控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)

1、控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)第1頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三控制系統(tǒng)的分析方法分析控制系統(tǒng)第一步 建立模型第二步 分析控制性能，分析方法包括時域分析法頻域分析法根軌跡法第2頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三線性系統(tǒng)的時域分析法線性系統(tǒng)的時域分析法引言一階系統(tǒng)時域分析二階系統(tǒng)時域分析高階系統(tǒng)的時域分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算第3頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三 引言分析控制系統(tǒng)的第一步是建立模型，數(shù)學(xué)模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多種方法，主要有時域分析法，頻域分析法，根軌跡法等。每種方法，各有千

2、秋。均有他們的適用范圍和對象。本章討論時域法。實際上，控制系統(tǒng)的輸入信號常常是不知的，而是隨機(jī)的。很難用解析的方法表示。只有在一些特殊的情況下是預(yù)先知道的，可以用解析的方法或者曲線表示。在分析和設(shè)計控制系統(tǒng)時，對各種控制系統(tǒng)性能得有評判、比較的依據(jù)。這個依據(jù)也許可以通過對這些系統(tǒng)加上各種輸入信號，比較它們對特定的輸入信號的響應(yīng)來建立。許多設(shè)計準(zhǔn)則就建立在這些信號的基礎(chǔ)上，或者建立在系統(tǒng)對初始條件變化（無任何試驗信號）的基礎(chǔ)上，因為系統(tǒng)對典型試驗信號的響應(yīng)特性，與系統(tǒng)對實際輸入信號的響應(yīng)特性之間，存在著一定的關(guān)系；所以采用試驗信號來評價系統(tǒng)性能是合理的。第4頁，共33頁，2022年，5月20日，

3、15點12分，星期三典型試驗信號 Typical test signals(1) 實際系統(tǒng)的輸入信號不可知性(2) 典型試驗信號的響應(yīng)與系統(tǒng)的實際響應(yīng)，存在某種關(guān)系(3) 電壓試驗信號是時間的簡單函數(shù)，便于分析。突然受到恒定輸入作用或突然的擾動。如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時間逐步變化的函數(shù)，則斜坡時間函數(shù)是比較合適的。（單位）階躍函數(shù)（Step function） 室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)和水位調(diào)節(jié)系統(tǒng) （單位）斜坡函數(shù)（Ramp function） 速度 （單位）加速度函數(shù)（Acceleration function）拋物線 （單位）脈沖函數(shù)（Impulse function） 正弦函數(shù)（Simusoid

4、al function）Asinut ，當(dāng)輸入作用具有周期性變化時。通常運用階躍函數(shù)作為典型輸入作用信號，這樣可在一個統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。第5頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程 瞬時響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) Transient Response & Steady_state Response在典型輸入信號作用下，任何一個控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)。1 瞬態(tài)響應(yīng) 指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。由于實際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦、阻尼等原因。2 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 是指當(dāng)t趨近于無窮大時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)，表征系統(tǒng)輸入量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。絕對穩(wěn)定性，

5、相對穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差A(yù)bsolute Stability , Relative Stability ,Steady_state Error第6頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三圖-穩(wěn)定性分析示意圖在設(shè)計控制系統(tǒng)時，我們能夠根據(jù)元件的性能，估算出系統(tǒng)的動態(tài)特性?？刂葡到y(tǒng)動態(tài)特性中，最重要的是絕對穩(wěn)定性，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的，還是不穩(wěn)定的。如果控制系統(tǒng)沒有受到任何擾動，或輸入信號的作用，系統(tǒng)的輸出量保持在某一狀態(tài)上，控制系統(tǒng)便處于平衡狀態(tài)。如果線性定常控制系統(tǒng)受到擾動量的作用后，輸出量最終又返回到它的平衡狀態(tài)，那么，這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果線性定?？刂葡到y(tǒng)受到擾動量作用后，輸出量顯

6、現(xiàn)為持續(xù)的振蕩過程或輸出量無限制的偏離其平衡狀態(tài)，那么系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。第7頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三系統(tǒng)不穩(wěn)定產(chǎn)生的后果實際上，物理系統(tǒng)輸出量只能增加到一定的范圍，此后或者受到機(jī)械止動裝置的限制，或者使系統(tǒng)遭到破壞，也可能當(dāng)輸出量超過一定數(shù)值后，系統(tǒng)變成非線性的，而使線性微分方程不再適用。第8頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三穩(wěn)態(tài)誤差：如果在穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)的輸出量與輸入量不能完全吻合，就認(rèn)為系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差。這個誤差表示系統(tǒng)的準(zhǔn)確度。穩(wěn)態(tài)特性： 穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。相對穩(wěn)定性：因為物理控制系統(tǒng)包含有一些貯能元件，所

