高級不等式及其解題應(yīng)用

1、第第 頁共42頁sxyz= sxy(x + y)|w s sxyz= sxy(x + y)|w s (x：y) =st342由均值不等式xyvlx*得:當 x, y0 時，z = _(x + y), &t = x + y = -z當x = y時，式得等號成立.由均值不等式得:2s2t6 =2s2 t2 t22s2t6 =2s2 t2 t2 t2t3 一 2 一 22s 3t4即：42|st3E(s22s2 t2 t22_1 z 2(s4222x2x y z )t2、42s2 3t24、43，22 , 1 2222 2t ) _ (s x y z )24由式得:將式代入式得:于是：9 sxyz*

2、+2+4皂由式得:將式代入式得:于是：9 sxyz*+2+4皂比較兩式得：M之W2 .故：M的最小值為選.3232上面用到了： 3t2 =t2 2t2 =(x y)2 2z2 -v2(a -b)( b -c)(c - a) 03采用uvw法必須牢記的幾個不等式：A (a-b)(b-c)(c-a)(a2c-a2b) cyc22-2B :a =9u -6vC、n_2243C a b =9u -6uw cycD a3 =27u3 -27uv2 3w3 cycE a4 =(9u2 -6v2)2 -2(9v4 -6uw3) cycF (a-b)2(b-c)2(c-a)2 =27-(w3-3uv2 2u3

3、)2 4(u2 -v2)3G w3 +3u3之4uv2即舒爾不等式 因為a,b,c20 ,所以根據(jù)傻瓜不等式(53)： uvw 故由 F可得：-(w3 -3uv2 2u3)2 4(u2 -v2)3 -0即：4(u2 v2)3 之(w3 3uv2+2u3)2 ,即：2j(u2v2)3 2(w3 3uv2 + 2u3)即：w3 之 3uv2 2u 3 2 J(u v )這與24.1中uvw定理的w3取值要求一致.將代入2u5 -3uv4 w3v2 _ 2u5 -3uv4 v23uv2 -2u3 -2 (u2 -v2)3只要 2u5 -3uv4 +v23uv2 2u3 2、；(u2 v2)3 之 0

4、則滿足式要求.式即：2u5-2u3v2 -2v2 (u2 -v2)3 _0即：u5 -u3v2 -v2 (u2 -v2)3 .0設(shè)“=”，則由傻瓜不等式得ti,代入式得：t5-t3-7(t2-i)3o即：t5 t3 至，(t2 1)3 ,即：t3(t2 1)“2 1而1即：t3 之 Gt2i,即：t6t2+i 至0 在t至i是式包成立.這樣，式成立，倒退回去則式成立.證畢.此題不好.將此題展開來，則是求證：% a55”(a4bab4)10、a2b33a2b2c_17a3b27a3bccyccyccyccyccyccyc1 一將f(x) =及a + b + c + d = 5 -abcd代入式得：x11 1144 二 16a b c d abcd 5 - abcd由均值不等式：5 -abcd = a + b + c + d 44/abcd設(shè)：t = 4/abcd0,則式為:5t4 至4t,即：t4 +4t-50,所以 t3 +t2 +t+5 0則由式得：tW1,故：住（0,1 將式代入式得：1 11+1+1+116 =4 .證畢. a b c d 5-1另：采用拉