數學分析偏導數與全微分市公開課獲獎課件

1、第十六章 偏導數與全微分再一元微分學中：有 導數（微商）連續(xù)微分復習：改變率線性主要部分第1頁第1頁 1 偏導數與全微分概念 比如：固定 y = y0, 則 f (x, y0) 就是 x 一元函數，它在 x0 時對x 導數，稱為 f (x, y0) 在 (x, y0) 對 x 偏導數. 偏導數在二元函數 f (x, y) 中將 x, y 中一個量固定（看作不變），定義16.1. 函數 f 在(x0, y0) 關于 x 偏改變量. 若下列極限存在則稱該極限為函數 f (x, y) 關于 x 偏導數.第2頁第2頁記號： 和一元函數情形相仿：則這個偏導數也是二元函數，它是在G內對x或y偏導函數，簡稱

2、偏導數,記為或或：若函數在區(qū)域內每一點都存在對x或對y偏導數，第3頁第3頁 偏導數幾何意義：先復習導數幾何意義空間曲線 看p181圖曲面平面第4頁第4頁例例 例表明：偏導數存在 連續(xù) 原因：只有兩個方向與一元函數本質區(qū)別第5頁第5頁全微分回想一下一元函數微分：兩大特點；.推廣到二元函數定義.（可微與全微分） 記號：二元函數微分仍有兩大特點；. 先回想一下一元函數情形：切線存在且迫近曲線二元：切平面存在且迫近曲面二元函數 在幾何意義第6頁第6頁定理16.1 全微分與偏導數關系： 設可微，在表示式中分別令和得第7頁第7頁從而： 在全微分可寫成類似可定義 n 元函數 u = f ()全微分注：函在一

3、點偏導數不也許推出在該點可微 定理.2 在某區(qū)域內點全微分為第8頁第8頁總結連續(xù)偏導數存在可微偏導數連續(xù)第9頁第9頁4、高階偏導數和高階微分 先考慮二元函數前面說過偏導數則稱關于x, y偏導數為二階偏導數，共有四個類似可定義三階偏導數 ：共個 第10頁第10頁例 7.求所有二階偏導數： 兩個混合偏導數：是否總相等 例8.設證實:在什么條件下才干確保兩者相等呢？第11頁第11頁定理16.4 這個定理能夠推廣到 n含有直到 n 階連續(xù)偏導數，則求偏導數與變量順序 n 階偏導數可簡樸得表示為：階偏導數情形：即若函數 f高階全微分復習高階微分二階全微分：設混合偏導數連續(xù)，記號無關. 從而二元函數第12

4、頁第12頁2 復合函數與隱函數微分法復合函數偏導數 先復習一元函數鏈式法則 多元類似 Th16.5 復合函數偏導數鏈式法則 證實： 思緒 1、2、可微：偏導注：條件“可微”不可少。要求第13頁第13頁總結用圖表示鏈式法則 第14頁第14頁幾種特殊情形和推廣：1）則復合函數為一元函數 設注意符號有時稱全導數第15頁第15頁2）設 則推廣 n 個P196復合三次uxyzst第16頁第16頁3) 設 1、兩符號意義本質區(qū)別2、特例uxytst第17頁第17頁下面求復合函數高階偏導數：例3強調 ，仍是 x, y 函數，從而 x, y 又是 s, t 函數 xyst同理第18頁第18頁例4.設 書上記號

5、易混求解: 引入中間變量： 記號 鏈式法則應用 偏微分方程變換 求解目第19頁第19頁2）復合函數全微 設進一步，若 則有又：和一元函數同樣，二階全微分不再含有形式不變性。這一性質稱為一階全微分形式不變性應用：隱含數微分法第20頁第20頁3）隱函數（組）求導法（1）一個方程情形：上冊Ch4.3 =0情形：在一定條件下，由能夠擬定隱含數y=f ( x)且是可導,求 前面求法：只有對詳細問體：現在利用偏導數和鏈式法則，有 （例，求）不能給出普通表示式，若則第21頁第21頁推廣：由方程=0，擬定隱含數且偏導數存在，求 同理可得： 例7設 解： 由要求結果知 擬定隱函數偏導數存在第22頁第22頁例8設

6、 解法二（利用全微分公式）解法一：（2）方程組情形：設擬定兩個隱含數求推導見：P205。求（假設存在）第23頁第23頁小結偏導與全微分概念復合函數與隱函數微分第24頁第24頁 習題1、求解法1:解法2:在點(1 , 2) 處偏導數.第25頁第25頁2、 設證:3、 求偏導數 . (P14 例4)解:求證第26頁第26頁4、計算近似值. 解: 設,則取則第27頁第27頁5、解:第28頁第28頁1、 利用公式 求計算面積時絕對誤差與相對誤差.解：故絕對誤差約為又因此 S 相對誤差約為計算三角形面積.現測得附加題第29頁第29頁2、在直流電路中, 測得電壓 U = 24 伏 ,解: 由歐姆定律可知(

7、 歐)因此 R 相對誤差約為0.3 + 0.5 R 絕對誤差約為0.8 0.3;定律計算電阻 R 時產生相對誤差和絕對誤差 .相對誤差為 測得電流 I = 6安, 相對誤差為 0.5 ,= 0.032 ( 歐 )= 0.8 求用歐姆第30頁第30頁3.設解: 利用輪換對稱性 , 可得注意: x , y , z 含有 輪換對稱性 第31頁第31頁4、 設 求全導數解:注意：多元抽象復合函數求導在偏微分方程變形與驗證解問題中經常碰到,第32頁第32頁半徑由 20cm 增大解: 已知即受壓后圓柱體體積減少了 5.有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到 20.05cm , 則 高度由100cm 減少到 99cm