2022屆上海市香山中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1某大學(xué)安排5名學(xué)生去3個(gè)公司參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)公司至少1名同學(xué)，安排方法共有( )種A60B90C120D1

2、502某校1 000名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如圖所示，正態(tài)變量X在區(qū)間，內(nèi)取值的概率分別是，則成績(jī)X位于區(qū)間(52,68的人數(shù)大約是（ ）A997B954C683D3413在的展開(kāi)式中，的冪指數(shù)是整數(shù)的共有A3項(xiàng)B4項(xiàng)C5項(xiàng)D6項(xiàng)4若偶函數(shù)滿足且時(shí),則方程的根的個(gè)數(shù)是( )A2個(gè)B4個(gè)C3個(gè)D多于4個(gè)5某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖的上半部分均為半圓，下半部分為等腰直角三角形，則該幾何體的表面積為（ ）ABCD6下列函數(shù)中，滿足“且”的是()ABCD7已知頂點(diǎn)在軸上的雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為4，其兩條漸近線方程為，該雙曲線的焦點(diǎn)為（ ）ABCD8設(shè)函數(shù) 的定義

3、域，函數(shù)y=ln(1-x)的定義域?yàn)?則A（1,2）B（1,2C（-2,1）D-2,1)9在平面直角坐標(biāo)系中，由坐標(biāo)軸和曲線所圍成的圖形的面積為（ ）ABCD10用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+n2=n4Ak2+1Ck2+111已知三棱錐的底面是等邊三角形，點(diǎn)在平面上的射影在內(nèi)（不包括邊界），.記，與底面所成角為，；二面角，的平面角為，則，之間的大小關(guān)系等確定的是（）ABC是最小角，是最大角D只能確定，12三棱錐中，為的中點(diǎn),分別交，于點(diǎn)、，且，則三棱錐體積的最大值為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知、滿足，則的最小值為_(kāi).14如圖，已知四面體的棱平面，且，其余

4、的棱長(zhǎng)均為1，四面體以所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)弧度，且始終在水平放置的平面上方，如果將四面體在平面內(nèi)正投影面積看成關(guān)于的函數(shù)，記為，則函數(shù)的取值范圍為_(kāi).15在空間中，已知一個(gè)正方體是12條棱所在的直線與一個(gè)平面所成的角都等于，則_16隨機(jī)變量X的分布列是 123P0.40.20.4則EX,DX分別是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）如圖，圓的半徑為2，點(diǎn)是圓的一條半徑的中點(diǎn)，是圓過(guò)點(diǎn)的動(dòng)弦. (1)當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值; (2)若，,且. ,的值; 求的值.18（12分）已知矩陣，矩陣B的逆矩陣.（1）求矩陣A的特征值及矩陣B.（2）若先對(duì)曲線實(shí)施矩陣A

5、對(duì)應(yīng)的變換，再作矩陣B對(duì)應(yīng)的變換，試用一個(gè)矩陣來(lái)表示這兩次變換，并求變換后的結(jié)果.19（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（I）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（II）求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值.20（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)與相切于點(diǎn)，求的值；（2）若是函數(shù)圖象的切線，求的最小值.21（12分）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且，求直線的斜率的取值范圍；22（10分）已知，分別為三個(gè)內(nèi)角,的對(duì)邊，.()求；(

6、)若=2，的面積為，求，.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析：由題意結(jié)合排列組合公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可知，5人的安排方案為或，結(jié)合平均分組計(jì)算公式可知，方案為時(shí)的方法有種，方案為時(shí)的方法有種，結(jié)合加法公式可知安排方法共有種.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步具體地說(shuō)，解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)(2)不同元素的分配問(wèn)題，往往是先分

