數(shù)學各個研究方向簡介

1、數(shù)學各個研究方向 數(shù)論 人類從學會計數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了，后來由于實踐的需要，數(shù)的概念進一步擴充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負整數(shù)，介于正整數(shù)和負整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們和起來叫做整數(shù)。 對于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運算，叫做四則運算。其中加法、減法和乘法這三種運算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無阻礙地進行。也就是說，任意兩個或兩個以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時候，它們的和、差、積仍然是一個整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無阻礙地進行。 人們在對整數(shù)進行運算的應用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)可分為兩大類奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù)、雙數(shù)）等。利用

2、整數(shù)的一些基本性質，可以進一步探索許多有趣和復雜的數(shù)學規(guī)律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來許多的數(shù)學家不斷地研究和探索。 數(shù)論這門學科最初是從研究整數(shù)開始的，所以叫做整數(shù)論。后來整數(shù)論又進一步發(fā)展，就叫做數(shù)論了。確切的說，數(shù)論就是一門研究整數(shù)性質的學科。數(shù)論的發(fā)展簡況 自古以來，數(shù)學家對于整數(shù)性質的研究一直十分重視，但是直到十九世紀，這些研究成果還只是孤立地記載在各個時期的算術著作中，也就是說還沒有形成完整統(tǒng)一的學科。 自我國古代，許多著名的數(shù)學著作中都關于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問題等等。在國外，古希臘時代的數(shù)學家對于數(shù)論中一個最基本的問題整除性問

3、題就有系統(tǒng)的研究，關于質數(shù)、和數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來應用了。后來的各個時代的數(shù)學家也都對整數(shù)性質的研究做出過重大的貢獻，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。 在整數(shù)性質的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質數(shù)是構成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質就必須研究質數(shù)的性質。因此關于質數(shù)性質的有關問題，一直受到數(shù)學家的關注。 到了十八世紀末，歷代數(shù)學家積累的關于整數(shù)性質零散的知識已經(jīng)十分豐富了，把它們整理加工成為一門系統(tǒng)的學科的條件已經(jīng)完全成熟了。德國數(shù)學家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做算術探討，1800年寄給了法國科學院，但是法國科學院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部

4、著作。這部書開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀元。 在算術探討中，高斯把過去研究整數(shù)性質所用的符號標準化了，把當時現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進行了推廣，把要研究的問題和意志的方法進行了分類，還引進了新的方法。數(shù)論的基本內(nèi)容 數(shù)論形成了一門獨立的學科后，隨著數(shù)學其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個部分。 初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學學科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數(shù)性質的分支。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。 解析數(shù)論是使用數(shù)學分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支。數(shù)學分析是以函數(shù)作為研究對象的、在極限

5、概念的基礎上建立起來的數(shù)學學科。用數(shù)學分析來解決數(shù)論問題是由歐拉奠基的，俄國數(shù)學家車比雪夫等也對它的發(fā)展做出過貢獻。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問題的強有力的工具。比如，對于“質數(shù)有無限多個”這個命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學分析中有關無窮級數(shù)的若干知識。二十世紀三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三角和方法”，這個方法對于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用。我國數(shù)學家陳景潤在解決“哥德巴赫猜想”問題中也使用的是解析數(shù)論的方法。 代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個分支。數(shù)學家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。 幾何數(shù)論是由德國數(shù)學

6、家、物理學家閔可夫斯基等人開創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對象是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢？在給定的直角坐標系上，坐標全是整數(shù)的點，叫做整點；全部整點構成的組就叫做空間格網(wǎng)?？臻g格網(wǎng)對幾何學和結晶學有著重大的意義。由于幾何數(shù)論涉及的問題比較復雜，必須具有相當?shù)臄?shù)學基礎才能深入研究。 數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學學科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對數(shù)學理論的發(fā)展起到了積極的作用。但對于大多數(shù)人來講并不清楚它的實際意義。 由于近代計算機科學和應用數(shù)學的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應用。比如在計算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻報道，現(xiàn)在有些國家應

7、用“孫子定理”來進行測距，用原根和指數(shù)來計算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應用。特別是現(xiàn)在由于計算機的發(fā)展，用離散量的計算去逼近連續(xù)量而達到所要求的精度已成為可能。 數(shù)論在數(shù)學中的地位是獨特的，高斯曾經(jīng)說過“數(shù)學是科學的皇后，數(shù)論是數(shù)學中的皇冠”。因此，數(shù)學家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵人們?nèi)ァ罢　薄Ｏ旅婧喴谐鰩最w“明珠”：費爾馬大定理、孿生素數(shù)問題、歌德巴赫猜想、圓內(nèi)整點問題、完全數(shù)問題 在我國近代，數(shù)論也是發(fā)展最早的數(shù)學分支之一。從二十世紀三十年代開始，在解析數(shù)論、刁藩都方程、一致分布

8、等方面都有過重要的貢獻，出現(xiàn)了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數(shù)論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素數(shù)論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數(shù)論的研究的得到了更大的發(fā)展。特別是在“篩法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領先的優(yōu)秀成績。 特別是陳景潤在1966年證明“歌德巴赫猜想”的“一個大偶數(shù)可以表示為一個素數(shù)和一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和”以后，在國際數(shù)學引起了強烈的反響，盛贊陳景潤的論文是解析數(shù)學的名作，是篩法的光輝頂點。至今，這仍是“歌德巴赫猜想”的最好結果。 拓撲學的由來 幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數(shù)學分支，它屬于幾何學的范疇。有關拓撲學的一些內(nèi)容早在十八世紀就出現(xiàn)

