格林函數(shù)法精品課件

1、格林函數(shù)法第1頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四5.1 拉普拉斯方程邊值問題的提法設(shè) 滿足拉普拉斯方程描述穩(wěn)恒狀態(tài)下的物理過程。通常表示成不存在初始條件.拉普拉斯方程的解稱為調(diào)和函數(shù).第2頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四1） 第一邊值問題狄利克雷(Direchlet)問題邊界條件:2)第二邊值問題紐曼(Neumann)問題5.1 拉普拉斯方程邊值問題的提法第3頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四函數(shù)除稱為三維拉普拉斯方程的基本解。點(diǎn)外處處滿足拉普拉斯方程，5.1 拉普拉斯方程邊值問題的提法第4頁，共42頁，2022年，5月20日

2、，5點(diǎn)34分，星期四5.2 格 林 公 式高斯公式：設(shè) 是以光滑曲面 為邊界的有界區(qū)域， ， ， 在閉域 上連續(xù),在 內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中 為 的外法向量。高斯公式可簡記為第5頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四設(shè)滿足令則將代入高斯公式，等式右端為5.2 格 林 公 式第6頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四5.2 格 林 公 式所以 第一格林公式交換 u,v 的位置, 有 兩式相減, 得 第二格林公式第7頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四1) 牛曼內(nèi)問題有解的必要條件 設(shè)u是在以 為邊界的區(qū)域 內(nèi)的調(diào)和函數(shù), 在 上有一階連

3、續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則在第二格林公式中取 u 為上述調(diào)和函數(shù), ,則有 . 所以牛曼內(nèi)問題( )有解的必要條件為函數(shù) f 滿足事實(shí)上, 這也是牛曼內(nèi)問題有解的充分條件.5.2 格 林 公 式第8頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四 設(shè) 是拉普拉斯方程定解問題的兩個解，則它們的差 必是原問題滿足零邊界條件的解對于狄利克雷問題，v 滿足 對于牛曼問題, v 滿足 2) 拉普拉斯方程解的唯一性問題5.2 格 林 公 式第9頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四在第一格林公式中取 , 由 v 是調(diào)和函數(shù)，可得 在兩種邊界條件下，都有所以故在 內(nèi)必有 , 即可得，其中 C為

4、常數(shù).第10頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四對于狄利克雷問題, 由于 , 故 從而 .結(jié)論 狄利克雷問題在 內(nèi)的解是唯一 確定的牛曼問題的解在相差一個常數(shù)下也是唯一確定的.5.2 格 林 公 式第11頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四3) 調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式所謂調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式,是指用調(diào)和函數(shù)及其在區(qū)域邊界 上的法向?qū)?shù)沿 的積分來表達(dá)調(diào)和函數(shù)在 內(nèi)任一點(diǎn)的值.5.2 格 林 公 式第12頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四 設(shè) 是 內(nèi)一固定點(diǎn), 下面求調(diào)和函數(shù)在這一點(diǎn)的值. 為此構(gòu)造一個輔助函數(shù) 可以證明函數(shù) 除點(diǎn) 外處

5、處滿足拉普拉斯方程. 5.2 格 林 公 式第13頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四為了利用格林公式，我們在 內(nèi)挖去 的球形鄰域 , 是其球面. 在區(qū)域 內(nèi)及其邊界 上， 是任意可導(dǎo)的。 在第二格林公式中, 取u為調(diào)和函數(shù),假定它在 上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),而取 , 在區(qū)域 上應(yīng)用公式得第14頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四在球面 上 因此同理可得 因此 4.2 格 林 公 式 令 , 則 于是 調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式第15頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四 設(shè)函數(shù) 在某區(qū)域 內(nèi)是調(diào)和函數(shù), 是 內(nèi)任一點(diǎn), 表示以 為中心, 為半徑

6、且完全落在 內(nèi)的球面, 則有 5.2 格 林 公 式4)平均值公式第16頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四5.3 格林函數(shù)第17頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四5.3 格林函數(shù)能不能直接提供狄利克雷問題和牛曼問題的解 ？調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式 為得到狄利克雷問題的解, 必須消去 ,這需要引入格林函數(shù)的概念.第18頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四 設(shè) 為 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)并且在 上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，利用第二格林公式可得與相加得5.3 格林函數(shù)第19頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四如果能找到調(diào)和函數(shù)v,使得 ,

7、 那么上式意味著令則拉普拉斯方程的格林函數(shù)5.3 格林函數(shù)第20頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四如果能找到格林函數(shù)中的 v 并且它在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則狄利克雷問題的解如果存在, 必可以表示為類似的，泊松問題的解可以表示為5.3 格林函數(shù)第21頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四說明 格林函數(shù)僅依賴于選取的區(qū)域, 而與原定解問題中的非齊次項(xiàng)、邊界條件無關(guān).如果求得某個區(qū)域的格林函數(shù), 就可以解決該區(qū)域的一切狄利克雷問題.求解狄利克雷問題意 義 何 在？5.3 格林函數(shù)第22頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四要想確定格林函數(shù),

