高中數(shù)學(xué)32均值不等式教案新人教B版必修5

1、32 均值不等式整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析均值不等式也稱(chēng)基本不等式本節(jié)主要目標(biāo)是使同學(xué)明白均值不等式的代數(shù)意義,幾何的直觀說(shuō)明以及均值不等式的證明和應(yīng)用本節(jié)教材上一開(kāi)頭就開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地給出均值不等式及證明, 在摸索與爭(zhēng)論過(guò)渡下,給出均值不等式的一個(gè)幾何直觀說(shuō)明,以加深同學(xué)對(duì)均值不等式的懂得 教材用作差配方法證明均值不等式作差配方法是證明不等式的基本方法,在整個(gè)不等式的教學(xué)中都要貫徹這一重要方法在解題中要讓同學(xué)留意使用均值不等式的條件,并把握基本技能一般說(shuō)來(lái),“ 見(jiàn)和想積,拆低次,湊積為定值,就和有最小值；見(jiàn)積想和,拆高次,湊和為定值,就積有最大值” 本節(jié)的 新課標(biāo)要求是：探究并明白均值不等式的證明過(guò)程；會(huì)用

2、均值不等式解決簡(jiǎn)單的最大 小 問(wèn)題 從歷年的高考來(lái)看,均值不等式是重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一,它的應(yīng)用范疇?zhēng)缀跎婕案咧袛?shù)學(xué)的全部章節(jié),且常考常新,大多是大小判定、求最值、求取值范疇等不等式的證明是將來(lái)進(jìn)入高校不行缺少的技能,同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),題型廣泛, 涉及面廣,證法敏捷,備受命題者的青睞,因而成為歷屆高考中的熱點(diǎn)幾乎全部地區(qū)的高考題都能覓到它的蹤影書(shū)中練習(xí)A、B 和習(xí)題都是基此題,要求全做鑒于均值不等式的特殊作用,因此本節(jié)設(shè)計(jì)為 2 課時(shí)完成, 但僅限于基本方法和基本技能的把握, 不涉及高難度的技巧第一課時(shí)重在均值不等式的探究,其次課時(shí)重在均值不等式的敏捷運(yùn)用 且在教學(xué)中, 將本節(jié)教材中的

3、摸索與爭(zhēng)論一起拿到課堂上來(lái),讓同學(xué)通過(guò)思考與爭(zhēng)論建立均值不等式與不等式 a 2b 22ab 的聯(lián)系三維目標(biāo)1通過(guò)本節(jié)探究,使同學(xué)學(xué)會(huì)推導(dǎo)并把握均值不等式,懂得這個(gè)均值不等式的幾何意義,把握定理中的不等號(hào)“ ” 取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等2通過(guò)對(duì)均值不等式的不同形式應(yīng)用的爭(zhēng)論,滲透“ 轉(zhuǎn)化” 的數(shù)學(xué)思想,提高同學(xué)運(yùn)算才能和規(guī)律推理才能引發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)的愛(ài)好,進(jìn)展創(chuàng)新精神, 培育實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德3通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),使同學(xué)體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,幫忙同學(xué)養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成積極探究的態(tài)度,逐步養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度及良好的思維習(xí)慣1 重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)： 用數(shù)

4、形結(jié)合的思想懂得均值不等式,并從不同角度探究不等式ab2ab的證明過(guò)程；用不等式求某些函數(shù)的最值及解決一些簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)： 用均值不等式求最大值和最小值,均值不等式ab2ab等號(hào)成立條件的運(yùn)用,應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題課時(shí)支配 2 課時(shí) 教學(xué)過(guò)程 第 1 課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路 1. 直接引入 像教材那樣,直接給出均值定理,然后引導(dǎo)同學(xué)利用上節(jié)課的基本性質(zhì)來(lái)探究它的證明方法由于有了上兩節(jié)的不等式的探究學(xué)習(xí),因此這樣引入雖然直白卻也是順其自然思路 2. 情境導(dǎo)入 老師自制風(fēng)車(chē),讓同學(xué)把老師自制的風(fēng)車(chē)轉(zhuǎn)起來(lái),這是同學(xué)小時(shí)候玩過(guò)的滿(mǎn)意玩具；手持風(fēng)車(chē)把手,來(lái)了一個(gè)360 的旋轉(zhuǎn),不但風(fēng)車(chē)轉(zhuǎn)得美