9、了。那時候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問題，后來在拓撲學的形成中占著重要的地位。 在數(shù)學上，關于哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發(fā)展史的重要問題。 哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯(lián)結起來。人們閑暇時經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到?？磥硪玫揭粋€明確、理想的答案還不那么容易。 1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數(shù)學家歐拉，歐拉經(jīng)過一番思考，很快就用一種獨特

10、的方法給出了解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那么這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經(jīng)過進一步的分析，歐拉得出結論不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的“先聲”。 在拓撲學的發(fā)展歷史中，還有一個著名而且重要的關于多面體的定理也和歐拉有關。這個定理內(nèi)容是：如果一個凸多面體的頂點數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關系：f+v-e=2。 根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體

11、、正十二面體、正二十面體。 著名的“四色問題”也是與拓撲學發(fā)展有關的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學難題之一。 四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業(yè)于倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。” 1872年，英國當時最著名的數(shù)學家凱利正式向倫敦數(shù)學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學界關注的問題。世界上許多一流的數(shù)學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。18781880年兩年間，著名律師兼數(shù)學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。

12、但后來數(shù)學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。 進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數(shù)學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過不少數(shù)學家并不滿足于計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。 上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖

13、形有關的問題，但這些問題又與傳統(tǒng)的幾何學不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓撲學”的先聲。什么是拓撲學？ 拓撲學的英文名是Topology，直譯是地志學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。我國早期曾經(jīng)翻譯成“形勢幾何學”、“連續(xù)幾何學”、“一對一的連續(xù)變換群下的幾何學”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統(tǒng)一的數(shù)學名詞把它確定為拓撲學，這是按音譯過來的。 拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質。拓撲學對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數(shù)量關系都無關。

14、舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那么這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。在拓撲學里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數(shù)。這些就是拓撲學思考問題的出發(fā)點。 拓撲性質有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質。 在拓撲學里不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。左圖的三樣東西

15、就是拓撲等價的，換句話講，就是從拓撲學的角度看，它們是完全一樣的。 在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連接起來，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下，點、線、塊的數(shù)目仍和原來的數(shù)目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變幻，就存在拓撲等價。 應該指出，環(huán)面不具有這個性質。比如像左圖那樣，把環(huán)面切開，它不至于分成許多塊，只是變成一個彎曲的圓桶形，對于這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環(huán)面。所以球面和環(huán)面在拓撲學中是不同的曲面。 直線上的點和線的結合關系、順序關系，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也

16、是拓撲性質。 我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但德國數(shù)學家莫比烏斯(17901868)在1858年發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來涂滿兩個側面。 拓撲變換的不變性、不變量還有很多，這里不在介紹。 拓撲學建立后，由于其它數(shù)學學科的發(fā)展需要，它也得到了迅速的發(fā)展。特別是黎曼創(chuàng)立黎曼幾何以后，他把拓撲學概念作為分析函數(shù)論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。 二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關于任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。 因為大量自然現(xiàn)象具有連續(xù)性，所以拓撲學具有廣

17、泛聯(lián)系各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結構，從而掌握空間之間的函數(shù)關系。本世紀三十年代以后，數(shù)學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數(shù)學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究取線、曲面等在一點附近的彎曲情況，而拓撲學是研究曲面的全局聯(lián)系的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯(lián)系。1945年，美籍中國數(shù)學家陳省身建立了代數(shù)拓撲和微分幾何的聯(lián)系，并推進了整體幾何學的發(fā)展。 拓撲學發(fā)展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重于用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另

18、一個分支是偏重于用代數(shù)方法來研究的，叫做代數(shù)拓撲?，F(xiàn)在，這兩個分支又有統(tǒng)一的趨勢。 拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程額其他許多數(shù)學分支中都有廣泛的應用。作者: 葉脈書簽發(fā)布日期: 2006-8-20射影幾何 射影幾何是研究圖形的射影性質，即它們經(jīng)過射影變換后，依然保持不變的圖形性質的幾何學分支學科。一度也叫做投影幾何學，在經(jīng)典幾何學中，射影幾何處于一種特殊的地位，通過它可以把其他一些幾何學聯(lián)系起來。射影幾何的發(fā)展簡況 十七世紀，當?shù)芽▋汉唾M爾馬創(chuàng)立的解析幾何問世的時候，還有一門幾何學同時出現(xiàn)在人們的面前。這門幾何學和畫圖有很密切的關系，它的某些概念早在古希臘時期就曾經(jīng)引起一些學者的

19、注意，歐洲文藝復興時期透視學的興起，給這門幾何學的產(chǎn)生和成長準備了充分的條件。這門幾何學就是射影幾何學。 基于繪圖學和建筑學的需要，古希臘幾何學家就開始研究透視法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波羅尼奧斯就曾把二次曲線作為正圓錐面的截線來研究。在4世紀帕普斯的著作中，出現(xiàn)了帕普斯定理。 在文藝復興時期，人們在繪畫和建筑藝術方面非常注意和大力研究如何在平面上表現(xiàn)實物的圖形。那時候，人們發(fā)現(xiàn)，一個畫家要把一個事物畫在一塊畫布上就好比是用自己的眼睛當作投影中心，把實物的影子影射到畫布上去，然后再描繪出來。在這個過程中，被描繪下來的像中的各個元素的相對大小和位置關系，有的變化了，有的卻保

