插值與擬合方法建模

1、插值與擬合方法建模第1頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三課程安排及要求上課時(shí)間和地點(diǎn) 2011年夏季學(xué)期數(shù)學(xué)建模實(shí)踐授課安排_(tái)cao.xls課程要求 以隊(duì)（每隊(duì)3人）為單位，每周完成1 2篇論文，無期末考試，最終以全部論文的總成績(jī)作為課程成績(jī)參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的資格問題以課程成績(jī)?yōu)橹?，結(jié)合往年有競(jìng)賽經(jīng)驗(yàn)的部分學(xué)生，自愿組隊(duì)為主第2頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三概論日常生活中，尤其是科技活動(dòng)中，人們?cè)絹碓筋l繁的和數(shù)據(jù)打交道，想方設(shè)法的獲取數(shù)據(jù)，千方百計(jì)地、認(rèn)真細(xì)致地分析處理數(shù)據(jù)，已成為研究許多問題的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，一種基本技術(shù)，甚至已成為

2、一種較為通用的分析問題、解決問題的思想方法.本課件分三個(gè)部分:處理數(shù)據(jù)常用的插值方法和擬合方法簡(jiǎn)介部分相關(guān)的matlab命令簡(jiǎn)介與插值法或擬合法相關(guān)的建模案例第3頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三方法的三個(gè)基本問題數(shù)據(jù)的來源及數(shù)據(jù)的特點(diǎn)分析分析處理數(shù)據(jù)的方法分析.數(shù)據(jù)中所含誤差對(duì)處理結(jié)果的影響.第4頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三方法使用情況對(duì)比插值方法適用于：數(shù)據(jù)量較少，且精度較高.擬合方法適用于：數(shù)據(jù)量較多，且含有較大的不確定性，如，數(shù)據(jù)中，同一點(diǎn)處有多個(gè)觀測(cè)值（可能不同）；再如，社會(huì)、經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中，隨機(jī)因素對(duì)數(shù)據(jù)的影響較大，甚至與數(shù)據(jù)處于同

3、一個(gè)數(shù)量級(jí)，擬合方法特別適用于研究數(shù)據(jù)自身所隱含的規(guī)律、趨勢(shì).第5頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三實(shí)際中數(shù)據(jù)處理的例子測(cè)量細(xì)棒上若干個(gè)點(diǎn)處的溫度（或房間內(nèi)若干個(gè)點(diǎn)處的溫度、某區(qū)域若干個(gè)點(diǎn)處的海水深度，汽車、飛機(jī)等的外形設(shè)計(jì)，諸如此類的空間分布數(shù)據(jù)），試確定細(xì)棒上各處的溫度分布.當(dāng)數(shù)據(jù)量較少，且測(cè)量誤差較小時(shí)，可用插值法；當(dāng)數(shù)據(jù)量很多，測(cè)量誤差較大，或數(shù)據(jù)中含較大的不確定性時(shí)，可用擬合法.研究時(shí)間序列數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，常用擬合法.第6頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三第一章 插值方法 此類實(shí)際問題的基本特征（以兩個(gè)變量情況為例）已知一組數(shù)據(jù)點(diǎn) ，它

4、對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的函數(shù)關(guān)系 . 希望求出這個(gè)函數(shù)，或者求出它的一個(gè)近似函數(shù) ，滿足 ， .例子測(cè)量細(xì)棒上若干個(gè)點(diǎn)處的溫度，確定出溫度的空間分布（兩個(gè)變量間的一元函數(shù)）.數(shù)控銑床加工精密工件問題（三個(gè)變量間的多元函數(shù)）.第7頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三第一節(jié) 一元函數(shù)的多項(xiàng)式插值插值問題提法：已知函數(shù) 在 個(gè)互異的觀測(cè)點(diǎn) ，上的函數(shù)值 .求函數(shù) ，滿足 ， . 則 稱為插值函數(shù)， 稱為被插值函數(shù)， 稱為插值節(jié)點(diǎn).這種提法存在問題解不唯一，需要附加條件！作為未知的被插值函數(shù)的一個(gè)近似，用于后續(xù)的分析計(jì)算過程中，應(yīng)具備形式簡(jiǎn)單、滿足必要的分析性質(zhì)、便于進(jìn)行各種分析運(yùn)算.在插

