高中數(shù)學(xué)必修五《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》教案

1、等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和教案 一、教學(xué)目的1、使同學(xué)懂得等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程的思想與方法,并把握公式；2、使同學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法,正確運(yùn)用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式解決一些簡潔的應(yīng) 用問題；3、使同學(xué)通過自主觀看、分析、探究、歸納、溝通,培育同學(xué)的自主探究才能、數(shù)學(xué) 建模才能和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊?guī)律思維才能；4、通過從詳細(xì)到抽象,從特殊到一般的探究,培育同學(xué)的理性思維,逐步樹立科學(xué)發(fā) 展觀,優(yōu)化思維品質(zhì),養(yǎng)成健康的心理素養(yǎng)；二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵 教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)；教學(xué)關(guān)鍵：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式的關(guān)鍵是通過

2、情境的創(chuàng)設(shè),發(fā)覺倒序求和法；應(yīng)用公式的關(guān)鍵是如何從實(shí)際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系,建立等差數(shù)列模型,運(yùn)用公式解決問 題；三、教具、學(xué)具預(yù)備 多媒體課件；運(yùn)用多媒體教學(xué)手段,增大教學(xué)容量和直觀性,提高教學(xué)效率和質(zhì)量；四、教學(xué)方法 按現(xiàn)代訓(xùn)練觀,課堂教學(xué)應(yīng)充分發(fā)揮“ 教為主導(dǎo),學(xué)為主體,練為主線” 的教學(xué)思想；本節(jié)課運(yùn)用“ 引導(dǎo)探究發(fā)覺法” ,采納“ 情境引入自主探究成果溝通變式應(yīng)用反思回授” 等五個(gè)環(huán)節(jié),并使用多媒體幫助教學(xué),引導(dǎo)同學(xué)動(dòng)手動(dòng)腦去觀看、分析、探 索、歸納獲得解決問題的方法,把教學(xué)過程變?yōu)橄Ｍ粩嗵骄空胬聿е篮酶星轭伾囊?向活動(dòng)；五、學(xué)法指導(dǎo)“ 授人以魚,不如授人以漁” ；教是為了不

3、教,教給同學(xué)好的學(xué)習(xí)方法,讓他們會(huì)學(xué) 習(xí),并善于用數(shù)學(xué)思維去分析問題和解決問題,受益終身；本節(jié)課依據(jù)教材特點(diǎn),激“ 疑” 生“ 趣” ,同學(xué)自主探究,學(xué)會(huì)從詳細(xì)到抽象,從特殊 到一般,由淺入深去分析、探究,循序漸進(jìn)地發(fā)覺等差數(shù)列的普遍規(guī)律,從而得出等差數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和公式,在應(yīng)用公式解決問題時(shí),引導(dǎo)同學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際,抽象出數(shù)量關(guān)系,建立 數(shù)學(xué)模型,獲得解決問題的方法,帶領(lǐng)同學(xué)踏上“ 再制造” 之旅；六、教學(xué)過程 1、復(fù)習(xí)回憶,以舊悟新（1）等差數(shù)列的定義：anan1dn,2nN*,d為常數(shù)；n* N ）；（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：a na 1n1 d nN*；（3）等差數(shù)列an中,如pqm

4、n,就apa qama （ p 、 q 、 m 、2、創(chuàng)設(shè)情境,引入新課200 多年前,德國聞名數(shù)學(xué)家Gauss（高斯） 10 歲讀學(xué)校時(shí),老師出了一道數(shù)學(xué)題：123100.據(jù)說,當(dāng)其他同學(xué)忙于把100 個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí),高斯經(jīng)過摸索后很快得出其結(jié)果是 5050；師：“ 小高斯快速算出123100的和,成為千古美談；同學(xué)們,我們也能成長為高斯；這節(jié)課我們爭論等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和,就是與高斯比一比,我們也能快速算出123100,并且把這種方法推廣到更一般的等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的求法中去；”這個(gè)問題實(shí)際上就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：（板書課題）2.3 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和一般地 ,等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和

