2021年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案

1、 8/82021年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案 （第3題） 中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì) “數(shù)學(xué)周報(bào)杯”2008年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案 一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分） 1已知實(shí)數(shù)x y ，滿足 42 4 2 4233 y y x x - =+=，則 4 4 4y x +的值為（ ） （A ）7（B ） 2 C ） 2 （D ）5 【答】（A ） 解：因?yàn)? 0 x ，2 y 0，由已知條件得 2 121 8 4 x + + = ， 2112 2 y -+-+ = = ， 所以 4 4 4y x += 2 2 233y x +- 2 2 26y x = -+= 7

2、另解：由已知得，222 2222()()30()30 x x y y ? -+-=?+-=? ，顯然222y x -，以222,y x -為根的一元二次方程為230t t +-=，所以22 2222()1,()3y y x x -+=-?=- 故444y x +2222 2222()2()(1)2(3)7y y x x -+-?-?=-?-= 2把一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投 擲2次，若兩個(gè)正面朝上的編號(hào)分別為m ，n ，則二次函數(shù)2y x m x n =+的圖象與x 軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)的概率是（ ） （A ） 512 （B ） 49 （C ） 1736

3、 （D ） 12 【答】（C ） 解：基本事件總數(shù)有6636，即可以得到36個(gè)二次函數(shù). 由題意知 ?24m n -0，即2 m 4n .通過枚舉知，滿足條件的m n ，有17對(duì). 故 1736 P = . 3有兩個(gè)同心圓，大圓周上有4個(gè)不同的點(diǎn)，小圓周上有2個(gè)不同的點(diǎn)，則這6個(gè)點(diǎn)可以確定的不同直線最少有( ) （A ）6條（B ）8條（C ）10條（D ）12條 【答】（B ） 解：如圖，大圓周上有4個(gè)不同的點(diǎn)A ，B ，C ，D ，兩兩連線可以確定6條不同的直線；小圓周上的兩個(gè)點(diǎn)E ，F(xiàn) 中，至少有一個(gè)不是四邊形ABCD 的對(duì) 角線AC 與BD 的交點(diǎn)，則它與A ，B ，C ，D 的連線中

4、，至少有兩條不同于A ，B ， C ， D 的兩兩連線從而這6個(gè)點(diǎn)可以確定的直線不少于8條 當(dāng)這6個(gè)點(diǎn)如圖所示放置時(shí)，恰好可以確定8條直線 所以，滿足條件的6個(gè)點(diǎn)可以確定的直線最少有8條 4已知A B 是半徑為1的圓O 的一條弦，且1A B a =，或1a ?， ， 解得，0a ，或1a ，；令0=y ，得00 b x k k =- 5分 （2）由（1）知 2 1(3)(2)7(2)10 ()2 2 2 b b b b b S b k b b +-+-+= ?- = = - 21027)72 b b =-+ +=- +-1027+， 當(dāng)且僅當(dāng)1022 b b -= - 時(shí)，有7S =，即當(dāng)10

5、2+=b ，1-=k 時(shí)，不等式中 的等號(hào)成立所以，ABC 面積的最小值為1027+ 15分 12是否存在質(zhì)數(shù)p ，q ，使得關(guān)于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理數(shù)根？ 解：設(shè)方程有有理數(shù)根，則判別式為平方數(shù)令2224q p n ?=-=， 其中n 是一個(gè)非負(fù)整數(shù)則2()()4q n q n p -+= 5分 由于1q n -q +n ，且q n -與q n +同奇偶，故同為偶數(shù)因此，有如下幾種可能情形： 222q n q n p -=?+=?， 2 4q n q n p -=?+=?， 4q n p q n p -=?+=?， 22q n p q n p -=?+=?， ，

6、 24. q n p q n ?-=?+=?， 消去n ，解得2 2 2 512222 2 2 p p p q p q q q p q =+=+ = =+ ， ， ， ， 10分 對(duì)于第1，3種情形，2p =，從而q 5；對(duì)于第2，5種情形，2p =，從而q 4（不合題意，舍去）；對(duì)于第4種情形，q 是合數(shù)（不合題意，舍去） 又當(dāng)2p =，q 5時(shí)，方程為22520 x x -+=，它的根為121 22x x =，它們 都是有理數(shù) 綜上所述，存在滿足題設(shè)的質(zhì)數(shù) 15分 12、已知,a b 為正整數(shù)，關(guān)于x 的方程2 20 x ax b -+=的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為12x x ， 關(guān)于y 的方程220y

7、 ay b +=的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為12y ，y ，且滿足 1122 2008x y x y -= . 求b 的最小值. 另解：由韋達(dá)定理，得 12122,x x a x x b += ；12122,y y a y y b +=-= 即12121212122()()(),()()y y a x x x x y y b x x +=-=-+=-+-?=-? 解得：1112 2221 y x y x y x y x =-=-? =-=-?或 把12,y y 的值分別代入11222008x y x y -= ，得 1122()()2008x x x x = 或1221()()2008x x x x = （

