近代概率論基礎(chǔ)第一章 概率空間

1、一、內(nèi)容與學時第一章 概率空間第二章 條件概率與統(tǒng)計獨立性第三章 隨機變量與分布函數(shù)第四章 數(shù)字特征與特征函數(shù)第五章 極限定理共32學時（5 學時）（5 學時）（6 學時）（8 學時）（8 學時）第1頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三二、參考書目概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程高等教育出版社 1995.2. 華東師范大學 魏宗舒等 編概率論與數(shù)理統(tǒng)計高等教育出版社 1997.1. 浙江大學 盛驟 謝式千 潘承毅 編概率論基礎(chǔ)高等教育出版社 2005.3. 復旦大學 李賢平 編按照由淺到深或由簡到難的順序排列第2頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三4. 南開大學

2、 揚振明 編概率論科學出版社 2004.5. 北京師范大學 嚴士健 王雋驤 劉秀芳 著概率論基礎(chǔ)科學出版社 1999.6. 復旦大學 汪嘉岡 編著現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)復旦大學出版社 1988.第3頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三三、說明 本課程是在工科的概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)上對數(shù)學專業(yè)的本科生開設(shè)的一門課程，旨在對工科概率論中的一些概念和理論加以嚴格化和進一步地深化，因而教材中有很多內(nèi)容我們都是一帶而過，有的甚至根本不講。有時還補充一些新內(nèi)容。 希望通過本課程的學習，能使大家掌握近代概率論的一些基本思想、基本理論和基本方法，提高數(shù)學素質(zhì)與科學思維能力，為進一步學習隨機過程等

3、后繼課程打下堅實的基礎(chǔ)。第4頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三四、常用的一些記號2、從n個元素中取出r個元素，不考慮其順序，其總數(shù)為1、從n個元素中取出r個 (rn) 進行排列，其總數(shù)為其中一般地，用 記正整數(shù)，用 記實數(shù)。且有第5頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三3、將排列公式推廣，定義及則若 ，則由泰勒公式得：因此第6頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三因為 利用冪級數(shù)的乘法，計算 的冪級數(shù)展開式中 冪前面的系數(shù)知：特別地或4、第7頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三第一章 概率空間第一節(jié) 古典概型

4、中的幾個經(jīng)典問題 第三節(jié) 概率空間第二節(jié) 幾何概型 第8頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三第一節(jié) 古典概型中的幾個經(jīng)典問題 一、生日問題 二、抽簽問題 三、摸球問題 四、德.梅爾問題 第9頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三一、生日問題（又稱為分房問題） 例 將n個球隨機地放入N (Nn)個盒子中，設(shè)各個球 放入每個盒子是等可能的，求：每個盒子至多有一個球的概率。解將n個球放入N個盒子，每一種方法是一個基本事件直接放球先選好格子，再放球或第10頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三例 (生日問題) 設(shè)每個人的生日在一年365天中

5、的任一天是等可能的,即都等于,那么隨機選取n(365)人。(1) 他們的生日各不相同的概率為多少？(2) n個人中至少有兩個人生日相同的概率為多少？解 (1) 設(shè) A= “n個人的生日各不相同”(2) 設(shè) B = “n個人中至少有兩個人生日相同”當 n 等于64時，在64人的班級中，B發(fā)生的概率接近于1，即 B幾乎 總是會出現(xiàn)。第11頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三 二、抽簽問題 例 袋中有a只黑球和b只白球，k個人把球隨機的一只只摸出來，求第k個人摸出的是黑球的概率。解 將k個人取球的每一種取法看成一個樣本點 在體育比賽中進行抽簽，對各隊的機會均等，與抽簽的先后次序

6、無關(guān)。這說明：第12頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三三、摸球問題 例 如果某批產(chǎn)品中有a 件次品b 件好品，我們采用放回和不放回取樣方式從中抽 n 件產(chǎn)品，問正好有k 件是次品的概率各是多少？【放回抽樣】 把a+b件產(chǎn)品進行編號，有放回的抽n次，把可能的重復排列全體作為樣本點。這即為二項分布中隨機變量取值為 k 的概率。第13頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三 從 a+b 件產(chǎn)品中取出 n 件產(chǎn)品的可能組合全體作為樣本點。這即為超幾何分布中隨機變量取值為 k 的概率?！静环呕爻闃印孔⒁猓寒敭a(chǎn)品總數(shù)很大而抽樣數(shù)不大時，采用有放回抽樣與采用不放回抽