5、麗,課堂氣氛也活躍, 同學(xué)在緊急的課堂氛圍中立刻變得自然和諧,情境引入到達(dá)高潮,此時(shí)老師再提出問(wèn)題推動(dòng)新課新知探究提出問(wèn)題1 均值定理的內(nèi)容是什么？怎樣進(jìn)行證明？2 你能證明 a 2b 22ab嗎？3 你能?chē)L試給出均值不等式的一個(gè)幾何直觀說(shuō)明嗎？4 均值不等式有哪些變形式？活動(dòng)： 老師引導(dǎo)同學(xué)閱讀均值定理的內(nèi)容,或直接用多媒體給出點(diǎn)撥同學(xué)利用上兩節(jié)課所學(xué)學(xué)問(wèn)進(jìn)行證明,這點(diǎn)同學(xué)會(huì)很簡(jiǎn)潔做到,只需作差配方即可接著讓同學(xué)明確,這個(gè)ab結(jié)論就是均值不等式,也叫基本不等式其中,任意兩個(gè)正實(shí)數(shù) a、b 的 叫做數(shù) a、b2的算術(shù)平均值,數(shù) ab叫做 a、b 的幾何平均值均值定理可以表述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平

6、均值大于或等于它的幾何平均值強(qiáng)調(diào)這個(gè)結(jié)論的重要性,在證明不等式、 求函數(shù)的最大值2 最小值時(shí)有著廣泛的應(yīng)用,是高考的一個(gè)熱點(diǎn)可以通過(guò)反例或特例讓同學(xué)進(jìn)一步熟識(shí)這個(gè)結(jié)論成立的條件,a、b 必需是正數(shù), 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) ab,以加深同學(xué)對(duì)此結(jié)論的懂得,為后面求最值時(shí)的“ 一正二定三相等” 打下基礎(chǔ)利用不等式的性質(zhì)對(duì)均值不等式兩邊平方,就很簡(jiǎn)潔得到 a 2b 22ab. 這是一個(gè)很重要的結(jié)論一般地,假如 a、bR,那么 a 2b 22ab當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“ ” 也可讓同學(xué)重新證明這個(gè)結(jié)論：a 2b 22aba b 2,當(dāng) a b 時(shí),有 a b 20. 當(dāng) ab 時(shí),有 a b 20,所以 a

7、 b 20,即 a 2b 22ab.這個(gè)不等式對(duì)任意實(shí)數(shù) a,b 恒成立,是一個(gè)很重要的不等式,應(yīng)用特別廣泛請(qǐng)同學(xué)們留意公式的結(jié)構(gòu)形式,成立的條件是 a、b 為實(shí)數(shù), 等號(hào)成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)成立“ 當(dāng)且僅當(dāng)” 即指充要條件下面我們對(duì)均值不等式的幾何意義作進(jìn)一步探究如圖 1,AB是圓的直徑, 點(diǎn) C是 AB上一點(diǎn),ACa,BCb. 過(guò)點(diǎn) C作垂直于 AB的弦 DD ,連結(jié) AD、BD.你能利用這個(gè)圖形得出均值不等式的幾何說(shuō)明嗎？圖 1 本節(jié)課開(kāi)展到這里,同學(xué)從均值不等式的證明過(guò)程中已體會(huì)到證明不等式的常用方法,對(duì)均值不等式也已經(jīng)很熟識(shí),這就具備了探究這個(gè)問(wèn)題的學(xué)問(wèn)與情感基礎(chǔ) CD這

