高中數(shù)學(xué)教案新人教A版必修4

1、1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 對于函數(shù)性質(zhì)的爭論 , 在高一必修中已經(jīng)爭論了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與 性質(zhì) . 因此作為高中最終一個基本初等函數(shù)的性質(zhì)的爭論 , 同學(xué)已經(jīng)有些體會了 . 其中 , 通過觀看函數(shù)的圖象 , 從圖象的特點(diǎn)獲得函數(shù)的性質(zhì)是一個基本方法 , 這也是數(shù)形結(jié)合思想方法 的應(yīng)用 . 由于三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型, 這也是三角函數(shù)不同于其他類型函數(shù)的最重要的地方 , 而且對于周期函數(shù) , 我們只要熟識清晰它在一個周期區(qū)間上的性質(zhì) , 那么就完全清晰它在整個定義域內(nèi)的性質(zhì) . 正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)的難點(diǎn) , 在于對函數(shù)周期性的正確懂

2、得與運(yùn)用 , 以下的奇偶性 , 無論是由圖象觀看 , 仍是由誘導(dǎo)公式進(jìn)行證明 , 都很簡潔 . 單調(diào)性只要求由圖象觀看 , 不要求證明 ,而正弦、余弦函數(shù)的最大值和最小值可以作為單調(diào)性的一個推論 期進(jìn)行正確歸納即可 . 三維目標(biāo), 只要留意引導(dǎo)同學(xué)利用周1. 通過創(chuàng)設(shè)情境 , 如單擺運(yùn)動、波浪、四季變化等 , 讓同學(xué)感知周期現(xiàn)象 ; 懂得周期函數(shù)的概念; 能嫻熟地求出簡潔三角函數(shù)的周期 , 并能依據(jù)周期函數(shù)的定義進(jìn)行簡潔的拓展運(yùn)用 . 2. 通過本節(jié)的學(xué)習(xí) , 使同學(xué)們對周期現(xiàn)象有一個初步的熟識 , 感受生活中到處有數(shù)學(xué) , 從而激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)積極性 , 培育同學(xué)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心 , 學(xué)會運(yùn)用聯(lián)

3、系的觀點(diǎn)熟識事物 . 重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) : 正弦、余弦、正切函數(shù)的主要性質(zhì) 包括周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值或值域 ;深化爭論函數(shù)性質(zhì)的思想方法 . 教學(xué)難點(diǎn) : 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象間的關(guān)系、圖象變換 , 以及周期函數(shù)概念的懂得 , 最小正周期的意義及簡潔的應(yīng)用 . 課時支配2 課時教學(xué)過程第 1 課時導(dǎo)入新課思路 1. 人的心情、體力、智力都有周期性的變化現(xiàn)象 , 在日常生活和工作中 , 人們經(jīng)常有這樣的自我感覺 , 有的時候體力充足 , 心情開心 , 思維靈敏 ; 有的時候卻疲憊乏力 , 心灰意冷 ,反應(yīng)遲鈍 ; 也有的時候思緒不穩(wěn) , 喜怒無常 , 煩躁擔(dān)心 , 糊涂健忘 , 這些感

4、覺呈周期性發(fā)生 , 貫穿人的一生 , 這就是人體節(jié)律 . 這種有規(guī)律性的重復(fù) , 我們稱之為周期性現(xiàn)象 . 請同學(xué)們舉出生活中存在周期現(xiàn)象的例子 , 在同學(xué)熱鬧的爭辯中引入新課 . 思路 2. 取出一個鐘表 , 實(shí)際操作 , 我們發(fā)覺鐘表上的時針、分針和秒針每經(jīng)過一周就會重復(fù) , 這是一種周期現(xiàn)象 . 我們這節(jié)課要爭論的主要內(nèi)容就是周期現(xiàn)象與周期函數(shù) . 那么我們怎樣從數(shù)學(xué)的角度爭論周期現(xiàn)象呢 .在圖形上讓同學(xué)觀看正弦線“ 周而復(fù)始” 的變化規(guī)律 ,在代數(shù)式上讓同學(xué)摸索誘導(dǎo)公式 :sinx+2k =sinx 又是怎樣反映函數(shù)值的“ 周而復(fù)始”的變化規(guī)律的 . 要求同學(xué)用日常語言表達(dá)這個公式 ,