20、持不變。這樣就促使了數(shù)學家對圖形在中心投影下的性質進行研究，因而就逐漸產(chǎn)生了許多過去沒有的新的概念和理論，形成了射影幾何這門學科。 射影幾何真正成為獨立的學科、成為幾何學的一個重要分支，主要是在十七世紀。在17世紀初期，開普勒最早引進了無窮遠點概念。稍后，為這門學科建立而做出了重要貢獻的是兩位法國數(shù)學家笛沙格和帕斯卡。 笛沙格是一個自學成才的數(shù)學家，他年輕的時候當過陸軍軍官，后來鉆研工程技術，成了一名工程師和建筑師，他很不贊成為理論而搞理論，決心用新的方法來證明圓錐曲線的定理。1639年，他出版了主要著作試論圓錐曲線和平面的相交所得結果的初稿，書中他引入了許多幾何學的新概念。他的朋友笛卡爾、帕

21、斯卡、費爾馬都很推崇他的著作，費爾馬甚至認為他是圓錐曲線理論的真正奠基人。 迪沙格在他的著作中，把直線看作是具有無窮大半徑的圓，而曲線的切線被看作是割線的極限，這些概念都是射影幾何學的基礎。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果兩個三角形對應頂點連線共點，那么對應邊的交點共線，反之也成立”，就是射影幾何的基本定理。 帕斯卡也為射影幾何學的早期工作做出了重要的貢獻，1641年，他發(fā)現(xiàn)了一條定理：“內(nèi)接于二次曲線的六邊形的三雙對邊的交點共線。”這條定理叫做帕斯卡六邊形定理，也是射影幾何學中的一條重要定理。1658年，他寫了圓錐曲線論一書，書中很多定理都是射影幾何方面的內(nèi)容。迪沙格和他是朋友，曾經(jīng)敦促他

22、搞透視學方面的研究，并且建議他要把圓錐曲線的許多性質簡化成少數(shù)幾個基本命題作為目標。帕斯卡接受了這些建議。后來他寫了許多有關射影幾何方面的小冊子。 不過迪沙格和帕斯卡的這些定理，只涉及關聯(lián)性質而不涉及度量性質(長度、角度、面積)。但他們在證明中卻用到了長度概念，而不是用嚴格的射影方法，他們也沒有意識到，自己的研究方向會導致產(chǎn)生一個新的幾何體系射影幾何。他們所用的是綜合法，隨著解析幾何和微積分的創(chuàng)立，綜合法讓位于解析法，射影幾何的探討也中斷了。 射影幾何的主要奠基人是19世紀的彭賽列。他是畫法幾何的創(chuàng)始人蒙日的學生。蒙日帶動了他的許多學生用綜合法研究幾何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被長期忽視了，

23、前人的許多工作他們不了解，不得不重新再做。 1822年，彭賽列發(fā)表了射影幾何的第一部系統(tǒng)著作。他是認識到射影幾何是一個新的數(shù)學分支的第一個數(shù)學家。他通過幾何方法引進無窮遠虛圓點，研究了配極對應并用它來確立對偶原理。稍后，施泰納研究了利用簡單圖形產(chǎn)生較復雜圖形的方法，線素二次曲線概念也是他引進的。為了擺脫坐標系對度量概念的依賴，施陶特通過幾何作圖來建立直線上的點坐標系，進而使交比也不依賴于長度概念。由于忽視了連續(xù)公理的必要性，他建立坐標系的做法還不完善，但卻邁出了決定性的一步。 另方面，運用解析法來研究射影幾何也有長足進展。首先是莫比烏斯創(chuàng)建一種齊次坐標系，把變換分為全等，相似，仿射，直射等類型

24、，給出線束中四條線交比的度量公式等。接著，普呂克引進丁另一種齊次坐標系，得到了平面上無窮遠線的方程，無窮遠圓點的坐標。他還引進了線坐標概念，于是從代數(shù)觀點就自然得到了對偶原理，并得到了關于一般線素曲線的一些概念。 在19世紀前半葉的幾何研究中，綜合法和解析法的爭論異常激烈；有些數(shù)學家完全否定綜合法，認為它沒有前途，而一些幾何學家，如沙勒，施圖迪和施泰納等，則堅持用綜合法而排斥解析法。還有一些人，如彭賽列，雖然承認綜合法有其局限性，在研究過程中也難免借助于代數(shù)，但在著作中總是用綜合法來論證。他們的努力使綜合射影幾何形成一個優(yōu)美的體系，而且用綜合法也確實形象鮮明，有些問題論證直接而簡潔。1882年

