高中數(shù)學必修一教學中數(shù)學思想方法教學策略的研究與實踐

1、內容提要：數(shù)學教學主要是數(shù)學思維活動的教學，學生的邏輯思維能力的發(fā)展需要有一個長期的培養(yǎng)和訓練過程。數(shù)學教學的思維訓練，我覺得要根據學生的思維特點，結合教學內容在教學過程中才能實現(xiàn)的。課堂教學是對學生進行思維訓練的主陣地，所以，我們要把思維訓練貫穿于數(shù)學教學的各個方面。激發(fā)學生思維動機，理清學生思維脈絡，培養(yǎng)學生思維方法，是提高學生思維能力的重要方面。我認為用數(shù)學思想指導教學，進行一題多解的訓練，對習題靈活變通，引伸和推廣，有助于培養(yǎng)思維的發(fā)散性、靈活性、敏捷性、深刻性、抽象性；組織引導對解法的簡捷性的反思評估，不斷優(yōu)化思維品質，培養(yǎng)思維的嚴謹性，批判性。對同一數(shù)學問題的多角度的審視引發(fā)的不同

2、聯(lián)想，是一題多解的思維本源，豐富合理的聯(lián)想，是對知識的深刻理解。數(shù)學方法、數(shù)學思想的自覺運用往往使我們運算簡捷、推理機敏，是提高數(shù)學能力的必由之路。本文就對高中數(shù)學必修一滲透的數(shù)學思想方法的教學策略的研究，主要通過數(shù)學思維的形成和培養(yǎng)、數(shù)學思想、高中數(shù)學思想中的基本數(shù)學思想三個大的方面談一談我個人的一些具體的實踐。關鍵詞：高一數(shù)學必修一數(shù)學思維的形成和培養(yǎng)數(shù)學思想函數(shù)與方程的思想數(shù)形結合的思想分類與整合的思想化歸與轉化的思想特殊與一般的思想有限與無限的思想或然與必然的思想一、數(shù)學思維的形成和培養(yǎng)1.激發(fā)學生思維動機動機是人們“因需要而產生的一種心理反映”，它是人們行為活動的內動力。因此，激發(fā)學

3、生思維的動機，是培養(yǎng)其思維能力的關鍵因素。題，創(chuàng)設情境問題是數(shù)學的心臟，是思維的起點。有問題才會有思考，思維是從問題開始的。巧妙恰當?shù)靥岢鰡栴}，創(chuàng)設良好的思維情境，能夠迅速集中學生注意力，激發(fā)學生的興趣和求知欲。這是上好數(shù)學思維訓練課的首有意識地挖掘教材中的知識因素，從學生自身生活需要出發(fā)，使其明確知識的價值，從而產生思維的動機。我認為問題的提出，首先要從教材入手，尋找思維素材。其次是通過對教材內容的再加工，設計一些具有疑問性、思維性、說理性、擴散性、等特點的問題，使學生產生認知沖突，進入思維角色，成為思維的主體?？傊匦抟唤虒W中數(shù)學思想方法教學策略首先要創(chuàng)設思維情境，激發(fā)學生的思維動機，是

4、對其進行思維訓練的重要環(huán)節(jié)。2.理清學生思維脈絡認知心理學家指出：“學生思維能力的發(fā)展是寓于知識發(fā)展之中的?！蔽以诒匦抟唤虒W過程中，對于每一個問題，既要考慮它原有的知識基礎，又要考慮它下聯(lián)的知識內容。只有這樣，才能更好地激發(fā)學生思維，并逐步形成知識脈絡。我們教學的關鍵在于使學生的這種思維脈絡清晰化，而談在教學過程中具體的幾點做法：（1）引導學生抓住思維的起始點。數(shù)學知識的脈絡是前后銜接、環(huán)環(huán)緊扣的，并總是按照發(fā)生發(fā)展延伸的自然規(guī)律構成每個單元的知識體系。學生獲得知識的思維過程也是如此，或從已有的經驗開始，或從舊知識引入，這就是思維的開端。從學生思維的起始點入手，把握住思維發(fā)展特點，學生就會感到