5、 通過對圖象、函數(shù)解析式的特點(diǎn)的描述 ,使同學(xué)建立在比較堅(jiān)固的懂得周期性的認(rèn)知基礎(chǔ)上 , 來懂得“ 周而復(fù)始” 變化的代數(shù)刻畫 ,由此引出周期函數(shù)的概念 . 推動新課新知探究提出問題問題正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)嗎 .假如是 , 又是怎樣周期性變化的 . 問題閱讀教材并摸索 : 怎樣從代數(shù)的角度定義周期函數(shù) . 活動 : 老師可先引導(dǎo)同學(xué)查閱摸索上節(jié)學(xué)過的正弦函數(shù)圖象, 讓同學(xué)觀看正弦線的變化規(guī)律 , 有什么新的發(fā)覺 .再讓同學(xué)描述這種規(guī)律是如何表達(dá)在正弦函數(shù)的圖象上的 , 即描述正弦函數(shù)圖象是如何表達(dá)“ 周而復(fù)始” 的變化規(guī)律的 . 通過爭論圖象 , 同學(xué)很簡潔看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期

6、函數(shù) . 怎樣變化呢 .從圖 1 中也能看出是每隔 2 就重復(fù)一次 . 對問題 , 同學(xué)對正弦函數(shù)是周期函數(shù)是沒有疑問的 , 至于怎樣描述 , 同學(xué)一時很難回答 .老師可引導(dǎo)同學(xué)摸索爭論 , 正弦函數(shù)圖象是怎樣重復(fù)顯現(xiàn)的 .對于回答對的同學(xué)賜予確定 , 鼓勵連續(xù)探究 . 對于找不到思路的同學(xué)賜予提示 , 指導(dǎo)其正確的探究思路 . 圖 1 問題 , 從圖象上能夠看出 , 但關(guān)鍵是怎樣對“ 周而復(fù)始” 的變化規(guī)律作出代數(shù)描述 , 這對同學(xué)有肯定的難度 . 在引入正式定義之前 , 可以引導(dǎo)同學(xué)先從不同角度進(jìn)行描述 . 例如 : 對于函數(shù) fx 自變量每增加或削減一個定值 這樣的定值可以有許多個 ,

7、函數(shù)值就重復(fù)顯現(xiàn) ,那么這個函數(shù)就叫做周期函數(shù) . 老師也可以引導(dǎo)點(diǎn)撥同學(xué)從誘導(dǎo)公式進(jìn)行描述 . 例如 : sin +2k =sin ,cos +2k =cos ,k Z. 這說明 , 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在定義域內(nèi)自變量每增加k0 時或削減 k0,x R 的周期為 T=2 .可以依據(jù)如下的方法求它的周期 : y=Asin x+ +2 =Asin x+2 于是有 fx+2 =fx, + =Asin x+ . 所以其周期為 2 . 例如 , 在第 3 小題 ,y=2sin 1 x-,x R 中 , = 1 , 所以其周期2 6 2是 4 . 由上述解法可以看到 , 摸索的基本依據(jù)仍是 y=sinx

8、 的周期為 2 . 依據(jù)這個結(jié)論 , 我們可以由這類函數(shù)的解析式直接寫出函數(shù)的周期 . 如例 3 中的第 3 小題:T=2 =4 . 這是求簡潔三角函數(shù)周期的最基本方法 , 即公式法 . 變式訓(xùn)練1. 已知 fx 是周期為 5 的周期函數(shù) , 且 f1=2 007, 求 f11. 解: 由于 5 是函數(shù) fx 在 R上的周期 , 所以 f11=f6+5 =f6=f1+5=f1=2 007. 2. 已知奇函數(shù) fx 是 R上的函數(shù) , 且 f1=2,fx+3=fx, 求 f8. 解: 由題意知 ,3 是函數(shù) fx 的周期 , 且 f-x=-fx, 所以 f8=f2+2 3=f2=f-1+3=f-

9、1=-f1=-2. 思路 2例 1 判定函數(shù) fx=2sin 2x+ cosx,x R 的周期性 . 假如是周期函數(shù) , 最小正周期是多少 . 活動 : 本例的難度較大 , 老師可引導(dǎo)同學(xué)從定義動身 , 結(jié)合誘導(dǎo)公式 , 尋求使 fx+T=fx成立的 T 的值 . 同學(xué)可能會很簡潔找出 4 ,2 , 這的確是原函數(shù)的周期 , 但是不是最小正周期呢 .老師引導(dǎo)同學(xué)選其他幾個值試試 . 假如同學(xué)很快求出 , 老師賜予夸獎勉勵 ; 假如同學(xué)做不出 , 老師點(diǎn)撥同學(xué)的探究思路 , 主要讓同學(xué)自己爭論解決 . 解: 由于 fx+ =2sin 2x+ + cosx+ =2sin 2x+cosx=fx. 所