25、帕施建成第一個嚴格的射影幾何演繹體系。 射影幾何學的發(fā)展和其他數(shù)學分支的發(fā)展有密切的關系，特別是“群”的概念產(chǎn)生以后，也被引進了射影幾何學，對這門幾何學的研究起了促進作用。 把各種幾何和變換群相聯(lián)系的是克萊因，他在埃爾朗根綱領中提出了這個觀點，并把幾種經(jīng)典幾何看作射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關系變得十分明朗。這個綱領產(chǎn)生了巨大影響。但有些幾何，如黎曼幾何，不能納入這個分類法。后來嘉當?shù)仍谕貜V幾何分類的方法中作出了新的貢獻。 射影幾何學的內(nèi)容 概括的說，射影幾何學是幾何學的一個重要分支學科，它是專門研究圖形的位置關系的，也是專門用來討論在把點投影到直線或者平面上的時候，圖形的不變性質的科學

26、。 在射影幾何學中，把無窮遠點看作是“理想點”。通常的直線再加上一個無窮點就是無窮遠直線，如果一個平面內(nèi)兩條直線平行，那么這兩條直線就交于這兩條直線共有的無窮遠點。通過同一無窮遠點的所有直線平行。 在引入無窮遠點和無窮遠直線后，原來普通點和普通直線的結合關系依然成立，而過去只有兩條直線不平行的時候才能求交點的限制就消失了。 由于經(jīng)過同一個無窮遠點的直線都平行，因此中心射影和平行射影兩者就可以統(tǒng)一了。平行射影可以看作是經(jīng)過無窮遠點的中心投影了。這樣凡是利用中心投影或者平行投影把一個圖形映成另一個圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。 射影變換有兩個重要的性質：首先，射影變換使點列變點列，直線變直線

27、，線束變線束，點和直線的結合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說明兩個平面點之間的射影對應。 在射影幾何里，把點和直線叫做對偶元素，把“過一點作一直線”和“在一直線上取一點”叫做對偶運算。在兩個圖形中，它們?nèi)绻际怯牲c和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，結果就得到另一個圖形。這兩個圖形叫做對偶圖形。在一個命題中敘述的內(nèi)容只是關于點、直線和平面的位置，可把各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算的時候，結果就得到另一個命題。這兩個命題叫做對偶命題。 這就是射影幾何學所特有的對偶原則。在射影平面上，如

28、果一個命題成立，那么它的對偶命題也成立，這叫做平面對偶原則。同樣，在射影空間里，如果一個命題成立，那么它的對偶命題也成立，叫做空間對偶原則。 研究在射影變換下二次曲線的不變性質，也是射影幾何學的一項重要內(nèi)容。 如果就幾何學內(nèi)容的多少來說，射影幾何學 仿射幾何學 歐氏幾何學，這就是說歐氏幾何學的內(nèi)容最豐富，而射影幾何學的內(nèi)容最貧乏。比如在歐氏幾何學里可以討論仿射幾何學的對象(如簡比、平行性等)和射影幾何學的對象(如四點的交比等)，反過來，在射影幾何學里不能討論圖形的仿射性質，而在仿射幾何學里也不能討論圖形的度量性質。 1872年，德國數(shù)學家克萊因在愛爾朗根大學提出著名的愛爾朗根計劃書中提出用變換

29、群對幾何學進行分類，就是凡是一種變換，它的全體能組成“群”，就有相應的幾何學，而在每一種幾何學里，主要研究在相應的變換下的不變量和不變性。作者: 葉脈書簽發(fā)布日期: 2006-8-20微分方程的概念 方程對于學過中學數(shù)學的人來說是比較熟悉的；在初等數(shù)學中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關系找出來，列出包含一個未知數(shù)或幾個未知數(shù)的一個或者多個方程式，然后取求方程的解。 但是在實際工作中，常常出現(xiàn)一些特點和以上方程完全不同的問題。比如：物質在一定條件下的運動變化，要尋求它的運動、變化的

30、規(guī)律；某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動機推動下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道，等等。 物質運動和它的變化規(guī)律在數(shù)學上是用函數(shù)關系來描述的，因此，這類問題就是要去尋求滿足某些條件的一個或者幾個未知函數(shù)。也就是說，凡是這類問題都不是簡單地去求一個或者幾個固定不變的數(shù)值，而是要求一個或者幾個未知的函數(shù)。 解這類問題的基本思想和初等數(shù)學解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關系找出來，從列出的包含未知函數(shù)的一個或幾個方程中去求得未知函數(shù)的表達式。但是無論在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質等方面，都和初等數(shù)學中的解方程有許多不

31、同的地方。 在數(shù)學上，解這類方程，要用到微分和導數(shù)的知識。因此，凡是表示未知函數(shù)的導數(shù)以及自變量之間的關系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學家雅各布貝努利、歐拉、法國數(shù)學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。 常微分方程的形成與發(fā)展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術的發(fā)展密切相關的。數(shù)學的其他分支的新發(fā)展，如復變函數(shù)、李群、組合拓撲學等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當前計算機的發(fā)展更是為常微

32、分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。 牛頓研究天體力學和機械力學的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規(guī)律。后來，法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理論逐步完善的時候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學分支。常微分方程的內(nèi)容 如果在一個微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個自變量，這個方程就叫做常微分方程，也可以簡單地叫做微分方程。 一般地說，n 階微分方程的

