控制系統(tǒng)數學描述市公開課獲獎課件

1、控制系統(tǒng)數學描述數字仿真技術第1頁第1頁主要內容1. 控制系統(tǒng)數學描述2. 控制系統(tǒng)建模實例3. 實現(xiàn)問題4. 常微分方程數值解法5. 數值算法中病態(tài)問題第2頁第2頁Outline1. 控制系統(tǒng)數學描述1.1 控制系統(tǒng)數學模型表示形式1.2 數學模型轉換1.3 線性時不變系統(tǒng)對象數據類型描述2. 控制系統(tǒng)建模實例3. 實現(xiàn)問題4. 常微分方程數值解法5. 數值算法中病態(tài)問題1.4 控制系統(tǒng)建模辦法第3頁第3頁1.1 控制系統(tǒng)數學模型表示形式依據系統(tǒng)數學描述方法不同，可建立不同形式數學模型1 微分方程形式設線性定常系統(tǒng)輸入、輸出量是單變量，分別為u(t),y(t)模型參數形式為：輸出系統(tǒng)向量 ，

2、 n+1維輸入系統(tǒng)向量 ， m+1維(2-1)第4頁第4頁1.1 控制系統(tǒng)數學模型表示形式1 微分方程形式依據牛頓定律，寫出其動力學方程則該系統(tǒng)微分方程形式：輸出系統(tǒng)向量 A=m f k輸入系統(tǒng)向量 B=1第5頁第5頁2 狀態(tài)方程形式當控制系統(tǒng)輸入、輸出為多變量時，可用向量分別表示為U(t),Y(t),系統(tǒng)內部狀態(tài)變量為X(t).模型參數形式為：系統(tǒng)系數矩陣A，系統(tǒng)輸入矩陣B系統(tǒng)輸出矩陣C，直接傳播矩陣D簡記為(A,B,C,D)形式。(2-2)1.1 控制系統(tǒng)數學模型表示形式第6頁第6頁1.1 控制系統(tǒng)數學模型表示形式2 狀態(tài)方程形式依據牛頓定律，寫出其動力學方程取系統(tǒng)狀態(tài)變量為v,x：則狀態(tài)

3、方程形式可寫作：第7頁第7頁3 傳遞函數形式在零初始條件下，將(2-1) 方程兩邊進行拉氏變換，則有(2-4)模型參數可表示為傳遞函數分母系數向量傳遞函數分子系數向量用num=B,den=A分別表示分子，分母參數向量，則可簡練表示為(num,den)，稱為傳遞函數二對組模型參數1.1 控制系統(tǒng)數學模型表示形式第8頁第8頁1.1 控制系統(tǒng)數學模型表示形式3 傳遞函數形式依據得到微分方程對上式進行拉氏變換：經整理變得到傳遞函數：第9頁第9頁4 零極點增益形式將(2-4)中分子，分母分解為因式連乘形式，則有(2-6)模型參數可表示為系統(tǒng)零點向量：系統(tǒng)極點向量：簡記為(Z,P,K)形式，稱為零極點增益

4、三對組模型參數。1.1 控制系統(tǒng)數學模型表示形式第10頁第10頁5 部分分式形式將傳遞函數表示為下列形式(2-7)模型參數可表示為極點留數向量：系統(tǒng)極點向量：余式系數向量：簡記為(R,P,Q),稱為極點留數模型參數。1.1 控制系統(tǒng)數學模型表示形式第11頁第11頁1.2 數學模型轉換1 微分方程與傳遞函數形式兩者模型參數向量完全同樣。2傳遞函數與零極點增益形式Matlab函數tf2zp()和zp2tf()用來完畢兩種形式之間轉換如 z , p , k=tf2zp(num,den);num,den=zp2tf(z , p , k)第12頁第12頁1.2 數學模型轉換3 狀態(tài)方程與傳遞函數或零極點

5、增益形式ss2tf()和tf2ss用來狀態(tài)方程與傳遞函數間轉換如 num,den=ss2tf(A,B,C,D);A,B,C,D=tf2ss(num,den)同一傳遞函數狀態(tài)方程不是唯一，上述轉換函數只能實現(xiàn)可控原則型狀態(tài)方程第13頁第13頁4 部分分式與傳遞函數或零極點增益形式ss2zp()和zp2ss用來狀態(tài)方程與零極點增益形式間轉換如 z,p,k=ss2tf(A,B,C,D);A,B,C,D=tf2ss(z,p,k)傳遞函數轉化為部分分式形式關鍵在于求取極點留數可通過residue()函數來完畢。如R , P , H=residue(num,den) num,den=residue(R ,