10、以原函數(shù)是周期函數(shù) , 最小正周期是 . 點(diǎn)評 : 此題能很簡潔判定是周期函數(shù) , 但要求的是“ 最小正周期”, 那就要多加當(dāng)心了 .雖然將 4 ,2 帶入公式后也符合要求 , 但仍必需進(jìn)一步變形 , 即 fx 中的 x 以 x+ 代替后看 看 函 數(shù) 值 變 不 變 . 為 此 需 將 , 等 都 代 入 試 一 試 . 實(shí) 際 上 , 在 fx=2sin 2x+ 2cosx ,x R中, 同學(xué)應(yīng)看到平方與確定值的作用是一樣的 , 與負(fù)號沒有關(guān)系 . 因而 確定是原函數(shù)的一個周期 . 變式訓(xùn)練1. 求函數(shù) y=2sin 解: 由于 y=2sin1 -x 的周期 . 31 -x 3=-2sin

11、1 x-33, . , 都有 sinx+T=sinx. 所以周期 T=6 . 2. 證明正弦、余弦函數(shù)的最小正周期是2 . 證明 : 反證法 先證正弦函數(shù)的最小正周期是2 . 由于 2是它的一個周期, 所以只需證明任意一個小于2 的正數(shù)都不是它的周期假設(shè) T 是正弦函數(shù)的周期, 且 0T2 , 那么依據(jù)周期函數(shù)的定義, 當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個值時令 x=2, 代入上式 , 得 sin2+T=sin2=1, 但 sin2+T=cosT, 于是有 cosT=1. 依據(jù)余弦函數(shù)的定義, 當(dāng) T0,2 時,cosT0的周期. 并摸索總結(jié)本節(jié)都用了哪些數(shù)學(xué)方法 . 觀看與歸納 , 特殊到一般 , 定

12、義法 , 數(shù)形結(jié)合 , 辯證的觀點(diǎn) 作業(yè)1. 課本習(xí)題 A 組 3,B 組 3. 2. 預(yù)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 . 設(shè)計(jì)感想1. 本節(jié)課的設(shè)計(jì)思想是 : 在同學(xué)的探究活動中突破正弦、余弦函數(shù)的周期性這個教學(xué)難點(diǎn) .因此一開頭要讓同學(xué)從圖形、代數(shù)兩方面深化探究 , 不要讓開頭的探究成為一種擺設(shè) . 假如學(xué)生一開頭沒有很好的懂得 , 那么 , 以后有些題就會很難做 . 通過探究讓同學(xué)找出周期這個規(guī)律性的東西 , 并明確學(xué)問依附于問題而存在 , 方法為解決問題的需要而產(chǎn)生 . 將周期性概念的形成過程自然地貫徹到教學(xué)活動中去 , 由此把同學(xué)的思維推到更高的廣度 . 2. 本節(jié)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)是從形到

13、數(shù)、由特殊到一般、 由易到難 , 這符合同學(xué)的認(rèn)知規(guī)律 . 讓同學(xué)在探究中積存學(xué)問 , 進(jìn)展才能 , 對形成科學(xué)的探究未知世界的嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)有著良好的啟導(dǎo) . 但由于同學(xué)學(xué)問水平的限制 , 本節(jié)不能擴(kuò)展太多 , 建議讓學(xué)有余力的同學(xué)連續(xù)探討函數(shù)的周期性的規(guī)律及一般三角函數(shù)的周期的求法 . 3. 依據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)可考慮分層推動、照料全體 . 對優(yōu)等生 , 重在引導(dǎo)他們進(jìn)行一題多解 , 多題合一 , 變式摸索的訓(xùn)練 , 培育他們求同思維、求異思維才能 , 以及思維的敏捷性、深刻性與制造性 , 勉勵他們獨(dú)立摸索 , 勇于探究 , 敢于創(chuàng)新 , 對正確的要予以確定 , 對暴露出來的問題要準(zhǔn)時引導(dǎo)、剖析訂正