5、用 ns表示 ,即s n a 1 a 2 a 3 a n現(xiàn)在分小組爭論探究下面的問題：1、1,2,3, , 98,99,100 從數(shù)列角度來看,這是什么數(shù)列？高斯用什么方法快速算出這個(gè)數(shù)列的和？2、高斯的算法妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求一般數(shù)列的前 n 項(xiàng)和嗎？3、這些方法用到了等差數(shù)列哪一個(gè)性質(zhì)？4、能否用高斯的速算法求以下等差數(shù)列的前.n 項(xiàng)和：（1）運(yùn)算a 1a 2a 3a n2a n1a n（2）運(yùn)算a 1a 1da 12 a 1n1 .同學(xué)閱讀、小組爭論時(shí),老師要眼觀六路,耳聽八方,對每個(gè)同學(xué)在自覺和小組爭論中遇到的難題,要進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)拔,使他們的學(xué)習(xí)走上正軌,然后各小組匯報(bào)爭論性

6、學(xué)習(xí)成果,進(jìn)行全班溝通；A 組小組長說： 1,2,3, , 98,99,100 是首項(xiàng)為 1,末項(xiàng)為 100,公差為 1 的等差數(shù)列,高斯的算法是：（1+100）+（2+99）+ +（50+51）=101 50 5050；B 組小組長說：也可以寫成算式的形式：s12505199 100101s1009951 50212s101101101101101s101 1 1005050；2師：很好,這種方法就是把數(shù)列各項(xiàng)的次序倒過來再相加的方法,我們把這種方法稱為“ 倒序求和法” ；這種倒序求和法運(yùn)用了等差數(shù)學(xué)哪一個(gè)性質(zhì)？B 組小組長說：運(yùn)用了等差數(shù)列中與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)和的性質(zhì)；

7、即在等差數(shù)列a n中,如pqmn ,就apaqa ma （ p 、 q、 m 、n* N ）；3、講授新課,推導(dǎo)公式 老師因勢設(shè)問：“ 能把倒序求和法推廣到一般的等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和嗎？”C 組小組長說：可以運(yùn)用高斯算法倒序求和法可運(yùn)算：s na 1a2a3an2an12ann2aan21a 3an1a2ana 1s na nan1an2a 3aa 12s na 1ana2a n1a 3an2a 1a na2a n1a 3an2a3a na 2ana 12 s nn a 1an,s nn a 12a n D 組小組長說：同理運(yùn)用高斯算法倒序求和法也可運(yùn)算：nsa 1a 1da 1n2 a 1

8、n1 2a 1n1 nsa 1n1 a 1n2 a 1da 12ns2a 1n1 2a 1n1 2a 1n1 s nna 1n n1d 2E 組小組長搶答 :由以下算法也可以得到公式 ：nsa 1a 1da 1a n2 aa 1a nn1 s na nand2 n1 2s na 1ana 1a na 1na 1a ns n n a 1 a n 2以 a n a 1 n 1 d 代入也可得到公式 的形式；師：特別好；公式 、 稱為等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式,用這些公式可求得等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和；引導(dǎo)同學(xué)比較得出：如已知等差數(shù)列首項(xiàng)為 a ,末項(xiàng)為 a ,項(xiàng)數(shù)為 n ,可直接運(yùn)用公式 s n n

9、 a 12 a n 求和；如已知等差數(shù)列首項(xiàng)為 1a,公差為 d ,項(xiàng)數(shù)為 n ,就直接運(yùn)用公式 s n na 1 n n2 1 d求和較為簡便；從公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知,公式化共包含五個(gè)量 1a,a , n , d ,ns,只要知道其中三個(gè)量,就可以求出其余兩個(gè)量；摸索：比較兩個(gè)公式 、 ,說說它們分別從哪些角度反映等差數(shù)列的性質(zhì)？4、初步應(yīng)用,熟識公式請同學(xué)們解以下一組題；運(yùn)算以下各題：（1）1234n ；2n12n；（2）1352n1（3）2462n ；（4）12356生：直接利用等差數(shù)列的前n 1 n n 項(xiàng)的公式 求得：（1）原式（2）原式（3）原式2（這是正整數(shù)列之和） ；n 1 2n