8、個(gè)圖形是我們?cè)谥袑W(xué)特別熟識(shí)的一個(gè)重要圖形簡(jiǎn)潔證明 ACD DCB.所以可得ab. 或由射影定理也可得到CDab. 從圖中我們可直觀地看到ab表示的是半弦長(zhǎng),ab表示的是半徑長(zhǎng)由于半弦長(zhǎng)不大于半徑,即CD小于或等于圓的半徑,用不等式表示2為：abab. C與圓心重合,即當(dāng)ab 時(shí),等號(hào)成立2明顯,上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)3 仍應(yīng)讓同學(xué)熟識(shí)均值不等式的其他變形式如假設(shè) a、b R,就 aba b,當(dāng)且僅2當(dāng) ab 時(shí),式中等號(hào)成立好多書(shū)上就把它稱(chēng)為基本不等式在同樣條件下仍可寫(xiě)成：ab2 ab或 2 aba b 等爭(zhēng)論結(jié)果：12 略3 均值不等式的幾何說(shuō)明是：半徑不小于半弦長(zhǎng)4 假設(shè) a、b R,就ab

9、ab 2,當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí),式中等號(hào)成立；假設(shè) a、b R,就 ab2ab,當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí),式中等號(hào)成立；假設(shè) a、b R,就 a 2b 22ab,當(dāng)且僅當(dāng)應(yīng)用例如例 1 教材本節(jié)例 1 ab 時(shí),式中等號(hào)成立活動(dòng)： 本例是均值不等式的簡(jiǎn)潔應(yīng)用,老師點(diǎn)撥同學(xué)證明時(shí)留意式中成立的條件,本例中的b a和ab a,a bR. b點(diǎn)評(píng)： 初用均值不等式,同學(xué)往往簡(jiǎn)潔無(wú)視不等式成立的條件,點(diǎn)撥同學(xué)留意,只要使用均值定理,立刻先想到條件,養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣. 變式訓(xùn)練已知 a、b、c 都是正實(shí)數(shù),求證：證明： a 0,b0, c0,a bb cc a 8abc.ab2 ab0,bc2 bc0,ca2 c

10、a0. a bb cc a 2 ab 2 bc 2 ac8abc,即a bb cc a 8abc.例 2 已知 a bx y 2ay bx ,求證：xy abab xy2.x y ab活動(dòng)：老師引導(dǎo)同學(xué)探究題目中的條件與結(jié)論此題結(jié)論中, 留意 a b與 xy互為倒數(shù),x y ab它們的積為 1,故此題應(yīng)從已知條件動(dòng)身,經(jīng)過(guò)變形,說(shuō)明 a b與 xy為正數(shù)開(kāi)頭證題4 證明： a bx y 2ay bx ,ax aybxby2ay2bx. ax aybybx0. ax bx ay by 0. a bx y 0,即 ab 與 xy 同號(hào)xy ab與ab xy均為正數(shù)xy abxy abab xy2x

11、y abxy2 當(dāng)且僅當(dāng) xy abab xy時(shí)取“ ” xy abab xy2. 點(diǎn)評(píng)： 此題通過(guò)對(duì)已知條件變形,恰當(dāng)?shù)匾蚴椒纸?從爭(zhēng)論因式乘積的符號(hào)來(lái)判定與ab xy是正仍是負(fù),是我們今后解題中常用的方法例 3 假設(shè) ab1, Plga lgb , Q1 2lga lgb ,Rlgab 2,就 ARPQ B PQR CQPR D PRQ 活動(dòng)：這是均值不等式及其變形式的典型應(yīng)用依據(jù)P、Q、R三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),應(yīng)考慮利用均值不等式,再運(yùn)用函數(shù) y lgx 的單調(diào)性答案： B 解析： a b1,lga lgb 0. 1 2lga lgb 1 2 2lga lgb ,即QP. 又a b2ab,