5、問題的解決無從下手，其思維脈絡就不會在有序的軌道上發(fā)展。這里我們要切忌用自己的思維取代學生思維，要正確處理知識與思我們要注重學生思維潛力的挖掘，發(fā)揮其既是知識的產物、又是知識媒介的雙重作用。當然，不同知識、不同學生的思維起點不盡相同，但不管起點如何，作為數(shù)學教學中的思維訓練必須從思維的“發(fā)生點”上起步，以舊知識為依托，并通過“遷移”、“轉化”，使學生的思維流程清晰化、條理化、邏輯化。（2）引導學生抓住思維的轉折點。學生的思維有時會出現(xiàn)“卡殼”的現(xiàn)象，這就是思維的障礙點。此時我們教學應適時地加以疏導、點撥，促使學生思維轉折，并以此為契機促進學生思維發(fā)展。思維擴展這一環(huán)節(jié)是知識的形成階段，屬抽象思

6、維的高級階段。數(shù)學教學過程實質上是由一連串的轉化過程所構成的。學生接受新知識要借助于舊知識，而舊知識的思維形式思維操作的關卡，以實現(xiàn)思維發(fā)展。學生理性認識過程是由表象的具體到思維的抽象，再由思維的抽象上升到思維的具體的過程。研究數(shù)學問題的過程首先是由具體到抽象的過程，在此環(huán)節(jié)中，我們將數(shù)學問題轉化加工為例題形式，使被抽象出來的數(shù)學問題再回到實踐中去驗證，這一階段是學生的思維定向階段，是運用思維探索規(guī)律學會抽象的過程。但探索研究的關鍵是學生的參與，思維操作的關鍵是激勵學生進入積極的思維狀態(tài)。因此，在教學過程中我依據學生的思維特征、認知規(guī)律，從知識的發(fā)生、發(fā)展、形成過動手、動口，給學生主動研究、探

7、索、分析、歸納、推理和判斷等數(shù)學活動的時空。總之，我們幫助學生理清思維脈絡，注意思維過程中的起始點和轉折點，才是數(shù)學教學中思維訓練的重點所在。3.培養(yǎng)學生思維方法我們在培養(yǎng)學生思維方法的教學過程中，注意結合學生的心理特點和認識水平從不同角度、不同層次、不同側面有目的、有針對性地設計組編一些探索型、開放型、判斷改錯型、歸納與綜合型等題目，為學生提供多種類型的思維訓練素材，我認為這是發(fā)展學生的思維能力所不可缺少的。這要求我們在教學中注重挖掘課本典型題例的潛在功能，充分發(fā)揮它的導向、典型、發(fā)展和教育作用，反復滲透與運用數(shù)學思維方法，把數(shù)學知識溶入活的思維訓練中去，并在不斷的問題獲解過程中深化、發(fā)展學

8、生的思維。教學過程。（）寓思想方法的教學于完善學生的知識結構之中、于教學問題的解決之中的原則。知識是思想方法的載體，數(shù)學問題是在數(shù)學思想的指導下，運用知識、方法“加工”的對象。皮之不存，毛將焉附？離開具體的數(shù)學活動的思想方法的教學是不可能的。（）適當章節(jié)的強化訓練與思想方法反復運用相結合的原則。數(shù)學思想方法與數(shù)學知識的共存性、數(shù)學思想對數(shù)學活動的指導作用、被認知的思學思想的教學更是如此。如必修一中的數(shù)形結合的思想，在數(shù)學的幾乎全部以啟迪，為問題的解決提供簡捷明快的途徑。它的運用，往往展現(xiàn)出“柳暗花明又一村”般的數(shù)形和諧完美結合的境地。在某種思想方法應用頻繁的章節(jié)，應適當強化這種思想方法的訓練。

9、在學生能熟練運用的基礎上，通過反復運用，才能形成自覺運用的意識。（4）用數(shù)學思想指導知識、方法的靈活運用，我在教學過程中注重進行一題多解的練習，培養(yǎng)思維的發(fā)散性，靈活性，敏捷性；對習題靈活變通，引伸推廣，培養(yǎng)思維的深刻性，抽象性；組織引導對解法的簡捷性的反思評估，不斷優(yōu)化思維品質，培養(yǎng)思維的嚴謹性，批判性。對同一數(shù)學問題的多角度的審視引發(fā)的不同聯(lián)想，是一題多解的思維本源。豐富的合理的聯(lián)想，是對知識的深刻理解，及類比、轉化、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等數(shù)學思想運是提高數(shù)學能力的必由之路。綜上所述，我認為在數(shù)學教學過程中，有目的、有計劃地對學生實施思維訓練，有利于提高數(shù)學教學質量，有利于發(fā)展學生思維能力