5、值節(jié)點(diǎn)處，插值函數(shù)與被插值函數(shù)取值完全一致！插值法適用于那種觀測(cè)數(shù)據(jù)精度較高的問題.第8頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三適定的代數(shù)插值問題已知函數(shù) 在 個(gè)互異的觀測(cè)點(diǎn) 處的函數(shù)值 .求函數(shù) ，滿足 次數(shù)不超過 次的多項(xiàng)式 ， . 稱為 次Lagrange插值多項(xiàng)式.該問題滿足解存在唯一（通過指定插值函數(shù)應(yīng)屬的函數(shù)類實(shí)現(xiàn)）插值多項(xiàng)式便于構(gòu)造代數(shù)多項(xiàng)式形式簡(jiǎn)單、性質(zhì)良好第9頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三n次Lagrange插值多項(xiàng)式的構(gòu)造記函數(shù) 滿足當(dāng) 時(shí)函數(shù) 稱為 次Lagrange插值關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的節(jié)點(diǎn)插值基函數(shù). 易得即第10頁，共60頁，

6、2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三龍格(Runge)現(xiàn)象當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)很大時(shí)，一方面，插值多項(xiàng)式次數(shù)越來越高；另一方面，插值多項(xiàng)式與被插值函數(shù)取值一樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)越來越多.將區(qū)間-5，5分成10等分，11個(gè)分點(diǎn)（含端點(diǎn)）作為插值節(jié)點(diǎn)（ ），構(gòu)造函數(shù) 的10次插值多項(xiàng)式第11頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三第12頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三第二節(jié) 分段多項(xiàng)式插值Runge現(xiàn)象揭示當(dāng) 時(shí)，應(yīng)盡量避免用高次多項(xiàng)式作為插值函數(shù)低次多項(xiàng)式也有優(yōu)點(diǎn)兼顧各方，分段低次多項(xiàng)式插值，效果更好僅簡(jiǎn)單介紹分段線性插值第13頁，共60頁，2022年，5月

7、20日，15點(diǎn)19分，星期三分段線性插值問題已知函數(shù) 在 個(gè)觀測(cè)點(diǎn) 上的函數(shù)值 ， .求函數(shù) ，滿足 在每個(gè)小區(qū)間 上， 是線性函數(shù)（次數(shù)不超過1次的多項(xiàng)式）； ， . 稱為分段線性插值函數(shù).分段線性插值的構(gòu)造當(dāng) 時(shí)，第14頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三兩種插值的數(shù)值算例第15頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三第三節(jié) 密切插值(osculating interpolation)實(shí)際問題中，有時(shí)不僅可以得到未知函數(shù)在觀測(cè)點(diǎn)處的函數(shù)值，而且還可以測(cè)量出它在這些點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，甚至高階導(dǎo)數(shù)值，此時(shí)，可以構(gòu)造密切插值函數(shù). Hermite插值問題提

8、法 已知函數(shù) 在 個(gè)觀測(cè)點(diǎn) ， 處的函數(shù)值 和導(dǎo)數(shù)值 ， .求函數(shù) ，滿足 是次數(shù)不超過 次的多項(xiàng)式. ， ， . 稱為函數(shù) 的 次Hermite插值多項(xiàng)式.第16頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三第四節(jié) 樣條插值(spline interpolation)當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)較多時(shí)，Lagrange插值的不收斂性，分段低次多項(xiàng)式插值的不夠光滑，Hermite插值需要已知導(dǎo)數(shù)值.提出一種收斂的、具有一定光滑性的分段低次多項(xiàng)式插值樣條插值.第17頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三樣條插值問題提法已知函數(shù) 在 個(gè)的觀測(cè)點(diǎn) 處的函數(shù)值 ， .求函數(shù) ，滿足

