2022年北京市東城區(qū)第二十二中學高二數(shù)學第二學期期末達標測試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若函數(shù)有小于零的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD2設隨機變量，若，則n=A3B6C8D93已知恒成立，則的取值范圍為（ ）ABCD4已知是定義在上的可導函數(shù)，的圖象如下圖所示，則的單調(diào)減區(qū)間是（ ）ABCD5已知，函數(shù)，若在上是單調(diào)

2、減函數(shù)，則的取值范圍是( )ABCD6已知函數(shù)在定義域上有兩個極值點，則的取值范圍是（ ）ABCD7正方體中，直線與平面所成角正弦值為（ ）ABCD8袋中共有10個除了顏色外完全相同的球，其中有6個白球，4個紅球，從袋中任取2個球，則所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為（）ABCD9函數(shù)的導函數(shù)為，若不等式的解集為，且的極小值等于，則的值是( )。ABC5D410設函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導，y=f（x）的圖象如圖所示，則導函數(shù)y=f （x）的圖象可能是（）ABCD11設函數(shù)滿足則時，( )A有極大值，無極小值B有極小值，無極大值C既有極大值又有極小值D既無極大值也無極小值12正六邊形

3、的邊長為，以頂點為起點，其他頂點為終點的向量分別為；以頂點為起點，其他頂點為終點的向量分別為若分別為的最小值、最大值，其中，則下列對的描述正確的是（）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設隨機變量的分布列（其中），則_14根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出S的值為 .15求曲線在點處的切線方程是_.16已知a，b0,1，2，3，則不同的復數(shù)z=a+bi的個數(shù)是_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）當函數(shù)在上單調(diào)時，求的取值范圍18（12分）從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個

4、數(shù)字中任意取出三個不同的數(shù)字.（）求取出的這三個數(shù)字中最大數(shù)字是8的概率；（）記取出的這三個數(shù)字中奇數(shù)的個數(shù)為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.19（12分）已知空間向量a與b的夾角為arccos66，且|a|=2，|(1)求a，b為鄰邊的平行四邊形的面積S；(2)求m,n的夾角20（12分）設函數(shù)f(x)1x2ln(x1).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式f(x)x2(kN*)在(0，)上恒成立，求k的最大值.21（12分）在平面直角坐標系中，直線：，以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.設直線與曲線交于，兩點.（1）當時，求，兩點的直角坐標；（2）當

5、變化時，求線段中點的軌跡的極坐標方程.22（10分）已知函數(shù)對任意實數(shù)都有，且.（I）求的值，并猜想的表達式；（II）用數(shù)學歸納法證明（I）中的猜想.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：函數(shù)有小于零的極值點轉(zhuǎn)化為有負根，通過討論此方程根為負根，求得實數(shù)的取值范圍.詳解：設，則，函數(shù)在上有小于零的極值點，有負根，當時，由，無實數(shù)根，函數(shù)無極值點，不合題意，當時，由，解得，當時，；當時，為函數(shù)的極值點，解得，實數(shù)的取值范圍是，故選A.點睛：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題. 求函數(shù)極值的步驟：

6、(1) 確定函數(shù)的定義域；(2) 求導數(shù)；(3) 解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4) 列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負（左增右減），那么在處取極大值，如果左負右正（左減右增），那么在處取極小值.2、D【解析】根據(jù)隨機變量，得到方程組，解得答案.【詳解】隨機變量，解得 故答案選D【點睛】本題考查了二項分布的期望和方差，屬于?？蓟A題型.3、A【解析】分析：先設，再求導求出函數(shù)g(x)的單調(diào)性和最小值，再數(shù)形結合分析得到a 的取值范圍.詳解：設所以當x（-，-1）時，則函數(shù)單調(diào)遞減.當x（-1，+）時，函數(shù)單調(diào)遞增.,當a0時，.直線y=a(2x-1)過點（）.設為曲線上任意一點，