12、lga blg 2ab1 2lga lgb R Q.故 PQR. 點(diǎn)評(píng)：應(yīng)精確懂得均值不等式成立的條件,制造性地應(yīng)用均值不等式例 4 教材本節(jié)例 2 活動(dòng)：這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題老師引導(dǎo)同學(xué)分析,依據(jù)題意在1 中,矩形的長(zhǎng)與寬的積是一個(gè)常數(shù),求長(zhǎng)與寬的和的兩倍的最小值；在 2 中,矩形的長(zhǎng)與寬的和的兩倍是一個(gè)常5 數(shù),求長(zhǎng)與寬的積的最大值聯(lián)想到均值不等式的兩邊恰是兩個(gè)正數(shù)的和與積,因此建立均值不等式的數(shù)學(xué)模型點(diǎn)評(píng)： 本例也可用函數(shù)模型解決,課后可讓同學(xué)試一試這里用均值不等式來(lái)解,一是說(shuō)明利用均值不等式求最值的方法,二是說(shuō)明這種方法的快捷解完本例后, 讓同學(xué)領(lǐng)會(huì)到：兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí),它們的和有最小

13、值； 兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí),它們的積有最大值 簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：在應(yīng)用這個(gè)結(jié)論求最值時(shí)應(yīng)把握“ 一正、二定、三相等” 正是正數(shù),定是定值,相等是能取到等號(hào)知能訓(xùn)練1“ a1 8” 是“ 對(duì)任意的正數(shù)x,2x a x1” 的 A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件2假設(shè)正數(shù) a、b 滿(mǎn)意 ab ab3,就 ab 的取值范疇是 _答案：1 a 11A 解析： 一方面,當(dāng) a8時(shí),對(duì)任意的正數(shù) x,有 2xx2x8x1；另一方面,a a 1對(duì)任意正數(shù) x,都有 2xx1,只要 2xx2 2a1,即得 a8. 29 , 解法一：令 ab tt 0 ,由 abab32 ab3,

14、得 t 22t 3,解得 t 3,即 ab3,故 ab9.解法二：由已知得 abba3, ba 1 a3,a3ba1a 1 a 3 a3 a3 a14abaa 1a 1 1 a1a3a1a 14a 14 4a1a152 a 1a15 9. 4當(dāng)且僅當(dāng) a1a 1時(shí)取等號(hào),即 ab3 時(shí), ab 的最小值為 9. ab 的取值范疇是 9 , 點(diǎn)評(píng)：此題較全面地考查了均值不等式的應(yīng)用及不等式的解法與運(yùn)算才能通過(guò)摸索 ab 與 ab 的關(guān)系聯(lián)想到均值不等式,或建立在函數(shù)思想上,求函數(shù)的值域由于視角的不同,有多種方法,以上僅是其中的兩種解法6 課堂小結(jié) 1由同學(xué)自己理順整合本節(jié)都學(xué)到了哪些學(xué)問(wèn)方法？有

15、哪些收成？數(shù)2老師強(qiáng)調(diào),本節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2 b 22ab；兩正數(shù)a、b 的算術(shù)平均ab 2 ,幾何平均數(shù) ab 及它們的關(guān)系 abab 兩關(guān)系式成立的條件不同,前者2只要求 a、b 都是實(shí)數(shù),而后者要求 求函數(shù)最值的重要工具作業(yè)a、b 都是正數(shù)它們既是不等式變形的基本工具,又是習(xí)題 32A 組, 4,5,6. 習(xí)題 32B 組, 1,2. 設(shè)計(jì)感想1本節(jié)設(shè)計(jì)突出重點(diǎn)均值不等式的功能在于求最值,這是本節(jié)的重點(diǎn),要牢牢地抓住但使用均值不等式求函數(shù)最值時(shí)要留意：x 與 y 必需能夠相等x,y 都是正數(shù)； 積 xy 或和 x y 為定值；2本節(jié)課我們探究了均值不等式,拓展了我們的視野；證