9、在每個(gè)小區(qū)間 上， 是次數(shù)不超過3次的多項(xiàng)式； ， . . 稱為三次樣條插值函數(shù).注1：要保證問題的解存在唯一，需要適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充 條件樣條插值的邊界條件注2：求樣條插值函數(shù)，需要解線性代數(shù)方程組.第18頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三第二章 matlab插值命令簡(jiǎn)介關(guān)于多項(xiàng)式多項(xiàng)式表示多項(xiàng)式可用行矢量表示，其元素按冪指數(shù)降序排列，如， 可表示為一個(gè)向量多項(xiàng)式求值命令polyval(P,X)計(jì)算多項(xiàng)式P在X點(diǎn)處的值，若X是數(shù)組，則所得結(jié)果為對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的函數(shù)值構(gòu)成的數(shù)組.第19頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三第一節(jié) 一元函數(shù)部分插值命令一元插值函數(shù)i

10、nterp1()調(diào)用格式為yi=interp1(x, y, xi, method)其中x，y為給定的插值數(shù)據(jù)，可以是數(shù)組；xi為被插值點(diǎn)，yi為被插值點(diǎn)xi處的插值函數(shù)值，它們可以是數(shù)組，且必須維數(shù)一致；method指定所要選用的插值方法第20頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三可選用的四種methodnearest (最鄰近插值)：被插值點(diǎn)處函數(shù)值取值為最接近的插值節(jié)點(diǎn)處的值linear ：分段線性插值. 這是interp1函數(shù)的缺省設(shè)置cubic ：分段三次插值函數(shù)spline ：樣條插值函數(shù)第21頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三樣條插值算例

11、第22頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三nearest 的算例第23頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三函數(shù)interp1評(píng)注以上這四種方法都要求x中的數(shù)據(jù)為單調(diào)，且xi在插值節(jié)點(diǎn)的內(nèi)部（此時(shí)為內(nèi)插），但并不要求x是等距節(jié)點(diǎn)，對(duì)等距節(jié)點(diǎn)，可在method之前加上*，能提高運(yùn)行速度.從運(yùn)行速度、占用內(nèi)存大小及插值函數(shù)的光滑度三個(gè)方面分別比較四種方法（按nearest、linear、cubic、spline順序），結(jié)果為運(yùn)行速度由快到慢內(nèi)存要求從小到大光滑度由差到好對(duì)于method沒有涉及到的插值方法，相應(yīng)的插值函數(shù)要自行編程實(shí)現(xiàn)第24頁，共60頁，2

12、022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三第二節(jié) 二元函數(shù)的插值及部分matlab命令二元函數(shù)的插值情況較為復(fù)雜，常按如下兩個(gè)方面予以區(qū)分自變量所屬的二維區(qū)域是規(guī)則區(qū)域還是不規(guī)則區(qū)域 前者較為標(biāo)準(zhǔn)方法較多，后者可化歸為前者給定的數(shù)據(jù)是有規(guī)律分布的還是散亂的、隨機(jī)分布的前者問題較為標(biāo)準(zhǔn)，解決方法較為成熟，可選方法較多. 對(duì)于后者，通常是轉(zhuǎn)化為前者，但要具體問題具體分析，基本思路是：從給定的數(shù)據(jù)出發(fā)，依據(jù)一定的方法補(bǔ)充修復(fù)出相應(yīng)于規(guī)則插值節(jié)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)分布有規(guī)律的情形來處理第25頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三二維規(guī)則區(qū)域，插值節(jié)點(diǎn)分布規(guī)律插值數(shù)據(jù)形如：y1y

13、2y nx1z11z12z1nx 2z21z22z2nx mzm1zm2zmn第26頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三可用方法及matlab函數(shù)二元插值函數(shù)interp2( )調(diào)用格式為zi = interp2(x, y, z, xi, yi, method) 其中x，y，z 為插值數(shù)據(jù)，均為向量zi為被插值點(diǎn) (xi, yi) 處的插值函數(shù)值method為可選用的插值方法第27頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三可選用的四種methodnearest：表示最臨近插值linear：表示分片雙線性插值cubic：表示分片雙三次插值spline：表示雙

14、三次樣條插值注： interp2插值方法要求 x 和 y分別是單調(diào)的插值節(jié)點(diǎn)，x 和 y 可以是不等距的.第28頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三算例氣旋變化情況下表是測(cè)量的氣象資料，分別表示在南半球地區(qū)按不同緯度、不同月份的平均氣旋數(shù)字.根據(jù)這些數(shù)據(jù)，繪制出氣旋分布曲面圖形.(本資料下載于網(wǎng)絡(luò))第29頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三010102020303040405050606070708080901月2.418.720.822.137.348.225.65.30.32月1.621.418.520.128.836.624.25.303月2.

