近代概率論基礎(chǔ)第一章 概率空間

1、一、內(nèi)容與學(xué)時(shí)第一章 概率空間第二章 條件概率與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性第三章 隨機(jī)變量與分布函數(shù)第四章 數(shù)字特征與特征函數(shù)第五章 極限定理共32學(xué)時(shí)（5 學(xué)時(shí)）（5 學(xué)時(shí)）（6 學(xué)時(shí)）（8 學(xué)時(shí)）（8 學(xué)時(shí)）第1頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三二、參考書目概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程高等教育出版社 1995.2. 華東師范大學(xué) 魏宗舒等 編概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)高等教育出版社 1997.1. 浙江大學(xué) 盛驟 謝式千 潘承毅 編概率論基礎(chǔ)高等教育出版社 2005.3. 復(fù)旦大學(xué) 李賢平 編按照由淺到深或由簡(jiǎn)到難的順序排列第2頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三4. 南開大學(xué)

2、 揚(yáng)振明 編概率論科學(xué)出版社 2004.5. 北京師范大學(xué) 嚴(yán)士健 王雋驤 劉秀芳 著概率論基礎(chǔ)科學(xué)出版社 1999.6. 復(fù)旦大學(xué) 汪嘉岡 編著現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)復(fù)旦大學(xué)出版社 1988.第3頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三三、說(shuō)明 本課程是在工科的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生開設(shè)的一門課程，旨在對(duì)工科概率論中的一些概念和理論加以嚴(yán)格化和進(jìn)一步地深化，因而教材中有很多內(nèi)容我們都是一帶而過，有的甚至根本不講。有時(shí)還補(bǔ)充一些新內(nèi)容。 希望通過本課程的學(xué)習(xí)，能使大家掌握近代概率論的一些基本思想、基本理論和基本方法，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)與科學(xué)思維能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)隨機(jī)過程等

3、后繼課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。第4頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三四、常用的一些記號(hào)2、從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素，不考慮其順序，其總數(shù)為1、從n個(gè)元素中取出r個(gè) (rn) 進(jìn)行排列，其總數(shù)為其中一般地，用 記正整數(shù)，用 記實(shí)數(shù)。且有第5頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三3、將排列公式推廣，定義及則若 ，則由泰勒公式得：因此第6頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三因?yàn)?利用冪級(jí)數(shù)的乘法，計(jì)算 的冪級(jí)數(shù)展開式中 冪前面的系數(shù)知：特別地或4、第7頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三第一章 概率空間第一節(jié) 古典概型

4、中的幾個(gè)經(jīng)典問題 第三節(jié) 概率空間第二節(jié) 幾何概型 第8頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三第一節(jié) 古典概型中的幾個(gè)經(jīng)典問題 一、生日問題 二、抽簽問題 三、摸球問題 四、德.梅爾問題 第9頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三一、生日問題（又稱為分房問題） 例 將n個(gè)球隨機(jī)地放入N (Nn)個(gè)盒子中，設(shè)各個(gè)球 放入每個(gè)盒子是等可能的，求：每個(gè)盒子至多有一個(gè)球的概率。解將n個(gè)球放入N個(gè)盒子，每一種方法是一個(gè)基本事件直接放球先選好格子，再放球或第10頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三例 (生日問題) 設(shè)每個(gè)人的生日在一年365天中

5、的任一天是等可能的,即都等于,那么隨機(jī)選取n(365)人。(1) 他們的生日各不相同的概率為多少？(2) n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同的概率為多少？解 (1) 設(shè) A= “n個(gè)人的生日各不相同”(2) 設(shè) B = “n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同”當(dāng) n 等于64時(shí)，在64人的班級(jí)中，B發(fā)生的概率接近于1，即 B幾乎 總是會(huì)出現(xiàn)。第11頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三 二、抽簽問題 例 袋中有a只黑球和b只白球，k個(gè)人把球隨機(jī)的一只只摸出來(lái)，求第k個(gè)人摸出的是黑球的概率。解 將k個(gè)人取球的每一種取法看成一個(gè)樣本點(diǎn) 在體育比賽中進(jìn)行抽簽，對(duì)各隊(duì)的機(jī)會(huì)均等，與抽簽的先后次序