14、 , 使課堂學(xué)習(xí)成為再發(fā)覺再制造的過程 . 設(shè)計(jì)者 : 鄭吉星 第 2 課時導(dǎo)入新課思路 1. 類比導(dǎo)入 我們在爭論一個函數(shù)的性質(zhì)時 , 如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì), 往往通過它們的圖象來爭論 . 先讓同學(xué)畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 , 從同學(xué)畫圖象、觀看圖象入手 , 由此綻開正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的探究 . 思路 2. 直接導(dǎo)入 爭論函數(shù)就是要爭論函數(shù)的一些性質(zhì) ,y=sinx,y=cosx 是函數(shù) , 我們當(dāng)然也要探討它們的一些性質(zhì) . 本節(jié)課 , 我們就來爭論正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最基本的幾條性質(zhì) .請同學(xué)們回想一下 , 一般來說 , 我們是從哪些方面去爭論一個函數(shù)的性質(zhì)的呢 定義

15、域、值域、奇偶性、單調(diào)性、最值 . 然后逐一進(jìn)行探究 . 推動新課新知探究提出問題回憶并畫出正弦曲線和余弦曲線, 觀看它們的外形及在坐標(biāo)系中的位置; ; 觀看正弦曲線和余弦曲線, 說出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域各是什么; 觀看正弦曲線和余弦曲線, 說出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域各是什么由值域又能得到什么; 觀看正弦曲線和余弦曲線, 函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn). 觀看正弦曲線和余弦曲線, 它們都有哪些對稱. 1 2 圖 2 活動 : 先讓同學(xué)充分摸索、爭論后再回答 . 對回答正確的同學(xué) , 老師可勉勵他們按自己的思路連續(xù)探究 , 對找不到摸索方向的同學(xué) , 老師可參加到他們中去 , 并適時的賜予點(diǎn)撥、

16、 指導(dǎo) . 在上一節(jié)中 , 要求同學(xué)不僅會畫圖 , 仍要識圖 , 這也是同學(xué)必需嫻熟把握的基本功 . 因此 , 在研究正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)時 , 老師要引導(dǎo)同學(xué)充分挖掘正弦、余弦函數(shù)曲線或單位圓中的三角函數(shù)線 , 當(dāng)然用多媒體課件來爭論三角函數(shù)性質(zhì)是最抱負(fù)的, 由于單位圓中的三角函數(shù)線更直觀地表現(xiàn)了三角函數(shù)中的自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系 , 是爭論三角函數(shù)性質(zhì)的好工具 . 用三角函數(shù)線爭論三角函數(shù)的性質(zhì) , 表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想方法 , 有利于我們從整體上把握有關(guān)性質(zhì) . 對問題 , 同學(xué)不肯定畫精確 , 老師要求同學(xué)盡量畫精確 , 能畫出它們的變化趨勢 . 對問題 , 同學(xué)很簡潔看出正弦函數(shù)、余

17、弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集 R或 - ,+ . 對問題 , 同學(xué)很簡潔觀看出正弦曲線和余弦曲線上、下都有界 , 得出正弦函數(shù)、 余弦函數(shù)的值域都是 -1,1. 老師要引導(dǎo)同學(xué)從代數(shù)的角度摸索并給出證明 . 正弦線、余弦線的長度小于或等于單位圓的半徑的長度 , sinx 1, cosx1, 即 - 1sinx 1, - 1cosx1.也就是說 , 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是-1,1 . 對于正弦函數(shù)y=sinxx R, 1 當(dāng)且僅當(dāng) x=2+2k ,k Z 時 , 取得最大值1. 2 當(dāng)且僅當(dāng) x=-2+2k ,k Z 時, 取得最小值 -1. 對于余弦函數(shù)y=cosxx R, 1 當(dāng)且僅當(dāng) x

18、=2k ,k Z 時, 取得最大值1. 2 當(dāng)且僅當(dāng) x=2k+1 ,k Z 時, 取得最小值 -1. 對問題 , 老師可引導(dǎo)、 點(diǎn)撥同學(xué)先截取一段來看, 選哪一段呢 .如圖 3, 通過同學(xué)充分爭論后確定 , 選圖象上的 -2,3 如圖 4 這段 . 老師仍要強(qiáng)調(diào)為什么選這段, 而不選 0,2 的2道理 , 其他類似 . 圖 3 圖 4 這個變化情形也可從下表中顯示出來3: 23x -20 2sinx -1 0 1 0 -1 就是說 , 函數(shù) y=sinx,x -2, . 2當(dāng) x -2,2時 , 曲線逐步上升 , 是增函數(shù) ,sinx的值由 -1 增大到 1; 當(dāng) x2,3時 , 曲線逐步下