7、以當(dāng)輸入量作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，而是在系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)之前，表現(xiàn)為瞬態(tài)響應(yīng)過程。對于實際控制系統(tǒng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，它的瞬態(tài)響應(yīng)，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程。稱動態(tài)過程。第9頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三在分析控制系統(tǒng)時，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，如達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)所需的時間，同時也要研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，以確定對輸入信號跟蹤的誤差大小。動態(tài)性能指標(biāo)：在許多實際情況中，控制系統(tǒng)所需要的性能指標(biāo)，常以時域量值的形式給出。通常，控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，系統(tǒng)在初使條件為零（靜止?fàn)顟B(tài)，輸出量和輸入量的各階導(dǎo)數(shù)為0），對（單位）階躍輸入信號的瞬態(tài)響應(yīng)。實際控制

8、系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程，為了說明控制系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的瞬態(tài)響應(yīng)特性，通常采用下列一些性能指標(biāo)。 第10頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三 一階系統(tǒng)的時域分析用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。圖（a）所示的RC電路，其微分方程為 其中C(t)為電路輸出電壓，r(t)為電路輸入電壓，T=RC為時間常數(shù)。當(dāng)初使條件為零時，其傳遞函數(shù)為 這種系統(tǒng)實際上是一個非周期性的慣性環(huán)節(jié)。 下面分別就不同的典型輸入信號，分析該系統(tǒng)的時域響應(yīng)。第11頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)Unit-Step

9、 Response of First-order System 因為單位階躍函數(shù)的拉氏變換為，則系統(tǒng)的輸出由下式可知為 對上式取拉氏反變換，得 響應(yīng)曲線在時的斜率為如果系統(tǒng)輸出響應(yīng)的速度恒為則只要tT時，輸出xo(t)就能達(dá)到其終值。 圖第12頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)Unit-impulse response of first-order systems當(dāng)輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時，Xi(s)1，輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即 這時相同的輸出稱為脈沖響應(yīng)記作g(t)，因為,其表達(dá)式為 0.368/Txi(t)第13頁，共33頁

10、，2022年，5月20日，15點12分，星期三從 0上升到1時，對應(yīng)的輸出信號在數(shù)值上要滯后于輸入信號一個常量T，這就是穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生的原因。 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)Unit-ramp Response of first-order Systems當(dāng) 對上式求拉氏反變換，得：因為所以一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差為上式表明：一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入信號。穩(wěn)態(tài)時，輸入和輸出信號的變化率完全相同 由于系統(tǒng)存在慣性，減少時間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應(yīng)的速度，還可減少系統(tǒng)跟蹤斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差。 第14頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 上式表明，跟蹤誤

11、差隨時間推移而增大，直至無限大。因此，一階系統(tǒng)不能實現(xiàn)對加速度輸入函數(shù)的跟蹤。第15頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三表 一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應(yīng)輸入信號時域輸入信號頻域輸出響應(yīng)傳遞函數(shù)11(t)t微分微分等價關(guān)系：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分；積分常數(shù)由零初始條件確定。第16頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三傳遞函數(shù) 表示為如下標(biāo)準(zhǔn)形式： 自然頻率（或無阻尼振蕩頻率）阻尼比（相對阻尼系數(shù)）二階系統(tǒng)：凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)二階系統(tǒng)的時

12、域分析Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems第17頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，相應(yīng)的方塊圖如圖所示S(S+2n)n2圖 標(biāo)準(zhǔn)形式的二階系統(tǒng)方塊圖_自然頻率（或無阻尼振蕩頻率）阻尼比（相對阻尼系數(shù)）二階系統(tǒng)的動態(tài)特性，可以用和加以描述二階系統(tǒng)的特征方程。 Xi（S）Xo（s)第18頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三圖 二階系統(tǒng)在不同值單位脈沖響應(yīng)曲線第19頁，共33頁，2022年，5月20日，15

13、點12分，星期三 系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)過程之前的過程稱為瞬態(tài)過程。瞬態(tài)分析是分析瞬態(tài)過程中輸出響應(yīng)的各種運動特性。理論上說，只有當(dāng)時間趨于無窮大時，才進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程，但這在工程上顯然是無法進(jìn)行的。在工程上只討論輸入作用加入一段時間里的瞬態(tài)過程，在這段時間里，反映了主要的瞬態(tài)性能指標(biāo)。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，對于一個有界的輸入，當(dāng)時間趨于無窮大時，微分方程的全解將趨于一個穩(wěn)態(tài)的函數(shù)，使系統(tǒng)達(dá)到一個新的平衡狀態(tài)。工程上稱為進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程。 如某系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示：第20頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三動態(tài)性能 1. 延遲時間td：響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其終值一半所需時間。2. 上升時

