數(shù)值分析實驗報告插值與擬合

1、數(shù)值分析課程實驗報告實驗名稱班級姓名學號序號教師地點數(shù)學實驗中心評分一、實驗?zāi)康恼莆斩囗検讲逯捣ǖ幕舅悸泛筒襟E；了解整體插值的局限性及分段插值的基本思想。掌握最小二乘法擬合的基本原理和方法；培養(yǎng)運用計算機模擬解決問題的能力。二、用文字或圖表記錄實驗過程和結(jié)果1. 給定 sinllo = 0.190809,sin12。= 0.207912,sin13。= 0.224951,構(gòu)造插值多項式計算 sin11o30。編程實現(xiàn)拉格朗日插值，并計算結(jié)果。將計算結(jié)果和查表結(jié)果進行比較。解：通過Larguage差值計算得到插值多項式：f =0.0114898*t2 + 0.970963*t + 0.0040

2、55f=Language(x,y,11.5/180*pi)計算結(jié)果為：0.199402625精確結(jié)果：0.19936793441畫圖進行比較：0.90.80.70.60.50.40.30.20.1/000.10.20.30.40.50.60.70.80.91通過觀察圖像，經(jīng)比較可知兩結(jié)果是很接近的。2.區(qū)間5,5作等距劃分：氣=T + kh (k = 0,1,n), h 二四，以七(k = 0,1，,n )為節(jié)點對函數(shù)f二 進行插值逼近。(分別取n = 5,10,20 )1 + X 2(1) 用多項式插值對f頃)進行逼近，并在同一坐標系下作出函數(shù)的圖形，進行比較。寫出插值函數(shù)對f仃)的逼近程度

3、與節(jié)點個數(shù)的關(guān)系，并分析原因。(2) 試用分段插值(任意選取)對f (X進行逼近，在同一坐標下畫出圖形，觀察分段插值函數(shù)對f (x)的逼近程度與節(jié)點個數(shù)的關(guān)系。解：(1)結(jié)果分析：高次插值穩(wěn)定性差，而低次插值對于較大區(qū)間逼近精度又不夠，而且，隨著節(jié)點的 加密，采用高次插值，插值函數(shù)兩端會發(fā)生激烈震蕩。解決這一矛盾的有效方法就是采用分段低次代 數(shù)插值。(2)通過采用分段線性插值得到以下結(jié)果:結(jié)果分析：通過采用分段線性插值，發(fā)現(xiàn)隨著插值節(jié)點增多，插值計算結(jié)果的誤差越來越小，而且分 段線性插值的優(yōu)點是計算簡單，曲線連續(xù)和一致收斂，但是不具有光滑性。已知一組數(shù)據(jù)如下，求它的線性擬合曲線。X i1234

4、5yi44.5688.5編程實現(xiàn)最小二乘算法，并畫出其擬合曲線求出其平方誤差。解： x=1,2,3,4,5; y=4,4.5,6,8,8.5; f=ispoly(x,y,1)擬合得到的線性曲線為：y=1.25x+2.45通過計算的誤差平方和為：2.7803(3) 對于模型y(x) = aex，首先做變換z = ln(y),t =-，則有 xz =以 + P t其中，以=ln(a),p =b把原始數(shù)據(jù)變換得到(z,t)xi0.50000.33330.25000.14290.12500.1000yi4.66744.68404.69594.70054.69984.7049xi0.09090.0714

5、0.06250.05560.0526yi4.70584.70594.70744.70954.7113擬合得到：z= 4.7139 -0.0903t 進而得到擬合曲線：擬合誤差平方和為：0.4719，通過計算比較發(fā)現(xiàn)，通過對數(shù)變換之后得到的擬合結(jié)果比進行二次函 數(shù)擬合的結(jié)果要好很多。所以對于一些特殊的函數(shù)擬合，可以通過一些變換，進行擬合。擬合是指通過觀察或測量得到一組離散數(shù)據(jù)序列(x,七)，i=1,2，m，構(gòu)造插值函數(shù)9 (x)逼近客觀存在的函數(shù)y = y (x)，使得向量Q = (9 (x ),9 (x ), .9 (x )了與Y = (y , y ,., y ) t的誤差或距12m12m離最

6、小?？芍敾瘮?shù)的選擇不同時，擬合函數(shù)的誤差也會不同，所以在對數(shù)據(jù)進行擬合時應(yīng)選擇適合 的基函數(shù)。三、練習思考整體插值有何局限性？如何避免？答：整體插值的過程中，若有無效數(shù)據(jù)則整體插值后插值曲線的平方誤差會比較大，即在該數(shù)據(jù)附近 插值曲線的震動幅度較大。在插值處理前，應(yīng)對原始數(shù)據(jù)進行一定的篩選，剔除無效數(shù)據(jù)。2、基函數(shù)的選擇對擬合的結(jié)果有何影響？答：基函數(shù)的選擇不同，會導致擬合后曲線與原函數(shù)的平方誤差大小不同，影響擬合的精度。3、簡述數(shù)據(jù)擬合與插值的異同。答不同點：擬合是指已知某函數(shù)的若干離散函數(shù)值f1,f2,，fn，通過調(diào)整該函數(shù)中若干待定系數(shù) f（入1,入2,，入3），使得該函數(shù)與已知點集的差別（最小二乘意義）最小。而插值是指已知某函數(shù)的 在若干離散點上的函數(shù)值或者導數(shù)信息，通過求解該函數(shù)中待定形式的插值函數(shù)以及待定系數(shù)，使得 該函數(shù)在給定離散點上滿足約束。相同點：通過已知一些離散點集M上的約束，求取一個定義在連續(xù)集合S（