹的高度是（）米A2.6B2.4C2.2D2.0【分析】因為A45,最高的小樹高2.8米,所以AC2.8米,又因為樹根成一條直線,樹頂也成一條直線,所以所有的樹都互相平行,所以AB1.4米,BCACAB1.4米,因為這排樹的間距相同,則每個間距是1.470.2米,則從左向右數(shù)第4棵樹的高度：0.24+1.4,據(jù)此解答即可【解答】解：因為：

6、樹根成一條直線,樹頂也成一條直線,A45,最高的小樹高2.8米,最低的小樹高峰1.4米,所以AC2.8米,AB1.4米,BCACAB1.4米,又因為：這排樹的間距相同,所以：1.470.2（米）0.24+1.40.8+1.42.2（米）答：那么從左向右數(shù)第4棵樹的高度是2.2米故選：C3（10分）春季開學后,有不少同學都將部分壓歲錢捐給山區(qū)的貧困學生;事后,甲、乙、丙、丁4位同學有如下對話：甲：“丙,丁之中至少有1人捐了款”乙：“丁,甲之中至多有1人捐了款”丙：“你們3人之中至少有2人捐了款”?。骸澳銈?人之中至多有2人捐了款”已知這4位同學說的都是真話且其中恰有2位同學捐了款,那么這2位同學

7、是（）A甲,乙B丙,丁C甲,丙D乙,丁【分析】因為有2位同學捐了款,所以根據(jù)：丙：“你們3人之中至少有2人捐了款,說明捐款的只能是甲乙丁中的兩個人,而丙沒捐錢;甲：“丙,丁之中至少有1人捐了款”因為丙沒捐錢,所以只能是丁捐款;乙：“丁,甲之中至多有1人捐了款”只能是丁,所以甲沒捐款;這恰好印證了?。骸澳銈?人之中至多有2人捐了款”是正確的據(jù)此解答即可【解答】解：根據(jù)分析可得：丙：“你們3人之中至少有2人捐了款,說明捐款的只能是甲乙丁中的兩個人,而丙沒捐錢;甲：“丙,丁之中至少有1人捐了款”因為丙沒捐錢,所以只能是丁捐款;乙：“丁,甲之中至多有1人捐了款”只能是丁,所以甲沒捐款;這恰好印證了?。?/p>

8、“你們3人之中至多有2人捐了款”是正確的,只有乙和丁捐了款故選：D4（10分）六位同學數(shù)學考試的平均成績是92.5分,他們的成績是互不相同的整數(shù),最高的99分,最低的76分,那么按分數(shù)從高到低居第3位的同學的分數(shù)至少是（）A94B95C96D97【分析】要求第三名同學至少要考多少分,知道六名同學的總平均分,能求出總成績,用總成績最高分最低分另四名同學的總成績,要想第3個同學成績最小,則第2個同學成績?nèi)∽畲笾禐椋?8,進而求出另三位同學的總成績,進而根據(jù)“總成績總?cè)藬?shù)平均分”能求出另三名同學的平均分,繼而分析、推導得出所求問題的答案【解答】解：92.569976380（分）,由于最高分是99分,

9、所以第二個的最好成績最多是：98剩余三人成績和為：38098282（分）,第3個同學成績最小,第4、5個同學的成績盡可能接近第三個同學的成績,則這3個數(shù)相差為1,282394（分）,則第三位同學至少是：94+195（分）答：第三名至少得95分故選：B5（10分）如圖,BH是直角梯形ABCD的高,E為梯形對角線AC上一點,如果DEH、BEH、BCH的面積依次為56、50、40,那么CEH的面積是（）A32B34C35D36【分析】如下圖所示：分別過點E作EFDC,EGBH,連接AF,BF,BD,由等底等高的三角形面積相等,可得SBDFSADF,SADCSBDC,因此有：SCDESADCSADES