6、無(wú)關(guān)。這說(shuō)明：第12頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三三、摸球問題 例 如果某批產(chǎn)品中有a 件次品b 件好品，我們采用放回和不放回取樣方式從中抽 n 件產(chǎn)品，問正好有k 件是次品的概率各是多少？【放回抽樣】 把a(bǔ)+b件產(chǎn)品進(jìn)行編號(hào)，有放回的抽n次，把可能的重復(fù)排列全體作為樣本點(diǎn)。這即為二項(xiàng)分布中隨機(jī)變量取值為 k 的概率。第13頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三 從 a+b 件產(chǎn)品中取出 n 件產(chǎn)品的可能組合全體作為樣本點(diǎn)。這即為超幾何分布中隨機(jī)變量取值為 k 的概率?！静环呕爻闃印孔⒁猓寒?dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽樣數(shù)不大時(shí)，采用有放回抽樣與采用不放回抽

7、樣，差別不大。第14頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三四、德.梅爾問題 例 一顆骰子投4 次至少得到一個(gè)六點(diǎn)與兩顆骰子投 24 次 至少得到一個(gè)雙六，這兩個(gè)事件中哪一件有更多的機(jī)會(huì) 遇到？因而解：以A表示一顆骰子投4次至少得到一個(gè)六點(diǎn)這一事 件， 則 表示投一顆骰子4次沒有出現(xiàn)六點(diǎn)，故第15頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三 這個(gè)問題在概率論發(fā)展史上頗有名氣，因?yàn)樗堑旅窢栂虬退箍ㄌ岢龅膯栴}之一。正是這些問題導(dǎo)致了巴斯卡的研究和他與費(fèi)馬的著名通信。他們的研究標(biāo)志著概率論的誕生。 同理，若以B表示兩顆骰子投24次至少得到一個(gè)雙六，則 因而，這兩件事

8、情中，前面一件事情更容易遇到。第16頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三第二節(jié) 幾何概型 即：若以 記“在區(qū)域 中隨機(jī)的取一點(diǎn)，而該點(diǎn)落在區(qū)域 g 中”這一事件，則其概率定義為： 此時(shí)，等可能性可以通過下列方式來(lái)賦予意義：落在某區(qū)域 g 的概率與區(qū)域的“幾何度量” （長(zhǎng)度、面積、體積等等）成正比并且與其位置和形狀無(wú)關(guān)。這種區(qū)域的度量統(tǒng)稱為“勒貝格（Lebesgue）測(cè)度”。 有時(shí)，試驗(yàn)的可能結(jié)果是某區(qū)域 中的 一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)區(qū)域可以是一維的，也可以是二維的，還可以是 n 維的，這時(shí)不管是可能結(jié)果全體，還是我們感興趣的結(jié)果都是無(wú)限的。第17頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日

9、，18點(diǎn)50分，星期三例1 （會(huì)面問題）兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，這時(shí)就可離去，試求這兩人能會(huì)面的概率解 以x，y分別表示兩人到達(dá)的時(shí)刻，則會(huì)面的充要條件為 可能的結(jié)果全體是邊長(zhǎng)為60的正方形中的點(diǎn)，能會(huì)面的點(diǎn)的區(qū)域用陰影標(biāo)出，故所求的概率為60202060 xy0 實(shí)際上，我們假定了兩人到達(dá)的時(shí)間在7點(diǎn)到8點(diǎn)之間的機(jī)會(huì)均等且互不影響。第18頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三例2 在圓周上任取三點(diǎn)A，B，C，試求這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為銳角三角形的概率解 分別以x，y，z表示 的弧度，于是樣本點(diǎn)是三維空間中的點(diǎn)（x，y，z），而樣本空間為故所求