10、1n2（這是正奇數(shù)列之和） ；2n 222 2 nn（這是正偶數(shù)列之和） ；師：第（ 4）題中的數(shù)列不是等差數(shù)列,但在解題時(shí)我們應(yīng)認(rèn)真觀看,由此及彼,由表及里,去偽存真,查找規(guī)律,可能某局部成等差數(shù)列（同學(xué)在老師引導(dǎo)下會(huì)悟到）；生甲：把正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)分開,正好組成正奇數(shù)列與正偶數(shù)列之差；原式1352n12462 2 nn2nn；1,即依次生乙：原數(shù)列雖然不是等差數(shù)列,但仍有一個(gè)規(guī)律,相鄰兩個(gè)正整數(shù)之差為相鄰兩項(xiàng)結(jié)合都為1,可得另一解法：原式1 234562n12 1 11nn 個(gè)師：從以上解題過程反思,可以看到一些題目表面上似乎沒有什么規(guī)律,在解題時(shí)只要 我們認(rèn)真觀看、查找規(guī)律,是會(huì)找到好的解

11、題方法的；5、建立模型,獲解方法例 1、求集合Mm m7 , n nN*且m100的元素個(gè)數(shù),并求這些元素的和；引導(dǎo)同學(xué)清晰地熟識到,要找到解應(yīng)用題的方法,必需運(yùn)用理論聯(lián)系實(shí)際的方法,抽象 出數(shù)量關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,這是查找解題方法的關(guān)鍵；求等差數(shù)列的和,要特殊注 意數(shù)列的項(xiàng)數(shù) n 是什么；師：元素m的個(gè)數(shù)應(yīng)依據(jù)什么條件確定？生：應(yīng)依據(jù)m、n的范疇、條件確定,由m100,得7 n100,n100142,又n* N ,77滿意上面不等式的正整數(shù)n共有 14個(gè) , 所以集合 M的元素 m共有 14個(gè) ；師：請把這 14 個(gè)元素從小到大列出來；生： 7,14,21, , 98；師：這是一個(gè)什么

12、數(shù)列？差d生：這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,記為an,其中首項(xiàng)a 17,末項(xiàng)a 1498,項(xiàng)數(shù)n14,公7,依據(jù)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式得：7735；s 14n a 12a n14 798735；2答：集合 M 共有 14 個(gè)元素,它們的和等于735；師：可能用公式 解答嗎？生：可以,有：s nna 1n n1d14 714 14 122師：比較一下,這兩種方法有什么不同之處？生：用公式 要先求出a ,再運(yùn)用公式；用公式 不需求a 就可以直接運(yùn)用公式,明顯用公式 方法簡潔；小結(jié)：1、在應(yīng)用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式解應(yīng)用題時(shí),運(yùn)用理論聯(lián)系實(shí)際的方法抽象出數(shù)量 關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,即等差數(shù)列模型,從

13、而獲得解題方法；2、分別用公式 、 解答,即把握題目的數(shù)量關(guān)系后,可以從多角度去解應(yīng)用題；例 2、2022 年 11 月 14 日訓(xùn)練部下發(fā)了關(guān)于在中學(xué)校實(shí)施“ 校校通” 工程的通知；某市據(jù)此提出了實(shí)施“ 校校通” 工程的總目標(biāo)：從起用 10 年時(shí)間,在全市中學(xué)校建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校內(nèi)網(wǎng),據(jù)測算,該市用于“ 校校通” 工程的經(jīng)費(fèi)為 500 萬元,為了保證工程的順利實(shí)施,方案每年投入的資金都比上一年增加 50 萬元,那么從 起的將來 10 年內(nèi),該市在“ 校校通” 工程中的總投入是多少？對此例題,老師先啟示引導(dǎo),然后讓同學(xué)練習(xí),如有不懂再點(diǎn)拔；實(shí)施“ 校校通” 工程的經(jīng)費(fèi),每年是多少？總投入經(jīng)費(fèi)是多

