教學部通信原理隨機過程

1、教學部通信原理隨機過程第1頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三隨機過程的基本概念確定性過程其變化過程可以用一個或幾個時間t的確定函數(shù)來描述隨機過程其變化過程不可能用一個或幾個時間t的確定函數(shù)來描述。通信過程是信號和噪聲通過通信系統(tǒng)的過程。而通信系統(tǒng)中遇到的信號和噪聲總帶有隨機性，從統(tǒng)計數(shù)學的觀點看，隨機信號和噪聲統(tǒng)稱為隨機過程第2頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三隨機過程的基本概念隨機過程的定義：設(shè) 是隨機試驗。每一次試驗都有一條時間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作 ，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體 就構(gòu)成一隨機過程，記作 。簡言之，無窮多個樣本函數(shù)的總體叫

2、做隨機過程第3頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三隨機過程的基本概念一個樣本一個隨機變量第4頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三隨機過程的基本概念隨機過程(t)具有兩個基本特征： (t)是時間t的函數(shù)；在某一觀察時刻t1，樣本的取值(t1)是一個隨機變量。因此，我們又可以把隨機過程看成依賴時間參數(shù)的一族隨機變量?？梢?，隨機過程具有隨機變量和時間函數(shù)的特點。第5頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三一維分布函數(shù)：一維概率密度函數(shù)：二維分布函數(shù)：二維概率密度函數(shù)：隨機過程的統(tǒng)計特性用分布函數(shù)、概率密度函數(shù)或數(shù)字特征來描述。統(tǒng)計特性第6頁，共

3、57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三數(shù)字特征分布函數(shù)或概率密度函數(shù)能夠較全面地描述隨機過程的統(tǒng)計特性在實際工作中，有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，用隨機過程的數(shù)字特征來描述隨機過程的統(tǒng)計特性，更簡單直觀。第7頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三數(shù)學期望（均值）方差數(shù)字特征方差等于均方值與數(shù)學期望平方之差。它表示隨機過程在時刻t對于均值a(t)的偏離程度。均值和方差是對隨機變量求積分或求和均值和方差是時間的函數(shù)第8頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)衡量隨機過程在任意兩個時刻獲得的隨機變量之間的關(guān)聯(lián)程度時，常用協(xié)方差

4、函數(shù)B(t1, t2)和相關(guān)函數(shù)R(t1, t2)來表示。協(xié)方差函數(shù)同一隨機過程,不同時間間關(guān)系自協(xié)方差函數(shù)不同隨機過程,不同時間間關(guān)系互協(xié)方差函數(shù)第9頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三相關(guān)函數(shù)同一隨機過程,不同時間間關(guān)系自相關(guān)函數(shù)不同隨機過程,不同時間間關(guān)系互相關(guān)函數(shù)數(shù)字特征第10頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三 過程是慢變化， 過程是快變化，它們大致有相同的均值、方差，但是在不同時刻的取值，對于 來說，相關(guān)性強；對于 來說，相關(guān)性強弱 數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)第11頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三數(shù)字特征【例】 已知X和Y是相互

5、獨立的兩個隨機變量，它們均值和方差分別為2和6，試求 的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)。獨立概念相關(guān)概念X和Y不相關(guān)X和Y線性相關(guān)第12頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三數(shù)字特征【例】 已知X和Y是相互獨立的兩個隨機變量，它們均值和方差分別為2和6，試求 的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)。第13頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三平穩(wěn)隨機過程 是指它的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化。則稱 是嚴平穩(wěn)隨機過程或狹義平穩(wěn)隨機過程。平穩(wěn)隨機過程如果任意非零值一維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)第14頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三均值自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機過程第

6、15頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三設(shè)有一個二階矩隨機過程 ，它的均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅是的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機過程或廣義平穩(wěn)隨機過程。通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程均值為常數(shù)自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)與時間起點無關(guān)如何判別隨機過程是平穩(wěn)的？第16頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三x(t)是平穩(wěn)隨機過程 的任意一個實現(xiàn)，它的 時間均值 和時間相關(guān)函數(shù) 分別為如果平穩(wěn)隨機過程依概率1使下式成立： 則稱該平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性第17頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，