19、降 , 是減函數(shù) ,sinx的值由 1 減小到 -1. 2類似地 , 同樣可得y=cosx,x - , 的單調(diào)變化情形. 老師要適時點(diǎn)撥、引導(dǎo)同學(xué)先如何恰當(dāng)?shù)剡x取余弦曲線的一段來爭論引導(dǎo)同學(xué)列出下表 : , 如圖 5, 為什么選 - , , 而不是選 0,2 . 圖 5 x - -0 2 2cosx -1 0 1 0 -1 結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性可知 : 正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間-+2k , +2k k Z 上都是增函數(shù) , 其值從 -1 增大2 2到 1; 在每一個閉區(qū)間+2k , 3 +2k k Z 上都是減函數(shù) , 其值從 1 減小到 -1. 2 2余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間2k-1

20、,2k k Z 上都是增函數(shù) , 其值從 -1 增加到 1;在每一個閉區(qū)間2k ,2k+1 k Z 上都是減函數(shù) , 其值從 1 減小到 -1. 對問題 , 同學(xué)能直觀地得出 : 正弦曲線關(guān)于原點(diǎn) O 對稱 , 余弦曲線關(guān)于 y 軸對稱 . 在 R上,y=sinx 為奇函數(shù) ,y=cosx 為偶函數(shù) . 老師要恰時恰點(diǎn)地引導(dǎo) , 怎樣用學(xué)過的學(xué)問方法賜予證明 . 由誘導(dǎo)公式 : sin-x=-sinx,cos-x=cosx, ,y=sinx為奇函數(shù) ,y=cosx 為偶函數(shù) . 至此 , 一部分同學(xué)已經(jīng)看出來了, 在正弦曲線、余弦曲線上仍有其他的對稱點(diǎn)和對稱軸如正弦曲線仍關(guān)于直線x=2對稱 ,

21、 余弦曲線仍關(guān)于點(diǎn)2,0 對稱 , 等等 , 這是由它的周期性而來的 . 老師可就此引導(dǎo)同學(xué)進(jìn)一步探討, 為今后的學(xué)習(xí)打下伏筆. 爭論結(jié)果 : 略 .定義域?yàn)镽. 最大值都是1, 最小值都是 -1. 值域?yàn)?-1,1,單調(diào)性 略 . 奇偶性 略 . 當(dāng)我們認(rèn)真對比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)后 , 會發(fā)覺它們有許多共同之處 . 我們不妨把兩個圖象中的直角坐標(biāo)系都去掉 , 會發(fā)覺它們其實(shí)都是同樣外形的曲線 , 所以它們的定義域相同, 都為 R, 值域也相同 , 都是 -1,1 , 最大值都是 1, 最小值都是 -1, 只不過由于 y 軸放置的位置不同 , 使取得最大 或最小 值的時刻不同 ; 它們的周

22、期相同 , 最小正周期都是 2 ; 它們的圖象都是軸對稱圖形和中心對稱圖形 , 且都是以圖象上函數(shù)值為零所對應(yīng)的點(diǎn)為對稱中心 ,以過最值點(diǎn)且垂直于 x 軸的直線為對稱軸 . 但是由于 y 軸的位置不同 , 對稱中心及對稱軸與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也不同 . 它們都不具備單調(diào)性 , 但都有單調(diào)區(qū)間 , 且都是增、減區(qū)間間隔顯現(xiàn) ,也是由于 y 軸的位置轉(zhuǎn)變 , 使增減區(qū)間的位置有所不同 , 也使奇偶性發(fā)生了轉(zhuǎn)變 . 應(yīng)用示例思路 1 例 1 數(shù)有最大值、最小值嗎.假如有 , 請寫出取最大值、最小值時的自變量x 的集合 , 并說出最大值、最小值分別是什么. 1y=cosx+1,x R;2y=-3sin