7、則過點的曲線的切線方程為.又因為切線過點（），所以，解得故切線的斜率k=或k=.所以即a ，故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查導數(shù)的幾何意義和切線方程的求法，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的問題，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是求出過點（）的切線的斜率k=或k.4、B【解析】分析：先根據(jù)圖像求出，即得，也即得結果.詳解：因為當時，所以當時，所以的單調(diào)減區(qū)間是，選B.點睛：函數(shù)單調(diào)性問題，往往轉(zhuǎn)化為導函數(shù)符號是否變號或怎樣變號問題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為解方程或不等式.5、C【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式，可求導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)與單調(diào)性的關系，可以得到；分離參數(shù) ，根據(jù)所得函數(shù)

8、的特征求出 的取值范圍.【詳解】因為所以 因為在上是單調(diào)減函數(shù)所以即所以 當時， 恒成立當 時， 令 ，可知雙刀函數(shù)，在 上為增函數(shù)，所以 即所以選C【點睛】導數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若 就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）.6、B【解析】根據(jù)等價轉(zhuǎn)化的思想，可得在定義域中有兩個不同的實數(shù)根，然后利用根的分布情況，可得，最后利用導數(shù)判斷單調(diào)性，可得結果.【詳解】令，依題意得方程有兩個不等正根， 則， ， 令，在上單調(diào)遞減， ， 故的取值范圍是，

9、故選：B【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點求參數(shù)，還考查二次函數(shù)根的分布問題，難點在于使用等價轉(zhuǎn)化的思想，化繁為簡，屬中檔題.7、C【解析】作出相關圖形，設正方體邊長為1，求出與平面所成角正弦值即為答案.【詳解】如圖所示，正方體中，直線與平行，則直線與平面所成角正弦值即為與平面所成角正弦值.因為為等邊三角形，則在平面即為的中心，則為與平面所成角.可設正方體邊長為1，顯然，因此，則，故答案選C.【點睛】本題主要考查線面所成角的正弦值，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力和空間想象能力.8、C【解析】從袋中任取2個球，基本事件總數(shù)n所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球包含的基本事件個數(shù)m，利用古典概型公式

10、可得所求【詳解】袋中共有10個除了顏色外完全相同的球，其中有6個白球，4個紅球，從袋中任取2個球，基本事件總數(shù)n1所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球包含的基本事件個數(shù)m24，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為p故選C【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題9、D【解析】求導數(shù)，利用韋達定理，結合的極小值等于，即可求出的值，得到答案【詳解】依題意，函數(shù)，得的解集是，于是有，解得，函數(shù)在處取得極小值，即，解得，故選：D【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查韋達定理的運用，著重考查了學生分析解決問題的能力，比較基礎.10、A【解

11、析】根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性，判斷導數(shù)的正負，由此確定正確選項.【詳解】根據(jù)的圖像可知，函數(shù)從左到右，單調(diào)區(qū)間是：增、減、增、減，也即導數(shù)從左到右，是：正、負、正、負.結合選項可知，只有選項符合，故本題選A.【點睛】本小題主要考查導數(shù)與單調(diào)性的關系，考查數(shù)形結合的思想方法，屬于基礎題.11、D【解析】函數(shù)滿足，令，則，由，得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.又在單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值，故選D.考點：1、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值及函數(shù)的求導法則.【方法點睛】本題主要考察抽象函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的求導法則，屬于難題.求解這類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通

12、過對問題的條件和結論進行類比、聯(lián)想、抽象、概括，準確構造出符合題意的函數(shù)是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構造合適的函數(shù)，構造函數(shù)時往往從兩方面著手：根據(jù)導函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構造恰當?shù)暮瘮?shù).本題通過觀察導函數(shù)的“形狀”，聯(lián)想到函數(shù)，再結合條件判斷出其單調(diào)性，進而得出正確結論.12、A【解析】利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，從而得到結論【詳解】由題意，以頂點A為起點，其他頂點為終點的向量分別為， 以頂點D為起點，其他頂點為終點的向量分別為， 則利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，又因為分別為的

13、最小值、最大值，所以，故選A【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積運算，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運算公式，分析出向量數(shù)量積的正負是關鍵，著重考查了分析解決問題的能力，屬于中檔試題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)概率和為列方程，解方程求得的值.【詳解】依題意，解得.故填【點睛】本小題主要考查隨機變量分布列概率和為，考查方程的思想，屬于基礎題.14、1【解析】試題分析：這是循環(huán)結構，計算時要弄明白循環(huán)條件，什么時候跳出循環(huán)，循環(huán)結構里是先計算，第一次計算時，循環(huán)結束前，此時，循環(huán)結束，故輸出值為1考點：程序框圖，循環(huán)結構15、【解析】因為，所以，則曲線在點處的切線