10、的概率為 由任意性可知樣本點(diǎn)在 中均勻分布。我們關(guān)心的事件為zxyDEFMNL第19頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三 幾何概型在現(xiàn)代概率概念的發(fā)展中曾經(jīng)起過重大作用。19世紀(jì)時(shí)，不少人相信，只要找到適當(dāng)?shù)牡瓤赡苄悦枋?，就可以給概率問題以唯一的解答，然而有人卻構(gòu)造出這樣的例子，它包含著幾種似乎都同樣有理卻相互矛盾的答案。下面就是一個(gè)著名的例子。貝特朗奇論 在半徑為1的圓內(nèi)隨機(jī)地取一弦，求其長(zhǎng)超過該圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng) 的概率?！窘夥ㄒ弧?任何弦交圓周兩點(diǎn)，不失一般性，先固定其中一點(diǎn)于圓周上，以此點(diǎn)為頂點(diǎn)作等邊三角形，顯然只有落入此三角形內(nèi)的弦才滿足要求，這種弦的弧長(zhǎng)為

11、整個(gè)圓周的 ，故所求的概率為 。第20頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三【解法二】 弦長(zhǎng)只跟它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無(wú)關(guān)，因此可以假定它垂直于某一直徑，當(dāng)且僅當(dāng)它與圓心的距離小于 時(shí)，其長(zhǎng)才大于 ，因此所求的概率為 ?！窘夥ㄈ緽A 弦被其中點(diǎn)唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)其中點(diǎn)屬于半徑為 的同心圓時(shí)，弦長(zhǎng)才大于 ，此小圓面積為大圓面積的 ，故所求的概率為 。NABMCABC第21頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三 同一問題有三種不同的答案，細(xì)究其原因，發(fā)現(xiàn)是在取弦時(shí)采用了不同的等可能性假定。在第一種解法中，假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布，在第二種解法中，假定

12、弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，而在第三種解法中，又假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布。這三種答案針對(duì)三種不同的隨機(jī)試驗(yàn)，對(duì)于各自的隨機(jī)試驗(yàn)而言，它們都是正確的。 因此在使用術(shù)語(yǔ)“隨機(jī)”、“等可能”、“均勻分布”等時(shí)，應(yīng)明確指明其含義，這又因試驗(yàn)而異。 由于采用等可能性來(lái)定義概率有這種困難，因此后來(lái)就選擇另外的途徑，即在定義概率這一基本概念時(shí)只指明概率應(yīng)具有的基本性質(zhì)，而把具體概率的給定放在一邊，這樣做的好處是能針對(duì)不同的隨機(jī)試驗(yàn)給定適當(dāng)?shù)母怕省５?2頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三第三節(jié) 概率空間一、概率空間及其三要素1、樣本空間2、 與可測(cè)空間3、概率P與概率空間二、概率的可列

13、可加性與連續(xù)性三、概率空間的實(shí)際例子第23頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三 在工科概率中講到：事件就是某些樣本點(diǎn)組成的集合，事件之間的運(yùn)算也就是集合運(yùn)算。 前蘇聯(lián)學(xué)者科爾莫哥洛父于1933年在概率論基礎(chǔ)概念一書中，用公理化的方法與集合論的觀點(diǎn)成功地解決了這一問題，提出了概率空間的概念。 但是，并沒有對(duì)事件的集合進(jìn)行限制。對(duì)于事件，一個(gè)很明顯的要求就是所有事件組成的集合對(duì)于并、交、余這三種運(yùn)算封閉。第24頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三一、概率空間及其三要素1、樣本空間 是一非空集合，稱為樣本空間；其中的元素稱為樣本點(diǎn)，相應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。2