14、少？想一想這個(gè)問題的數(shù)量關(guān)系與我們所學(xué)過的哪些數(shù)學(xué)規(guī)律類似？ 500 萬, 50 萬,將來 10 年的“么量？從中建立求解的數(shù)學(xué)模型；10 年” ,工程總投入等相當(dāng)于數(shù)學(xué)理論中什同學(xué)甲：依據(jù)題意,從 起到 20XX 年該市每年投入“ 校校通” 工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增 加 50 萬 , 可 以 建 立 一 個(gè) 等 差 數(shù) 列 a n, 表 示 從 起 每 年 投 入 的 資 金 ； 其 中a 1 500, d 50, n 10；由公式 可知,投入金額為：s n na 1 n n 1 d 10 500 10 10 1 50 7250 萬元 2 2；同學(xué)乙：也可以用公式 求解：a 10 500 10

15、 1 50 950,s 10 n a 1 a n 10 500 950 7250 萬元 2 2；答：從 起到 20XX 年,該市在“ 校校通” 工程中總投入資金 7250 萬元；小結(jié)：解應(yīng)用題必需建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型；6、加強(qiáng)練習(xí),練中提高（1）、求集合 M m m 2 n 1, n N * 且 m 60 的元素個(gè)數(shù),并求這些元素的和；（2）、一位技術(shù)人員方案用下面的方法測試一種賽車：從時(shí)速 10km/h 開頭,每隔 2s 速度提高 20km/h；假如測試時(shí)間為30s,測試距離是多長？（3）、請同學(xué)們參考例1、例 2 和課堂練習(xí)題自己編寫一道求等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的練習(xí)題；7、歸納總結(jié),提高熟識

16、師：誰來總結(jié)一下,本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容和方法？生：（1）、本節(jié)課學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式s nn a 12a n s nna 1n n1d 2（2）、學(xué)習(xí)了一種嶄新的數(shù)學(xué)方法倒序求和法；師：總結(jié)得很好,我們?nèi)詰?yīng)留意以下幾點(diǎn)：（ 1）、公式 、 共有五個(gè)量,只要知道其中三個(gè)量,就可以求出其他兩個(gè)量；這 是下一節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容；（2）、求等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和,要特殊留意公式中的項(xiàng)數(shù)n 是什么；（3）、解應(yīng)用題時(shí),必需運(yùn)用理論聯(lián)系實(shí)際的方法,抽象出數(shù)量關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué) 模型,才能找到適當(dāng)?shù)慕忸}方法；8、布置作業(yè)（1）、課本 P 習(xí)題 2.3 第 2 題；（2）、自己編寫一道求等差數(shù)列的前

17、n 項(xiàng)和的練習(xí)題；（3）、寫一篇學(xué)習(xí)“ 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和” 的心得；（4）、預(yù)習(xí)：課本 P P ；9、教學(xué)信息反饋五分鐘測驗(yàn) 如圖,一個(gè)堆放鉛筆的 V 形架的最下面一層放一支鉛 筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放 120 支,這個(gè) V 形架上共放多少支鉛筆？教案說明本教案的內(nèi)容是等差數(shù)列的前 單介紹 如下：n 項(xiàng)和的第一節(jié)課,現(xiàn)將該節(jié)課設(shè)計(jì)意圖簡依據(jù)新課標(biāo)的要求,盡可能將數(shù)學(xué)文化與高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容有機(jī)結(jié)合；因此本節(jié)課創(chuàng)設(shè)高斯10 歲時(shí)快速解出1+2+3+ +100=？的情境,通過同學(xué)預(yù)習(xí)課文、小組爭論、全班溝通等形式,讓同學(xué)在互幫、互辯、互學(xué)中去分析問題、發(fā)覺問題,使同學(xué)在自主學(xué)習(xí)中 提高人文素養(yǎng)和綜合運(yùn)用學(xué)問的才能,表達(dá)了同學(xué)的主體位置；在公式推導(dǎo)中,同學(xué)通過從 詳細(xì)到抽象、從特殊到一般、由淺入深的嚴(yán)格規(guī)律推理,從而獲得等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公 式；這種設(shè)計(jì)符合同學(xué)的認(rèn)知規(guī)律,培育了同學(xué)的分析才能和創(chuàng)新意識,逐步樹立科學(xué)進(jìn)展 觀；同時(shí),在不斷變式推理過程中,讓同學(xué)在實(shí)踐熟識再實(shí)踐再熟識的道路上 循序漸進(jìn)去發(fā)覺解決問題