高中數(shù)學(xué)考前歸納總結(jié)導(dǎo)數(shù)中的有關(guān)方程根的問題

1、導(dǎo)數(shù)中的有關(guān)方程根的問題一、常見基此題型： 1 判定根的個(gè)數(shù)問題,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,通過構(gòu)造函數(shù)來求解,例 1. 已知函數(shù) f x ln x 21, g x 2 1a . 求方程 f g x 的根的個(gè)數(shù) . x 1解：令 h x f x g x ln x 21 2 1ax 1h x 2 2 x2 2 x2 2 x 2 12 12x 1 x 1 x 1 x 1當(dāng) x 0,1 1, 時(shí),h x 0當(dāng) x , 1 1,0 時(shí),h x 0因此,h x 在 , 1, 1,0 時(shí),h x 單調(diào)遞減,在 0,1,1, 時(shí),h x 單調(diào)遞增 . 又 h x 為偶函數(shù),當(dāng) x 1,1 時(shí),h x

2、 微小值為 h 0 1 a當(dāng) x 1 時(shí),h x , 當(dāng) x 1 時(shí),h x 當(dāng) x 時(shí),h x , 當(dāng) x 時(shí),h x 故 f x g x 的根的情形為：當(dāng)1 a 0 時(shí),即 a 1 時(shí),原方程有 2 個(gè)根；當(dāng)1 a 0 時(shí),即 a 1 時(shí),原方程有 3 個(gè)根；當(dāng)1 a 0 時(shí),即 a 1 時(shí),原方程有 4 個(gè)根（2）已知方程在給定的區(qū)間上解的情形,去求參數(shù)的取值范疇,另外有關(guān)方程零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題其實(shí)質(zhì)也是方程根的問題；例 1. 已知f x 3 axbx2ba x a b是不同時(shí)為零的常數(shù)） ,其導(dǎo)函數(shù)為f x ,（1）求證：函數(shù)yf x 在 1,0 內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)；（2）如函數(shù)f x 為

3、奇函數(shù),且在x1處的切線垂直于直線x2y30,關(guān)于 x的方程f x 1t 在 1, t1上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)t 的取值4范疇 . 解：（ 1）證明：由于f 2 3 ax2 bxba當(dāng)a0時(shí),x1符合題意；2當(dāng)a0時(shí),3x22bxb1,令tb,就32 x2 txt1aaa令h x 3x22 txt1,h 110,24當(dāng)t1時(shí),h0t10,yh x 在1,0內(nèi)有零點(diǎn)；2當(dāng)t1時(shí),h 12t10,yh x 在 1,1內(nèi)有零點(diǎn) . 2當(dāng)a0時(shí),yh x 在 1,0 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn). 綜上可知,函數(shù)yf x 在 1,0 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)（2）由于f x ax3bx2ba x 為奇函數(shù),所以b0

4、,所以f x 3 axax,f 3 ax2a. 又f x 在x1處的切線垂直于直線x2y30,所以a1,即f x 3 xx . f x 在,3,3,上是單調(diào)遞增函數(shù),33在3,3上是單調(diào)遞減函數(shù),由f x 0解得x1,x0,33作yf x 與y由f x 1x 解之得x3 , 2x0上有41x 的圖知交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x3 , 2x04當(dāng)x3,00,38 3時(shí),過y1x 圖象上任意一點(diǎn)向左作平行于2294x 軸的直線與yf x 都只有唯獨(dú)交點(diǎn),當(dāng)x 取其它任何值時(shí)都有兩個(gè)或沒有交點(diǎn)；所以當(dāng)x3,00,38 3時(shí),方程f x 1t 在 1, t12294且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根. 二、針對性練習(xí) 1 ；設(shè)函數(shù)f

5、 x lnx1ax2bx 當(dāng)a0,b1,方程2mf x x 有唯獨(dú)實(shí)數(shù)解,22求正數(shù) m 的值2解: 由于方程 2 mf x x 有唯獨(dú)實(shí)數(shù)解,2所以 x 2 m ln x 2 mx 0 有唯獨(dú)實(shí)數(shù)解,設(shè) g x x 2 2 m ln x 2 mx,2就 g x 2 x 2 mx 2 m令 g x 0,x 2mx m 0 x由于 m 0,x 0,所以 x 1 m m 2 4 m 0（舍去）,x 2 m m 2 4 m,2 2當(dāng) x ,0 x 2 時(shí),g x 0,g x 在（ 0,2x ）上單調(diào)遞減,當(dāng) x x 2 , 時(shí),g x 0,g x 在（x , +）單調(diào)遞增當(dāng) x x 2 時(shí),g x

6、2 =0,g x 取最小值 g 2x 2g x 2 ,0 x 2 2 m ln x 2 2 mx 2 0 ,就 既g x 2 0 , x 2 2mx 2 m 0 .所以 2 m ln x 2 mx 2 m 0,由于 m 0,所以 2 ln x 2 x 2 1 0（* ）設(shè)函數(shù) h x 2 ln x x 1,由于當(dāng) x 0 時(shí),h x 是增函數(shù),所以 h x 0 至多有一解由于 h 1 0,所以方程（ *）的解為 x 2 1,2即 m m 4 m1,解得 m 12 2 2. 設(shè)函數(shù) f x c ln x 1x 2bx b c R c 0,且 x 1 為 f x 的極值點(diǎn)2 如 x 1 為 f x

7、 的極大值點(diǎn),求 f x 的單調(diào)區(qū)間（用 c 表示）； 如 f x 0 恰有兩解,求實(shí)數(shù) c的取值范疇2解：f cx b x bx c,又 f 1 0 x x所以 f x 1 x c 且 c 1,b c 1 0 x（I ）由于 x 1 為 f x 的極大值點(diǎn),所以 c 1當(dāng)0 x 1 時(shí),f 0；當(dāng)1 x c 時(shí),f 0；當(dāng)x c 時(shí),f 0所以 f x 的遞增區(qū)間為 0,1 , , ；遞減區(qū)間為 1, c （II ）如 c 0,就 f x 在0,1上遞減,在1, 上遞增1 1f x 0 恰有兩解,就 f 1 0,即 2 b 0,所以 2 c 0；1 2 1f 極大 f c c ln c c

8、bc f 微小 f 1 b 如0 c 1,就 2,22 2由于 b 1 c ,就 f x 的極大值為 c ln c cc 1 c c ln c c c0,2 21f x 的微小值為 c , 從而 f x 0 只有一解；22 2 如 c 1,就 f x 的微小值為 c ln c cc 1 c c ln c c c02 21f x 的極大值為 c ,就 f 0 只有一解 . 2綜上,使 f x 0 恰有兩解 的c的范疇為 1c 023. 已知函數(shù) f x 4ln x x , 函數(shù) 2g x f m ln 4 , 如方程 g x 0 在1 ,2e上恰有兩解 , 求實(shí)數(shù)m的取值范疇 . 解：g x 4ln x x 2m ln 4令 g x 0 得 m 4ln x x 2ln 4,就此方程在 1,2 上恰有兩解；e2記 x x 4 ln x