33、解含有 n個任意常數(shù)。也就是說，微分方程的解中含有任意常數(shù)的個數(shù)和方程的解數(shù)相同，這種解叫做微分方程的通解。通解構成一個函數(shù)族。 如果根據(jù)實際問題要求出其中滿足某種指定條件的解來，那么求這種解的問題叫做定解問題，對于一個常微分方程的滿足定解條件的解叫做特解。對于高階微分方程可以引入新的未知函數(shù)，把它化為多個一階微分方程組。常微分方程的特點 常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關幾點簡述一下，以了解常微分方程的特點。 求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標，一旦求出通解的表達式，就容易從中得到問題所需要的

34、特解。也可以由通解的表達式，了解對某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對應的解具有所需要的性能，還有助于進行關于解的其他研究。 后來的發(fā)展表明，能夠求出通解的情況不多，在實際應用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解。當然，通解是有助于研究解的屬性的，但是人們已把研究重點轉移到定解問題上來。 一個常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有幾個呢？這是微分方程論中一個基本的問題，數(shù)學家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因為如果沒有解，而我們要去求解，那是沒有意義的；如果有解而又不是唯一的，那又不好確定。因此，存在和唯一性定理對于微分方程的求解是十分重要的。 大部分的常微分方程求不出十分

35、精確的解，而只能得到近似解。當然，這個近似解的精確程度是比較高的。另外還應該指出，用來描述物理過程的微分方程，以及由試驗測定的初始條件也是近似的，這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決。 現(xiàn)在，常微分方程在很多學科領域內(nèi)有著重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質的問題。應該說，應用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待于進一步的發(fā)展，使這門學科的理論更加完善。作者: 葉脈書簽發(fā)布日期: 2006-8-20非歐幾何

36、的來源 非歐幾何學是一門大的數(shù)學分支，一般來講 ，他有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里的幾何學不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是指羅式幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅式幾何和黎曼幾何這兩種幾何。 歐幾里得的幾何原本提出了五條公設，長期以來，數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)第五公設和前四個公設比較起來，顯得文字敘述冗長，而且也不那么顯而易見。 有些數(shù)學家還注意到歐幾里得在幾何原本一書中直到第二十九個命題中才用到，而且以后再也沒有使用。也就是說，在幾何原本中可以不依靠第五公設而推出前二十八個命題。 因此，一些數(shù)學家提出，第五公設能不能不作為公設，而作為定理？能不能依靠前四

37、個公設來證明第五公設？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭論了長達兩千多年的關于“平行線理論”的討論。 由于證明第五公設的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對？第五公設到底能不能證明？ 到了十九世紀二十年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中，他走了另一條路子。他提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設，然后與歐式幾何的前四個公設結合成一個公理系統(tǒng)，展開一系列的推理。他認為如果這個系統(tǒng)為基礎的推理中出現(xiàn)矛盾，就等于證明了第五公設。我們知道，這其實就是數(shù)學中的反證法。 但是，在他極為細致深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛

38、盾的命題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論： 第一，第五公設不能被證明。 第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學。 這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。 從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論：邏輯上互不矛盾的一組假設都有可能提供一種幾何學。 幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學的同時，匈牙利數(shù)學家鮑耶雅諾什也發(fā)現(xiàn)了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在。鮑耶在研究非歐幾何學的過程中也遭到了家庭、社會的冷漠對待。他的父

39、親數(shù)學家鮑耶法爾卡什認為研究第五公設是耗費精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶雅諾什堅持為發(fā)展新的幾何學而辛勤工作。終于在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發(fā)表了研究結果。 那個時代被譽為“數(shù)學王子”的高斯也發(fā)現(xiàn)第五公設不能證明，并且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發(fā)表自己的研究成果，只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。羅式幾何 羅式幾何學的公理系統(tǒng)和歐式幾何學不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。

40、由于平行公理不同，經(jīng)過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內(nèi)容不同的新的幾何命題。 我們知道，羅式幾何除了一個平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅式幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，再羅式幾何中都不成立，他們都相應地含有新的意義。下面舉幾個例子加以說明： 歐式幾何 同一直線的垂線和斜線相交。 垂直于同一直線的兩條直線或向平行。 存在相似的多邊形。 過不在同一直線上的三點可以做且僅能做一個圓。 羅式幾何 同一直線的垂線和斜線不一定相交。 垂直于同一直線的兩條直線，當兩端延長的時候，離散到無窮。 不存在相似

41、的多邊形。 過不在同一直線上的三點，不一定能做一個圓。 從上面所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習慣的直觀形象有矛盾。所以羅式幾何中的一些幾何事實沒有象歐式幾何那樣容易被接受。但是，數(shù)學家們經(jīng)過研究，提出可以用我們習慣的歐式幾何中的事實作一個直觀“模型”來解釋羅式幾何是正確的。 1868年，意大利數(shù)學家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文非歐幾何解釋的嘗試，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現(xiàn)。這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。 人們既然承認歐幾里是沒有矛盾的，所以也就自然承認非歐幾何沒

42、有矛盾了。直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創(chuàng)性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致贊美，他本人則被人們贊譽為“幾何學中的哥白尼”。黎曼幾何 歐氏幾何與羅氏幾何中關于結合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”。羅氏幾何講“過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行”。那么是否存在這樣的幾何“過直線外一點，不能做直線和已知直線平行”？黎曼幾何就回答了這個問題。 黎曼幾何是德國數(shù)學家黎曼創(chuàng)立的。他在1851年所作的一篇論文論幾何學作為基礎的假設中明確的提出另一種

