專題14 空間點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距的求法

1、第14講：空間點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距和點(diǎn)面距的求法【考綱要求】1、了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）。2、了解向量方法在研究幾何問題中的應(yīng)用.【基礎(chǔ)知識(shí)】一、空間的三種距離點(diǎn)點(diǎn)距三兩點(diǎn)扎B之間的線段加 的長度.常見求法幾何袪把謹(jǐn)線段旗罵三角形中解三角殛.向量法利円公式I腫=兀+Ol曲+也疔 求.趴點(diǎn)蛀距點(diǎn)p到直縷&的距離曲點(diǎn)P到直蚩U的垂駅的長.常見魅m（I）幾訶法；是扶或作直裳疣05垂線，再求垂裁段的此氐 TS娶耙垂聶段啟 再三角慝中去解三角形.向量法利用點(diǎn)直到直裁應(yīng)的距藹公式 求斛 其中Bea, 是直紅盤的方向山呈3、點(diǎn)到平面的距離：已知點(diǎn)P是平面a外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)

2、P作PA丄a，垂足為A，則 PA是點(diǎn)P到平面a的距離。即一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點(diǎn)到這個(gè) 平面的距離.常用求法：幾何法：作出點(diǎn)P到平面的垂線后求出垂線段的長，常要把垂線段放到三角 形中去解三角形；等體積法：根據(jù)體積相等求出點(diǎn)到面的距離；如求點(diǎn)P到平面ABC的 距離，如果已知點(diǎn)C到平面PAB的距離，則可以根據(jù)VP罰廣VC_PAB求出點(diǎn)C到平面PAB的距離；向量法：如下圖所示，已知AB是平面a的一條斜線，n為平面a的法向量,AB - n 則A到平面a的距離為d二一-一 n二、以上所說的距離（點(diǎn)點(diǎn)距，點(diǎn)線距，點(diǎn)面距）都是對(duì)應(yīng)圖形上兩點(diǎn)間的最短距離。所 以均可以用求函數(shù)的最小值法求各

3、距離.。三、以上距離是可以相互轉(zhuǎn)化的，最終都可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)點(diǎn)距來求解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化 思想，把空間的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題解答。四、在三種距離的解法中，最常用的是幾何的方法和向量的方法。五、在這三個(gè)距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)和難點(diǎn)。【方法講評(píng)】空間點(diǎn)點(diǎn)距方法一 使用情景 解題步驟方法二幾何法把該線段放到三角形中比較方便解三角形 把該線段放到三角形中解答。向量法使用情景解三角形比較困難，根據(jù)已知條件比較容易建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)。使用情景建立空間直角坐標(biāo)系T分別求出兩個(gè)點(diǎn)A, B的坐標(biāo)T代入空間兩點(diǎn)間的解題步驟距離公式 I AB 1= J(x - x )2 +

4、 (y - y )解題步驟距離公式 I AB 1= J(x - x )2 + (y - y )2 + (z - z )21 2 1 2 1 2例1 把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起成直二面角，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)0 是原正方形的中心，求：EF的長；折起后NE0F的大小.律如團(tuán)，IM 0點(diǎn)為廈點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系曠設(shè)正方形敬邊長期碼則占(0， 邏芯0)(至 毋0,0)比血 邏芯0)(0Q 邏亂疋4占2222斗4 斗C0I莎卩=咨咋啓3當(dāng)%務(wù)尸=茲8 = 1斗斗 斗斗斗2辰儀一與咅斗 斗41, Ji、加斗斗斗4 斗斗OE=-.OF=. co5 OEjOF l-=220E0F【點(diǎn)評(píng)1(

5、1)本題考查利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算強(qiáng)量祀公式朮解決立體兒何問題：建立空間直角坐標(biāo)系方式有多種，其中以&點(diǎn)棒點(diǎn)，筋廣亠00氣丙向冊(cè)工軸、，軸、丁軸的正方向最対簡單【變式演練1】如圖，正方體 ABCDA1B1C1D】的棱長為1, P、Q分別是線段曲】和BD 上的 點(diǎn)，且 D1P : PA=DQ : QB=5 : 12. 求證PQ平面CDD.C.;求證PQ丄AD1 1(3)求線段PQ的長.方法一使用情景解題步驟方法二使用情景空間點(diǎn)線距幾何法比較容易找到點(diǎn)在直線上的射影，解三角形比較方便。找到或作點(diǎn)在直線上的射影t把該垂線段放到三角形中解答。向量法找點(diǎn)在直線上的射影比較麻煩，解三角形比較困難，根據(jù)已知