10、，從而全面提高學生的素質。二、高中數(shù)學必修一中的數(shù)學思想方法數(shù)學思想，是人腦對空間形式和數(shù)量關系的能動反映，它是對數(shù)學事實及內在關系最本質的認識。首先，數(shù)學思想比一般說的數(shù)學概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質、更深刻。其次，數(shù)學思想、數(shù)學觀點、數(shù)學方法三者密不可分：如果人們站在某個位置、從某個角度并運用數(shù)學去觀察和思考問題，那么數(shù)學思想也就成了一種觀點。中學數(shù)學中出現(xiàn)的數(shù)學觀點(例如方程觀點、函數(shù)觀點、向量觀點、幾何變換觀點等)和各種數(shù)學方法，都體現(xiàn)著一定的數(shù)學思想。數(shù)學課程標準把數(shù)學思想方法作為基礎知識的重要組成部分，在標準中明確提出來，這不僅是大綱體

11、現(xiàn)義務教育性質的重要表現(xiàn)，也是對學生實施創(chuàng)新教育、培訓創(chuàng)新思維的重要保證。所謂數(shù)學思想，就是對數(shù)學知識和方法的本質認識，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識。所謂數(shù)學方法，就是解決數(shù)學問題的根本程序，是數(shù)學思想的具體反映。數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，數(shù)學方法是數(shù)學的行為。運用數(shù)學方法解決就產生了質的飛躍，從而上升為數(shù)學思想。若把數(shù)學知識看作一幅構思巧妙的藍圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數(shù)學方法相當于建筑施工的手段，而這張藍圖就相當于數(shù)學思想。滲透的數(shù)學思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應用”。在教學中，要求學生“了解”數(shù)學思想有：數(shù)形結合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數(shù)的思想等

12、。我在整個教學過程中，不僅使學生能夠領悟到這些數(shù)學思想的應用，而且要激發(fā)學生學習數(shù)學思想的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新解”的方法有：分類法、類經法、反證法等。要求“理解”的或“會應用”的方法有：待定系數(shù)法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等。在教學中，要認真把握好“了解”、“理解”、“會應用”這三個層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應用”的層次，不然的話，學生初次接觸就會感到數(shù)學思想、方法抽象難懂，高深莫測，從而導致他們推動信心。2.從“方法”了解“思想”，用“思想”指導“方法”。關于高中數(shù)學中的數(shù)學思想和方法內涵與外延，目前尚無公

13、認的定義。其實，在高中數(shù)學中，許多數(shù)學思想和方法是一致的，兩者之間很難分割。它們既相輔相成，又相互蘊含。只是方法較具體，是實施有關思想的技術手段，而思想是屬于數(shù)學觀念一類的東西，比較抽象。因此，在我們在高中數(shù)學教學中，應該加強學生對數(shù)學方法的理解和應用，以達到對數(shù)學思想的了解，是使數(shù)學思想與方法得到交融的有效方法。（二）遵循認識規(guī)律，把握教學原則，實施創(chuàng)新教育要達到教學課程標準的基本要求，教學中我們應遵循以下幾項原則：1.滲透“方法”，了解“思想”。由于高中學生數(shù)學知識比較貧乏，抽象思想能力也較為薄弱，把數(shù)學思想、方法作為一門獨立的課程還缺乏應有的基礎。因而只能將數(shù)學知識作為載體，把數(shù)學思想和

14、方法的教學滲透到數(shù)學知識的教學中。我們要把握好滲透的契機，重視數(shù)學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的概括過程，使學發(fā)展新知識，運用新知識解決問題。忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識的結論，就必然失去滲透數(shù)學思想、方法的一次次良機。在滲透數(shù)學思想、方法的過程中，我們要精心設計、有機結合，要有意識地潛移默化地啟發(fā)學生領悟蘊含于數(shù)學之中的種種數(shù)學思想方法，切忌生搬硬套，和盤托出，脫離實際等錯誤做法。2.訓練“方法”，理解“思想”。數(shù)學思想的內容是相當豐富的，方法也有難有易。因此，必須分層次地進行滲透和教學。這就需要我們全面地熟悉高中必修與選修的教材，鉆研教材，努力

15、挖掘教材中進行數(shù)學思想、方法滲透的各種因素，對這些知識從思想方法的角度作認真分析，按照高中三個年級不同的年齡特征、知識掌握的程度、認知能力、理解能力和可接受性能力由淺入深，由易到難分層次地貫徹數(shù)學思想、方法的教學。3.掌握“方法”，運用“思想”。數(shù)學知識的學習要經過聽講、復習、做習題等才能掌握和鞏固。數(shù)學思想、方法的形成同樣有一個循序漸進的過程。只有經過反復訓練才能使學生真正領會。另外，使學生形成自覺運用數(shù)學思想方法的意識，必須建立起學生自我的“數(shù)學思想方法系統(tǒng)”，這更需要一個反復訓練、不斷完善的過程。4.提煉“方法”，完善“思想”。教學中我們要適時恰當?shù)貙?shù)學方法給予提煉和概括，讓學生有明確