43、幾何學的存在，開創(chuàng)了幾何學的一片新的廣闊領域。 黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限演唱，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經(jīng)過適當“改進”的球面。 近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關于時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。 此外，黎曼幾何在數(shù)學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何

44、的基礎，也應用在微分方程、變分法和復變函數(shù)論等方面。三種幾何的關系 歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此這三種幾何都是正確的。 在我們這個不大不小、不遠不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。作者: 葉脈書簽發(fā)布日期: 2006-8-20什么是計算數(shù)學 現(xiàn)代的科學技術發(fā)展十分迅速，他們有一個共同的特點，就是都有大量的數(shù)據(jù)問題。 比如，發(fā)射一顆探測宇宙奧秘的衛(wèi)星，從

45、衛(wèi)星世紀開始到發(fā)射、回收為止，科學家和工程技術人員、工人就要對衛(wèi)星的總體、部件進行全面的設計和生產(chǎn)，要對選用的火箭進行設計和生產(chǎn)，這里面就有許許多多的數(shù)據(jù)要進行準確的計算。發(fā)射和回收的時候，又有關于發(fā)射角度、軌道、遙控、回收下落角度等等需要進行精確的計算。 有如，在高能加速器里進行高能物理試驗，研究具有很高能量的基本粒子的性質、它們之間的相互作用和轉化規(guī)律，這里面也有大量的數(shù)據(jù)計算問題。 計算問題可以數(shù)是現(xiàn)代社會各個領域普遍存在的共同問題，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運輸、醫(yī)療衛(wèi)生、文化教育等等，那一行那一業(yè)都有許多數(shù)據(jù)需要計算，通過數(shù)據(jù)分析，以便掌握事物發(fā)展的規(guī)律。 研究計算問題的解決方法和有關數(shù)學理論

46、問題的一門學科就叫做計算數(shù)學。 計算數(shù)學屬于應用數(shù)學的范疇，它主要研究有關的數(shù)學和邏輯問題怎樣由計算機加以有效解決。計算數(shù)學的內(nèi)容 計算數(shù)學也叫做數(shù)值計算方法或數(shù)值分析。主要內(nèi)容包括代數(shù)方程、線性代數(shù)方程組、微分方程的數(shù)值解法，函數(shù)的數(shù)值逼近問題，矩陣特征值的求法，最優(yōu)化計算問題，概率統(tǒng)計計算問題等等，還包括解的存在性、唯一性、收斂性和誤差分析等理論問題。 我們知道五次及五次以上的代數(shù)方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代數(shù)方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是數(shù)值分析的方法。對于一般的超越方程，如對數(shù)方程、三角方程等等也只能采用數(shù)值分析的辦法。怎樣找出比較簡潔、誤差比較

47、小、花費時間比較少的計算方法是數(shù)值分析的主要課題。 在求解方程的辦法中，常用的辦法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。迭代法的計算是比較簡單的，是比較容易進行的。迭代法還可以用來求解線性方程組的解。求方程組的近似解也要選擇適當?shù)牡?，使得收斂速度快，近似誤差小。 在線性代數(shù)方程組的解法中，常用的有塞德爾迭代法、共軛斜量法、超松弛迭代法等等。此外，一些比較古老的普通消去法，如高斯法、追趕法等等，在利用計算機的條件下也可以得到廣泛的應用。 在計算方法中，數(shù)值逼近也是常用的基本方法。數(shù)值逼近也叫近似代替，就是用簡單的函數(shù)去代替比較復雜的函數(shù)，或者代替不能用解析表達式表示的函數(shù)。數(shù)值逼近的基本方法是插

48、值法。初等數(shù)學里的三角函數(shù)表，對數(shù)表中的修正值，就是根據(jù)插值法制成的。 在遇到求微分和積分的時候，如何利用簡單的函數(shù)去近似代替所給的函數(shù)，以便容易求到和求積分，也是計算方法的一個主要內(nèi)容。微分方程的數(shù)值解法也是近似解法。常微分方程的數(shù)值解法由歐拉法、預測校正法等。偏微分方程的初值問題或邊值問題，目前常用的是有限差分法、有限元素法等。 有限差分法的基本思想是用離散的、只含有限個未知數(shù)的差分方程去代替連續(xù)變量的微分方程和定解條件。求出差分方程的解法作為求偏微分方程的近似解。 有限元素法是近代才發(fā)展起來的，它是以變分原理和剖分差值作為基礎的方法。在解決橢圓形方程邊值問題上得到了廣泛的應用。穆恰，有許

49、多人正在研究用有限元素法來解雙曲形和拋物形的方程。 計算數(shù)學的內(nèi)容十分豐富，它在科學技術中正發(fā)揮著越來越大的作用。作者: 葉脈書簽發(fā)布日期: 2006-8-20在中國戰(zhàn)國時期，曾經(jīng)有過一次流傳后世的賽馬比賽，相信大家都知道，這就是田忌賽馬。田忌賽馬的故事說明在已有的條件下，經(jīng)過籌劃、安排，選擇一個最好的方案，就會取得最好的效果?？梢?，籌劃安排是十分重要的。 現(xiàn)在普遍認為，運籌學是近代應用數(shù)學的一個分支，主要是將生產(chǎn)、管理等事件中出現(xiàn)的一些帶有普遍性的運籌問題加以提煉，然后利用數(shù)學方法進行解決。前者提供模型，后者提供理論和方法。 運籌學的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。敵我雙方交戰(zhàn)，要克敵制勝就要在了解