6、條件比較容易建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)。解題步驟建立空間直角坐標(biāo)系T分別求出直線a的方向向量a，兩個(gè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo),其中A電a ， B e a t代入點(diǎn)到直線的距離公式d = I d = I AB |2 -2，其中Beaa是直線a的方向向量圖例2 正方形ABCD的邊長是2, E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，將正方形沿EF折成直二面 角（如圖所示）.M為矩形AEFD內(nèi)一點(diǎn)，如果ZMBE=ZMBC, MB和平面BCF所成角的正切值圖1為2，那么點(diǎn)M到直線EF的距離為。解：過M作M0丄EF，交EF于0,則M0丄平面BCFE如圖所示，作0N丄BC，設(shè)0M=x,1又 tanMB0= q，: B0=2x1又

7、SMBE= 2 BE MB SinMBE= 2 BE ME TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 11S BC MB sinMBC BC MN MBC 22ME=MN，而 ME=J5x2 -1，MN= ;x2 +1，解得【點(diǎn)評(píng)】（1）該題較典型的反映了解決空間幾何問題的解題策略：化空間問題為平面問題 來處理。（2）該題是利用幾何法求的點(diǎn)到線的距離，其中主要是用到了解三角形的知識(shí)。【變式演練2】平面a內(nèi)有RtAABC,ZC=90,P是平面a外一點(diǎn)，且PA=PB=PC,P到a的 距離是40 cm,AC=18 cm,則點(diǎn)P到B

8、C邊的距離是-.肓法一 康用情景 解題歩驟方法二 便用情養(yǎng)點(diǎn)骨平面的距離幾何袪 點(diǎn)在平面的射器隹置比較容易卞左.找T作-證（定義）T求（解三角形）等體積法點(diǎn):和平面內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)二茲錐，而二藪錐B9個(gè)咼已知解題歩驟利用=冬一曲T方法向量法康用情景點(diǎn)在平面內(nèi)的射聶位買不好爾定.根據(jù)已知條件比較分建立半口甌寫出乜 的坐標(biāo).解題步驟建空間直角坐標(biāo)系T求平面兌的袪向童科求什面的斜童衛(wèi)目宓坐標(biāo)例3如圖已知四棱錐PABCD,PA丄平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,ZA=90且AB/CD,1AB= CD.2| pf |點(diǎn)F在線段PC上運(yùn)動(dòng)，且設(shè)而仏問當(dāng)入為何值時(shí)，BF/平面PAD?并證明你的 結(jié)論；二面

9、角FCDB為45，求二面角BPCD的大??；在(2)的條件下，若AD=2，CD=3，求點(diǎn)A到平面PBC的距離.解=(1)當(dāng)兄二1時(shí)平面R4ZX證明=昵 PD 中點(diǎn) 則 EF/血，且EF = - CD.AS /= - CD.1 2化四辺形ABFE為平行四辺形.EF/AE.又 AE 匚平面 PAD .- KE/ffi FAD(2)V FJ.TffiABCD, CD 丄二 CD 丄FD一 一 加兩是二ffi角的平面角ZPD.4 = 45APAD兩等屢直角三角Jg/.蟲E_ 啟 T CD -血?=AE_ CD:.AE 平面 PCD 又 BF/AE, . . BF _平面 PCD. 丁 C 平面 PBC,

10、平面PCD丄平面PBC. Htlfi角0FCD的犬小対90-(3)在平面PCD內(nèi)作EH丄PC于點(diǎn)H,由平面PCD丄平面PBC且平面PCD A平面PBC=PC知: EH丄平面PBC.在 RtAPCD中, PC =：PD 2 + CD 2 二、.17，EF二3代入得:EH35417.即點(diǎn)E到平面PBC的距離為3 3417在 RtAPEF中,EH - PF ，EF二3代入得:EH35417.即點(diǎn)E到平面PBC的距離為3 厶404是二角 A-SC- 的平而氣在 RtAOO 中，血0 二 Jo& 十耳；二十 21 二 2胎,在R迖皿中，cosZAOA1 = 押+的-占=2AOxAO5得：二面角A - B

11、C -叫的余弦值為金【反饋訓(xùn)練】1.如圖，正方體 是（）ABCDAiBiCiDi的棱長為1,E是A”的中點(diǎn)，則E到平面ABCR【反饋訓(xùn)練】1.如圖，正方體 是（）如下圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,它到直線A”】與到直線AD 的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線形狀為（圖中實(shí)線部分）（）1 1C D4A. 3 a4A. 3 aD.893a在AABC 中, ZC=90,ZB=30,AC=2,M 為 AB 中點(diǎn)，將AACM 沿 CM 折起，使 A、B 間的距離 為22,則M到面ABC的距離為（）2（6A.B.空2C.1D.2設(shè)OA,OB,OC為不共面的三條射線，若ZA0B