7、樣，差別不大。第14頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三四、德.梅爾問題 例 一顆骰子投4 次至少得到一個六點與兩顆骰子投 24 次 至少得到一個雙六，這兩個事件中哪一件有更多的機會 遇到？因而解：以A表示一顆骰子投4次至少得到一個六點這一事 件， 則 表示投一顆骰子4次沒有出現(xiàn)六點，故第15頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三 這個問題在概率論發(fā)展史上頗有名氣，因為它是德梅爾向巴斯卡提出的問題之一。正是這些問題導致了巴斯卡的研究和他與費馬的著名通信。他們的研究標志著概率論的誕生。 同理，若以B表示兩顆骰子投24次至少得到一個雙六，則 因而，這兩件事

8、情中，前面一件事情更容易遇到。第16頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三第二節(jié) 幾何概型 即：若以 記“在區(qū)域 中隨機的取一點，而該點落在區(qū)域 g 中”這一事件，則其概率定義為： 此時，等可能性可以通過下列方式來賦予意義：落在某區(qū)域 g 的概率與區(qū)域的“幾何度量” （長度、面積、體積等等）成正比并且與其位置和形狀無關(guān)。這種區(qū)域的度量統(tǒng)稱為“勒貝格（Lebesgue）測度”。 有時，試驗的可能結(jié)果是某區(qū)域 中的 一個點，這個區(qū)域可以是一維的，也可以是二維的，還可以是 n 維的，這時不管是可能結(jié)果全體，還是我們感興趣的結(jié)果都是無限的。第17頁，共51頁，2022年，5月20日

9、，18點50分，星期三例1 （會面問題）兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，這時就可離去，試求這兩人能會面的概率解 以x，y分別表示兩人到達的時刻，則會面的充要條件為 可能的結(jié)果全體是邊長為60的正方形中的點，能會面的點的區(qū)域用陰影標出，故所求的概率為60202060 xy0 實際上，我們假定了兩人到達的時間在7點到8點之間的機會均等且互不影響。第18頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三例2 在圓周上任取三點A，B，C，試求這三點構(gòu)成的三角形為銳角三角形的概率解 分別以x，y，z表示 的弧度，于是樣本點是三維空間中的點（x，y，z），而樣本空間為故所求

10、的概率為 由任意性可知樣本點在 中均勻分布。我們關(guān)心的事件為zxyDEFMNL第19頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三 幾何概型在現(xiàn)代概率概念的發(fā)展中曾經(jīng)起過重大作用。19世紀時，不少人相信，只要找到適當?shù)牡瓤赡苄悦枋?，就可以給概率問題以唯一的解答，然而有人卻構(gòu)造出這樣的例子，它包含著幾種似乎都同樣有理卻相互矛盾的答案。下面就是一個著名的例子。貝特朗奇論 在半徑為1的圓內(nèi)隨機地取一弦，求其長超過該圓內(nèi)接等邊三角形的邊長 的概率。【解法一】 任何弦交圓周兩點，不失一般性，先固定其中一點于圓周上，以此點為頂點作等邊三角形，顯然只有落入此三角形內(nèi)的弦才滿足要求，這種弦的弧長為

11、整個圓周的 ，故所求的概率為 。第20頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三【解法二】 弦長只跟它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無關(guān)，因此可以假定它垂直于某一直徑，當且僅當它與圓心的距離小于 時，其長才大于 ，因此所求的概率為 。【解法三】BA 弦被其中點唯一確定，當且僅當其中點屬于半徑為 的同心圓時，弦長才大于 ，此小圓面積為大圓面積的 ，故所求的概率為 。NABMCABC第21頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三 同一問題有三種不同的答案，細究其原因，發(fā)現(xiàn)是在取弦時采用了不同的等可能性假定。在第一種解法中，假定端點在圓周上均勻分布，在第二種解法中，假定