7、組再分配在分組時(shí)，通常有三種類型：不均勻分組；均勻分組；部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法2、C【解析】分析：先由圖得，再根據(jù)成績(jī)X位于區(qū)間(52,68的概率確定人數(shù).詳解：由圖得因?yàn)?，所以成?jī)X位于區(qū)間(52,68的概率是，對(duì)應(yīng)人數(shù)為選C.點(diǎn)睛：利用3原則求概率問(wèn)題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的，進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一個(gè).3、D【解析】根據(jù)題目，寫出二次項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求出的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)?！驹斀狻坑深}意知，要使的冪指數(shù)是整數(shù)，則必須是的倍數(shù)，故當(dāng)滿足條件。即的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有項(xiàng)，故答案選D。【點(diǎn)睛】本

8、題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的公式。4、B【解析】在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)和函數(shù)的圖象，這兩個(gè)函數(shù)的圖象的焦點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為所求.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的周期為2，又當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，則方程的根的個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，可得兩函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，即方程有4個(gè)根，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問(wèn)題，即根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判定，其中解答中把方程的根的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.5、A【

9、解析】根據(jù)三視圖知：幾何體為半球和圓柱和圓錐的組合體，計(jì)算表面積得到答案.【詳解】根據(jù)三視圖知：幾何體為半球和圓柱和圓錐的組合體.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.6、C【解析】根據(jù)題意知，函數(shù)在上是減函數(shù)，根據(jù)選項(xiàng)判斷即可?！驹斀狻扛鶕?jù)題意知，函數(shù)在上是減函數(shù)。選項(xiàng)A，在上是增函數(shù)，不符合；選項(xiàng)B，在上不單調(diào)，不符合；選項(xiàng)C，在上是減函數(shù)，符合；選項(xiàng)D，在上是增函數(shù)，不符合；綜上，故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)用以及常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性的判斷。7、C【解析】由雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為4可知 由漸近線方程，可得到 然后利用 即可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)【

10、詳解】由雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為4可知 由漸近線方程，可得到即 所以 又雙曲線頂點(diǎn)在 軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題8、D【解析】由得，由得，故，選D.【名師點(diǎn)睛】集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問(wèn)題，應(yīng)先把集合化簡(jiǎn)再計(jì)算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行處理.9、C【解析】根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，求出積分值即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于基礎(chǔ)題10、C【解析】首先分析題目求用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1+3+n1=n4+n22時(shí)，當(dāng)n=k+【詳解】當(dāng)n=k時(shí)，等式左端=1+1+k1，當(dāng)n=k

11、+1時(shí)，等式左端=1+1+k1+k1+1+k1+1+（k+1）1，增加了項(xiàng)（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+（k+1）1故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題./11、C【解析】過(guò)作PO平面ABC，垂足為，過(guò)作ODAB，交AB于D，過(guò)作OEBC，交BC于E，過(guò)作OFAC，交AC于F，推導(dǎo)出OAOBOC，ABBCAC，ODOFOE，且OEOB，OFOA，由此得到結(jié)論【詳解】解：如圖，過(guò)作PO平面ABC，垂足為，過(guò)作ODAB，交AB于D，過(guò)作OEBC，交BC于E，過(guò)作OFAC，交AC于F，連結(jié)OA，OB，OC，PD，PE，PF，ABC為正三角形，PAPBPC，二面角PBCA，二

12、面角PACB的大小分別為，PA，PB與底面所成角為，PAO，PBO，PEO，PFO，OAOBOC，ABBCAC，在直角三角形OAF中，在直角三角形OBE中，OAOB，OAFOBE，則OFOE，同理可得ODOF，ODOFOE，且OEOB，OFOA，可得是最小角，是最大角，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查線面角、二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題12、B【解析】由已知可知，是正三角形，從而，進(jìn)而，是的平分線，由此能求出三棱錐體積的最大值.【詳解】由題意得，所以是正三角形，分別交，于點(diǎn)、，,， ，是的平分線， ，以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖

13、： 設(shè)，則，整理得， 因此三棱錐體積的最大值為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的體積公式，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】此題考查線性規(guī)劃問(wèn)題，只需認(rèn)真作出不等式表示的平面區(qū)域，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為截距式求值即可.【詳解】作出不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示：令，則，作出直線l: ,平移直線l，由圖可得，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)取得最小值，得B(2，2),代入故填4.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的作圖能力及分析能力，難度較小.14、【解析】用極限法思考.當(dāng)直線平面時(shí), 有最小值,當(dāng)直線平面時(shí), 有最大值,這樣就

14、可以求出函數(shù)的取值范圍.【詳解】取的中點(diǎn),連接,于是有平面,所以,，其余的棱長(zhǎng)均為1,所以,到的距離為,當(dāng)直線平面時(shí),有最小值,最小值為：；當(dāng)直線平面時(shí), 有最大值,最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的幾何性質(zhì),考查了線面垂直的判定與應(yīng)用,考查了空間想象能力.15、【解析】畫(huà)出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個(gè)平面所成的角都等于,在可求得.【詳解】畫(huà)出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個(gè)平面所成的角都等于 正方體 面, 與面所成的角為 不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為,故 在中由勾股定理可得: 故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了線面角求法,根據(jù)體積畫(huà)出幾何圖形,掌握正方體結(jié)構(gòu)特征是解本題的

15、關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.16、2,0.1【解析】于已知分布列，故可直接使用公式求期望、方差【詳解】E=10.4+20.2+30.4=2，D=（12）20.4+（22）20.2+（32）20.4=0.1故答案為：2,0.1【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布和數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，熟記期望、方差的公式是解題的關(guān)鍵三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）.【解析】分析：（1）先根據(jù)是的中點(diǎn)時(shí)，解得,再根據(jù)向量數(shù)量積定義求的值;（2）根據(jù)解得，再根據(jù)分解唯一性得,的值; 由得，再根據(jù)向量夾角公式得結(jié)果.詳解：解：（1）因?yàn)闉閳A的弦的中點(diǎn)，所以因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所

16、以在中, ,所以,所以所以 （2） 因?yàn)樗运杂?，且與不共線所以， 因?yàn)樗约匆驗(yàn)?所以所以因此.點(diǎn)睛：平面向量與幾何綜合問(wèn)題的求解方法(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決 (2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解18、（1）矩陣A的特征值為1,2；（2），【解析】（1）通過(guò)特征多項(xiàng)式即可得到特征值，利用，可計(jì)算出矩陣B；（2）首先可計(jì)算出的結(jié)果，然后設(shè)出，變換后的點(diǎn)設(shè)成，利用線性變換得到相關(guān)關(guān)系，從而得到新曲線.【詳解】(1)矩陣A的特

17、征多項(xiàng)式，令，則或，故矩陣A的特征值為1,2；設(shè)，根據(jù)，可得：即，解得，所以矩陣.(2)兩次變換后的矩陣，在曲線上任取一點(diǎn)，在變換C的作用下得到，則，即，整理得，可得，即，代入得.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性變換，特征值的計(jì)算，意在考查學(xué)生的分析能力，計(jì)算能力，難度中等.19、（I），；（II）.【解析】（I）曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出曲線C的普通方程；由直線l的極坐標(biāo)方程，能求出直線l的直角坐標(biāo)方程（II）在曲線C上任取一點(diǎn)利用點(diǎn)到直線的距離公式能求出曲線C上的點(diǎn)到直線l的最小距離【詳解】（I）曲線的普通方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為.（II）設(shè)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，取

18、得最大值，曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題20、（1）；（2）【解析】（1）利用函數(shù)與相切于點(diǎn)，切線即可求的值.（2）若是函數(shù)圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)，表達(dá)函數(shù)的切線方程，表達(dá)，構(gòu)造新函數(shù)，求其最小值即可.【詳解】（1）由函數(shù)，則，.所以，.（2）設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，即，亦即，由題意得.令.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題.21、