12、=ZA0C=60,ZB0C=90,點(diǎn)P為射線0A上一 點(diǎn)，設(shè)OP=a,則點(diǎn)P到平面OBC的距離為（）A.C. 2 aA.C. 2 a6.如圖，已知點(diǎn)E是峽沖2的正方體AG的按蛆00中點(diǎn),則點(diǎn)A S1平而EBD的距離等于則點(diǎn)A則點(diǎn)A到ABCD所在平面的距離等于,8設(shè)PA丄RtAABC所在的平面a,ZBAC=90, PB、PC分別與a成45和30角，PA=2,則PA與BC的距離是；點(diǎn)戸到BC的距離是求證；平面圧驅(qū)護(hù)平面屈血求中兩個(gè)平行平面間的距離，估】求點(diǎn)耳到平面匸05距離-如圖，已1三棱柱ac砂的底面是邊長為2的正三角護(hù) 襯桂必F亠M均成 45角，且 Q丄砂于島 心丄爲(wèi)于丘求點(diǎn)A到平面B1BC

13、q的距離；當(dāng)AA1多長時(shí)，點(diǎn)A1到平面ABC與平面B1BCC1的距離相等.11、如圖，在梯形 ABCD 中，ADBC,ZABC= , AB=AD=a,NADC=arccos5 ,PA丄面235ABCD 且 PA=a.求異面直線AD與PC間的距離；在線段AD上是否存在一點(diǎn)F,使點(diǎn)A到平面PCF的距離為6丁 *如圖ABCD與AMCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD丄平面BCD, AB丄平面BCD,AB 二 2 朽。求點(diǎn)A到平面MBC的距離；求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值?！咀兪窖菥氃敿?xì)解析】【變式演練1詳細(xì)解析】而P1Q1 u平面CDD1C1,所以PQ 平面CDD1C1(2) AD

14、丄平面 DDCC,AD 丄 PQ,11 11又.PQPQ,AD丄PQ.由(1)知 PQ / PQ,1 1 DQiDQi=DB=12，而棱長 CD=1-DQ1= 17 .同理可求得P1D= 17 .在RtP1DQ中，應(yīng)用勾股定理，立得13在RtP1DQ中，應(yīng)用勾股定理，立得1317【變式演練2詳細(xì)解析】解析:作P0丄平面ABC,垂足為O,PA=PB=PC,AO=BO=CO,O為AABC的外心.又NACB=90,0是AB邊的中點(diǎn).作0D丄BC，由三垂線定理，知PD丄BC.PD是點(diǎn)P到BC邊的距離，且 0D丄 2AC.0D=9 cm.在 RtAPOD 中, PD = pPO2 + OD2 = 41

15、(cm).故點(diǎn)P到BC的距離為41 cm.【變式演練3詳細(xì)解析】方法一：(1)依題設(shè)知，AC是所作球面的直徑，則AM丄MC。又因?yàn)镻 A丄平面ABCD，則PA丄CD,又CD丄AD,所以平面ABM丄平面PCD。(2)由(1)知，AM丄PD，又PA = AD，則M是PD的中點(diǎn)可得AM = 2 邁,MC = JMD2 + CD2 = 2 運(yùn)則仏昌應(yīng)就=2廂設(shè)D到平面JCB的距離術(shù)h,由吩仝對(duì)=切_丿陽兩2= S，設(shè)所求角炯則命唸斗設(shè)所求角炯則命唸斗可求得咲因丄弗由知欝得1測(cè)曲心5S5 故N點(diǎn)到平面ACM的距離等于P點(diǎn)到平面ACM距離的9。又因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，則P、D到平面ACM的距離相等，由(2)

16、可知所求距離為5h =豎6。92 7方法二：(1)同方法一；(2)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則.4(0=0=0),尸(0=0=4),3(2:0=0, C(24:0), 7?(0:4:0)-設(shè)平面 zk汨 的個(gè)StfnJim = (x. v_2),由比丄 JC.n_ AM可得=-=zt = (2=-1:1).設(shè)所求角沖理，則寶11理=所以所求角的大小為arcsin8(3)由條件可得，AN丄NC 在RtNPAC中，PA2二PN - PC，所以PN二-，則10 NC 55NC二PC - PN二, 二,所以所求距離等于點(diǎn)P到平面ACM距離的石,設(shè)點(diǎn)P 3PC 99到平面ACM距離為h則h = 1二