15、416.218.220.527.835.525.55.404月3.29.216.625.137.24024.64.90.35月1.02.812.929.240.337.621.14.906月0.51.710.132.641.735.422.27.107月0.41.48.333.046.23520.25.30.18月0.22.411.231.039.934.721.27.30.28月0.55.812.528.625.935.722.670.310月0.89.221.132.040.339.528.58.6011月2.410.323.928.138.24025.36.30.112月3.61625.

16、525.643.441.924.36.60.3第30頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三算例程序X=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12;Y=0 10 20 30 40 50 60 70 80;Z=;x0,y0 = meshgrid(1:0.11:12,0:0.8:80);zz0=interp2(X,Y,Z,x0,y0,spline);mesh(x0,y0,zz0);第31頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三第三章 數(shù)據(jù)擬合方法當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)量較大，且常常在同一點(diǎn)處有多個(gè)觀測(cè)值（可能不同），或者數(shù)據(jù)中含有較大不確定性、有較大的誤差時(shí)，要求

17、近似函數(shù)過給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)的插值方法難以得到滿意的結(jié)果.不刻意追求微觀上對(duì)每對(duì)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確滿足（即像插值法那樣，讓近似函數(shù)過給定的點(diǎn)），而是先提出某種整體上近似準(zhǔn)則，在此準(zhǔn)則下，追求一個(gè)最優(yōu)的近似函數(shù)！第32頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三第一節(jié) 最小二乘數(shù)據(jù)擬合最小二乘數(shù)據(jù)擬合問題提法已知函數(shù) 的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)若函數(shù) 滿足則稱此函數(shù) 為 的擬合函數(shù). 其中， ， ，稱為擬合函數(shù) 在 點(diǎn)處的偏差或殘量xx1x2xny = f (x)y1y2yn第33頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三插值與擬合對(duì)比示意圖 插值 擬合 第34頁，共60頁，2022年，5月

18、20日，15點(diǎn)19分，星期三關(guān)于數(shù)據(jù)擬合一般地，是在指定的函數(shù)類中求擬合函數(shù)數(shù)據(jù)擬合的步驟畫散點(diǎn)圖，由此分析確定出合適的擬合函數(shù)類，通常所選函數(shù)類構(gòu)成線性空間擬合函數(shù)類中函數(shù)的表示，選定基函數(shù)，待求擬合函數(shù)轉(zhuǎn)化為求擬合函數(shù)在這組基函數(shù)上的展開系數(shù)求解最小二乘問題 (*)，求得擬合函數(shù)（即求其在基函數(shù)的展開系數(shù)）第35頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三線性最小二乘數(shù)據(jù)擬合若線性函數(shù) 滿足則稱此函數(shù) 為 的線性擬合函數(shù). 注：求解線性最小二乘擬合，最終歸結(jié)為求解一個(gè)線性代數(shù)方程組，此方程組通常稱為最小二乘問題的正規(guī)方程組第36頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19

19、分，星期三非線性最小二乘數(shù)據(jù)擬合若非線性函數(shù) 滿足則稱此函數(shù) 為 的非線性擬合函數(shù). 注：求解非線性最小二乘擬合，通常應(yīng)首先將其線性化最終歸結(jié)為求解一個(gè)線性代數(shù)方程組，此方程組通常稱為最小二乘問題的正規(guī)方程組第37頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三第二節(jié) 線性最小二乘數(shù)據(jù)擬合的解設(shè)由一組線性無關(guān)函數(shù)系 的線性組合組成一函數(shù)類 ，顯然它構(gòu)成一個(gè)線性空間. 此時(shí)，線性最小二乘擬合問題可表示為：求 ，使得將所求擬合函數(shù)表示成該線性空間一組基函數(shù)的線性展開第38頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三線性最小二乘問題的正規(guī)方程組此時(shí)，求解線性最小二乘擬合問題轉(zhuǎn)