12、弦的中點在直徑上均勻分布，而在第三種解法中，又假定弦的中點在圓內(nèi)均勻分布。這三種答案針對三種不同的隨機試驗，對于各自的隨機試驗而言，它們都是正確的。 因此在使用術(shù)語“隨機”、“等可能”、“均勻分布”等時，應明確指明其含義，這又因試驗而異。 由于采用等可能性來定義概率有這種困難，因此后來就選擇另外的途徑，即在定義概率這一基本概念時只指明概率應具有的基本性質(zhì)，而把具體概率的給定放在一邊，這樣做的好處是能針對不同的隨機試驗給定適當?shù)母怕?。?2頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三第三節(jié) 概率空間一、概率空間及其三要素1、樣本空間2、 與可測空間3、概率P與概率空間二、概率的可列

13、可加性與連續(xù)性三、概率空間的實際例子第23頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三 在工科概率中講到：事件就是某些樣本點組成的集合，事件之間的運算也就是集合運算。 前蘇聯(lián)學者科爾莫哥洛父于1933年在概率論基礎(chǔ)概念一書中，用公理化的方法與集合論的觀點成功地解決了這一問題，提出了概率空間的概念。 但是，并沒有對事件的集合進行限制。對于事件，一個很明顯的要求就是所有事件組成的集合對于并、交、余這三種運算封閉。第24頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三一、概率空間及其三要素1、樣本空間 是一非空集合，稱為樣本空間；其中的元素稱為樣本點，相應于隨機試驗的結(jié)果。2

14、、 與可測空間 我們把事件A定義為 的一個子集，它包含若干樣本點，事件A發(fā)生當且僅當A 所包含的樣本點中有一個發(fā)生。 一般并不把 的一切子集都作為事件，因為這將對給定概率帶來困難。同時，又必須把問題中感興趣的事件都包括進來，因為事件的交、余、并等也應該為事件，也應該有相應的概率。第25頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三 若 是由樣本空間 的一些子集構(gòu)成的一個 域，則稱它為事件域， 中的元素稱為事件， 稱為必然事件， 稱為不可能事件。 于是，我們把事件的全體記為 ，它是由 的某些子集構(gòu)成的集類，并且還應滿足下面的條件：稱滿足上述條件的集類為 域，也稱 代數(shù)。 很顯然，根據(jù)

15、定義，必然事件和不可能事件都在事件域中，事件的有限及可列交、并也都在事件域中。第26頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三例1：為一 域。例2：為一 域。例3是由 的一切子集構(gòu)成。這時， 是一個有限的集合。共有元素2n 個。為一 域。例4為一 域?？梢则炞C對于一般的 ，若 由 的一切子集構(gòu)成。 注：事件域可以很簡單，也可以十分復雜，要根據(jù)問題的不同要求來選擇適當?shù)氖录?。?7頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三命題 給定 的一個非空集類 ，必然存在唯一的一個 中的 域 ，滿足：（1）包含 ，（2）若有其它 域包含 ，則必包含 。稱為包含 的最小 域，

16、或由 產(chǎn)生的 域。一維博雷爾(Borel)點集 以后，用 記數(shù)直線或?qū)崝?shù)全體，用 記 n 維歐幾里得（Euclid）空間。 由一切形為a, b)的有界左閉右開區(qū)間構(gòu)成的集類所產(chǎn)生的 域稱為一維博雷爾 域，記為 ， 中的集合稱為一維博雷爾點集。 n 維博雷爾點集由一切n 維矩形產(chǎn)生的n 維博雷爾 域。第28頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三若x, y表示任意實數(shù)，由于 因此， 中包含一切開區(qū)間，閉區(qū)間，單個實數(shù)，可列個實數(shù)，以及由它們經(jīng)可列次并、交運算而得出的集合。這是一個相當大的集合，足夠把實際問題中感興趣的點集都包括在內(nèi)。 同樣， 也是一個相當大的集合，足夠把實際問題

