二次函最值專題

1、二次函最值專題二次函最值專題1（2010湖南常德）如圖9, 已知拋物線與軸交于A (4，0) 和 B(1，0)兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn) （1）求此拋物線的解析式； （2）設(shè)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，作EF/AC交BC于F，連接CE， 當(dāng)CEF的面積是BEF面積的2倍時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo); （3）若P為拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作軸的平行線， 交AC于Q，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PQ的值最大，并求此 時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)xyOBCA圖9第2頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。1（2010湖南常德）如圖9, 已知拋物線與軸交于A (xyOBCA圖9解：（1）由二次函數(shù) 與x軸交于A(-4,0)、B(1,0)兩點(diǎn)可得：解得

2、：故所求二次函數(shù)的解析式為 第3頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。xyOBCA圖9解：（1）由二次函數(shù) 第3頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片xyOBCA圖9EF第4頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。xyOBCA圖9EF第4頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。SCEF=2 SBEF, , BEFBAC, 得故E點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0). EF/AC,xyOBCA圖9EF第5頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。SCEF=2 SBEF, , BEFxyOBCA圖9PQ第6頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。xyOBCA圖9PQ第6頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。xyOBCA圖9PQ（3）解法一：由拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2） 若設(shè)直線AC的解析式為 ， 則有解得： 故直線的解析式為若設(shè)

3、P點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，又點(diǎn)Q是過(guò)點(diǎn)P所作y軸的平行線與直線AC的交點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（則有： =即當(dāng) 時(shí)，線段PQ取大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）。 第7頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。xyOBCA圖9PQ（3）解法一：由拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，2（2010山東聊城）如圖，已知拋物線yax2+bx+c（a0）的對(duì)稱軸為x1，且拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸x1上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=1上的一動(dòng)點(diǎn)，求使PCB90的點(diǎn)P的坐標(biāo)E第8頁(yè)，共23頁(yè)

4、幻燈片。2（2010山東聊城）如圖，已知拋物線yax2+bx+c解：（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3）C3， yax2+bx-3，又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），對(duì)稱軸為x=1，所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式為yx22x-3（2）點(diǎn)A（1,0），對(duì)稱軸為x=1，點(diǎn)B（3，0） 設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，根據(jù)題意得 直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=x3，當(dāng)x=1時(shí)，y2， 點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）（3）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PDOC，設(shè)P（1，y），則PE|y|，DC3y，在RtPEB中，PB222+|y|24+y2，在RtPCD中PC212+|3y|210+6y+y2,在RtOBC中，BC232+3218，PCB

5、90，PB2=PC2+BC2，4+y2=10+6y+y2+18，解得y=-4 P（1,-4）第9頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。解：（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3）C3，第9頁(yè)，共3.（2010 四川綿陽(yáng)）如圖，拋物線y = ax2 + bx + 4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（4，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為DE（1，2）為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在直線EF上求一點(diǎn)H，使CDH的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，EFK的面積最大？并求出最大面積CEDGAxy

6、OBF第10頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。3.（2010 四川綿陽(yáng)）如圖，拋物線y = ax2 + b解：（1）由題意，得 解得， b =1所以拋物線的解析式為 ，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1， ）CEDGAxyOBF第11頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。解：（1）由題意，得 2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M因?yàn)镋F垂直平分BC，即C關(guān)于直線EG的對(duì)稱點(diǎn)為B，連結(jié)BD交于EF于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H，使DH + CH最小，即最小為DH + CH = DH + HB = BD = 而 CDH的周長(zhǎng)最小值為CD + DR + CH = 設(shè)直線BD的解析式為y = k1x + b，則 解得 ，b1 = 3 所以直線BD的解析式

7、為y = x + 3由于BC = 2 ，CE = BC2 = ，RtCEGCOB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5G（0，1.5）同理可求得直線EF的解析式為y = x + 聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使CDH的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)H（ ， ）CEDGAxyOBFH第12頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)MCEDGAxyOBFH第CEDGAxyOBFKN（3）設(shè)K（t， ），過(guò)K作x軸的垂線交EF于N則 KN = yKyN = （ t + ）= 所以 SEFK = SKFN + SKNE = KN（t + 3）+ KN（1t） = 2

8、KN = t23t + 5 =（t + ）2 + 即當(dāng)t = 時(shí)，EFK的面積最大，最大面積為 ，此時(shí)K（ ， ）第13頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。CEDGAxyOBFKN（3）設(shè)K（t， 4（2010河南）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)A(-4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值； (3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P、Q、B、0為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).第14頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。

9、4（2010河南）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)第14解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a0)，則有 解得 拋物線的解析式y(tǒng)= x2+x4 （2）過(guò)點(diǎn)M作MDx軸于點(diǎn)D.設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n）. 則AD=m+4，MD=n，n= m2m4 . S = SAMD+S梯形DMBOSABO = ( m+4) (n) (n4) (m) 44 = 2n-2m-8 = 2( m2m4) -2m-8 = m2-4m (4 m 0). S最大值 = 4 第15頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。解：（1）設(shè)拋物線的解析式為第15頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。AM3）滿足題意的Q點(diǎn)的坐標(biāo)有四個(gè)，分別是：（-4 ，4

