矩陣三角分解法

1、一、直接法概述直接法是將原方程組化為一個(gè)或若干個(gè)三角形方程組的方法，共有若干種對(duì)于線性方程組其中系數(shù)矩陣未知量向量1根據(jù)Cramer(克萊姆)法則,若determinantal行列式的記號(hào)若用初等變換法求解,則對(duì)其增廣矩陣作行初等變換:經(jīng)過n-1次2同解即以上求解線性方程組的方法稱為Gauss消去法則都是三角形方程組上述方法稱為直接三角形分解法32 Matrix Factorization Doolittle 道立特分解法 /* Doolittle Factorization */： LU 分解的緊湊格式 /* compact form */反復(fù)計(jì)算,很浪費(fèi)哦 通過比較法直接導(dǎo)出L 和 U 的

2、計(jì)算公式。思路42 Matrix Factorization Doolittle固定 i :對(duì) j = i, i+1, , n 有l(wèi)ii = 1a固定 j ，對(duì) i = j, j+1, , n 有b5上述解線性方程組的方法稱為直接三角分解法的 Doolittle法例1. 用Doolittle法解方程組解:由Doolittle分解6Doolittle法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)是比較容易的但如果按上述流程運(yùn)算仍需要較大的存儲(chǔ)空間:7因此可按下列方法存儲(chǔ)數(shù)據(jù):8直接三角分解的Doolittle法可以用以下過程表示:存儲(chǔ)單元(位置)9緊湊格式的Doolittle法10例2. 用緊湊格式的Doolittle法解方

3、程組(例1)解:11所以12Matrix Factorization Choleski 平方根法 /* Choleskis Method */： 對(duì)稱 /* symmetric */ 正定 /* positive definite */ 矩陣的分解法定義一個(gè)矩陣 A = ( aij )nn 稱為對(duì)稱陣，如果 aij = aji 。定義一個(gè)矩陣 A 稱為正定陣，如果 對(duì)任意非零向量 都成立?；仡櫍簩?duì)稱正定陣的幾個(gè)重要性質(zhì) A1 亦對(duì)稱正定，且 aii 0若不然，則存在非零解，即存在非零解。對(duì)任意 , 存在 , 使得 ,即 。 其中第 i 位 A 的順序主子陣 /* leading princip

4、al submatrices */ Ak 亦對(duì) 稱正定對(duì)稱性顯然。對(duì)任意 有 , 其中 。 A 的特征值 /* eigen value */ i 0 設(shè)對(duì)應(yīng)特征值 的非零特征向量為 ，則 。 A 的全部順序主子式 det ( Ak ) 0因?yàn)?3一、對(duì)稱正定矩陣的三角分解(Cholesky分解)記為14Diagonal:對(duì)角15因此所以綜合以上分析,則有16定理1. (Cholesky分解)且該分解式唯一這種關(guān)于對(duì)稱正定矩陣的分解稱為Cholesky分解17二、對(duì)稱正定線性方程組的解法線性方程組則線性方程組(10)可化為兩個(gè)三角形方程組18對(duì)稱正定方程組的平方根法19例1.用平方根法解對(duì)稱正定

5、方程組解:20即21三、平方根法的數(shù)值穩(wěn)定性用平方根法求解對(duì)稱正定方程組時(shí)不需選取主元由可知因此平方根法是數(shù)值穩(wěn)定的事實(shí)上,對(duì)稱正定方程組也可以用順序Gauss消去法求解而不必加入選主元步驟222 Matrix Factorization Tridiagonal System 追趕法解三對(duì)角方程組 /* Crout Reduction for Tridiagonal Linear System */Step 1: 對(duì) A 作Crout 分解直接比較等式兩邊的元素，可得到計(jì)算公式。Step 2: 追即解 ：Step 3: 趕即解 ：與G.E.類似，一旦i = 0 則算法中斷，故并非任何三對(duì)角陣都可以用此方法分解。23有一類方程組,在今后要學(xué)習(xí)的插值問題和邊值問題中有著重要的作用,即三對(duì)角