23、2x,x R. 活動 : 通過這道例題直接鞏固所學(xué)的正弦、余弦的性質(zhì). 簡潔知道 , 這兩個函數(shù)都有最大值、最小值 . 課堂上可放手讓同學(xué)自己去探究 , 老師適時的指導(dǎo)、點(diǎn)撥、糾錯 , 并體會對應(yīng)取得最大 小 值的自變量為什么會有無窮多個 . 解: 1 使函數(shù) y=cosx+1,x R取得最大值的 x 的集合 , 就是使函數(shù) y=cosx,x R 取得最大值的 x 的集合 x|x=2k ,k Z; 使函數(shù) y=cosx+1,x R取得最小值的x 的集合 , 就是使函數(shù)y=cosx,x R取得最小值的x 的集合 x|x=2k+1 ,k Z. 函數(shù) y=cosx+1,x R的最大值是1+1=2,

24、最小值是 -1+1=0. 2 令 Z=2x, 使函數(shù) y=-3sin Z, ZR 取得最大值的 Z 的集合是 Z| Z=-+2k ,k Z, 2由 2x=Z=-+2k , 得 x=-+k . 2 4因此使函數(shù) y=- 3sin2x,x R取得最大值的 x 的集合是 x|x=-+k ,k Z. 4同理 , 使函數(shù) y=- 3sin2x,x R取得最小值的 x 的集合是 x|x= +k ,k Z. 4函數(shù) y=- 3sin2x,x R 的最大值是 3, 最小值是 -3. 點(diǎn)評 : 以前我們求過最值 , 本例也是求最值 , 但對應(yīng)的自變量 x 的值卻不唯獨(dú) , 這從正弦函數(shù)的周期性簡潔得到說明 .

25、求解本例的基本依據(jù)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大 小 值的性質(zhì) , 對于形 如 y=Asin x+ +B 的函數(shù) , 一般通過變 量代換 如 設(shè) Z= x+ 化歸 為y=Asin Z+B 的形式 , 然后進(jìn)行求解 . 這種思想對于利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的其他性質(zhì)解決問題時也適用 . 例 2 函數(shù)的單調(diào)性 , 比較以下各組數(shù)的大小 : 23 171sin- 與 sin-;2cos 與 cos . 18 10 5 4活動 : 同學(xué)很簡潔回憶起利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行大小比較 , 充分利用同學(xué)的學(xué)問遷移 , 有利于同學(xué)才能的快速提高 . 本例的兩組都是正弦或余弦 , 只需將角化為同一個單調(diào)

26、區(qū)間內(nèi) , 然后依據(jù)單調(diào)性比較大小即可 . 課堂上老師要讓同學(xué)自己獨(dú)立地去操作 , 教師適時地點(diǎn)撥、糾錯 , 對摸索方法不對的同學(xué)賜予幫忙指導(dǎo) . 解 : 1 由于 sin . 18 1023 23 3 17 172cos =cos =cos ,cos =cos =cos . 5 5 5 4 4 4由于 0 3 cos , 即 cos 0,cos 3 0, 明顯大小立判 . 4 5例 3 函數(shù) y=sin 1 x+ ,x -2 ,2 的單調(diào)遞增區(qū)間 . 2 3活動 : 可以利用正弦函數(shù)的單調(diào)性來求所給函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 . 老師要引導(dǎo)同學(xué)的摸索方向: 把 1 x+ 看成 Z, 這樣問題就轉(zhuǎn)化為求

27、y=sin Z 的單調(diào)區(qū)間問題 , 而這就簡潔多了 . 2 3解: 令 Z= 1 x+ . 函數(shù) y=sin Z 的單調(diào)遞增區(qū)間是2 3+2k , +2k . 2 2由-+2k 1 x+2k , 得 5+4k x+4k ,k Z. 2 2 3 2 3 3由 x-2 ,2 可知 ,-2 5+4k 且 +4k 2 , 于是 1 k5 , 由于 k Z,3 3 12 125 5所以 k=0, 即 x, 而,-2 ,2 , 3 3 3 3因此 , 函數(shù) y=sin x + ,x -2 ,2 的單調(diào)遞增區(qū)間是5, . 2 3 3 3點(diǎn)評 : 本例的求解是轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用 , 即利用正弦函數(shù)的單調(diào)性

28、, 將問題轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于 x 的不等式問題 . 然后通過解不等式得到所求的單調(diào)區(qū)間 , 要讓同學(xué)熟識并敏捷運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想方法 , 善于將復(fù)雜的問題簡潔化 . 思路 2例 1 求以下函數(shù)的定義域 : 1y= 1 ;2y= cosx . 1 sin x活動 : 同學(xué)摸索操作 , 老師提示同學(xué)充分利用函數(shù)圖象撥, 訂正顯現(xiàn)的一些錯誤或書寫不規(guī)范等 . , 依據(jù)實(shí)際情形進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)點(diǎn)解: 1 由 1+sinx 0, 得 sinx -1, 即 x3+2k k Z. . 本例分作2原函數(shù)的定義域?yàn)閤 x3+2k ,k Z. 22 由 cosx0, 得2+2k x2+2k k Z. 原函數(shù)的定義域?yàn)?+