50、雙方情況的基礎上，做出最優(yōu)的對付敵人的方法，這就是“運籌帷幄之中，決勝千里之外”的說法。 但是作為一門數(shù)學學科，用純數(shù)學的方法來解決最優(yōu)方法的選擇安排，卻是晚多了。也可以說，運籌學是在二十世紀四十年代才開始興起的一門分支。 運籌學主要研究經(jīng)濟活動和軍事活動中能用數(shù)量來表達的有關策劃、管理方面的問題。當然，隨著客觀實際的發(fā)展，運籌學的許多內(nèi)容不但研究經(jīng)濟和軍事活動，有些已經(jīng)深入到日常生活當中去了。運籌學可以根據(jù)問題的要求，通過數(shù)學上的分析、運算，得出各種各樣的結果，最后提出綜合性的合理安排，已達到最好的效果。 運籌學作為一門用來解決實際問題的學科，在處理千差萬別的各種問題時，一般有以下幾個步驟：

51、確定目標、制定方案、建立模型、制定解法。 雖然不大可能存在能處理及其廣泛對象的運籌學，但是在運籌學的發(fā)展過程中還是形成了某些抽象模型，并能應用解決較廣泛的實際問題。 隨著科學技術和生產(chǎn)的發(fā)展，運籌學已滲入很多領域里，發(fā)揮了越來越重要的作用。運籌學本身也在不斷發(fā)展，現(xiàn)在已經(jīng)是一個包括好幾個分支的數(shù)學部門了。比如：數(shù)學規(guī)劃（又包含線性規(guī)劃；非線性規(guī)劃；整數(shù)規(guī)劃；組合規(guī)劃等）、圖論、網(wǎng)絡流、決策分析、排隊論、可靠性數(shù)學理論、庫存論、對策論、搜索論、模擬等等。各分支簡介 數(shù)學規(guī)劃的研究對象是計劃管理工作中有關安排和估值的問題，解決的主要問題是在給定條件下，按某一衡量指標來尋找安排的最優(yōu)方案。它可以表示

52、成求函數(shù)在滿足約束條件下的極大極小值問題。 數(shù)學規(guī)劃和古典的求極值的問題有本質上的不同，古典方法只能處理具有簡單表達式，和簡單約束條件的情況。而現(xiàn)代的數(shù)學規(guī)劃中的問題目標函數(shù)和約束條件都很復雜，而且要求給出某種精確度的數(shù)字解答，因此算法的研究特別受到重視。 這里最簡單的一種問題就是線性規(guī)劃。如果約束條件和目標函數(shù)都是呈線性關系的就叫線性規(guī)劃。要解決線性規(guī)劃問題，從理論上講都要解線性方程組，因此解線性方程組的方法，以及關于行列式、矩陣的知識，就是線性規(guī)劃中非常必要的工具。 線性規(guī)劃及其解法單純形法的出現(xiàn)，對運籌學的發(fā)展起了重大的推動作用。許多實際問題都可以化成線性規(guī)劃來解決，而單純形法有是一個行

53、之有效的算法，加上計算機的出現(xiàn)，使一些大型復雜的實際問題的解決成為現(xiàn)實。 非線性規(guī)劃是線性規(guī)劃的進一步發(fā)展和繼續(xù)。許多實際問題如設計問題、經(jīng)濟平衡問題都屬于非線性規(guī)劃的范疇。非線性規(guī)劃擴大了數(shù)學規(guī)劃的應用范圍，同時也給數(shù)學工作者提出了許多基本理論問題，使數(shù)學中的如凸分析、數(shù)值分析等也得到了發(fā)展。還有一種規(guī)劃問題和時間有關，叫做“動態(tài)規(guī)劃”。近年來在工程控制、技術物理和通訊中的最佳控制問題中，已經(jīng)成為經(jīng)常使用的重要工具。 排隊論是運籌學的又一個分支，它有叫做隨機服務系統(tǒng)理論。它的研究目的是要回答如何改進服務機構或組織被服務的對象，使得某種指標達到最優(yōu)的問題。比如一個港口應該有多少個碼頭，一個工廠

54、應該有多少維修人員等。 排隊論最初是在二十世紀初由丹麥工程師艾爾郎關于電話交換機的效率研究開始的，在第二次世界大戰(zhàn)中為了對飛機場跑道的容納量進行估算，它得到了進一步的發(fā)展，其相應的學科更新論、可靠性理論等也都發(fā)展起來。 因為排隊現(xiàn)象是一個隨機現(xiàn)象，因此在研究排隊現(xiàn)象的時候，主要采用的是研究隨機現(xiàn)象的概率論作為主要工具。此外，還有微分和微分方程。排隊論把它所要研究的對象形象的描述為顧客來到服務臺前要求接待。如果服務臺以被其它顧客占用，那么就要排隊。另一方面，服務臺也時而空閑、時而忙碌。就需要通過數(shù)學方法求得顧客的等待時間、排隊長度等的概率分布。 排隊論在日常生活中的應用是相當廣泛的，比如水庫水量