14、、 與可測(cè)空間 我們把事件A定義為 的一個(gè)子集，它包含若干樣本點(diǎn)，事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A 所包含的樣本點(diǎn)中有一個(gè)發(fā)生。 一般并不把 的一切子集都作為事件，因?yàn)檫@將對(duì)給定概率帶來(lái)困難。同時(shí)，又必須把問題中感興趣的事件都包括進(jìn)來(lái)，因?yàn)槭录慕弧⒂唷⒉⒌纫矐?yīng)該為事件，也應(yīng)該有相應(yīng)的概率。第25頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三 若 是由樣本空間 的一些子集構(gòu)成的一個(gè) 域，則稱它為事件域， 中的元素稱為事件， 稱為必然事件， 稱為不可能事件。 于是，我們把事件的全體記為 ，它是由 的某些子集構(gòu)成的集類，并且還應(yīng)滿足下面的條件：稱滿足上述條件的集類為 域，也稱 代數(shù)。 很顯然，根據(jù)

15、定義，必然事件和不可能事件都在事件域中，事件的有限及可列交、并也都在事件域中。第26頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三例1：為一 域。例2：為一 域。例3是由 的一切子集構(gòu)成。這時(shí)， 是一個(gè)有限的集合。共有元素2n 個(gè)。為一 域。例4為一 域?？梢则?yàn)證對(duì)于一般的 ，若 由 的一切子集構(gòu)成。 注：事件域可以很簡(jiǎn)單，也可以十分復(fù)雜，要根據(jù)問題的不同要求來(lái)選擇適當(dāng)?shù)氖录?。?7頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三命題 給定 的一個(gè)非空集類 ，必然存在唯一的一個(gè) 中的 域 ，滿足：（1）包含 ，（2）若有其它 域包含 ，則必包含 。稱為包含 的最小 域，

16、或由 產(chǎn)生的 域。一維博雷爾(Borel)點(diǎn)集 以后，用 記數(shù)直線或?qū)崝?shù)全體，用 記 n 維歐幾里得（Euclid）空間。 由一切形為a, b)的有界左閉右開區(qū)間構(gòu)成的集類所產(chǎn)生的 域稱為一維博雷爾 域，記為 ， 中的集合稱為一維博雷爾點(diǎn)集。 n 維博雷爾點(diǎn)集由一切n 維矩形產(chǎn)生的n 維博雷爾 域。第28頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三若x, y表示任意實(shí)數(shù)，由于 因此， 中包含一切開區(qū)間，閉區(qū)間，單個(gè)實(shí)數(shù)，可列個(gè)實(shí)數(shù)，以及由它們經(jīng)可列次并、交運(yùn)算而得出的集合。這是一個(gè)相當(dāng)大的集合，足夠把實(shí)際問題中感興趣的點(diǎn)集都包括在內(nèi)。 同樣， 也是一個(gè)相當(dāng)大的集合，足夠把實(shí)際問題

17、中感興趣的點(diǎn)集都包括在內(nèi)。第29頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三3、概率P與概率空間（i） 概率P 為定義在事件域 上的函數(shù)，即它是一個(gè)從 到 的映射： ，且它滿足（ii） 性質(zhì)（iii）稱為可列可加性或完全可加性。（iii）若 且兩兩互不相容，則 稱這樣的P為可測(cè)空間 上的一個(gè)概率測(cè)度 ，簡(jiǎn)稱為概率。 稱為概率空間。 第30頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三可以推出，概率測(cè)度P有以下性質(zhì)：有限可加性即若 ，則 若 ，則 第31頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三概率的加法公式布爾不等式Bonferroni不等式加法公式的