16、明不等式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn),也是難點(diǎn), 在設(shè)計(jì)中加強(qiáng)了證明不等式的題量,但難度并不大,重在讓同學(xué)體會(huì)方法將解題思路轉(zhuǎn)化為解題過(guò)程,往往不是一帆風(fēng)順的,談思路可能頭頭是道,詳細(xì)求解卻可能會(huì)處處碰壁,排除思路與求解的差異,要靠探究,在探究中不斷更新,在探究中逐步完善 設(shè)計(jì)者：鄭吉星 第 2 課時(shí)導(dǎo)入新課思路 1. 復(fù)習(xí)導(dǎo)入 讓同學(xué)回憶上節(jié)課我們探究的重要結(jié)果：一是假如 a,b R,那么a 2b 22ab當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“ ” ；二是均值不等式： 假如 a,b 是正數(shù),那么abab2ab 當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取“ ” 在這個(gè)不等式中,2 為 a,b 的算術(shù)平均數(shù),ab為 a,bab的幾何平均數(shù),這

17、樣均值不等式就有了幾何意義：半弦長(zhǎng)不大于半徑a 2b 22ab 與 2ab成立的條件是不同的,前者只要求 a,b 都是實(shí)數(shù),而后者要求 a,b 都是正數(shù)本節(jié)課我們進(jìn)一步探究均值不等式的應(yīng)用由此綻開(kāi)新課ab思路 2. 直接導(dǎo)入 通過(guò)上節(jié)課 a 2b 22aba、 b R 與 2aba 0,b0 的探究證明,我們熟識(shí)了不等式的一些證明方法本節(jié)課我們進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)不等式的證明思路、方法,進(jìn)一步熟識(shí)利用均值不等式解決函數(shù)的最值問(wèn)題的思路老師打開(kāi)多媒體課件,從而綻開(kāi)新7 課推動(dòng)新課新知探究提出問(wèn)題1 回憶上節(jié)課探究的均值不等式,怎樣懂得均值不等式的意義？都有哪些變形？2 均值不等式都有哪些方面的應(yīng)用？3 在

18、應(yīng)用均值不等式求最值時(shí),應(yīng)留意什么問(wèn)題？活動(dòng)：老師引導(dǎo)同學(xué)回憶上節(jié)課我們共同探究的均值不等式,以及均值不等式與 a 2b 22ab 的聯(lián)系 給出了均值不等式的一個(gè)幾何直觀說(shuō)明均值不等式與 a 2b 22ab 都有著廣泛的應(yīng)用對(duì)這兩個(gè)重要不等式,要明確它們成立的條件是不同的后者成立的條件是 a與 b 都為實(shí)數(shù),并且 a 與 b 都為實(shí)數(shù)是不等式成立的充分必要條件；而前者成立的條件是 a與 b 都為正實(shí)數(shù),并且 a 與 b 都為正數(shù)是不等式成立的充分不必要條件,如 a 0,b0,仍舊能使a b2ab成立兩個(gè)不等式中等號(hào)成立的條件都是ab,故 ab 是不等式中等號(hào)成立的充要條件在使用“ 和為常數(shù),積

19、有最大值” 和“ 積為常數(shù),和有最小值” 這兩個(gè)結(jié)論時(shí),應(yīng)把握“ 一正、二定、三相等” 當(dāng)條件不完全具備時(shí),應(yīng)制造條件本節(jié)課我們將進(jìn)一步探究均值不等式的應(yīng)用爭(zhēng)論結(jié)果：12 略3 應(yīng)留意不等式成立的條件,即把握好“ 一正,二定,三相等” 應(yīng)用例如 3 例 1 教材本節(jié)例活動(dòng)：本例是求函數(shù)的最值老師引導(dǎo)同學(xué)將fx 變形,留意觀看代數(shù)式中可否顯現(xiàn)和或積的定值本例可放手讓同學(xué)自己探究,老師賜予適當(dāng)點(diǎn)撥點(diǎn)評(píng)：解完本例后,讓同學(xué)反思并領(lǐng)會(huì)在求函數(shù)最值時(shí),如何使用均值不等式的條件,并把握基本技能 . 變式訓(xùn)練函數(shù) ylog ax 3 1a 0 且 a 1 的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,假設(shè)點(diǎn)A 在直線(xiàn) mxny10上,