55、的調(diào)節(jié)、生產(chǎn)流水線的安排，鐵路分成場的調(diào)度、電網(wǎng)的設計等等。 對策論也叫博弈論，前面講的田忌賽馬就是典型的博弈論問題。作為運籌學的一個分支，博弈論的發(fā)展也只有幾十年的歷史。系統(tǒng)地創(chuàng)建這門學科的數(shù)學家，現(xiàn)在一般公認為是美籍匈牙利數(shù)學家、計算機之父馮諾依曼。 最初用數(shù)學方法研究博弈論是在國際象棋中開始的如何確定取勝的著法。由于是研究雙方?jīng)_突、制勝對策的問題，所以這門學科在軍事方面有著十分重要的應用。近年來，數(shù)學家還對水雷和艦艇、殲擊機和轟炸機之間的作戰(zhàn)、追蹤等問題進行了研究，提出了追逃雙方都能自主決策的數(shù)學理論。近年來，隨著人工智能研究的進一步發(fā)展，對博弈論提出了更多新的要求。 搜索論是由于第二次

56、世界大戰(zhàn)中戰(zhàn)爭的需要而出現(xiàn)的運籌學分支。主要研究在資源和探測手段受到限制的情況下，如何設計尋找某種目標的最優(yōu)方案，并加以實施的理論和方法。在第二次世界大戰(zhàn)中，同盟國的空軍和海軍在研究如何針對軸心國的潛艇活動、艦隊運輸和兵力部署等進行甄別的過程中產(chǎn)生的。搜索論在實際應用中也取得了不少成效，例如二十世紀六十年代，美國尋找在大西洋失蹤的核潛艇“打谷者號”和“蝎子號”，以及在地中海尋找丟失的氫彈，都是依據(jù)搜索論獲得成功的。 運籌學有廣闊的應用領域，它已滲透到諸如服務、庫存、搜索、人口、對抗、控制、時間表、資源分配、廠址定位、能源、設計、生產(chǎn)、可靠性、等各個方面。作者: 葉脈書簽發(fā)布日期: 2006-8

57、-20普通幾何學研究的對象，一般都具有整數(shù)的維數(shù)。比如，零維的點、一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時空。最近十幾年的，產(chǎn)生了新興的分形幾何學，空間具有不一定是整數(shù)的維，而存在一個分數(shù)維數(shù)，這是幾何學的新突破，引起了數(shù)學家和自然科學者的極大關注。分形幾何的產(chǎn)生 客觀自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結構，在理想情況下，甚至具有無窮層次。適當?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結構并不改變。不少復雜的物理現(xiàn)象，背后就是反映著這類層次結構的分形幾何學。 客觀事物有它自己的特征長度，要用恰當?shù)某叨热y量。用尺來測量萬里長城，嫌太短；用尺來測量大腸桿菌，又嫌太長。從而產(chǎn)生了特征長度。還有的事物沒有特

58、征尺度，就必須同時考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標度），這叫做“無標度性”的問題。 如物理學中的湍流，湍流是自然界中普遍現(xiàn)象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運動。流體宏觀運動的能量，經(jīng)過大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最后轉化成分子尺度上的熱運動，同時涉及大量不同尺度上的運動狀態(tài)，就要借助“無標度性”解決問題，湍流中高漩渦區(qū)域，就需要用分形幾何學。 在二十世紀七十年代，法國數(shù)學家曼德爾勃羅特在他的著作中探討了英國的海岸線有多長？這個問題這依賴于測量時所使用的尺度。 如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會增

59、加，但是一些厘米量級以下的就不能反映出來。由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規(guī)則性。海岸線在大小兩個方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個突出的點，用直線把它們連起來，得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個自然限度之間，存在著可以變化許多個數(shù)量級的“無標度”區(qū)，長度不是海岸線的定量特征，就要用分維。 數(shù)學家寇赫從一個正方形的“島”出發(fā)，始終保持面積不變，把它的“海岸線”變成無限曲線，其長度也不斷增加，并趨向于無窮大。以后可以看到，分維才是“寇赫島”海岸線的確切特征量，即海岸線的分維均介于

60、1到2之間。 這些自然現(xiàn)象，特別是物理現(xiàn)象和分形有著密切的關系，銀河系中的若斷若續(xù)的星體分布，就具有分維的吸引子。多孔介質中的流體運動和它產(chǎn)生的滲流模型，都是分形的研究對象。這些促使數(shù)學家進一步的研究，從而產(chǎn)生了分形幾何學。 電子計算機圖形顯示協(xié)助了人們推開分形幾何的大門。這座具有無窮層次結構的宏偉建筑，每一個角落里都存在無限嵌套的迷宮和回廊，促使數(shù)學家和科學家深入研究。 法國數(shù)學家曼德爾勃羅特這位計算機和數(shù)學兼通的人物，對分形幾何產(chǎn)生了重大的推動作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本書，特別是分形形、機遇和維數(shù)以及自然界中的分形幾何學，開創(chuàng)了新的數(shù)學分支分形幾何學