18、推廣提示：可用歸納法證明第32頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三 利用上面的公式來(lái)作概率的計(jì)算，常能使解題思路清晰，計(jì)算便捷。例5（匹配問題）某人寫好 n 封信，又寫好 n 只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，試求至少有一封信放對(duì)的概率。解：若以 Ai 記第i 封信與信封符合，則所求的事件為不難求得第33頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三因此例6從數(shù)字 中（可重復(fù)地）任取n 次，試求所取的 n 個(gè)數(shù)的乘積能被10整除的概率。 解n 個(gè)數(shù)的乘積要能被10整除，則這n 個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)，也至少有一個(gè)為5，因取數(shù)是放回抽樣，顯然樣本空間中

19、有基本事件9n 個(gè)。第34頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三 設(shè)A=所取的n 個(gè)數(shù)的乘積能被10整除， B=所取的n 個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)， C=所取的n 個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)為5，則故 為所取的n個(gè)數(shù)全為奇數(shù)，故 所含基本事件數(shù)為5n； 為所取的n個(gè)數(shù)無(wú)五，故 所含基本事件數(shù)為8n； 為所取的n個(gè)數(shù)全為奇數(shù)且不含5，故 所含基本事件數(shù)為4n ，所以有計(jì)算公式得：第35頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三二、概率的可列可加性與連續(xù)性定義1：若 且 ，則 是 中的一個(gè)單調(diào)不減的集序列。若 且 ，則 是 中的一個(gè)單調(diào)不增的集序列。定義2：對(duì)于 上的集合函

20、數(shù) ，若它對(duì) 中任何一個(gè)單調(diào)不減的集序列 均有：成立，則我們稱它是下連續(xù)的。（1） 若（1）式對(duì) 中任何一個(gè)單調(diào)不增的集序列 均成立，則我們稱它是上連續(xù)的。第36頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三定理若 為 上滿足 的非負(fù)集合函數(shù)，則它具有可列可加性的充要條件為：（ii）它是下連續(xù)的。（i）它是有限可加的；分析：即要證明提示：因?yàn)楣是移渲?互不相容， 為單調(diào)不減的集序列，即第37頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三證明：（1）已證明，下面證明（2）。（2）得證。其中 互不相容， 為單調(diào)不減的集序列，即第38頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18

21、點(diǎn)50分，星期三其中 互不相容， 為單調(diào)不減的集序列，即這樣，我們便證得 式。第39頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三推論1 概率是下連續(xù)的。推論2 概率是上連續(xù)的。證明因而設(shè)則這樣，由推論1可知：即第40頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三三、概率空間的實(shí)際例子 在科爾莫戈羅夫得的概率論公理化結(jié)構(gòu)中，稱三元總體 為概率空間，其中 為樣本空間， 為事件域， 為概率，它們都認(rèn)為是給定的，并以此為出發(fā)點(diǎn)討論種種問題。至于實(shí)際問題中，如何選定 ，怎樣構(gòu)造 ，怎樣給定 ，要視具體情況而定。例7 Bernoulli概率空間取 ，其中 為 的非空真子集。任取兩

22、個(gè)正數(shù) p 與 q ( p+q=1 )，令 易證此P是一個(gè)概率測(cè)度，從而 是一個(gè)概率空間。它是描述Bernoulli試驗(yàn)的概率空間。第41頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三例8 有限概率空間 樣本空間為有限集的一切子集（共2n 個(gè)）組成的集類。 事件域 取為取n個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)使最后，對(duì) 的每一個(gè)子集 ，令 易證此P是一個(gè)概率測(cè)度，從而 是一個(gè) 概率空間。特別取 ，就是古典概型空間。（4）第42頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)50分，星期三例9 離散概率空間 樣本空間為可列集取非負(fù)實(shí)數(shù)列使再按（4）式定義概率 ，則 是一概率空間，稱為離散概率空間。 例10 一維幾何概率空間對(duì)每個(gè)事件 ，取 ，則它為一概率。于是得到幾何概型的概率空間 。的一切子集組成的集類。 事件域 仍取為 樣本空間 為 中的博雷爾點(diǎn)集，具有正的有限的勒貝格測(cè)度 。事件域 取作 中的博雷爾集類 。