6、 P , H)1.2 數學模型轉換第14頁第14頁1.3 線性時不變系統(tǒng)對象數據類型描述新版Matlab語言中，添加了“對象數據類型”,能夠用各種系統(tǒng)模型來建立。在工具箱中定義了線性時不變模型對象，即LTI對象。 G=tf(num,den) 能夠用各種形式 G=zpk(Z,P,K)建立LTI對象模型 G=ss(A,B,C,D)也能夠通過下列函數取得模型參數向量num,den=tfdata(G) A,B,C,D=ssdata(G)Z,P,K=zpkdata(G)第15頁第15頁1.4 控制系統(tǒng)建?；巨k法1 機理模型法 采用由普通到特殊推理演繹辦法，對已知結構，參數物理系統(tǒng)利用相應物理定律或定理

7、，通過合理分析簡化而建立起來描述系統(tǒng)各物理量動、靜態(tài)改變性能數學模型。例：位置伺服閉環(huán)控制系統(tǒng)第16頁第16頁(1) 同時誤差檢測器(2) 放大器(3) 直流電動機(4) 測速發(fā)電機(5) 負載輸出1.4 控制系統(tǒng)建?；巨k法第17頁第17頁該系統(tǒng)總傳遞函數GB(s)將各環(huán)節(jié)連接起來構成系統(tǒng)總結構圖1.4 控制系統(tǒng)建?；巨k法第18頁第18頁2 統(tǒng)計模型法 采用由特殊到普通邏輯、歸納辦法，依據一定數量在系統(tǒng)運營過程中實測、觀測物理數據，利用統(tǒng)計規(guī)律、系統(tǒng)辨識等理論合理預計出反應實際系統(tǒng)各物理量互相制約關系數學模型。例：通過試驗辦法測得某系統(tǒng)開環(huán)頻率響應，來建立該系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數模型1.4 控制

8、系統(tǒng)建?；巨k法第19頁第19頁(1) 由已知數據繪制該系統(tǒng)開環(huán)頻率響應bode圖(2) 用20dB/dec及其倍數折線迫近幅頻特性，得到兩個轉折頻率相應慣性環(huán)節(jié)時間常數為(3) 由低頻幅頻特性可知1.4 控制系統(tǒng)建?；巨k法第20頁第20頁(4) 由高頻段相頻特性知，該系統(tǒng)存在純滯后環(huán)節(jié)，為非最小相位系統(tǒng)，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數應為下列形式(5) 擬定純滯后時間值再查圖中(6) 最后求得該系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數模型G(s)為1.4 控制系統(tǒng)建模基本辦法第21頁第21頁3 混合模型法當對控制內部結構和特性有部分理解，但又難以完全用機理模型辦法表述出來，這是需要結合一定試驗辦法擬定另外一部分不甚理解結構特性

9、，或是通過實際測定來求取模型參數。這種辦法是機理模型法和統(tǒng)計模型法結合，故稱為混合模型法。總之 不論采取何種建模方法，其實質就是設法獲取相關系統(tǒng)盡也許多信息并通過恰當信息處理而得到對系統(tǒng)準確合理描述。上述三種建模方法只是信息處理過程不同而已，在實際建模過程中應靈活掌握應用 。1.4 控制系統(tǒng)建?；巨k法第22頁第22頁Outline1. 控制系統(tǒng)數學描述2.1 獨輪自行車實物仿真問題2.2 龍門起重機運動控制問題2.3 水箱液位控制問題2. 控制系統(tǒng)建模實例3. 實現(xiàn)問題4. 常微分方程數值解法5. 數值算法中病態(tài)問題2.4 燃煤熱水鍋爐控制問題第23頁第23頁2.1 獨輪自行車實物仿真問題單