8、不成立） 即22 212008x x -=，2121()()2008x x x x +-= 因?yàn)?21220,0 x x a x x b += 所以120,0 x x 于是有 22008a = 即50215022251a =?=? 因?yàn)閍,b 都是正整數(shù)，所以 22222 215052251 50212514 a a a a a b a b a b a b =?-=-=-=-=?或或或 分別解得：2222 15022251 1502502122512514 a a a a b b b b =?=-=-=-=-?或或或 經(jīng)檢驗(yàn)只有：22 502251 50212514 a a b b =?=-=

9、-?，符合題意. 所以b 的最小值為：2 251462997b =-最小值 13是否存在一個(gè)三邊長(zhǎng)恰是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角2倍的ABC ？證明你的結(jié)論 解：存在滿足條件的三角形 當(dāng)ABC 的三邊長(zhǎng)分別為6=a ，4=b ，5=c 時(shí)，B A =2 5分 如圖，當(dāng)B A =2時(shí)，延長(zhǎng)BA 至點(diǎn)D ，使b AC AD =連接CD ，則ACD 為等腰三角形因?yàn)锽AC 為ACD 的一個(gè)外角，所以2B A C D =由已知，2B A C B =，所以 D B =所以CBD 為等腰三角形 又D 為ACD 與CBD 的一個(gè)公共角，有ACD CBD ，于是 BD CD CD AD =，

10、 即 c b a a b += ，所以 ()c b b a +=2 a C 而264(45)=?+，所以此三角形滿足題設(shè)條件， 故存在滿足條件的三角形 15分 說明：滿足條件的三角形是唯一的 若B A =2，可得()c b b a +=2有如下三種情形： （i ）當(dāng)b c a 時(shí)，設(shè)1+=n a ，n c =，1-=n b （n 為大于1的正整數(shù)）， 代入()c b b a +=2，得()()()2 1121n n n +=-， 解得5=n ，有6=a ，4=b ，5=c ； （）當(dāng)b a c 時(shí)，設(shè)1+=n c ，n a =，1-=n b （n 為大于1的正整數(shù)）， 代入()c b b a

11、+=2，得()n n n 212?-=，解得 2=n ，有2=a ，1=b ，3=c ，此時(shí)不能構(gòu)成三角形； （）當(dāng)c b a 時(shí)，設(shè)1+=n a ，n b =，1-=n c （n 為大于1的正整數(shù)）， 代入()c b b a +=2，得()()1212-=+n n n ，即 0132=-n n ，此方程無整數(shù)解 所以，三邊長(zhǎng)恰為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍的三角形存在，而且只有三邊長(zhǎng)分別為4，5，6構(gòu)成的三角形滿足條件 13、如圖，ABC 的三邊長(zhǎng) ,BC a AC b AB c a b c = 都是整數(shù)，且,a b 的最大公約數(shù)是2。 點(diǎn)G 和點(diǎn)I 分別為ABC 的

12、重心和內(nèi)心，且90GIC =?，求ABC 的周 長(zhǎng). 另解：如圖，連結(jié)GA ，GB ，過G ， I 作直線交BC 、AC 于點(diǎn)E 、F ，作ABC 的內(nèi)切圓I ，切BC 邊于點(diǎn)D 。記ABC 的半周長(zhǎng)為P ，內(nèi)切圓半徑為r ，BC ，AC 邊上的高線長(zhǎng)為,a b h h 。 ABC S rp ?= r = 易知：C D p c =-,在Rt CIE ?中，2 r D E p c =-即()() p a p b DE p -= ()() ()p a p b ab CE CD DE p c p p -=+=-+ = 又,C I EF C I AC B 平分，所以CE CF 由G EG FG FE

13、ABC AB B A C S S S S S ?=+ 得：ABC S 111)23 23232a b ABC h h ab ab ab S r p p p ?+?- ? +?- ? +? ? （a （b 即ABC 2 S 11( )( )3 2 32 3ABC a b p b p a ab S h h rp p p p ?-+? +? + ? a b 整理得 223p cp ab -=，即232(2)()ab p cp p p c P a b =-=-=+ 設(shè)ABC 的周長(zhǎng)為m ，則62ab m p a b = +為整數(shù)。 由已知(,)2a b =，設(shè)2,2,(,)1,a s b t s t

14、s t =且都是正整數(shù)，代入上式，得 12st m s t = + (,)1,(,)1s s t t s t +=+=，s t +是12的約數(shù)，即s t +1，2，3，4， 6，12 不妨設(shè)s t ，則1s t （，），得 12351171,1,1,1,1,5689101135s s s s s s t t t t t t m m m m m m =?=?=? 經(jīng)檢驗(yàn)，只有7535s t m =? =?=? 符合題意， 所以：14,10,11a b c =或10,14,11a b c =，即所求ABC 的周 長(zhǎng)為35。 14從1，2，9中任取n 個(gè)數(shù)，其中一定可以找到若干個(gè)數(shù)（至少一個(gè)，也可以是全部），它們的和能被10整除，求n 的最小值 解：當(dāng)n 4時(shí)，數(shù)1，3，5，8中沒有若干個(gè)數(shù)的和能被10整除5分 當(dāng)n 5時(shí)，設(shè)125a a a ， ，是1，2，9中的5個(gè)不同的數(shù)若其中任意若干個(gè)數(shù)，它們的和都不能被10整除，則125a a a ， ，中不可能同時(shí)出現(xiàn)1和9