17、 f，所以所求距離為gh = 27?！痉答佊?xùn)練詳細(xì)解析】1.B【解析】：平面ABC1D1,點(diǎn)B1到平面ABC1D1的距離等于點(diǎn)點(diǎn)B1到平面ABC1D1的距離等于點(diǎn)E到平面ABC1D1的距離.h =亍4(H)DH)C【解析】：由已知，得點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)P到直線A1B1的距離,.點(diǎn)P的軌跡為 A為焦點(diǎn),A1B1為準(zhǔn)線的拋物線在正方形ABB1A1內(nèi)的部分.B【解析】:設(shè)A在平面BCD上的射影為E,0在AE 上,4VA0=a, AE = 3 a VabCD=JAE=40E.設(shè) AD=x，則 ED =斗 x,X2 -(4 a)2 =(舟X)2x =翠a Qiv)C【解析】：從點(diǎn)M作面ABC的垂線如

18、圖，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半, 有MA=MB=MC=2,從而點(diǎn)M在面ABC上的射影一定在AB和BC的中垂線上，即AABC的外心而 由AC2+AB2=4+8=12=BC2,知AABC是直角三角形，所以AABC的外心為斜邊的中點(diǎn)取BC的中點(diǎn)G,連結(jié)MG,MG即為三棱錐的高.顯然MG=1.PH丄 OB,OH= 2 a,OG=a.8D【解析】：如圖所示，過P作PG丄平面OBC于點(diǎn)G,則PG的長即為所求.由NAOB=ZAOC, 知點(diǎn)G在ZBOC的角平分線上.過G作GH丄OB于點(diǎn)H,PH丄 OB,OH= 2 a,OG=a.8在 RtPGO 中, PG = PO2 - OG2 二斗 a,故選

19、D.6【解析】：可求得Saebd-6 .設(shè)點(diǎn)A到面EBD的距離為d,EBD由 v =V ，得1 xV6 X d = 1X lx 2,解得 d 二卓AEBD BADE3337.【解析】：如圖,AABD沿BD折起,A到A，點(diǎn)處，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O,連結(jié)AZO,則ZAZOC為二面角的平面角.ZAOC=120。.故 ZAOA=60.又 AO = AO = AB = 1,2點(diǎn)A到面BCD的距離為d = AO sin 60。=計(jì).8. V3 萬【解析】：作AD丄BC于點(diǎn)D,TPA丄面ABC,PA丄ADAD是PA與BC的公垂 線易得 AB=2, AC=2 占,BC=4, AD=、3，連結(jié) PD,則 PD

20、丄BC, P 到 BC 的距離 PD=、79-【解析】（1）證明由于血M皿b則呢“平面切同理，如W平面血込 則平面必M平面如L解=設(shè)購平行平面5L與直化間的距離為叢則待于亞到平面心的距離.易求，曬蟲恥=j由于，曬蟲恥=j由于赴滬Z lJ fJ 則 CO5jt_-ffic : s SRI75叫孤=叫3則;心陰起加磁代入求得叭平石平-3 261面間的距離為空L61（3）fi=曲于線段砂被平面圧驅(qū)所平分，則證、D昌平面2苗距離相等.則由知點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離等于 豎1.1 1 1 61io. I解析人(i)vi丄莊 比丄“ 極蟲/.麼丄平而屁跡劇面屁鈔丄面脛花廠在R也A鳳中，同理第逼馬又斫叢

21、二誦至衛(wèi)2 2 2同理A尸毎鳥又磚衛(wèi)2二瓦仃為等產(chǎn)直角三角形m上砂產(chǎn)9理過業(yè)作AJLiF,則JF為阿中點(diǎn)且4_平面見3即2為蠱圧到平面磁渥的距離AN=1=a1 2 2又AA面BCC B, A到平面BCC B的距離為a1 1 1 1 2.a=2,所求距離為2設(shè)BC、B1C1的中點(diǎn)分別為D、D1，連結(jié)AD、。必和AR,則DD】必過點(diǎn)N,易證ADD為平行四邊形.1 1111 111 1BC 丄DD,BC 丄AN1 1 111 1BC丄平面ADDA1 1 i 1 1BC丄平面ADDA得平面ABC丄平面ADDA,過A作AM丄平面ABC,交AD于M, AMA嚴(yán)AND, AA=AD=、3,即當(dāng)AA= j3時(shí)滿足條件.11.【解析】11.解：(1)BCAD, BCu面PBC, AD面PBC 從而AD與PC間的距離就是直線AD與平面PBC間的距離.過A作AE丄PB,又AE丄BCAE丄平面PBC, AE為所求.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a2AE= a2作CM# AB，由已知cosADC=5AtanADC=1 即CM=1DMABCM為正方形，AC=込a, PC= “3 a6過A作AH丄PC,在RtPAC中，得AH=F面在AD上找一點(diǎn)F,使PC丄CF取MD中點(diǎn)F,AACM、AFCM均為等腰直角三角形ZACM+ZFCM