14、間tr：響應(yīng)從終值10%上升到終值90%所需時間；對有振蕩系統(tǒng)亦可定義為響應(yīng)從零第一次上升到終值所需時間。上升時間是響應(yīng)速度的度量。3. 峰值時間tp：響應(yīng)超過其終值到達(dá)第一個峰值所需時間。 4. 調(diào)節(jié)時間ts：響應(yīng)到達(dá)并保持在終值內(nèi)所需時間。 5. 超調(diào)量%：響應(yīng)的最大偏離量h(tp)與終值h()之差的百分比，即二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)性能指標(biāo)ptr0.5 y(t)td tp01 tst穩(wěn)態(tài)誤差3.10穩(wěn)態(tài)性能：由穩(wěn)態(tài)誤差ess描述。第21頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三五、瞬態(tài)過程的性能指標(biāo) 通常以階躍響應(yīng)來衡量系統(tǒng)控制性能的優(yōu)劣和定義瞬態(tài)過程的時域性能指標(biāo)。穩(wěn)定的隨動系

15、統(tǒng)（不計擾動）的單位階躍響應(yīng)函數(shù)有衰減振蕩和單調(diào)變化兩種。（一）衰減振蕩：具有衰減振蕩的瞬態(tài)過程如圖所示： 延遲時間 ：輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間。第22頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三 最大超調(diào)量（簡稱超調(diào)量） ：式中： -輸出響應(yīng)的最大值； -穩(wěn)態(tài)值； 上升時間 ：輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值y()所需的時間。或指由穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。輸出響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個峰值ymax所需要的時間。 峰值時間 ：第23頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三 調(diào)節(jié)時間或過渡過程時間 ：當(dāng) 和 之間的誤差達(dá)到規(guī)定的范圍之

16、內(nèi)比如 或 ，且以后不再超出此范圍的最小時間。即當(dāng) ，有： 振蕩次數(shù)N：在上述幾種性能指標(biāo)中， 表示瞬態(tài)過程進(jìn)行的快慢，是快速性指標(biāo)；而 反映瞬態(tài)過程的振蕩程度，是振蕩性指標(biāo)。其中 和 是兩種最常用的性能指標(biāo)。在調(diào)節(jié)時間內(nèi)，y(t)偏離 的振蕩次數(shù)。第24頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三例7圖示是由質(zhì)量m、阻尼c、彈簧k組成的動力系統(tǒng).Xi(t)Xo(t)mck求G(s)依動力平衡原理有第25頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三 阻尼比越小，超調(diào)量越大，平穩(wěn)性越差，調(diào)節(jié)時間ts長； 過大時，系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，調(diào)節(jié)時間ts也長，快速性差； =0.7，調(diào)

17、節(jié)時間最短，快速性最好，而超調(diào)量%5%，平穩(wěn)性也好，故稱=0.7為最佳阻尼比。2. 結(jié)構(gòu)參數(shù)對單位階躍響應(yīng)性能的影響 欠阻尼二階系統(tǒng)的一對包絡(luò)線如右圖： c(t)t01包絡(luò)線（=2%時）(=5%) 工程上通常用包絡(luò)線代替實際曲線來估算。 第26頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三阻尼系數(shù) 是二階系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質(zhì)。在 的情況下瞬態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無超調(diào)和振蕩，但 長。當(dāng) 時，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。在欠阻尼 情況下工作時，若 過小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時間長，瞬態(tài)控制品質(zhì)差。注意到 只與 有關(guān)，所

18、以一般根據(jù) 來選擇 。 越大， （當(dāng) 一定時）為了限制超調(diào)量，并使 較小， 一般取0.40.8，則超調(diào)量在25%1.5%之間。第27頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三運動員的選材問題第28頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三如果是R-L-C系統(tǒng)呢？應(yīng)該如何分析？重點內(nèi)容二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式及阻尼比和固有頻率的計算；二階系統(tǒng)單位階躍的響應(yīng)性能指標(biāo)及計算。第29頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三R(s)(-)C(s) 化為標(biāo)準(zhǔn)形式 即有 2n=1/Tm=5, n2=K/Tm=25解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 解得 n=5, =0.5 例1 已知圖中Tm=0.2，K=5，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)指標(biāo)。第30頁，共33頁，2022年，5月20日，15點12分，星期三解：當(dāng)T不變時，T=0.25，例2：如圖所示系統(tǒng)， 試求： 和 ; 和 若要求 時，當(dāng)T不變時K=?第31頁，共33頁，2022年