16、的印象。由于數(shù)學思想、方法分散在各個不同部分，而同一問題又可以用不同的數(shù)學思想、方法來解決。因此，我們的概括、分析是十分重要的。教師還要有意識地培養(yǎng)學生自我提煉、揣摩概括數(shù)學思想方法的能力，這樣才能把數(shù)學思想、方法的教學落在實處。三、基本數(shù)學思想方法數(shù)學思想方法包括：函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結合的思想，分類與整合的思想，化歸與轉化的思想，特殊與一般的思想，有限與無限的思想，或然與必然的思想等。什么是函數(shù)和方程思想？簡單地說，就是學會用函數(shù)和變量來思考，學會轉化已知與未知的關系,在解題時，用函數(shù)思想做指導就需要把字母看作變量，把代數(shù)式看作函數(shù)，利用函數(shù)的性質做工具進行分析，或者構造一個含字母的等式

17、看作方程,研究方程的根有什么要求.函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為達到解決問題的目的。方程思想是：實際問題數(shù)學問題代數(shù)問題方程問題。不等式問題也與方程是近親，密切相關。而函數(shù)和多元方程沒有什么本質的區(qū)別，如函數(shù)yf(x)，就可以看作關于x、y的二元方程f(x)y0?？梢哉f，函數(shù)例1例1設f(x)lgx(-,1)時a時需要重點考慮的。建立函數(shù)思想是中學數(shù)學教學的重要課題，因為函數(shù)思想是中學數(shù)學，特別是高中數(shù)學的主線，函數(shù)思想的建立使常量數(shù)學進入了變量數(shù)學，中學數(shù)學中的初等函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列以及解析

18、幾何都可以歸結為函數(shù),尤其是導數(shù)的引入為函數(shù)的研究增添了新的工具因此，我在數(shù)學教學過程中特別注重函數(shù)思想高考對函數(shù)和方程思想的考查,主要是考查能不能用函數(shù)和方程思想指導解題,在用函數(shù)和方程思想指導解題時要我們要經常思考下面一些問題:是否需要把一個代數(shù)式看成一個函數(shù)?是否需要把字母看作變量？如果把一個代數(shù)式看成了函數(shù)，把一個或幾個字母看成了變量，那么這個函數(shù)有什么性質？題？是否需要把一個等式看作為一個含未知數(shù)的方程？如果是一個方程，那么這個方程的根（例如根的虛實，正負，范圍等）有什么要求？的取值范圍。x(-,1)時f(x)lg1x(-,1)時f(x)lg124a0在x(-,1)上恒成立的不等式問

19、題?！窘狻坑深}設可知，不等式124a0在x(-,1上恒成立，即：()()a0在x(-,1上恒成立。設t(),則，又設g(t)tta，其對稱軸為ttta0在,+上無實根，即g()()a0，得a；所以，a的取值范圍是a?！咀ⅰ繉τ诓坏仁胶愠闪?，引入新的參數(shù)化簡了不等式后，構造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和單調性進行解決問題，其中也聯(lián)系到了方程無解，體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想。一般地，我們在解題中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，將問題進行相互轉化。在解決不等式()()a0在x(-,1)上恒成立的問題時，也設t(),t，則有att(,)，所以a的取值范圍是aa(二)數(shù)形結合思想數(shù)

20、形結合思想是一種很重要的數(shù)學思想，數(shù)與形是事物的兩個方面，正數(shù)缺形時少直觀,究，或者把圖形性質的研究轉化為數(shù)量關系的研究，這種解決問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉化的研究策略，就是數(shù)形結合的思想。數(shù)形結合思想合起來。數(shù)形結合是一種數(shù)學思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應用函數(shù)的圖像來直觀地性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。數(shù)形結合的思想，其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾

21、何化，幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。例2若直線y=xm與曲線y=1-x有兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是_.【分析】本題的常規(guī)思路是：聯(lián)立直線和曲線方程,在內,方程思路是十分清晰的,但由于解題過程比較復雜,一般不宜采用。下面介紹一種數(shù)形結合的思想來解。根據題意作出圖形：(注意，y=1-x則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x表示傾角為45，縱截距為m的直線方程，如上圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距m，)，即m(，.【注