10、BDCSBDFSBFC,而SBFCSBFH+SBCHSBEH+SBCH90;因此SCHESEDCSHDE905634,據(jù)此即可解決【解答】解：如上圖所示,分別過點E作EFDC,EGBH,連接AF,BF,BD,則SBDFSADF,SADCSBDC,所以SCDESADCSADESBDCSBDFSBFC,又因為SBFCSBFH+SBCHSBEH+SBCH90,所以SCHESEDCSHDE905634故選：B6（10分）一個由邊長為1的小正方形組成的nn的方格網(wǎng),用白色或黑色對每個小正方形涂色,要求滿足在任意矩形的4個角上的小正方形不全同色,那么正整數(shù)n的最大值是（）A3B4C5D6【分析】此題要充分

11、利用抽屜原理和假設推理根據(jù)題目所給的選項不妨選一個中間的數(shù)5為假設n的值,進行一步步地推理,進而推出與題目要求矛盾從而得出n的取值范圍,即得出答案【解答】解：假設n5,（由抽屜原理知）第一行中至少有3個格子顏色相同不妨設前3格為黑色（如圖1）在這3個黑格下方可以分割為4個橫著的31的長方形,若其中有一個中有2個黑格（如圖2）,則存在著圖中的粗線長方形4個角上的小正方形都是黑格;所以這4個橫著的31的長方形中,每個至多1個黑格假設這4個橫著的31的長方形中,有兩個對應格子顏色都一樣（如圖3）,則一樣存在圖中的粗線長方形4個角上的小正方形都是白格;而31的長方形中至多1個黑格的只有如圖4的這4種如

12、果這4種都存在的話如圖5,則同樣存在圖中粗線長方形4個角上的小正方形都是白格;這均與題目要求的矛盾所以,n5,正整數(shù)n的最大值是4而圖6給出了n4的一種構(gòu)造故選：B二、填空題：（每小題10分,滿分40分）7（10分）在每個格子中填入16中的一個,使得每行、每列及每個23長方形內(nèi)（粗線框圍成）數(shù)字不重復;如果小圓圈兩邊格子中所填數(shù)的和是合數(shù),其它相鄰兩格所填數(shù)的和是質(zhì)數(shù),那么四位數(shù)“相約華杯”是4123【分析】如圖：因為第三行存在1、3、4,所以A為2,5,6之一,而3與A的和是質(zhì)數(shù),所以A為2在A所在的長方形中,還剩下1、4、5、6沒有使用而3與“相”的和是質(zhì)數(shù),所以“相”是4“相”與“約”的

13、和為質(zhì)數(shù),“約”為1,“約”與“月”的和為質(zhì)數(shù),“月”為6,剩下的C為5第三行只剩下數(shù)字5,所以B為5;在B所在的長方形中,還剩下2、3、6沒有使用而4與“杯”的和是質(zhì)數(shù),所以“杯”為3,“杯”與”“華”的和為質(zhì)數(shù),所以“華”為2,剩下的D就是6;所以四位數(shù)“相約華杯”是4123,據(jù)此解答即可【解答】解：如圖：因為第三行存在1、3、4,所以A為2,5,6之一,而3與A的和是質(zhì)數(shù),所以A為2在A所在的長方形中,還剩下1、4、5、6沒有使用而3與“相”的和是質(zhì)數(shù),所以“相”是4“相”與”“約”的和為質(zhì)數(shù),“約”為1,“約”與”“月”的和為質(zhì)數(shù),“月”為6,剩下的C為5第三行只剩下數(shù)字5,所以B為5