20、其中mn0,就1 m2 n的最小值為 _8 答案： 8 解析： ylogax 3 1 恒過(guò)點(diǎn) 2, 1 ,A 2, 1 又A 在直線(xiàn)上, 2mn10,即 2m n1. 又mn 0,m 0,n0. 而1 m2 n2mn4m2n1 4x5的最大值；mn2n m24m n42 2 8,當(dāng) n1 2,m1 4時(shí)取“ ” 1 m2 n的最小值為8. 例 21 已知 x5 4,求函數(shù) y4x22 已知 a、 b 為實(shí)數(shù),求函數(shù) y x a 2x b 2的最小值1活動(dòng)： 1 由于 4x 50,所以第一要“ 調(diào)整” 符號(hào)又 4x 2 4x5不是常數(shù),所以應(yīng)對(duì) 4x2 進(jìn)行拆 添 項(xiàng)“ 配湊” 2 從函數(shù)解析式

21、的特點(diǎn)看,此題可化為關(guān)于 x 的二次函數(shù), 再通過(guò)配方法求其最小值m 2n2m n 2 2更簡(jiǎn)捷2但假設(shè)留意到 x a b x 為定值, 就用變形不等式5解：1 x4,5 4x0. 1 1y 4x24x5 5 4x54x 3 231. 1當(dāng)且僅當(dāng) 54x54x,即 x1 時(shí),上式等號(hào)成立當(dāng) x1 時(shí), ymax1. 2 y x a 2x b 2x a 2b x 22xab x ab2 2,2 2ab當(dāng)且僅當(dāng) xab x,即 x2 時(shí),上式等號(hào)成立9 當(dāng) xa b 時(shí), y min2ab2xy 時(shí),s 的值最. 2點(diǎn)評(píng)：假設(shè)x、y R,xy s,xyp. 假設(shè) p 為定值,就當(dāng)且僅當(dāng)??；假如 s

22、 為定值, 就當(dāng)且僅當(dāng)xy 時(shí),p 的值最大 簡(jiǎn)稱(chēng)“ 和定積最大, 積定和最小” 從本例的解答可以看出,求最值時(shí)往往需要拆 添 項(xiàng),其目的是創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的情境和使等號(hào)成立的條件,即滿(mǎn)意“ 一正,二定,三相等” 的要求 . 變式訓(xùn)練已知在 ABC中, ACB90 , BC3,AC4,P是 AB上的點(diǎn),就點(diǎn) P 到 AC、BC的距離乘積的最大值是 _答案： 3 解析： 方法一：以CA、CB所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系,就直線(xiàn)AB方程為x 4y 3a b1,設(shè) Pa ,b ,就 431a 0,b0 a ba b 43ab124312 2 23,4b當(dāng)且僅當(dāng)“a3” 時(shí)等號(hào)成立方法二：設(shè)

23、P到 BC的距離為 a,到 AC的距離為 b. a PB b PA由相像三角形易得 45,35,a b PBPA4351. 以下解法同一x 2 3x1例 3 當(dāng) x 1 時(shí),求函數(shù) fxx 1 的值域活動(dòng)：老師引導(dǎo)同學(xué)觀看函數(shù)fx的分子、 分母特點(diǎn), 可作如下變形： fxx23x1x110 x125x15 x15 x15. x1這樣就可以應(yīng)用均值不等式了解： x 1,x 10. 52fxx23x 1x125x15x15x1x1x1x15525 5,當(dāng)且僅當(dāng) x 125 時(shí),即 x5 1 時(shí)取“ ” x1另一解 x51 1 舍去 ,故函數(shù)值域?yàn)?5 5, 點(diǎn)評(píng)： 此題解法具有典型性,解后老師引導(dǎo)