10、一剛性鉸鏈，兩自由度動力學問題問題提出 ：獨輪自行車，機器人行走過程中平衡控制，火箭發(fā)射中垂直度控制，衛(wèi)星飛行中姿態(tài)控制，海上鉆井平臺穩(wěn)定控制，飛機安全著陸控制。第24頁第24頁1)擺桿繞其中心轉動方程為2)擺桿重心水平運動也許描述為3)擺桿中心在垂直方向上運動可描述為4)小車水平方向運動可描述為2.1 獨輪自行車實物仿真問題第25頁第25頁準確模型：在平衡點附近線性化：平衡點附近=02.1 獨輪自行車實物仿真問題第26頁第26頁線性化后模型可寫為：2.1 獨輪自行車實物仿真問題給定直線擺參數后可得到模型：第27頁第27頁對上述微分方程模型通過上一節(jié)變換能夠得到一階直線倒立擺系統(tǒng)微分方程，傳遞

11、函數和狀態(tài)方程三種形式。2.1 獨輪自行車實物仿真問題F(s)(s)X(s)系統(tǒng)動態(tài)結構圖可表示為第28頁第28頁2.2 龍門起重機運動控制問題起重機系統(tǒng)物理抽象模型 起重機廣泛用于當代工廠，安裝工地和集裝箱貨場以及室內外倉庫裝卸與運送作業(yè)。但是由于吊車采用柔性體代替剛體工作，帶來負載擺動負面影響，故需要研究吊車防擺控制。第29頁第29頁拉格朗日分析力學小車和重物位置小車和重物速度分量2.2 龍門起重機運動控制問題第30頁第30頁系統(tǒng)拉格朗日方程為：系統(tǒng)動能：2.2 龍門起重機運動控制問題第31頁第31頁吊車系統(tǒng)運動方程：不考慮繩長改變，系統(tǒng)退化為兩自由度，上述模型變?yōu)椋?.2 龍門起重機運動

12、控制問題第32頁第32頁考慮實際運營中擺角改變較小，平衡位置=0，因此可將上述模型在平衡位置點進行線性化簡化：2.2 龍門起重機運動控制問題化簡并進行拉氏變換可得：第33頁第33頁2.2 龍門起重機運動控制問題系統(tǒng)動態(tài)結構圖可表示為對前微分方程組進行變換得：第34頁第34頁2.2 龍門起重機運動控制問題取 為系統(tǒng)狀態(tài)變量X， 為系統(tǒng)輸出Y則系統(tǒng)狀態(tài)空間描述方程可寫為：第35頁第35頁2.3 水箱液位控制問題1. 問題提出： 工業(yè)過程控制領域中，諸如電站鍋爐氣泡水位控制，化學反應釜液位控制，化工配料系統(tǒng)液位控制等問題，均可等效為水箱液位控制問題。第36頁第36頁2. 建模機理：(1) 雷諾系數(

13、2) 紊流(3) 層流 當液體雷諾系數Re，流體流態(tài)稱為紊流。紊流表征了流體在傳遞中有能量損失，質點運動紊亂 (有橫向分量) 當液體雷諾系數Re04.3 關于數值積分法幾點討論第67頁第67頁4. 數值算法選取Matlab工具箱提過了下列慣用數值算法-Euler法-2/3階Runge-Kutta法-4/5階Runge-Kutta法-Adams預報-校正法-Gear預報-校正法選取原則：1）精度 ：截斷誤差，舍入誤差，累計誤差2）計算速度3）穩(wěn)定性4.3 關于數值積分法幾點討論第68頁第68頁Outline1. 控制系統(tǒng)數學描述5.2 控制系統(tǒng)仿真中“病態(tài)”問題5.3 “病態(tài)”系統(tǒng)仿真辦法2.

14、控制系統(tǒng)建模實例3. 實現(xiàn)問題4. 常微分方程數值解法5. 數值算法中病態(tài)問題5.1 “病態(tài)常微分方程”第69頁第69頁5.1 “病態(tài)”常微分方程例：其中采用四階龍格庫塔法h=0.01時h=0.04時當h0.05后，曲線發(fā)散振蕩，數值不穩(wěn)定系統(tǒng)矩陣特性值差別較大第70頁第70頁 普通線性常微分方程組：系數矩陣A特性值含有下列特性：則稱為“病態(tài)”方程。對于非線性方程若其雅克比陣特性值也含有如上特性，該非線性方程也為病態(tài)方程。5.1 “病態(tài)”常微分方程第71頁第71頁5.2 控制系統(tǒng)仿真中“病態(tài)”問題1 病態(tài)系統(tǒng)中絕對值最大特性值相應于系統(tǒng)動態(tài)性能解中瞬態(tài)分量衰減最快部分，它反應了系統(tǒng)動態(tài)響應和系