20、化為求系數(shù) ，注意到（*）式是這組系數(shù)的二次函數(shù)，所以有整理可得第39頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三第三節(jié) matlab單變量數(shù)據(jù)擬合命令簡(jiǎn)介擬合函數(shù)的命令為：polyfit( )其調(diào)用格式為a = polyfit(xdata, ydata, m)其中m 為多項(xiàng)式擬合函數(shù)類的最高次數(shù)xdata，ydata為要擬合的數(shù)據(jù)，都是數(shù)組a輸出結(jié)果，即擬合多項(xiàng)式在選定基函數(shù)的展開系數(shù)第40頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三一般的曲線擬合擬合函數(shù)為curvefit( )，或lsqcurvefit( )調(diào)用格式分別為p = curvefit(Fun, p0

21、, xdata, ydata) p = lsqcurvefit(Fun, p0, xdata, ydata)其中Fun為函數(shù)Fun (p, xdta) 的M文件P0 為函數(shù)的初值要計(jì)算點(diǎn) x 處的函數(shù)值 y，可用函數(shù) f = Fun(p,x) 第41頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三數(shù)據(jù)擬合算例在某化學(xué)反應(yīng)中，已知生成物的濃度與時(shí)間有關(guān). 現(xiàn)有如下一組測(cè)量數(shù)據(jù).試求 濃度y與時(shí)間 t 之間的近似函數(shù)關(guān)系時(shí)間 t（分）12345678濃度 y 1034.006.408.008.809.229.509.709.86時(shí)間 t（分）910111213141516濃度 y 103

22、10.0010.2010.3210.3210.5010.5510.5810.60第42頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三第43頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三分析散點(diǎn)圖可知，擬合函數(shù)類應(yīng)選單調(diào)上升的曲線，嘗試如下三種多項(xiàng)式 ， 為適當(dāng)選取的正整數(shù)有理函數(shù) 指數(shù)函數(shù)第44頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三多項(xiàng)式擬合結(jié)果分別用二、三、六次多項(xiàng)式擬合，計(jì)算得輸出參數(shù)分別為p2 = 0.0445，1.0711，4.3252p3 = 0.0060，0.1963，2.1346，2.5952p6 = 0.0000，0.0004，0.0

23、103，0.1449， 1.1395，4.9604，0.0498即擬合函數(shù)分別為 2(x) = 0.0445 1.0711x 4.3252x23(x) = 0.0060 0.1963x 2.1346x2 2.5952x36(x) = 0.0004x 0.0103x2 0.1449x3 1.1395x4 4.9304x5 0.0498x6第45頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三多項(xiàng)式擬合結(jié)果第46頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三有理函數(shù)擬合結(jié)果擬合函數(shù)類取為擬合得參數(shù)為p = 0.0841，0.1392即得擬合函數(shù)為第47頁，共60頁，2022年

24、，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三有理函數(shù)擬合結(jié)果第48頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三指數(shù)函數(shù)擬合結(jié)果擬合函數(shù)類取為擬合得參數(shù)為p = 11.3578，1.0873即得擬合函數(shù)為第49頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三指數(shù)函數(shù)擬合結(jié)果第50頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三插值與擬合建模案例對(duì)海底地形測(cè)量圖的插值（MCM86A）在某海域測(cè)得一些點(diǎn)(x,y)處的水深z（單位為英尺），由下表給出，若船的吃水深度為5英尺，在矩形區(qū)域（75，200） （-50，150）里的哪些地方船要應(yīng)禁入?yún)⒖甲?/b91d3a563c1ec5da50e27012.htmlX129.0140.0103.588.0185.5195.0105.5157.5107.577.081.0162.0162.0117.5Y7.5141.523.0147.022.5137.585.56.581.03.056.566.584.033.5Z48686889988949第51頁，共60頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)19分，星期三第一步 畫散點(diǎn)圖Matlab命令 x0=129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107