7、星期三各態(tài)歷經(jīng)性已知均勻分布x(t)是否為寬平穩(wěn)隨機過程，是否服從各態(tài)歷經(jīng)性？寬平穩(wěn)隨機過程第18頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性第19頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三 “各態(tài)歷經(jīng)”的含義：隨機過程中的任一實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)。因此， 我們無需（實際中也不可能）獲得大量用來計算統(tǒng)計平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個隨機過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征，從而使“統(tǒng)計平均”化為“時間平均”，使實際測量和計算的問題大為簡化。 具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程必定是平穩(wěn)隨機過程，但平穩(wěn)隨機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系

8、統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。各態(tài)歷經(jīng)性判斷各態(tài)歷經(jīng)性首先判斷是否滿足寬平穩(wěn)條件第20頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三設(shè) 為實平穩(wěn)隨機過程，則它的自相關(guān)函數(shù)具有下列主要性質(zhì)：（1）（2）（3） 的偶函數(shù)（4） 的上界（5）平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)方差， 的交流功率 的平均功率 的直流功率第21頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。對于任意的確定功率信號f(t)，它的功率譜密度為我們可以把f(t)看成是平穩(wěn)隨機過程(t)中的任一實現(xiàn)，因而每一實現(xiàn)的功率譜密度也可用上式來表示。由于(

9、t)是無窮多個實現(xiàn)的集合，哪一個實現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計平均，即 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度第22頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三功率信號f(t)及其截短函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度第23頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三的平均功率S則可表示成平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度功率譜的統(tǒng)計平均第24頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度第25頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三確知的非周期功率信號的自相關(guān)

10、函數(shù)與其譜密度是一對 傅氏變換關(guān)系。 對于平穩(wěn)隨機過程，也有類似的關(guān)系，即平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度第26頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三R(0)表示隨機過程的平均功率非負性偶函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度第27頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三例 某隨機相位余弦波 ，其中A和 均為常數(shù)，是在(0, )內(nèi)均勻分布的隨機變量。 求 的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度.平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度第28頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三解： 先考察(t)是否廣義平穩(wěn) 的數(shù)學期望為的自相關(guān)函數(shù)為根據(jù)以及是廣義平穩(wěn)。則功率譜密度為平均功率為平穩(wěn)隨機過程

11、的功率譜密度第29頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三高斯隨機過程 若隨機過程(t)的任意n維（n=1, 2, ）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機過程或正態(tài)過程。 第30頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三高斯隨機過程 如果各隨機變量兩兩之間互不相關(guān)，則上式中，對所有統(tǒng)計獨立第31頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三由式可以看出, 高斯過程的n維分布完全由n個隨機變量的數(shù)學期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值、方差與時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只

12、與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)，由性質(zhì)1知，它的n維分布與時間起點無關(guān)。所以，廣義平穩(wěn)的高斯過程也是狹義平穩(wěn)的。高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后仍是高斯過程。高斯隨機過程重要性質(zhì) 第32頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三f(x)具有如下特性 (1) f(x)對稱于x=a這條直線。 (2)正態(tài)分布的概率密度一維高斯隨機過程 第33頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三誤差函數(shù)和互補誤差函數(shù)互補誤差函數(shù)誤差函數(shù)第34頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個理想的寬帶隨機過程。式中n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫。

13、顯然，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即信號在信道中傳輸時，常會遇到這樣一類噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即這說明，白噪聲只有在=0時才相關(guān)，而它在任意兩個時刻上的隨機變量都是互不相關(guān)的。高斯白噪聲第35頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)高斯白噪聲第36頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三 如果白噪聲又是高斯分布的，我們就稱之為高斯白噪聲。 高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計獨立的。 應(yīng)當指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在實際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻

14、分布的頻率范圍遠遠大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。高斯白噪聲功率譜角度概率分布角度第37頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三隨機過程通過線性系統(tǒng)只考慮平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)的情況。隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)vo(t)等于輸入信號vi(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積，即若則有第38頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三若線性系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，則或 如果把vi(t)看作是輸入隨機過程的一個樣本，則vo(t)可看作是輸出隨機過程的一個樣本。顯然，輸入

15、過程i(t)的每個樣本與輸出過程o(t)的相應(yīng)樣本之間都滿足上式的關(guān)系。 這樣，就整個過程而言，便有隨機過程通過線性系統(tǒng)第39頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三假定輸入i(t)是平穩(wěn)隨機過程， 則可以分析系統(tǒng)的輸出過程o(t)的統(tǒng)計特性。隨機過程通過線性系統(tǒng)1. 輸出過程o(t)的數(shù)學期望由此可見, 輸出過程的數(shù)學期望等于輸入過程的數(shù)學期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且與t無關(guān)。 第40頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三可見, o(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴時間間隔而與時間起點t1無關(guān)。由以上輸出過程的數(shù)學期望和自相關(guān)函數(shù)證明，若線性系統(tǒng)的輸入過程是平

16、穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。2. 輸出過程o(t)的自相關(guān)函數(shù) 隨機過程通過線性系統(tǒng)第41頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三3. 輸出過程o(t)的功率譜密度可見，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi()與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H()|2的乘積。隨機過程通過線性系統(tǒng)第42頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三例 帶限白噪聲。試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為可見，輸出噪聲的功率譜密度在|H內(nèi)是均勻的， 在此范圍外則為零，通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。帶限白噪聲第43頁，

17、共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)帶限白噪聲第44頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三帶限白噪聲其自相關(guān)函數(shù)為由此可見，帶限白噪聲只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的隨機變量才不相關(guān)。即，如果對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機變量。帶限白噪聲的平均功率：第45頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三從原理上看，在已知輸入過程分布的情況總可以確定輸出過程的分布。其中一個十分有用的情形是：如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。因為從積分原理來看，上式

18、可表示為一個和式的極限，即4. 輸出過程o(t)的概率分布帶限白噪聲第46頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三 由于i(t)已假設(shè)是高斯型的，所以，在任一時刻的每項 都是一個高斯隨機變量。因此，輸出過程在任一時刻得到的每一隨機變量，都是無限多個高斯隨機變量之和。 由概率論得知，這個“和”的隨機變量也是高斯隨機變量。這就證明，高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后其輸出過程仍為高斯過程。 更一般地說，高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯過程。但要注意，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。 帶限白噪聲第47頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三

19、窄帶隨機過程隨機過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是窄帶隨機過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度ffc，且fc遠離零頻率的系統(tǒng)。實際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時的信號或噪聲又是隨機的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機過程。可表示為：第48頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三窄帶過程的頻譜和波形示意窄帶隨機過程第49頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三 a(t)及(t)分別是(t)的隨機包絡(luò)和隨機相位，c(t)及s(t)分別稱為(t)的同相分量和正交分量，它們也是隨機過程，顯然它們的變化相對于載波cosct的變化要

20、緩慢得多。 (t)的統(tǒng)計特性可由a(t)，(t)或c(t),s(t)的統(tǒng)計特性確定。反之，如果已知(t)的統(tǒng)計特性則可確定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的統(tǒng)計特性。 窄帶隨機過程第50頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三1 同相和正交分量的統(tǒng)計特性 設(shè)窄帶過程(t)是平穩(wěn)高斯窄帶過程，且 均值為零，方差為 。 可以證明它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是零均值的平穩(wěn)高斯過程，而且與(t)具有相同的方差。 此外，在同一時刻上得到的c和s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的。 窄帶隨機過程第51頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三2 包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性一個均值為零，方差為 的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，其包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，相位(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，a(t)與(t)是統(tǒng)計獨立的，即有下式成立：窄帶隨機過程瑞利分布第52頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三正弦波加窄帶高斯噪聲信號經(jīng)過信道傳輸后總會受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機前端設(shè)置一個帶通濾波器，以濾除信號