22、】數(shù)形結合方法的應用將本題從抽象的代數(shù)問題轉化成為幾何問題,從而克服了代數(shù)方法求解本題的復雜,使抽象問題形象化、具體化、簡單化。(三)分類與整合的思想分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：問題所涉及到的數(shù)學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a0、a0、a2時分a0、a0和a當當時，原不等式的解集為【注】本例是由問題所涉及到的數(shù)學概念分類進行定義而導

23、致分類討論。(四)化歸與轉化的思想使問題得到解決的一種解題策略，是數(shù)學學科與其它學科相比，一個特有的數(shù)學思想方法，化歸與轉化思想的核心是把生題轉化為熟題。事實上，解題都離不開化歸。例如，對于立體幾何問題，通常要轉化為平面幾何問題，對于多元問題，要轉換為少元問題，對于高次函數(shù)，高次方程問題，轉化為低次問題，特別是熟悉的一次，二次問題，對于復雜的式子，通過換元轉化為運算推理，模式構建等理性思維能力的考查進行，因此可以說高考中的每一道試題，都在考查化歸意識和轉化能力。例4已知函數(shù)mx的定義域為，值域為，求m,.【分析】這是關于函數(shù)的定義域和值域的逆向思維問題，從何入手？由復合函數(shù)可轉化為mx的定義域

24、為，由題設和對數(shù)函數(shù)單調性知，的值域為.變形構造二次方程的判別式，利用恒等的意義化為方程問題，對照系數(shù)或由韋達定理確定參數(shù).由mx得，由知，的一元二次方程mmn的兩根為m,m由知，的一元二次方程mmn的兩根為得，m9,mnm.若mm符合條件.故m.【注】本題是用判別式法是求二次分式函數(shù)的值域，將不等轉化為相等，利用根與系數(shù)的簡化運算的，易出現(xiàn)忽略二次項系數(shù)為0的情形的研究.(五)特殊與一般的思想由特殊到一般,再由一般到特殊反復認識的過程是人們認識世界的基本過程之一，對數(shù)學而言，這種由特殊到一般,再由一般到特殊的研究數(shù)學問題的基本認識的過程,就是數(shù)學研究的特殊與一般的思想.在高考中,會有意設計一

25、些能集中體現(xiàn)特殊與一般的思想的試題,例如:(1)由一般歸納法進行猜想的試題;(2)由平面到立體,由特殊到一般進行類比猜想的試題;(3)抽象函數(shù)問題;（4）定點,定值問題;(5)用特殊化方法解選擇題等.例5設集合，則=（）(A)(B),(C)(D),【分析及解】本題可以直接通過解不等式得到答案，也可以通過特殊化方法和估算求解，首先由集合B可知，因而排除(C)，例6a滿足a=a,a我們知道當a取不同的值時，得到不同的數(shù)列，如當a=1時，得到無窮數(shù)列：例6a滿足a=a,a我們知道當a取不同的值時，得到不同的數(shù)列，如當a=1時，得到無窮數(shù)列：，當（）設數(shù)列b滿足b=1,b=bn，求證ab的任一個數(shù)，都

26、可以得到一個有窮數(shù)列a；（）若，求a都可以得到一個有窮數(shù)列a(六)有限與無限的思想的研究,對有限個研究對象的研究往往有章可循,并積累了一定的經驗,而對無限個研究對象的研究,卻往往不知如何下手,顯得經驗不足,于是將對無限的研究化成對有限的研究,就成了解決無限問題的必經之路,反之,當積累了解決無限問題的經驗之后,可以將有限問題轉化成無限問題來解決,這種無限化有限,有限化無限的解決數(shù)學問題的方法就是有限與無限的思想.”他數(shù)學思想和方法的過程中同時考查有限與無限的思想。例如，在使用由特=1+,;.時,得到,有窮數(shù)列:.（）求當a為何值時a=0；nN【分析及解】這是一道體現(xiàn)有限與無限的思想的典型試題，對于題設的遞推關系，由于所給出的初始條件不同，得到的數(shù)列也不同，并在題干中舉出了具體的例子，第（）問則是可以通過有有限次試驗，得到對無限個b問又是把對無限個都成立的結果，通過有限次分析求的解決。（）解法一：,nn,.故當時.解法二.QQ,.故當時，.()解法一bbbbbnnnb,b1.nbnb.nn.n.bbnbnbnn.nnnn0.b故a取數(shù)列b中的任一個數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列an解法二;b,bb當b時,b當b時,bb.nb,bnnnbbb時,bb.bb一般地,當bn時,n可得一個含有項的有窮數(shù)列,.,n