29、2k ,2+2k k Z. 點(diǎn)評 : 本例實(shí)際上是解三角不等式, 可依據(jù)正弦曲線、余弦曲線直接寫出結(jié)果兩步 , 第一步轉(zhuǎn)化 , 其次步利用三角函數(shù)曲線寫出解集. 例 2 在以下區(qū)間中 , 函數(shù) y=sinx+ 的單調(diào)增區(qū)間是 4 4A., B.0, C.- ,0 D.,2 4 4 2活 動 : 函 數(shù) y=sinx+ 是 一 個 復(fù) 合 函 數(shù) , 即 y=sin x, x=x+ , 欲 求4 4y=sinx+ 的單調(diào)增區(qū)間 , 因 x=x+ 在實(shí)數(shù)集上恒遞增 , 故應(yīng)求使 y 隨 x 遞增而遞4 4增的區(qū)間 . 也可從轉(zhuǎn)化與化歸思想的角度考慮 , 即把 x+ 看成一個整體 , 其道理是一樣的

30、 . 4解: x=x+ 在實(shí)數(shù)集上恒遞增 , 又 y=sinx 在 2k -,2k + k Z 上是遞增的 ,4 2 2故令 2k -x+2k + . 2 4 22k -3x2k + . 4 4y=sinx+ 的遞增區(qū)間是 2k -3 ,2k + . 4 4 4取 k=-1 、0、1 分別得 11, 7 、 3, 、 5 , 9 , 4 4 4 4 4 4對比挑選肢 , 可知應(yīng)選 B. 答案 : B 點(diǎn)評 : 像這類題型 , 上述解法屬常規(guī)解法 , 而運(yùn)用 y=Asin x+ 的單調(diào)增區(qū)間的一般結(jié)論 , 由一般到特殊求解 , 既快又精確 , 如此題運(yùn)用對稱軸方程求單調(diào)區(qū)間 , 就是一種頗具新意

31、的簡明而又精確、牢靠的方法 解出 . . 當(dāng)然作為挑選題仍可利用特殊值、圖象變換等手段更快地解題規(guī)律 : 求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般思路是: 依據(jù)函數(shù)ft的單調(diào)性確定 x 的1 求定義域 ;2 確定復(fù)合過程 ,y=ft,t= x;3單調(diào)性 ;4 寫出滿意 x 的單調(diào)性的含有x 的式子 , 并求出 x 的范疇 ;5 得到 x 的范疇 , 與其定義域求交集 , 即是原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 . 結(jié)論 : 對于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 , 可以直接依據(jù)構(gòu)成函數(shù)的單調(diào)性來判定 . 變式訓(xùn)練1. 假如函數(shù)fx=sin x+ 0 1. 22 成立 . 由于 sin 2x=0.5, 即 sinx= 2 , 而正弦函數(shù)的值域是

32、 - 1,1, 2 -1,1. 2 2點(diǎn)評 : 比較是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵 , 反例能加深概念的深刻懂得 . 通過此題精確懂得正弦、余弦函數(shù)的最大值、最小值性質(zhì) . 3.1 當(dāng) xx|x= +2k ,k Z 時, 函數(shù)取得最大值 2; 當(dāng) xx|x= +2k ,k Z 時, 函2 2數(shù)取得最小值 -2. 2 當(dāng) xx|x=6k +3 ,k Z 時, 函數(shù)取得最大值3; 當(dāng) xx|x=6k ,k Z 時 , 函數(shù)取得最小值 1. 點(diǎn)評 : 利用正弦、 余弦函數(shù)的最大值、 最小值性質(zhì) , 結(jié)合本節(jié)例題鞏固正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì),快速寫出所給函數(shù)的最大值、最小值. 4.B 點(diǎn)評 : 利用數(shù)形結(jié)合思想熟識函數(shù)的單調(diào)性. 這是一道挑選題, 要求快速精確地選出正確答案 . 數(shù)形結(jié)合是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的正確方法. 5.1sin250 sin260 ;2cos15cos14; 893cos515 cos