二分圖的完備匹配_第1頁
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1、二分圖的完備匹配1 某公司有工作人員X1，X2，Xm，他們?nèi)プ龉ぷ鱕1，Y2，Yn，每人適合做其中的一項或幾項工作，問能否每人都分配一項合適的工作。 這個問題的數(shù)學(xué)模型是：構(gòu)造一個二分圖G，頂點(diǎn)劃分為兩個部分：一個是工作人員集合XXl，X2，Xm，一個是工作集合YY1，Y2，Yn，當(dāng)且僅當(dāng)Xi適合干工作Yi時，Xi與Yi之間連一條邊。問是否能從G中得出一個不含未蓋點(diǎn)的匹配，這種將G的每一個頂點(diǎn)蓋住的匹配稱為二分圖的完備匹配。2 可能存在完備匹配的圖是否僅限于二分圖呢？答案是否定的。數(shù)學(xué)家在做了大量的圖論分析后得出： (1)G是K(K0)次正則二分圖； (2)G是無橋的三次正則圖； (3)G在去

2、除任意一個頂點(diǎn)子集S后，其子圖中含頂點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的連通分支個數(shù)不大于|S|。 具有上述3個特征的圖肯定有完備匹配。特別是特征(3)，是完備匹配的充分必要條件：含特征(3)的圖一定有完備匹配；有完備匹配的圖也一定含有特征(3)。3求二分圖最佳匹配的算法匈牙利算法變量說明； S外點(diǎn)集合，初始時為交錯樹的根； T內(nèi)點(diǎn)集合，初始時為空； N(S)與S中的頂點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)集合。顯然，若N(S)T，表明與任一外點(diǎn)相連的端點(diǎn)都在內(nèi)點(diǎn)集合里，找不出一條不屬于交錯樹的邊，圖G無完備匹配； M匹配邊集合； E(P)可增廣軌P上的邊。 M E(P)進(jìn)行對稱差運(yùn)算的結(jié)果，為可增廣軌P上的匹配邊與非匹配邊對換，P軌外的匹配邊不變，使得M改進(jìn)成一個多包含一條邊的匹配。O45 這個算法的要點(diǎn)是把初始匹配通過可增廣軌逐次增廣，以至得到最大匹配。然后根據(jù)有無未蓋點(diǎn)來判定這個最大匹配是否為完備匹配。 例如求圖78(d)中的最大匹配，設(shè)初始匹配M(X2Y2,X3Y3,X5Y5 以未蓋點(diǎn)X1為根，生成交錯樹，結(jié)果得到可增廣軌X1Y2X2Y1(見)。6X1

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