8、需要找一個調(diào)和函數(shù) v, 它滿足: . 對于一般的區(qū)域, 確定 v 并不容易, 但對于一些特殊的區(qū)域, 如半空間，球域等, 格林函數(shù)可以通過初等方法得到. 我們通常使用“電象法”求解。5.3 格林函數(shù)第23頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四注：拉普拉斯方程的基本解稱為拉普拉斯方程的基本解，其中 r 表示空間中兩點(diǎn)之間的距離。三維基本解的物理意義：在處放置一單位正電荷，則它在自由空間產(chǎn)生的靜電場的電位是5.3 格林函數(shù)第24頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四Green函數(shù)的物理意義在接地的閉曲面 中放上點(diǎn)電荷之后，在 面內(nèi)側(cè)必然出現(xiàn)感應(yīng)電荷, 內(nèi)任意一

9、點(diǎn)的電位，就是點(diǎn)電荷的電位 和感應(yīng)電荷的電位 v 的疊加， Green函數(shù)= 內(nèi)的電位.5.3 格林函數(shù)第25頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù) 及狄氏問題的解第26頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四 所謂電象法，就是在 放置的單位正電荷，在區(qū)域 外找出 關(guān)于邊界 的象點(diǎn) ，然后在象點(diǎn)放置適當(dāng)電量的負(fù)電荷，由它產(chǎn)生的負(fù)電位與 處的單位正電荷所產(chǎn)生的正電位在曲面 上互相抵消。而 和 處的點(diǎn)電荷在 內(nèi)的電位就是所要求的格林函數(shù)。5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解第27頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分

10、，星期四故 和 處的電荷在 內(nèi)的電位就是所要求的格林函數(shù)。 在區(qū)域內(nèi) 點(diǎn)放置的單位正電荷；在區(qū)域 外找出 關(guān)于邊界 的某種對稱點(diǎn) ；在 點(diǎn)放置適當(dāng)電量的負(fù)電荷，使得它產(chǎn)生的負(fù)電位與 處正電荷產(chǎn)生的電位在 上互相抵消。 處電荷所形成的電場在 的電位 處電荷所形成的電場在 的電位5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解第28頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四? 點(diǎn)的位置 點(diǎn)放置的 負(fù)電荷的電量在區(qū)域內(nèi) 點(diǎn)放置的單位正電荷在區(qū)域 外找出 關(guān)于邊界 的某種對稱點(diǎn) 在 點(diǎn)放置適當(dāng)單位的負(fù)電荷，使得它產(chǎn)生的負(fù)電位與 處正電荷產(chǎn)生的電位在 上互相抵消。 關(guān)于邊界的某種對稱點(diǎn)5.4

11、兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解第29頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四1) 半空間的格林函數(shù) 求解拉普拉斯方程在半空間 內(nèi)的狄利克雷問題，就是求函數(shù) u(x, y, z)，它滿足 5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解第30頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四在 點(diǎn)放置單位負(fù)電荷。 M1xzyo.M0(x0,y0,z0）P.為解上述方程，首先找格林函數(shù) 在 點(diǎn)( )放置單位正電荷， 問題：1. 等效點(diǎn)電荷的位置 2. 等效點(diǎn)電荷的電量要求：它與 處的正電荷產(chǎn)生的電位在平面 z = 0上抵消電位：5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解第

12、31頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四在 點(diǎn)放置單位負(fù)電荷。 .M0(x0,y0,z0）.P.M1xzyoM.電位：由于 在上半空間內(nèi)為調(diào)和函數(shù)，在閉域 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，得上半空間上的格林函數(shù)：5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解第32頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四由于 在上半空間內(nèi)為調(diào)和函數(shù)，在閉域 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，得上半空間上的格林函數(shù)：狄利克雷問題的解:5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解第33頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解第34頁，共42頁，

13、2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解第35頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四將上式代入到即得到原問題的解:思考:半空間 x+y+z 0 的格林函數(shù)及狄利克雷問題的解.5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解第36頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四2) 球域的格林函數(shù) 設(shè)有一個球心在原點(diǎn),半徑為R的球面G,在球內(nèi)任取一點(diǎn)M0，連接OM0并延長至點(diǎn)M1， 使得OM0OM1=R2, 點(diǎn)M1稱為M0關(guān)于球面的反演點(diǎn)。5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解第37頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四在點(diǎn)放置單位正電荷，在點(diǎn)放置 q 單位負(fù)電荷，使這兩個電荷產(chǎn)生的電位在球面上互相抵消P o R1. 等效點(diǎn)電荷的位置 2. 等效點(diǎn)電荷的電量確定球域的格林函數(shù)： 的反演點(diǎn)5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解第38頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四故 q 必須不依賴于 P 的選取且滿足： 由 ，得即只要在 點(diǎn)放置 個單位負(fù)電荷,它形成電場的電位P o R5.4 兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解第39頁，共42頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)34分，星期四具有性質(zhì): 在 所圍的球域內(nèi)部是調(diào)和函