24、同學(xué)領(lǐng)會(huì)反思這種求值域的題目,在“ 函數(shù)” 一章中我們接觸較多,其常用方法有單調(diào)性、圖象法,仍有判別式法利用判別式法不僅運(yùn)算量大,而且極易因無(wú)視某些條件而出錯(cuò)本例給出了用均值不等式法求值域的方法,既簡(jiǎn)潔又不易出錯(cuò)但提示同學(xué)肯定要留意必需滿(mǎn)意的三個(gè)條件：各項(xiàng)均為正數(shù)；和或積有一個(gè)為定值；等號(hào)肯定取到,這三個(gè)條件缺一不行. 變式訓(xùn)練已知 x1 x 2 x 3 x 2 0061,且 x1、x2、x3、 、 x 2 006 都是正數(shù),就 1 x 11 x 2 1x 2 006 的最小值是 _答案： 22 006x1,解析： x1 0,就 1 x12同理, 1x 22x2, 1x2 0062 x 2 0

25、06 ,各式相乘,得1 x 11 x 2 1 x 2 006 2 2 006 x1 x 2 x 3 x 2 0062 2 006 . 取“ ” 的條件為 x1 x2 x3 x2 0061,所求最小值為 2 2 006. 例 4 設(shè) 0 x2,求函數(shù) fx3x 83x 的最大值,并求相應(yīng)的 x 值試問(wèn) 0 x11 4 3時(shí),原函數(shù) fx 有沒(méi)有最大值？0 x1 時(shí), fx 有沒(méi)有最大值？假設(shè)有,請(qǐng)你求出來(lái)；假設(shè)沒(méi)有,請(qǐng)你說(shuō)明理由活動(dòng)：對(duì)本例中的函數(shù)可變形為 fx24x9x 2,根號(hào)內(nèi)是我們熟識(shí)的二次函數(shù),完全可以用二次函數(shù)的學(xué)問(wèn)方法解決,這種方法同學(xué)很熟識(shí)老師可引導(dǎo)同學(xué)利用均值不等式求解,讓同學(xué)

26、自己探究,老師可適時(shí)地點(diǎn)撥解： 0 x 2,8 3x0. 3x8 3xfx 3x 83x2 24,4當(dāng)且僅當(dāng) 3x83x,即 x3時(shí)取“ ” 函數(shù) fx 的最大值為 4,此時(shí) x4 3. 又 fx 9x 224x3x4 216,當(dāng) 0 x4 3時(shí), fx 遞增；當(dāng) x4 3時(shí), fx 遞減4當(dāng) 0 x3時(shí),原函數(shù) fx 沒(méi)有最大值當(dāng) 0 x1 時(shí),有最大值 f1,即 f115. 點(diǎn)評(píng)：通過(guò)本例再次加深對(duì)均值不等式條件的懂得體會(huì)不等式的功能在于“ 和與積”的互化,構(gòu)造均值不等式,解題的技巧是拆 添 項(xiàng)或配湊因式知能訓(xùn)練x1函數(shù) fxx1的最大值為 2 1 2A. 5 B. 2 C. 2 D 1

27、2求函數(shù) yx1 xx 0 的最小值,以及此時(shí) x 的值3已知 x、y R,且 2x8yxy0,求 xy 的最小值答案：1B 解析： 當(dāng) x 0 時(shí), fx0；當(dāng) x0 時(shí), fxx x111 2,當(dāng)且僅當(dāng)x1 xx1,即 x1 時(shí)取等號(hào)x1 x2,x2解： x 0,x1 x212 當(dāng)且僅當(dāng) x1 x,即 x1 時(shí)取等號(hào)2. 當(dāng) x1 時(shí), x1 x的值最小,最小值是3解：由 2x8y xy0 得 yx 8 2x. x 0,y0,x 80. 2x 16 16x yx8xx8x 8102 x8x81018,16當(dāng)且僅當(dāng) x8x 8,即 x 12 時(shí), xy 取最小值 18. 課堂小結(jié)1由同學(xué)歸納