17、中感興趣的點集都包括在內(nèi)。第29頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三3、概率P與概率空間（i） 概率P 為定義在事件域 上的函數(shù)，即它是一個從 到 的映射： ，且它滿足（ii） 性質(zhì)（iii）稱為可列可加性或完全可加性。（iii）若 且兩兩互不相容，則 稱這樣的P為可測空間 上的一個概率測度 ，簡稱為概率。 稱為概率空間。 第30頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三可以推出，概率測度P有以下性質(zhì)：有限可加性即若 ，則 若 ，則 第31頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三概率的加法公式布爾不等式Bonferroni不等式加法公式的

18、推廣提示：可用歸納法證明第32頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三 利用上面的公式來作概率的計算，常能使解題思路清晰，計算便捷。例5（匹配問題）某人寫好 n 封信，又寫好 n 只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，試求至少有一封信放對的概率。解：若以 Ai 記第i 封信與信封符合，則所求的事件為不難求得第33頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三因此例6從數(shù)字 中（可重復地）任取n 次，試求所取的 n 個數(shù)的乘積能被10整除的概率。 解n 個數(shù)的乘積要能被10整除，則這n 個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)，也至少有一個為5，因取數(shù)是放回抽樣，顯然樣本空間中

19、有基本事件9n 個。第34頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三 設(shè)A=所取的n 個數(shù)的乘積能被10整除， B=所取的n 個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)， C=所取的n 個數(shù)中至少有一個為5，則故 為所取的n個數(shù)全為奇數(shù)，故 所含基本事件數(shù)為5n； 為所取的n個數(shù)無五，故 所含基本事件數(shù)為8n； 為所取的n個數(shù)全為奇數(shù)且不含5，故 所含基本事件數(shù)為4n ，所以有計算公式得：第35頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三二、概率的可列可加性與連續(xù)性定義1：若 且 ，則 是 中的一個單調(diào)不減的集序列。若 且 ，則 是 中的一個單調(diào)不增的集序列。定義2：對于 上的集合函

20、數(shù) ，若它對 中任何一個單調(diào)不減的集序列 均有：成立，則我們稱它是下連續(xù)的。（1） 若（1）式對 中任何一個單調(diào)不增的集序列 均成立，則我們稱它是上連續(xù)的。第36頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三定理若 為 上滿足 的非負集合函數(shù)，則它具有可列可加性的充要條件為：（ii）它是下連續(xù)的。（i）它是有限可加的；分析：即要證明提示：因為故且其中 互不相容， 為單調(diào)不減的集序列，即第37頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三證明：（1）已證明，下面證明（2）。（2）得證。其中 互不相容， 為單調(diào)不減的集序列，即第38頁，共51頁，2022年，5月20日，18

21、點50分，星期三其中 互不相容， 為單調(diào)不減的集序列，即這樣，我們便證得 式。第39頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三推論1 概率是下連續(xù)的。推論2 概率是上連續(xù)的。證明因而設(shè)則這樣，由推論1可知：即第40頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三三、概率空間的實際例子 在科爾莫戈羅夫得的概率論公理化結(jié)構(gòu)中，稱三元總體 為概率空間，其中 為樣本空間， 為事件域， 為概率，它們都認為是給定的，并以此為出發(fā)點討論種種問題。至于實際問題中，如何選定 ，怎樣構(gòu)造 ，怎樣給定 ，要視具體情況而定。例7 Bernoulli概率空間取 ，其中 為 的非空真子集。任取兩

22、個正數(shù) p 與 q ( p+q=1 )，令 易證此P是一個概率測度，從而 是一個概率空間。它是描述Bernoulli試驗的概率空間。第41頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三例8 有限概率空間 樣本空間為有限集的一切子集（共2n 個）組成的集類。 事件域 取為取n個非負實數(shù)使最后，對 的每一個子集 ，令 易證此P是一個概率測度，從而 是一個 概率空間。特別取 ，就是古典概型空間。（4）第42頁，共51頁，2022年，5月20日，18點50分，星期三例9 離散概率空間 樣本空間為可列集取非負實數(shù)列使再按（4）式定義概率 ，則 是一概率空間，稱為離散概率空間。 例10 一維幾何概率空間對每個事件 ，取 ，則它為一概率。于是得到幾何概型的概率空間 。的一切子集組成的集類。 事件域 仍取為 樣本空間 為 中的博雷爾點集，具有正的有限的勒貝格測度 。事件域 取作 中的博雷爾集類 。