14、的斜率為，即所求切線方程為，即.16、1【解析】分a=b和ab兩種情況討論，結合排列數(shù)公式求解【詳解】當a=b時，復數(shù)z=a+bi的個數(shù)是4個；當ab時，由排列數(shù)公式可知，組成不同的復數(shù)z=a+bi的個數(shù)是A42不同的復數(shù)z=a+bi的個數(shù)是1個故答案為：1【點睛】本題主要考查了排列及排列數(shù)公式，涉及分類討論思想，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、 (1) 函數(shù)在最大值是2,最小值是；(2) 【解析】(1)代入,求導分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.(2)由題得或在區(qū)間上恒成立,求導后參變分離求最值即可.【詳解】(1) 時, .函數(shù)在區(qū)間僅有極大值點,故這

15、個極大值點也是最大值點,故函數(shù)在最大值是,又,故,故函數(shù)在上的最小值為.故函數(shù)在最大值是2,最小值是(2) ,令,則,則函數(shù)在遞減,在遞增,由,故函數(shù)在的值域為.若在恒成立,即在恒成立,只要,若要在恒成立,即在恒成立,只要.即的取值范圍是.【點睛】本題主要考查求導分析函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值問題以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題.包括參變分離求函數(shù)最值問題等.屬于中檔題.18、 ；（）見解析.【解析】分析：（）取出的這三個數(shù)字中最大數(shù)字是8，其余兩個從1，2，3，4，5，6，7中?。ǎ┤〕龅倪@三個數(shù)字中奇數(shù)的個數(shù)為0、1、2、3，求出相應的概率，即可求得分布列及期望；（）的所有可能取值為：0、1、

16、2、3 則所以隨機變量的分布列為0123P所以的數(shù)學期望.點睛：（1）本題主要考查古典概型和離散型隨機變量的分布列和期望，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2) 為的均值或數(shù)學期望，簡稱期望19、（1）5（2）m,n的夾角【解析】(1)根據(jù)向量a,b的夾角為arccos66即可求出sin=306，從而根據(jù)S=|a|【詳解】(1)根據(jù)條件，cossinS=|a(2)m|m|=(cosm,n【點睛】本題主要考查了向量夾角，三角形的面積公式，向量數(shù)量積的運算，向量的模，屬于中檔題20、 (1)見解析(2)1【解析】（1）首先求出f（x）的定義域，函數(shù)f（x）的導數(shù)，分別令它大于0

17、，小于0，解不等式，必須注意定義域，求交集；（2）化簡不等式f（x）x2，得：（x+1）1+ln（x+1）kx，令g（x）=（x+1）1+ln（x+1）kx，求出g（x），由x0，求出2+ln（x+1）2，討論k，分k2，k2，由恒成立結合單調(diào)性判斷k的取值，從而得到k的最大值【詳解】（1）函數(shù)f（x）的定義域為（1，+），函數(shù)f（x）的導數(shù)f（x）=2x+，令f（x）0則2x，解得，令f（x）0則，解得x或x，x1，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，），單調(diào)減區(qū)間為（，+）；（2）不等式f（x）x2 即1x2+ln（x+1），即1+ln（x+1），即（x+1）1+ln（x+1）kx（kN*）在（0

18、，+）上恒成立，令g（x）=（x+1）1+ln（x+1）kx，則g（x）=2+ln（x+1）k，x0，2+ln（x+1）2，若k2，則g（x）0，即g（x）在（0，+）上遞增，g（x）g（0）即g（x）10，（x+1）1+ln（x+1）kx（kN*）在（0，+）上恒成立；若k2，可以進一步分析，只需滿足最小值比0大，即可，結合K為正整數(shù)，故k的最大值為1【點睛】本題主要考查運用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求解時應注意函數(shù)的定義域，同時考查含參不等式恒成立問題，通常運用參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，但求最值較難，本題轉(zhuǎn)化為大于0的不等式，構造函數(shù)g（x），運用導數(shù)說明g（x）0恒成立，從而得到結論這種思想方法要掌握21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，與直線方程聯(lián)立，即可求解