28、整合本節(jié)課所用到的學(xué)問(wèn)、思想方法,回憶本節(jié)課解決了哪些問(wèn)題？應(yīng)留意些什么？2老師點(diǎn)撥,本節(jié)課我們用均值不等式解決了函數(shù)的一些最值問(wèn)題,在用均值不等式求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)留意考查以下三個(gè)條件：1 函數(shù)的解析式中,各項(xiàng)均為正數(shù)； 2 函數(shù)的解析式中,含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必需有一個(gè)為定值；項(xiàng)均相等, 取得最值 即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時(shí),3 函數(shù)的解析式中,含變數(shù)的各 應(yīng)具備三個(gè)條件： 一正、二定、三相等 在利用均值不等式證明一些不等式時(shí),也應(yīng)留意均值不等式成立的條件及構(gòu)建均值 不等式結(jié)構(gòu)作業(yè) 習(xí)題 32A 組 2、3、7、8、 9；習(xí)題 32B組 3、4. 設(shè)計(jì)感想 1本節(jié)設(shè)計(jì)意在表達(dá)均值不等

29、式的應(yīng)用,因此用不等式求解函數(shù)的最值與證明不等式 是穿插進(jìn)行的,且強(qiáng)調(diào)一題多解的訓(xùn)練2本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)進(jìn)程的和諧進(jìn)展整個(gè)設(shè)計(jì)給人自然流暢的感覺(jué),沒(méi)有老師過(guò) 分自我展現(xiàn)的味道,能使同學(xué)的思維得到充分的錘煉,才能得到很大的提高3本節(jié)設(shè)計(jì)重視了同學(xué)的主體位置,從例題到變式訓(xùn)練,從新課導(dǎo)入到課堂小結(jié),都留意了同學(xué)的主動(dòng)思維活動(dòng),充分讓同學(xué)占據(jù)思維的時(shí)空,這是提高同學(xué)思維才能的有效良方備課資料 一、算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)的一種證明方法 局部調(diào)整法 1 設(shè) a1,a2,a3, , an 為正實(shí)數(shù),這 n 個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值記為 A,幾何平均值記為 G,13 a1 a2 a n n即 An,Ga1a2

30、an,即 AG,當(dāng)且僅當(dāng) a1a2 an時(shí), AG.特殊ab abc 3地,當(dāng) n2 時(shí),2ab；當(dāng) n3 時(shí),3abc. 2 用局部調(diào)整法證明均值不等式 AG.設(shè)這 n 個(gè)正數(shù)不全相等不失一般性,設(shè) 0a1a2 a n,易證 a1Aan,且 a1Gan. 在這 n 個(gè)數(shù)中去掉一個(gè)最小數(shù) a1,將 a1換成A,再去掉一個(gè)最大數(shù) an,將 an換成 a1anA,其余各數(shù)不變,于是得到其次組正數(shù)：A,a2,a3, , an 1,a1 an A. 這一代換具有以下性質(zhì)：兩組數(shù)的算術(shù)平均值不變,設(shè)其次Aa2a3 an1a1anA組數(shù)的算術(shù)平均值為 A1,那么 A1A,其次組數(shù)的幾何nn平均值最大設(shè)其次組數(shù)的幾何平均值為 G1,就 G1Aa2a3 an1 a1anA,Aa 1anAa1anAa1a nA ,由 a1 Aan,得 A a1a nA0,就 Aa 1anA a1an. Aa2a3 an1a1anAa1a2 an1 an,即 G1G. 二、備用習(xí)題1已知 a0,b0,且 ab2,就 Aab1 2 Bab1 2 Ca 2b 22 Da2b232假設(shè) a、b、c、d、x、y 是正實(shí)數(shù), 且 Pabcd,Qaxcyxd y,就 APQ BP Q CPQ DPQ3假設(shè)函數(shù)yfx的值域是 1 2,3 ,就函數(shù) Fx fxf1的值域是 xA 1 2, 3 B2 ,10 3 C5