10、），（4 ，-4），（-2+ ，2 ）， （-2 ，2 ） 第16頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。AM3）滿足題意的Q點(diǎn)的坐標(biāo)有四個(gè)，分別是：第16頁(yè)，共231.(2008 四川 廣安)如圖，已知拋物線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) （1，-5）和（-2，4）（1）求這條拋物線的解析式（2）設(shè)此拋物線與直線 相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），平行于軸的直線 與拋物線交于點(diǎn)M，與直線 交于點(diǎn)N，交軸于點(diǎn)P，求線段MN的長(zhǎng)（用含 的代數(shù)式表示）（3）在條件（2）的情況下，連接OM、BM，是否存在 的值，使BOM的面積S最大？若存在，請(qǐng)求出 的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）由題意得 解得b2，c4 此拋物線的解析式為：yx22

11、x42（2）由題意得解得點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，4)將xm代入yx條件得ym點(diǎn)的坐標(biāo)為（m , m）同理點(diǎn)的坐標(biāo)為（m , m22m4 ），點(diǎn)的坐標(biāo)為(m , 0 )PNm ,MP| m22m4 |MNPNMP第17頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。1.(2008 四川 廣安)如圖，已知拋物線 2.(2008年福建省福州市)如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系已知OA3，OC2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；（2）設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸正半軸于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)

12、的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；（3）在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最??？如果存在，求出周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)在RtEBF中,B=90，所以EF= .設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,n),其中n0,因?yàn)轫旤c(diǎn)F(1,2),所以設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+2(a0) 如圖1,當(dāng)EF=PF時(shí),EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5,解得n1=0(舍去),n2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a=2,所以拋物線的解析式為y=2(x-1)2+2如圖2,當(dāng)EP=FP時(shí),EP2=FP2

13、,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n= (舍去) 當(dāng)EF=EP時(shí),EP= 3,這種情況不存在.綜上所述,符合條件的拋物線為y=2(x-1)2+2 第18頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。2.(2008年福建省福州市)如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)在RtEBF中,B=90，所以EF= .設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,n),其中n0,因?yàn)轫旤c(diǎn)F(1,2),所以設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+2(a0) 如圖1,當(dāng)EF=PF時(shí),EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5,解得n1=0(舍去),n2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a=2,所

14、以拋物線的解析式為y=2(x-1)2+2如圖2,當(dāng)EP=FP時(shí),EP2=FP2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n= (舍去) 當(dāng)EF=EP時(shí),EP= 3,這種情況不存在.綜上所述,符合條件的拋物線為y=2(x-1)2+2 第19頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。解：(1)E(3,1)；F(1,2)；第19頁(yè)，共23頁(yè)幻燈(3)存在點(diǎn)M、N,使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小如圖3,作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E/,作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F/,連接E/F/,分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N,則點(diǎn)M、N就是所求.所以E/(3,-1)、F/(-1,2),NF=NF/,ME=ME/,所以BF/=4,BE/=3,所以F

15、N+NM+ME=F/N+NM+ME/=F/E/= =5.又因?yàn)镋F= ,所以FN+MN+ME+EF=5+ ,此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小值為5+ .第20頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。(3)存在點(diǎn)M、N,使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小第20頁(yè)，3. （山東德州市2010）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)(1)求此函數(shù)的解析式及圖象的對(duì)稱軸； (2)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以每秒0.1個(gè)單位的速度沿線段BC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā)以相同的速度沿線段OA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABPQ為等腰梯形；設(shè)PQ與對(duì)稱軸的交

16、點(diǎn)為M，過(guò)M點(diǎn)作x軸的平行線交AB于點(diǎn)N，設(shè)四邊形ANPQ的面積為S，求面積S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式，并指出t的取值范圍；當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值或最小值xyOABCPQMN第3題圖解：(1)二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0，-3)，c =-3將點(diǎn)A(3，0)，B(2，-3)代入 得解得：a=1，b=-2 配方得： ，所以對(duì)稱軸為x=1 第21頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。3. （山東德州市2010）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)xyOAB(2) 由題意可知：BP= OQ=0.1t點(diǎn)B，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，BCOA過(guò)點(diǎn)B，點(diǎn)P作BDOA，PEOA，垂足分別為D，E要使四邊形ABPQ為等腰梯形，只需PQ=AB即QE=A

17、D=1又QE=OEOQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，2-0.2t=1解得t=5即t=5秒時(shí)，四邊形ABPQ為等腰梯形 xyOABCPQDEGMNF設(shè)對(duì)稱軸與BC，x軸的交點(diǎn)分別為F，G對(duì)稱軸x=1是線段BC的垂直平分線，BF=CF=OG=1又BP=OQ，PF=QG又PMF=QMG，MFPMGQMF=MG點(diǎn)M為FG的中點(diǎn) S= = 由 = S= 又BC=2，OA=3，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，需要20秒0t20當(dāng)t=20秒時(shí)，面積S有最小值3 第22頁(yè)，共23頁(yè)幻燈片。(2) 由題意可知：BP= OQ=0.1txyOABCPQ4. （2011年河南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線 交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為8.（1）求該拋物線的解析式； （2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一