15、統(tǒng)反應靈敏度。普通與系統(tǒng)中含有最小時間常數Tmin環(huán)節(jié)相關，要求計算步長h取得很小。2 病態(tài)系統(tǒng)中絕對值最小特性值相應于系統(tǒng)動態(tài)性能解中瞬態(tài)分量衰減最慢部分，它決定了整個系統(tǒng)動態(tài)過渡過程時間長短。普通與系統(tǒng)中含有最小時間常數Tmax環(huán)節(jié)相關，要求計算步長h取得很大。3 對于病態(tài)問題仿真需要尋求愈加合理算法，以處理病態(tài)系統(tǒng)帶來選取計算步長與計算精度，計算時間之間矛盾。第72頁第72頁5.3 “病態(tài)”系統(tǒng)仿真辦法采用穩(wěn)定性好，計算精度高數值算法，并且允許計算步長能依據系統(tǒng)性能動態(tài)改變情況在一定范圍內作相應改變，采用隱式吉爾法該法已經證實對病態(tài)方程求解過程是數值穩(wěn)定。第73頁第73頁隱式吉爾法從理論

16、上十分適應于病態(tài)系統(tǒng) ，但需要處理好下列問題(1) 自啟動 r階多步算式無法自啟動，需要用單步法求出前r步值(2) 預估迭代 迭代辦法要求收斂性良好，不然在大步長時會造成數 值發(fā)散。(3) 變步長 初始階段采用小步長，隨后可逐步放大步長。對不同精度要求系統(tǒng)仿真，要考慮變階次問題，即為減小每一步計算截斷誤差，以提升精度，應選取較高階次，而當精度較低時，為降低工作量，則應選取較低階次。仿真時應依據預計誤差 與給定誤差精度相比較改變步長或階次來重新計算。 5.3 “病態(tài)”系統(tǒng)仿真辦法第74頁第74頁小結1) 控制系統(tǒng)數學模型是對系統(tǒng)進行計算機仿真基礎 。本章簡介了線性系統(tǒng)微分方程、狀態(tài)方程、傳遞函數

17、、零極點增益和部分分式等數學模型表示辦法和相應模型參數表示辦法。2) 為使所建立模型方程以便應用MATLAB語言進行處理，模型參數采用MATLAB語言控制工具箱中相應格式，即 微分方程、傳遞函數：(num,den)零極點增益： (Z,P,K)部分分式： (R,P,H)狀態(tài)方程： (A,B,C,D)第75頁第75頁小結3) 數學模型各種形式是為適應不同分析與設計要求而建立，它們之間均能夠經過一定方法相互轉換。MATLAB語言為此提供了方便可靠數學模型轉換函數ss2tf()、tf2ss()、tf2zp()等。4) 控制系統(tǒng)建模普通采用機理法，統(tǒng)計法和混合法，又稱之為一次模型化。需要依據對系統(tǒng)內部結

18、構、特性或是外部輸入、輸出數據理解和掌握程度，擬定采用何種建模辦法更能準確反應系統(tǒng)中各物理量改變規(guī)律動力學特性。系統(tǒng)建模對最后數字仿真結果有直接影響，應予以充足注重 。第76頁第76頁小結5) 實現(xiàn)問題就是依據控制系統(tǒng)傳遞函數描述求取其相應狀態(tài)空間描述；計算機仿真技術實現(xiàn)問題更詳細，就是將一次模型化得到系統(tǒng)數學模型，再加以二次模型化，得到可在數字計算機上運營求解仿真模型。6) 數值積分是計算機求解一階微分方程有效手段。歐拉法最簡樸易行，且是其它各種數值積分算法基礎，但其截斷誤差大，不能滿足普通工程精度要求；龍格庫塔法是控制系統(tǒng)仿真最慣用算法，能夠依據對仿真精度不同要求，選取對應階次，普通情況下采取三階或四階龍格庫塔法以能滿足較高精度需要。數值積分單步于多步、顯式與隱式等各種方法各有特點，應依據需要靈活使用。第77頁第77頁小結7) 數值穩(wěn)定性問題是指數值計算過程中，各種誤差等積累能否得到很好克制，是否不會伴隨計算時間增加而不停增大，所得數值結果是否迫近實際結果等。經過試驗方程式能夠對數值積