14、;在B所在的長方形中,還剩下2、3、6沒有使用而4與“杯”的和是質(zhì)數(shù),所以“杯”為3,“杯”與”“華”的和為質(zhì)數(shù),所以“華”為2,剩下的D就是6;所以四位數(shù)“相約華杯”是4123故答案為：41238（10分）整數(shù)n一共有10個因數(shù),這些因數(shù)從小到大排列,第8個是那么整數(shù)n的最大值是162【分析】由于整數(shù)的因數(shù)都是成對出現(xiàn),則這10個約數(shù)必然是1、 、3、 、 、 、 、 、n,立即可以填出1、2、3、 、 、 、 、n,也就是說n必然含有質(zhì)因數(shù)2和3,然后結(jié)合因數(shù)個數(shù)定理可求解【解答】解：根據(jù)分析可知10個因數(shù)分別為1、2、3、 、 、 、 、n,根據(jù)因數(shù)個數(shù)定理101（9+1）（1+1）（4

15、+1）,由于含質(zhì)因數(shù)2和3,則n應為2134或2431,其中2134162更大故答案為：1629（10分）在邊長為300厘米的正方形 中,如圖放置了兩個直角扇形和一個半圓,那么兩塊陰影部分的面積差是15975平方厘米,兩塊陰影部分的周長差是485厘米（取3.14）【分析】（1）如圖：扇形ABC的面積+,扇形BCD的面積+,正方形ABCD的面積+,所以扇形ABC的面積+扇形BCD的面積正方形ABCD的面積+,據(jù)此可求出兩塊陰影部分面積的差是多少;（2）連結(jié)BE、CE,因BCBECE,所以三角形BCE是等邊三角形,所以扇形BCE的圓心角是60,扇形CED的圓心角是30,據(jù)此可分別陰影部分的周長是多

16、少,再相減即可【解答】解：（1）S扇形ABC+S扇形BCD+S正方形ABCD+,S扇形ABC+S扇形BCDS正方形ABCD的+S扇形ABC+S扇形BCDS正方形ABCD的3.1430024+3.14300243003003.14（3002）223.14900004+3.149000043003003.1422500270650+70650900003532515975（平方厘米）（2）連結(jié)BE、CE陰影部分的周長是3.143002+3.143002628+4711099（厘米）陰影部分的周長是3.143002+300314+300614（厘米）1099614485（厘米）答：兩塊陰影部分的面積

17、差是 15975平方厘米,兩塊陰影部分的周長差是 485厘米故答案為：15975,48510（10分）A地,B地,C地,D地依次分布在同一條公路上甲,乙,丙三人分別從A地,B地,C地同時出發(fā),勻速向D地行進當甲在C地追上乙時,甲的速度減少40%,當甲追上丙時,甲的速度再次減少40%,甲追上丙后9分鐘,乙也追上了丙,這時乙的速度減少25%;乙追上丙后再行50米,三人同時到D地已知乙出發(fā)時的速度是每分鐘60米,那么甲出發(fā)時的速度是每分鐘125米,A、D兩地間的路程是1880米【分析】由于同時到達,所以甲追上丙后二者速度相等,乙追上丙后二者速度相等乙出發(fā)時的速度是每分鐘60米,遇到丙后速度變?yōu)?0（

18、125%）45（米/分）,所以丙的速度為45米/分,可以推知甲在追上丙后的速度變?yōu)?5米/分,在追上乙后追上丙之前速度為45（140%）75米/分,甲出發(fā)時的速度為75（140%）125（米/分 ）甲在C地追上乙,設在此時起追上丙花了t分鐘,則在乙追上丙時也追上了甲,此時甲走的路程為（75t+459）米,乙走的路程為60（t+9）米,列方程為：75t+45960（t+9）,解得t9由于此后又走了50米到達D地,所以CD的距離為75t+459+501130（米）由于甲從C地花了9分鐘追上乙,所以此時丙到C的距離為759459270（米）,即甲從A地到C地,丙走了270456（分鐘）,那么AC的距離為1256750（米）,所以AD得距離為1130+7501880（米）【解答】解：遇到丙后速度變?yōu)椋?0（125%）600.7545（米/分）甲在追上乙后追上丙之前速度為：45（140%）450.675